Bằng cách đưa bài toán trên về một phương trình toán tử, sau đó sử dụng các định lý điểm bất động, chúng tôi đã thiết lập được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán. Tiếp theo, đề xuất một phương pháp lặp cả ở mức liên tục và mức rời rạc giải bài toán trên. Nhiều thí dụ minh họa tính đúng đắn của các kết quả lý thuyết và hiệu quả của phương pháp lặp.
Kỷ yếu Hội nghị KHCN Quốc gia lần thứ XII Nghiên cứu ứng dụng Công nghệ thông tin (FAIR); Huế, ngày 07-08/6/2019 DOI: 10.15625/vap.2019.00049 PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TỐN BIÊN TAM ĐIỀU HỊA PHI TUYẾN Nguyễn Quốc Hưng1, Đặng Quang Á2, Vũ Vinh Quang3 Viện Toán ứng dụng Tin học - Trƣờng ĐHBK Hà Nội Trung tâm Tin học Tính tốn, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Trƣờng ĐHCNTT&TT - Đại học Thái Nguyên hung.nguyenquoc@hust.edu.vn, dangquanga@cic.vast.vn, vvquang@ictu.edu.vn TĨM TẮT: Trong báo cáo này, chúng tơi xét tốn biên tam điều hịa dạng ( ) , tốn tử Laplace miền bị chặn Bài tốn xuất mơ hình hóa dịng chảy quay chậm chất lỏng nhớt cao sử dụng mơ hình hóa hình học Bằng cách đưa toán phương trình tốn tử, sau sử dụng định lý điểm bất động, thiết lập tồn nghiệm toán Tiếp theo, đề xuất phương pháp lặp mức liên tục mức rời rạc giải tốn Nhiều thí dụ minh họa tính đắn kết lý thuyết hiệu phương pháp lặp Từ khóa: Phương trình tam điều hịa, toán biên phi tuyến, phương pháp lặp I GIỚI THIỆU Nhiều toán lĩnh vực vật lý, học đƣợc mơ tả phƣơng trình đạo hàm riêng (PDE) cấp cao Loại phƣơng trình cấp cao thơng dụng phƣơng trình song điều hịa (một loại phƣơng trình cấp bốn) - mơ hình lý thuyết đàn hồi phẳng, lý thuyết mỏng [13], lý thuyết dòng chảy [11] gần PDE cấp bốn xuất phân tích ảnh thiết kế hình học [14] Loại phƣơng trình đƣợc nghiên cứu nhiều kể định tính lẫn định lƣợng Mới đây, nhu cầu phát triển khoa học công nghệ ngƣời ta bắt đầu quan tâm đến PDE cấp sáu mà tiêu biểu phƣơng trình tam điều hịa (triharmonic equation) ( ) Ở tốn tử Laplace khơng gian chiều Phƣơng trình mơ hình pha tinh thể [13], mơ hình hóa dịng chảy quay chậm chất lỏng nhớt cao [12] công cụ hữu hiệu mơ hình hóa hình học [14] Do phƣơng trình tam điều hịa có nhiều ứng dụng thực tế nên ngƣời ta quan tâm nhiều đến phƣơng pháp giải tốn biên cho phƣơng trình với giả thiết tốn có nghiệm đủ trơn Có thể kể đến đóng góp Gudi Neilan [6], phƣơng pháp phần tử hữu hạn đƣợc sử dụng Các nỗ lực giải phƣơng trình tam điều hịa tuyến tính phi tuyến với điều kiện biên phƣơng pháp sai phân thuộc Mohanty cộng [7, 8, 9] Trong công trình họ xây dựng lƣợc đồ sai phân với độ cấp hai cấp bốn nhƣng việc giải hệ phƣơng trình rời rạc thu đƣợc chƣa đƣợc quan tâm Năm 2006, [1] nghiên cứu tốn biên Neumann cho phƣơng trình kiểu song điều hòa Dang đề xuất phƣơng pháp đƣa tốn biên phƣơng trình với tốn tử đối xứng, xác định dƣơng hàm trung gian không gian Hilbert xây dựng phƣơng pháp lặp giải tốn Sau đó, phát triển ý tƣởng đƣa tốn biên phƣơng trình tốn tử hàm trung gian ẩn hàm, Dang cộng [2-5] thành công xét số toán biên phi tuyến cho phƣơng trình vi phân đạo hàm thƣờng đạo hàm riêng cấp bốn Các toán đƣợc đƣa