bài toán biên hai điểm cho phương trình vi phân hàm tuyến tính cấp một

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Thị Thúy Hằng BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH CẤP MỘT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Thị Thúy Hằng BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH CẤP MỘT Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN ANH TUẤN Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin trân trọng gửi đến PGS.TS - Thầy Nguyễn Anh Tuấn, trưởng khoa Toán – Tin trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh lời cảm ơn sâu sắc Thầy tận tình hướng dẫn giúp đỡ suốt trình hoàn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn quý Thầy Cô Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ dành thời gian, công sức để đọc luận văn cho nhận xét quý báu, giúp hoàn thành tốt luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến quý Thầy Cô Bộ môn Toán Khoa Toán – Tin trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, trường Đại học Khoa học Tự Nhiên, trường Đại học Quốc Tế - Đại học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy truyền đạt kiến thức cho suốt thời gian năm Đại học năm Sau Đại học trường Tôi xin cảm ơn Thầy Cô Phòng Sau Đại học trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi giúp hoàn thành khóa học Sau cùng, xin gửi lòng biết ơn sâu sắc đến bạn bè, đồng nghiệp giúp đỡ tôi, xin gửi tất lòng yêu thương lời cảm ơn chân thành đến gia đình tôi, chỗ dựa cho mặt dành điều kiện tốt để học tập hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng nhiều kiến thức thân hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận dẫn quý Thầy Cô đóng góp chân thành bạn đọc luận văn Xin chân thành cảm ơn Tp HCM, tháng năm 2012 Tác giả Lê Thị Thúy Hằng MỤC LỤC Trang MỤC LỤC MỞ ĐẦU .3 MỘT SỐ KÍ HIỆU CHƯƠNG 1: TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH CẤP MỘT 1.1 Sự tồn tính nghiệm toán biên không địa phương cho phương trình vi phân hàm tuyến tính cấp 1.2 Xấp xỉ nghiệm toán biên không địa phương cho phương trình vi phân hàm tuyến tính cấp 22 1.3 Số chiều tập hợp nghiệm phương trình 30 1.4 Ví dụ 40 Chương 2: MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH CẤP MỘT 46 2.1 Tính giải nghiệm toán biên hai điểm cho phương trình vi phân hàm tuyến tính cấp 46 2.2 Tính nghiệm toán biên cho phương trình vi phân hàm tuyến tính cấp 62 2.3 Tính giải toán biên cho phương trình vi phân đối số lệch 66 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA LUẬN VĂN 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO 76 MỞ ĐẦU Lý thuyết toán biên cho phương trình vi phân đời từ kỷ XVIII Đến nay, môn phát triển mạnh mẽ nhờ ứng dụng khoa học, sống ngành khoa học kĩ thuật khác học, khí, vật lý, nông nghiệp, sinh học, kinh tế… Trong năm từ 1995 đến 2003, toán biên cho phương trình vi phân hàm tuyến tính nghiên cứu nhiều tác E Bravyi, R.Hakl, I Kiguradze B Puza, A.Lomtatidze, Z Oplustil, J Sremr…trong công trình [1], [2], [4], [5], [7], [8], [10] I Kiguradze B Puza nghiên cứu toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính sau: u '(t )  (u )(t )  q(t ) h u   c     : C a, b  ;   L