Bài viết trình bày việc nghiên cứu bài toán hai cấp trong không gian Hilbert thực: tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất trên tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân. Chúng tôi đề xuất một phương pháp lặp mới giải bài toán hai cấp này, đồng thời thiết lập sự hội tụ mạnh của phương pháp.
ISSN: 1859-2171 e-ISSN: 2615-9562 TNU Journal of Science and Technology 208(15): 169 - 175 PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN TÌM NGHIỆM CĨ CHUẨN NHỎ NHẤT Nguyễn Tất Thắng Đại học Thái Nguyên TÓM TẮT Trong báo chúng tơi nghiên cứu tốn hai cấp khơng gian Hilbert thực: tìm nghiệm có chuẩn nhỏ tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Chúng đề xuất phương pháp lặp giải toán hai cấp này, đồng thời thiết lập hội tụ mạnh phương pháp Từ khóa: Bất đẳng thức biến phân; khơng gian Hilbert; chuẩn nhỏ nhất; tốn hai cấp; toán tử đơn điệu Ngày nhận bài: 23/9/2019; Ngày hoàn thiện: 23/10/2019; Ngày đăng: 27/11/2019 ITERATIVE METHOD FOR SOLVING A MINIMUM NORM PROBLEM Nguyen Tat Thang Thai Nguyen University ABSTRACT In this paper we study the problem of finding a minimum norm solution over the set of solutions of a variational inequality in Hilbert spaces In order to solve this bilevel problem, we propose a new iterative method and establish a strong convergence theorem for it Keywords: Variational inequality; Hilbert space; minimum norm; bilevel problem; monotone operator Received: 23/9/2019; Revised: 23/10/2019; Published: 27/11/2019 Email: thangnt@tnu.edu.vn http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn 169 Giới thiệu Cho H không gian Hilbert thực với tích vơ hướng ·, · chuẩn · Cho C tập lồi đóng khác rỗng H Cho ánh xạ G : C → H (thường gọi ánh xạ giá) Bài toán bất đẳng thức biến phân (đơn trị) H phát biểu sau: Tìm x∗ ∈ C cho G(x∗ ), x − x∗ ≥ ∀x ∈ C (1) Ký hiệu ΩG tập nghiệm toán (1) Bài toán bất đẳng thức biến phân (1) giới thiệu lần vào năm 1966 Philip Hartman Guido Stampacchia công bố nghiên cứu bất đẳng thức biến phân liên quan đến việc giải toán biến phân, toán điều khiển tối ưu toán biên lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Bài toán bất đẳng thức biến phân thu hút nhiều quan tâm nhà toán học mơ hình chứa nhiều toán quan trọng số lĩnh vực khác tốn học ứng dụng tối ưu hóa, tốn điểm bất động, lý thuyết trò chơi, cân mạng lưới giao thông (xem [2,4,5,10]) Nhiều phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân xây dựng, phương pháp chiếu đóng vai trò quan trọng đơn giản thuận lợi q trình tính tốn (xem [1, 6, 7]) Bài tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ tốn tìm phần tử x∗ ∈ C