phƣơng trình tốn tử thành phần phi tuyến Nhiều kết tồn tại, tính dƣơng nghiệm đƣợc thiết lập dƣới điều kiện dễ kiểm tra Sự hội tụ đánh giá sai số phƣơng pháp lặp đƣợc chứng minh lý thuyết kiểm tra thực nghiệm Phƣơng pháp nhóm nghiên cứu Dang đề xuất đƣợc số nhà nghiên cứu đánh giá cao trích dẫn nhiều nghiên cứu loại toán biên phi tuyến Trong báo tiếp tục phát triển phƣơng pháp để nghiên cứu định tính nhƣ lời giải số cho tốn biên tam điều hịa Kết thu đƣợc tồn nghiệm toán phƣơng pháp lặp tìm nghiệm Chúng tơi đƣa số thí dụ minh họa cho kết lý thuyết hiệu phƣơng pháp lặp đƣợc đề xuất II SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM Xét tốn biên tam điều hịa biến ( ( miền bị chặn không gian với biên ) miền giới nội đƣợc xác định sau ) , đủ trơn, ( (1) (2) ) hàm liên tục theo Nguyễn Quốc Hƣng, Đặng Quang Á, Vũ Vinh Quang 389 Để nghiên cứu tốn (1)-(2), chúng tơi đƣa tốn điểm bất động tốn tử cơng thức ( )( ) ( ( ) ( ) ( )), ( ) nghiệm tốn ( ) đƣợc xác định (3) (4) (5) với ( ) hàm liên tục ̅ Bổ đề 1: Hàm ( ) điểm bất động toán tử , tức ( ) nghiệm phƣơng trình toán tử ( ) đƣợc xác định từ toán biên (4)-(5) nghiệm toán biên (1)-(2) , Chứng minh: theo (3), kết hợp với giả thiết ( ) nghiệm Chứng minh đƣợc suy trực tiếp từ cách xác định toán tử toán (4)-(5) Bổ đề [10 ]: Đối với nghiệm toán biên ( ) hàm liên tục có đánh giá ‖ ‖ với ‖ ‖, ‖ ‖ ( ) ̅ với bán kính hình cầu chứa Bây giờ, với số dƣơng ta định nghĩa miền *( Định lí Giả sử tồn số i) ( ) ( ii) ( ) ( ( ) iii) nhƣ sau: + ) , cho: ) ) ( ) , Khi tốn (1)-(2) có nghiệm ( ) thỏa mãn đánh giá ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ Chứng minh: Vì tốn tử đƣợc xác định (3), từ giả thiết i) Định lí chứng tỏ đƣợc ánh xạ hình cầu , - * + vào Sử dụng điều kiện Lipchitz giả thiết ii) điều kiện co giả ( ̅) ‖ ‖ thiết iii) đinh lí này, chứng minh đƣợc ánh xạ co Do theo định lí điểm bất động Banach, tồn , - tốn tử Theo Bổ đề tốn (1)-(2) có nghiệm ( ) tƣơng ứng điểm bất động III PHƯƠNG PHÁP LẶP Ở MỨC LIÊN TỤC Để tìm nghiệm xấp xỉ tốn (1)-(2), sử dụng phƣơng pháp phân rã toán tam điều hịa ba tốn cấp hai, chúng tơi đề xuất phƣơng pháp lặp sau , Bƣớc 0: Cho xấp xỉ ban đầu -, chẳng hạn ( ) ( ) Bƣớc 1: Với k=0,1,2,…,giải liên tiếp ba toán cấp (6) (7) (8) (9) (10) (11) Bƣớc 2: Cập nhật ( ) (12) Định lí Với giả thiết Định lí 1, phƣơng pháp lặp hội tụ có đánh giá ‖ ‖ nghiệm xác toán (1)-(2) ‖ ‖, đƣợc xác định theo iii) Định lí PHƢƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TỐN BIÊN TAM ĐIỀU HÒA PHI TUYẾN 390 Chứng minh: Chúng ta thấy phƣơng pháp lặp nêu trình lặp liên tiếp tìm điểm bất động tốn tử với - Do phƣơng pháp lặp hội tụ với tốc độ cấp số nhân ta có đánh giá xấp xỉ ban đầu hình cầu , ‖ ‖ ‖ ‖ Từ suy ‖ ‖ ‖ ‖ IV PHƯƠNG PHÁP LẶP Ở MỨC RỜI RẠC Phƣơng pháp lặp (6)-(12) phƣơng pháp lặp tìm nghiệm xấp xỉ tốn (1)-(2) mức liên tục Để thực hóa tính tốn, sở phƣơng pháp lƣới chuyển phƣơng pháp lặp mức rời rạc nhƣ sau: Giả sử , - , -, chia lƣới cỡ Ký hiệu )| {( } tập điểm lƣới tập điểm biên lƣới Ký hiệu Khi tốn ( ) ( ) đƣợc đƣa tốn sai phân ( ( ) ( ) ) hàm lƣới xác định ( toán tử Laplace rời