a, b  ;     toán tử tuyến tính bị chặn mạnh   h : C a, b  ;    phiếm hàm tuyến tính bị chặn, q  L a, b  ;  , c   Song giả thiết  toán tử tuyến tính bị chặn kết chưa giải Vì chọn đề tài làm nội dung nghiên cứu luận văn nhằm học tập phát triển đề tài theo hướng tác giả Luận văn tập trung nghiên cứu vấn đề tồn tính nghiệm, xấp xỉ nghiệm toán đặt trường hợp  toán tử tuyến tính bị chặn áp dụng xét số lớp toán biên với điều kiện biên dạng hai điểm Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương 1: Trong chương này, trình bày lại định lí tồn nghiệm, xấp xỉ nghiệm toán biên cho phương trình vi phân hàm tuyến tính cấp trường hợp  toán tử tuyến tính bị chặn Chương 2: Trong chương này, sử dụng kết trình bày chương để xét tồn tính nghiệm toán biên hai điểm cho phương trình vi phân hàm tuyến tính cấp Từ kết này, trình bày số điều kiện đủ để toán: u '(t )  (u )(t )  q(t ) h u   c có nghiệm trường hợp toán tử  phiếm hàm h có biểu diễn dạng: h  h   h  , với h  , h   PFab ,      , với  ,   Pab Cuối cùng, áp dụng kết cho phương trình vi phân đối số lệch cấp có dạng: u '(t )  p(t )u t(t )  q(t ) h(u )  c Luận văn tài liệu tham khảo cho sinh viên năm cuối học viên cao học ngành Toán nghiên cứu tính giải toán biên cho phương trình vi phân hàm tuyến tính cấp MỘT SỐ KÍ HIỆU Trong luận văn này, trình bày tập hợp  tập hợp số tự nhiên khác  : tập hợp số thực    0;  Với x  , ta có: Phần nguyên x , kí hiệu x    xx x       , x   xx   C a, b  ,  : không gian Banach hàm liên tục u : a, b    với chuẩn u C    max u(t ) : t  a, b        C a, b  ,    u  C a, b  ,  : u(t )  0, t  a, b     a, b  ,  : tập hợp hàm liên tục tuyệt đối u : a, b    C     L a,b  ,  : không gian Banach hàm khả tích Lebesgue p : a, b    với b chuẩn p L L   p(s )ds a a,b  ,    p  L a,b  ,  : p(t )  0, t  a, b   mesA : độ đo Lebesgue tập hợp A M ab : tập hợp hàm đo t : a, b   a, b      L ab : tập hợp toán tử tuyến tính bị chặn  : C a, b  ,   L a, b  ,     Lab ta có chuẩn   sup (n ) : n L C  1  : tập hợp toán tử tuyến tính bị chặn mạnh nghĩa là: với toán tử tuyến L ab   tính , tồn h  L a, b  ,   cho: (n )(t )  h(t ) n , với t  a, b  , n  C C a,b  ,  Pab : tập hợp toán tử tuyến tính không âm gồm toán tử  ánh xạ từ tập     hợp C a, b  ,   vào tập hợp L a, b  ,     PFab : tập hợp phiếm hàm tuyến tính bị chặn h : C a, b  ,      CHƯƠNG 1: TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH CẤP MỘT 1.1 Sự tồn tính nghiệm toán biên không địa phương cho phương trình vi phân hàm tuyến tính cấp Trên đoạn a, b  , xét toán biên cho phương trình vi phân hàm tuyến tính cấp một: u '(t )  (u )(t )  q(t ) (1.1) h(u )  c (1.2)   L ab , h : C a, b  ,    hàm tuyến tính bị chặn, q  L a, b  ,  c      a, b  ,  gọi nghiệm (1.1) u thỏa (1.1) hầu khắp nơi Hàm u  C   a, b    Nghiệm toán (1.1), (1.2) nghiệm (1.1) thỏa mãn điều kiện (1.2) Cùng với toán (1.1), (1.2) ta xét toán tương ứng sau: u '(t )  (u )(t ) h(u )  (1.1 ) (1.2 ) Từ định lí tổng quát toán biên cho phương trình vi phân hàm [1], [7],  toán tử tuyến tính bị chặn mạnh toán (1.1), (1.2) có tính [8], với   L ab chất Fredholm Cụ thể, ta có định lí sau: Định lí 1.1  Khi toán (1.1), (1.2) có Giả sử  toán