cho x∗ ≤ x ∀x ∈ C (2) Trong báo này, đề xuất phương pháp lặp giải toán (2) trường hợp C tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân (1), nghĩa tìm phần tử x∗ ∈ ΩG cho x∗ ≤ x ∀x ∈ ΩG (3) Ký hiệu Ω tập nghiệm toán (3) Giả thiết Ω = ∅ Một số kiến thức bổ trợ Để xây dựng dãy lặp chứng minh định lý hội tụ mạnh, ta cần số kiến thức bổ trợ sau Cho C tập con, lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert thực H Hình chiếu điểm x ∈ H C, ký hiệu PC (x), điểm thuộc C gần điểm x nhất, xác định PC (x) = arg { x − y : y ∈ C} (4) Hình chiếu PC (x) x C tồn và PC ánh xạ không giãn, nghĩa PC (x) − PC (y) ≤ x − y Một ánh xạ G : C → H gọi η-đơn điệu mạnh ngược C, G(x) − G(y), x − y ≥ η G(x) − G(y) ∀x, y ∈ C, η > (5) Ký hiệu Fix(S) tập điểm bất động ánh xạ S : C → C, nghĩa Fix(S) = {x∗ ∈ C : S(x∗ ) = x∗ } Bổ đề 2.1 (xem [3]) Cho C tập lồi đóng khơng gian Hilbert thực H, S : C → H ánh xạ khơng giãn Khi Fix(S) = ∅ ánh xạ I H − S ánh xạ nửa đóng y ∈ H, nghĩa với dãy {xk } ⊂ C hội tụ yếu đến phần tử x¯ ∈ C dãy {(I H − S)(xk )} hội tụ mạnh đến y (I H − S)(¯ x) = y Bổ đề 2.2 (xem [8]) Cho {sn } dãy số thực không âm thỏa mãn sn+1 ≤ (1 − βn )sn + γn với n ≥ 0, {βn } {γn } dãy số thực thỏa mãn điều kiện sau: (i) {βn } ⊂ (0, 1) (ii) lim supn→∞ γn βn ∞ n=0 βn = ∞, ∞ n=0 ≤ |βn γn | < ∞ Khi limn→∞ sn = Kết Cho H không gian Hilbert thực, C tập lồi đóng khác rỗng H, G : H → H ánh xạ Ta xây dựng dãy lặp {xk } sau: y k = PC (xk − λG(xk )), xk+1 = (1 − µαk )y k , (6) λ, µ số thực khơng âm {αk } dãy tham số thực Sự hội tụ phương pháp lặp (6) cho định lý sau Định lý 3.1 Cho C tập con, lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert thực H ánh xạ G : H → H ánh xạ η-đơn điệu mạnh ngược H Nếu số thực λ, µ dãy tham số thực {αk } thỏa mãn điều kiện (C1) < λ ≤ 2η, < µ < 2, (C2) < αk ≤ min{1, τ1 }, τ = − |1 − µ|, (C3) lim αk = 0, lim k→∞ k→∞ αk+1 − αk ∞ = 0, k=0 αk = ∞, dãy {xk } xác định (6) hội tụ mạnh đến nghiệm toán (3) Chứng minh Ta xây dựng ánh xạ Sk : H → H sau Sk (x) = PC (x − λG(x)) − µαk [PC (x − λG(x))] ∀x ∈ H (7) Sử dụng tính η-đơn điệu mạnh ngược ánh xạ G, tính chất khơng giãn phép chiếu PC ta nhận PC (x − λG(x)) − PC (y − λG(y)) = x−y ≤ x−y 2 + λ2 G(x) − G(y) ≤ x − λG(x) − y + λG(y) − 2λ x − y, G(x) − G(y) + λ(λ − 2η) G(x) − G(y) ≤ x−y 2 ∀x, y ∈ H (8) Từ suy Sk (x)−Sk (y) = PC (x−λG(x))−µαk [PC (x−λG(x))]−PC (y −λG(y))+µαk [PC (y −λG(y))] ≤ (1 − αk τ ) x − y , (9) với τ = − |1 − µ| ∈ (0, 1] (xem [9]) Do đó, Sk ánh xạ co H Theo Nguyên lý ánh xạ co Banach, tồn điểm bất động ξ k thỏa mãn Sk (ξ k ) = ξ k Với xˆ ∈ ΩG , đặt C= x∈H: x − xˆ ≤ µ xˆ τ , kết hợp với tính chất