rạc, xấp xỉ tốn tử Laplace ) ta có đánh giá ‖ ‖ ( ( ) ), Khi phƣơng pháp lặp (6)-(12) đƣợc đƣa phƣơng pháp lặp mức sai phân sau: ( ) Bƣớc 0: Cho Bƣớc 1: Với k=0,1,2,…, giải liên tiếp ba toán sai phân (13) (14) (15) (16) (17) (18) lần lƣợt hàm lƣới hàm bƣớc lặp thứ k Bƣớc 2: Cập nhật ( ), (19) Chúng ta đánh giá sai số thực phƣơng pháp ‖ Ta có ‖ ‖ ‖ ta cần đánh giá ‖ ‖ ‖ ‖ Theo kết Định lí 2, ta có ‖ ‖ ‖ ‖ Vì ‖ Xuất phát từ bƣớc k =0, ta có đánh giá ‖ cập nhật (19) ta thu đƣợc ‖ ‖ ‖ ( ‖ ( ), theo phƣơng pháp quy nạp sử dụng cơng thức ) Từ ta có ‖ ( ‖ ) ‖ ‖ tức sai số phƣơng pháp tổng hợp sai số cấp hai phƣơng pháp rời rạc hóa sai số phƣơng pháp lặp mức vi phân V MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ (bài tốn với nghiệm xác biết trƣớc) Xét tốn biên (( ) ) Nguyễn Quốc Hƣng, Đặng Quang Á, Vũ Vinh Quang ( ) ( ), ( 391 ) Đối với toán này, thấy điều kiện Định lí đƣợc thỏa mãn, tốn có nghiệm Có thể thấy nghiệm xác tốn Kết chạy thực nghiệm cho ‖ cỡ lƣới 64×64, máy Intel(R)-Core(TM) i3, điều kiện dừng lặp ‖ đƣợc thể Bảng Bảng Tốc độ hội tụ Ví dụ ‖ k ‖ ‖ 1.0027 0.0021 1.4439×e-9 5.7732×e-15 ‖ 0.0027 6.0259×e-4 2.1256×e-5 0.6317×e-7 Thời gian (s) 0.2650 0.5148 0.7956 1.0296 Ví dụ (khơng biết nghiệm xác) Xét tốn biên ( ) ( ) ( ), ( ( ) ) Đối với toán này, ta thấy điều kiện Định lí đƣợc thỏa mãn, (chẳng hạn chọn ) ( ) ( ) lƣới 64×64, tốn có nghiệm Để tìm nghiệm xấp xỉ tốn, chia miền áp dụng thuật tốn thu gọn khối lƣợng tính tốn giải liên tiếp ba toán sai phân sơ đồ (13)-(19) bƣớc ‖ lặp Tiêu chuẩn dừng lặp đƣợc chọn ‖ Chƣơng trình đƣợc chạy máy Intel(R)-Core(TM) i3 Kết tốc độ hội tụ phƣơng pháp lặp đƣợc cho Bảng Bảng Tốc độ hội tụ Ví dụ TOL e-11 e-12 e-15 e-18 Số lần lặp Thời gian(s) 0.9516 1.4352 1.6692 1.9344 Đồ thị nghiệm xấp xỉ đƣợc mơ tả Hình Hình Nghiệm xấp xỉ tốn Ví dụ VI KẾT LUẬN Qua kết thực nghiệm, thấy phƣơng pháp lặp chúng tơi đề xuất tìm nghiệm số tốn biên dạng tam điều hòa với hệ điều kiện biên hội tụ nhanh, sai số phƣơng pháp đạt độ xác cấp hai so với bƣớc lƣới Nếu sử dụng lƣợc đồ sai phân với độ xác cấp bốn sai số phƣơng pháp đạt độ xác cấp bốn Phƣơng pháp lặp áp dụng tốn tam điều hịa với hệ điều kiện biên khơng Phát triển phƣơng pháp báo cho phƣơng trình tam điều hịa phi tuyến với loại điều kiện biên khác chủ đề nghiên cứu tƣơng lai 392 PHƢƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TỐN BIÊN TAM ĐIỀU HỊA PHI TUYẾN LỜI CÁM ƠN Nghiên cứu đƣợc tài trợ Quỹ Phát triển Khoa học Công nghệ Quốc gia (NAFOSTED) đề tài mã số 102.01-2017.306 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Q A Dang,“Iterative method for solving the Neumann boundary value problem for biharmonic tye equation”, Journal of Computational and Applied Mathematics, 96, pp.634-643, 2006 [2] Q A Dang, Q.L Dang and T K Q Ngo, “A novel efficient method for nonlinear boundary value problems”, Numerical Algorithms, 76, pp.427-439, 2017 [3] Q A Dang, T K Q Ngo, “Existence results and iterative method for solving the caltilever beam equation with fully nonlinear term”, Nonlinear Analysis: Real World Applications, 36, pp.56-68, 2017 [4] Q A Dang, T