Phương pháp lặp giải bài toán biên hai điểm cho phương trình và hệ phương trình vi phân cấp bốn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - NGÔ THỊ KIM QUY PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - NGƠ THỊ KIM QUY PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TỐN BIÊN HAI ĐIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62 46 01 12 Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Đặng Quang Á PGS.TS Hà Tiến Ngoạn HÀ NỘI – 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu tơi với hướng dẫn khoa học GS.TS Đặng Quang Á PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Những kết trình bày luận án mới, trung thực chưa công bố cơng trình khác, kết thực nghiệm kiểm tra chương trình tơi thiết kế kiểm thử mơi trường Matlab, số liệu hoàn toàn trung thực Các kết công bố chung cán hướng dẫn đồng tác giả cho phép sử dụng luận án Nghiên cứu sinh Ngô Thị Kim Quy i LỜI CẢM ƠN Trước hết, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, GS TS Đặng Quang Á PGS TS Hà Tiến Ngoạn Em vô biết ơn giúp đỡ tận tình, quý báu mà Thầy dành cho em suốt trình thực luận án Các Thầy quan tâm, dẫn dìu dắt em Chính nhờ động viên Thầy nghiêm khắc khoa học, Thầy giúp em cố gắng hơn, vượt qua khó khăn, vất vả để hồn thành luận án Em xin chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp q báu Thầy Cơ cán nghiên cứu giúp em suốt trình học tập hoàn thành luận án Trong thời gian qua, Viện Công nghệ thông tin, Học viện Khoa học Công nghệ tạo điều kiện thuận lợi thường xuyên có lời động viên, nhắc nhở giúp em thực tốt cơng việc nghiên cứu Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn đến lãnh đạo Trường Đại học Kinh tế Quản trị Kinh doanh, Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm Khoa Khoa học bản, lãnh đạo Bộ mơn Tốn tồn thể giáo viên Bộ môn, bạn bè đồng nghiệp, gia đình người thân ln động viên khuyến khích, giúp đỡ tơi suốt q trình nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn! ii Danh sách hình vẽ 2.1 Công bội thực tế r(k) (trái) số nghiệm xấp xỉ (phải) Ví dụ 2.1 42 2.2 Công bội thực tế r(k) (trái) số nghiệm xấp xỉ (phải) Ví dụ 2.2 44 2.3 Đồ thị ek Ví dụ 2.4 với N = 100 54 2.4 Đồ thị ek Ví dụ 2.5 56 2.5 Đồ thị nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.5 56 2.6 Đồ thị ek Ví dụ 2.6 57 2.7 Đồ thị nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.6 58 2.8 Đồ thị nghiệm xấp xỉ Ví dụ 2.8 73 3.1 Đồ thị ek Ví dụ 3.1 với N = 100 92 3.2 Đồ thị nghiệm xấp xỉ Ví dụ 3.2 94 3.3 Đồ thị nghiệm xấp xỉ Ví dụ 3.3 95 3.4 Đồ thị ek Ví dụ 3.4 với N = 100 114 3.5 Đồ thị nghiệm xấp xỉ Ví dụ 3.5 115 3.6 Đồ thị nghiệm xấp xỉ Ví dụ 3.6 117 iii Danh sách bảng 2.1 Sự hội tụ phương pháp lặp Ví dụ 2.4 54 2.2 Sự hội tụ phương pháp lặp Ví dụ 2.7 71 3.1 Sự hội tụ phương pháp lặp Ví dụ 3.4 113 iv Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mở đầu Chương Kiến thức bổ trợ 12 1.1 Một số định lý điểm bất động 12 1.1.1 Định lý điểm bất động Banach phương pháp lặp 13 1.1.2 Định lý điểm bất động Brouwer 15 1.1.3 Định lý điểm bất động Schauder 15 1.2 Phương pháp đơn điệu giải toán biên phương trình vi phân 17 1.3 Hàm Green số toán 20 1.4 Phương pháp số giải phương trình vi phân 25 Chương Phương pháp lặp giải toán biên phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn 29 2.1 Bài toán biên phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ 30 2.2 Bài tốn biên phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn đầy đủ 45 2.2.1 Trường hợp điều kiện biên dạng gối-tựa đơn giản 45 2.2.2 Trường hợp điều kiện biên dạng ngàm-tự 58 Chương Phương pháp lặp giải toán biên hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn 75 3.1 Bài tốn biên hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn không đầy đủ 75 v 3.2 Bài tốn biên hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn đầy đủ 96 Kết luận chung 119 Danh mục công trình tác giả liên quan đến luận án 121 Tài liệu tham khảo vi 122 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết luận án Nhiều toán vật lý, học số lĩnh vực khác thơng qua mơ hình hóa tốn học dẫn đến việc giải tốn biên phương trình vi phân với điều kiện biên khác Có thể chia phương trình vi phân cấp bốn thành hai dạng: phương trình vi phân cấp bốn khơng đầy đủ phương trình vi phân cấp bốn đầy đủ Phương trình vi phân cấp bốn mà hàm vế phải chứa ẩn hàm chứa đầy đủ đạo hàm cấp (từ cấp đến cấp ba) gọi phương trình vi phân cấp bốn đầy đủ Ngược lại, phương trình gọi phương trình vi phân cấp bốn khơng đầy đủ Bài tốn biên phương trình vi phân thu hút quan tâm nhà khoa học nhự Alve, Amster, Bai, Li, Ma, Feng, Minhós, Một số nhà tốn học học Việt Nam, Đặng Quang Á, Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Văn Đạo, Nguyễn Đông Anh, Lê Xuân Cận, Nguyễn Hữu Công, Lê Lương Tài, nghiên cứu phương pháp giải tốn biên cho phương trình vi phân Chẳng hạn, kết liên quan đến phương trình vi phân thường phi tuyến tác giả Đặng Quang Á cộng công bố [14], [15], [16], Tác giả Phạm Kỳ Anh đề xuất phương pháp lặp Seidel-Newton giải toán biên hai điểm x(n) + f (t, x, x , , x(n) ) = 0; x(i) (0) = x(i) (1); i = 0, n − 1, (0.0.1) tốn biên nhiều điểm cho phương trình vi phân thường, (xem [5]- [7]) Hướng nghiên cứu nghiệm tuần hồn tốn biên cho phương trình vi phân phi tuyến số tác giả Liên Xô cũ xét đến sách [45] tác giả Samoilenko Trong số phương trình vi phân phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn quan tâm nhiều thời gian gần mơ hình tốn học nhiều tốn học Dưới điểm qua số tốn biên phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn Đầu tiên, xét toán dầm đàn hồi mơ tả phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn dạng u(4) (x) = f (x, u(x), u (x)) (0.0.2) u(4) (x) = f (x, u(x), u (x)) (0.0.3) u độ võng dầm, ≤ x ≤ L Các điều kiện biên hai đầu dầm cho phụ thuộc vào ràng buộc tốn Đã có số kết nghiên cứu định tính tốn biên phương trình vi phân tồn tại, tính tính dương nghiệm Đáng ý phải kể đến báo Alves cộng [2], Amster cộng [3], Bai cộng [8], Li ([25]-[27]), D Ma X Yang [35], R Ma cộng [31], T F Ma ([32]-[34]), , phương pháp nghiệm nghiệm dưới, phương pháp biến phân, định lý điểm bất động sử dụng Trong báo này, điều kiện tính bị chặn hàm vế phải f (x, u, v) bậc tăng trưởng vơ khơng thể thiếu Để cụ thể hơn, ta xét tốn mơ tả độ võng dầm đàn −2 10 −4 10 −6 10 e(count)−axis −8 10 −10 10 −12 10 −14 10 −16 10 −18 10 count−axis 10 12 Hình 3.4: Đồ thị ek Ví dụ 3.4 với N = 100 lặp liên tiếp giảm nhanh theo tốc độ cấp số nhân Trong ví dụ tiếp theo, nghiệm xác tốn (3.2.1)-(3.2.2) chưa biết Ví dụ 3.5 Xét toán  e−v e−v u  (4)  − uu − − , 0