khơng giãn phép chiếu PC , suy ánh xạ Sk PC ánh xạ co H Do vậy, tồn điểm z k thỏa mãn Sk [PC (z k )] = z k Đặt z¯k = PC (z k ), từ (7) (9) ta suy z k − xˆ = Sk (¯ z k ) − xˆ ≤ Sk (¯ z k ) − Sk (ˆ x) + Sk (ˆ x) − xˆ = Sk (¯ z k ) − Sk (ˆ x) + Sk (ˆ x) − PC (ˆ x − αk G(ˆ x)) ≤ (1 − αk τ ) z¯k − xˆ + µαk PC (ˆ x − αk G(ˆ x)) ≤ (1 − αk τ ) µ xˆ µ xˆ + µαk xˆ = τ τ Điều z k ∈ C Sk [PC (z k )] = Sk (z k ) = z k Do vậy, ξ k = z k ∈ C Mặt khác, với dãy {ξ ki } dãy {ξ k } thỏa mãn ξ ki ξ¯ , lim αk = 0, k→∞ i → ∞ PC (ξ ki −λG(ξ ki ))−ξ ki = PC (ξ ki −λG(ξ ki ))−Ski (ξ ki ) = µαki PC (ξ ki −λG(ξ ki )) → (10) Theo (8), ánh xạ PC (· − αk G(·)) không giãn H, kết hợp với (10), Bổ đề 2.1 ξ ki ¯ = ξ ¯ Vậy ξ¯ ∈ ΩG suy PC (ξ¯ − λG(ξ)) Tiếp theo, ta chứng minh lim ξ kj = x∗ ∈ Ω ¯ ξ, j→∞ Thật vậy, đặt z¯k = PC (ξ k − λG(ξ k )), v ∗ = (µ − 1)(x∗ ), v k = (µ − 1)(¯ z k ) Vì Skj (ξ kj ) = ξ kj x∗ = PC (x∗ − λG(x∗ )) nên ta có (1 − αkj )(ξ kj − z¯kj ) + αkj (ξ kj + v kj ) = (1 − αkj )[I − PC (· − λG(·))](x∗ ) + αkj (x∗ + v ∗ ) = αkj (x∗ + v ∗ ) Khi đó, −αkj x∗ +v ∗ , ξ kj −x∗ = (1−αkj ) ξ kj −x∗ −(¯ z kj −x∗ ), ξ kj −x∗ +αkj ξ kj −x∗ +v kj −v ∗ , ξ kj −x∗ (11) Theo bất đẳng thức Schwarz, ta có ξ kj − x∗ − (¯ z kj − x∗ ), ξ kj − x∗ ≥ ξ kj − x∗ ≥ ξ kj − x∗ − ξ kj − x∗ − z¯kj − x∗ = 0, ξ kj − x∗ (12) ξ kj − x∗ + v kj − v ∗ , ξ kj − x∗ ≥ ξ kj − x∗ ≥ ξ kj − x∗ − (1 − τ ) ξ kj − x∗ 2 − v kj − v ∗ ξ k j − x∗ = τ ξ k j − x∗ (13) Kết hợp (11), (12) (13), ta −τ ξ kj −x∗ ¯ ∗ ≥ µ x∗ , ξ kj −ξ¯ ≥ x∗ +v ∗ , ξ kj −x∗ ) = µ x∗ , ξ kj −x∗ = µ x∗ , ξ kj −ξ¯ +µ x∗ , ξ−x Vậy τ ξ kj − x∗ ≤ µ x∗ , ξ¯ − ξ kj Cho j → ∞, dãy {ξ kj } hội tụ mạnh đến x∗ Khi đó, tồn dãy {ξ kj } dãy {ξ k } thỏa mãn ≤ lim inf ξ k − x∗ ≤ lim sup ξ k − x∗ = lim ξ kj − x∗ = k→∞ k→∞ j→∞ Vậy, dãy {ξ k } hội tụ mạnh đến điểm x∗ ∈ Ω Mặt khác, theo (9), ta xét xk − ξ k ≤ xk − ξ k−1 + ξ k−1 − ξ k = Sk−1 (xk−1 ) − Sk−1 (ξ k−1 ) + ξ k−1 − ξ k ≤ (1 − αk−1 τ ) xk−1 − ξ k−1 + ξ k−1 − ξ k (14) Từ đánh giá ξ k−1 − ξ k = Sk−1 (ξ k−1 ) − Sk (ξ k ) = (1 − αk )¯ z k − αk v k − (1 − αk−1 )¯ z k−1 + αk−1 v k−1 = (1 − αk )(¯ z k − z¯k−1 ) − αk (v k − v k−1 ) + (αk−1 − αk )(¯ z k−1 + v k−1 ) ≤ (1 − αk ) z¯k − z¯k−1 + αk v k − v k−1 + |αk−1 − αk |µ z¯k−1 ≤ (1 − αk ) z¯k − z¯k−1 + αk |1 − µ| ξ k − ξ k−1 + |αk−1 − αk |µ z¯k−1 , ta suy αk τ ξ k−1 − ξ k ≤ |αk−1 − αk |µ z¯k−1 , hay ξ k − ξ k−1 ≤ µ|αk−1 − αk | z¯k−1 αk τ (15) Thay (15) vào (14), ta xk − ξ k ≤ (1 − αk−1 τ ) xk−1 − ξ k−1 + µ|αk−1 − αk | z¯k−1 αk τ Đặt δk = µ|αk − αk+1 | z¯k , αk αk+1 τ k ≥ Khi xk − ξ k ≤ (1 − αk−1 τ ) xk−1 − ξ k−1 + αk−1 τ δk−1 ∀k ≥ Vì dãy {¯ z k } bị chặn, giả sử z¯k ≤ M với k ≥ 0, ta có