K Q Ngo, “New Fixed Point Approach for a Fully Nonlinear Fourth Ordered Boundary Value Problem ”, Bol Soc Paran Math., 36, 4, 2018 [5] Quang A Dang, Thanh Huong Nguyen, “Existence result and iterative method for solving a nonlinear biharmonic equation of Kirchhoff type”, Computers & Mathematics with Applications, 76, pp.11-22, 2018 [6] T Gudi and M Neilan, “An interior penalty method for a sixth order elliptic equation”, IMA Journal of Numerical Analysis, pp.1-19, 2011 [7] B N Mishra and M K Mohanty, “Single Cell Numerov Type Discretization for 2D Biharmonic and Triharmonic Equations on Uniqual Mesh”, Journal of Mathematical and Computational Science, 3, pp.242-253, 2013 [8] R K Mohanty, M K Jain and B N Mishra, “A Novel Numerical Method of O(h4) for Three-dimensional Physics”, 26, pp.1417-1433, 2010 [9] R K Mohanty, “Single Cell Compact Finite Difference Discretizations of Order Two and Four for Multidimensional Triharmonic Problems”, Numerical Method for Partial Differential Equation, 26, pp.228-246, 2013 [10] D Gilbarg and N.S Trudinger, “Elliptic Partial Differential Equations of Elliptic type”, Second Edition, Springer, 1998 [11] Langlois L., “Slow viscous flow”, Macmillan, New York, 1964 [12] D Lenic, “On the boundary integral equations for a two-dimentional slowly rotating highly viscous fluid flow”, Advances in Applied Mathematics and Mechanics, 1, pp.140-150, 2009 [13] Timoshenco S P and Woinowsky-Krieger S , “Theory of plates and shells”, McGraw-Hill, New York, 1970 [14] H Ugail, “Partial Defferential Equations for Geometric Design”, Springer, 2011 ITERATIVE METHOD FOR A NONLINEAR TRIHARMONIC BOUNDARY VALUE PROBLEM Nguyen Quoc Hung, Dang Quang A, Vu Vinh Quang ABSTRACT: In this paper we consider the following the boundary value problem ( ) , where is the Laplace operator and is a bounded domain This problem appears in theory of slowly rotating highly viscous fluid flow and geometric design For solving this problem we use the method based on the reduction of it to finding fixed points of a nonlinear operator for the nonlinear term The existence and uniqueness of a solution and the convergence of an iterative method for the solution are established under some easily verified conditions Some examples are given to demonstrate the applicability of the obtained theoretical results and the efficiency of the iterative method Keywords: Nonlinear triharmonic boundary value problem; Iterative method; Numerical solution ... Định lí PHƢƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TỐN BIÊN TAM ĐIỀU HỊA PHI TUYẾN 390 Chứng minh: Chúng ta thấy phƣơng pháp lặp nêu trình lặp liên tiếp tìm điểm bất động tốn tử với - Do phƣơng pháp lặp hội tụ với... độ xác cấp bốn Phƣơng pháp lặp áp dụng tốn tam điều hịa với hệ điều kiện biên khơng Phát triển phƣơng pháp báo cho phƣơng trình tam điều hịa phi tuyến với loại điều kiện biên khác chủ đề nghiên... ‖ ‖ ‖ IV PHƯƠNG PHÁP LẶP Ở MỨC RỜI RẠC Phƣơng pháp lặp (6)-(12) phƣơng pháp lặp tìm nghiệm xấp xỉ tốn (1)-(2) mức liên tục Để thực hóa tính tốn, sở phƣơng pháp lƣới chuyển phƣơng pháp lặp mức