µ|αk − αk+1 | z¯k µM 1 ≤ lim − = k→∞ αk αk+1 τ τ k−→∞ αk+1 αk lim δk = lim k→∞ (16) Do đó, theo Bổ đề 2.2 suy lim xk − ξ k = k→∞ Mặt khác, theo chứng minh trên, dãy {ξ k } hội tụ mạnh đến nghiệm x∗ , suy dãy {xk } hội tụ mạnh đến nghiệm x∗ toán (3) http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Y Censor, A Gibali, S Reich, "The subgradient extragradient method for solving variational inequalities in Hilbert space", J Optim Theory Appl., 148(2), pp 318–335, 2011 [2] R Glowinski, Numerical Methods for Nonlinear Variational Problems, Springer, New York, NY, 1984 [3] K Goebel, W.A Kirk, Topics on metric fixed point theory, Cambridge University Press, Cambridge, England, 1990 [4] P Jaillet, D Lamberton, B Lapeyre, “Variational Inequalities and the Pricing of American Options”, Acta Applicandae Mathematica, 21, pp 263–289, 1990 [5] D Kinderlehrer, and G Stampacchia, An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, New York, NY, 1980 [6] R Kraikaew, S Saejung, "Strong convergence of the Halpern subgradient extra-gradient method for solving variational inequalities in Hilbert spaces", J Optim Theory Appl., 163(2), pp 399–412, 2014 [7] Y.V Malitsky, "Projected reflected gradient methods for monotone variational inequalities.", SIAM J Optim., 25(1), pp 502–520, 2015 [8] H.K Xu, "Iterative algorithms for nonliner operators", J London Math Soc., 66, pp 240–256, 2002 [9] I Yamada, "The hybrid steepest descent method for the variational inequality problem over the variational inequality problem over the intersection of fixed point sets of nonexpansive mappings", In inherently parallel algorithm for feasibility and optimization and their applications edited by: D Butnariu, Y Censor, and S Reich, Elsevier., 473–504, 2001 [10] E Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and Its Applications, III: Variational Methods and Applications, Springer, New York, 1985 176 http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn ... Nhiều phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân xây dựng, phương pháp chiếu đóng vai trò quan trọng đơn giản thuận lợi q trình tính tốn (xem [1, 6, 7]) Bài tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ tốn tìm. .. báo này, đề xuất phương pháp lặp giải toán (2) trường hợp C tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân (1), nghĩa tìm phần tử x∗ ∈ ΩG cho x∗ ≤ x ∀x ∈ ΩG (3) Ký hiệu Ω tập nghiệm toán (3) Giả thiết... ΩG tập nghiệm toán (1) Bài toán bất đẳng thức biến phân (1) giới thiệu lần vào năm 1966 Philip Hartman Guido Stampacchia công bố nghiên cứu bất đẳng thức biến phân liên quan đến việc giải toán