tử tuyến tính bị chặn mạnh,   L ab nghiệm toán tương ứng (1.10 ) , (1.20 ) có nghiệm tầm thường Trong [11], Shaefer chứng minh tồn toán tử tuyến tính bị chặn  Như vậy, câu không bị chặn mạnh, tức tồn   Lab   L ab hỏi tự nhiên đặt kết phát biểu cho lớp rộng toán tử tuyến tính bị chặn   Lab kết có hay không? Định lí 1.7 cho câu trả lời kết trường hợp  toán tử tuyến tính bị chặn Trước hết ta nhắc lại số định nghĩa bổ đề sau đây: Giả sử X không gian tuyến tính, X* không gian đối ngẫu Một dãy (x n )n X gọi hội tụ yếu tồn x  X cho lim j(x n )  j(x ) , với n  j  X * Khi đó, x gọi giới hạn yếu dãy (x n )n Tập hợp M  X gọi compăc tương đối yếu dãy M có dãy hội tụ yếu X Dãy (x n )n gọi dãy yếu với j  X * , dãy j(x n ) n dãy Không gian X gọi hoàn toàn yếu dãy yếu X có giới hạn yếu X Cho X, Y không gian Banach, T : X  Y tử tuyến tính bị chặn Toán tử T gọi liên tục hoàn toàn yếu ảnh cầu đơn vị X tập compăc tương đối yếu Y Định nghĩa 1.2: Tập hợp M  L a, b  ,  có tính chất liên tục tuyệt đối theo tích phân với e  , tồn d  cho với tập đo E  a, b  thỏa mãn   mesA  d ta có:  p(s )ds  e, p  M E Sau vài kết từ [3]: 62 1  h (1)   l    l  h0 (1)  h1 (1),  h0 (1)  l  h1 (1) Khi đó, toán (2.1), (2.2) có nghiệm  Bây giờ, l  điều kiện biên (2.2) ta có toán: u '(t )  (u )(t )  q(t ) u(a )  h0 (u )  h1 (u )  c (2.33) Từ định lí 2.1, ta có hệ sau: Hệ 2.6 Giả sử h0 (1)   h1 (1), thỏa mãn hai điều kiện sau:    h0 (1)  h1 (1) ,    h1 (1)   h0 (1)   , hoặc:  h0 (1)  h1 (1)       h1 (1)  h0 (1)  h1 (1)   h0 (1)  h1 (1) , Khi đó, toán (2.33) có nghiệm Chứng minh Suy ta từ định lí 2.1 với l  2.2 Tính nghiệm toán biên cho phương trình vi phân hàm tuyến tính cấp Trong chương 1, thiết lập điều kiện cần đủ để toán (1.1), (1.2) có nghiệm toán tương ứng (1.1 ), (1.2 ) có nghiệm tầm thường Trong phần này, áp dụng kết trình bày mục 2.1 để nghiên cứu số điều kiện đủ để toán (1.1), (1.2) có nghiệm toán tử  phiếm hàm tuyến tính h có biểu diễn dạng: 63 h  h   h  , với h  , h   PFab ,      , với  ,   Pab Khi đó, toán (1.1), (1.2) có dạng sau: u '(t )   (u )(t )   (u )(t )  q(t ) (1.1) h  (u )  h (u )  c (1.2) q  L a, b  ,  c   Định lí 2.7 Giả sử h(1)  thỏa mãn điều kiện sau:   h  (1)   h(1), h  (1)     h(1) Khi đó, toán (1.1), (1.2) có nghiệm Chứng minh Ta xây dựng hàm h0 , h1 sau: h0 (n )  n(a )  h (n ) h1 (n )  h  (n )   , n  C a, b  ,  Khi đó, toán (1.1), (1.2) tương đương với toán sau đây: u '(t )   (u )(t )   (u )(t )  q(t )  h (u )  h  (u )  c Theo hệ 2.5, toán (1.1), (1.2) có nghiệm với giả thiết: 0   0 h0 (1) ,  h1 (1)  h1 (1)    h0 (1)  h1 (1) Theo cách đặt ý đến giả thiết h(1)  0, ta có:  h (1) ,  h  (1)  h  (1)   h  (1)  h (1) 0   0 64   hay  h  (1)   h  (1)  h (1),   h  (1)   h  (1)  h (1) Vì h  h   h  nên 1  h   (1)   h(1),   h  (1)   h(1) Mặt khác, theo ý 2.2 ta có toán (2.1), (2.2) có nghiệm toán u '(t )  1 (u)(t )   (u)(t )  q(t ) u(a )  h (u)  h (u)  c (2.27) có nghiệm Theo hệ 2.5, toán (2.27) có nghiệm với giả thiết:      h (1) ,   h (1)   h (1)   h (1)  h(1) hay  1  h (1) , 1  h  (1)   h  (1)   h  (1)  h (1) Do 1  h   (1)   h(1)   h  (1)   h(1) Kết hợp hai trường hợp ta có toán (1.1), (1.2) có nghiệm thỏa mãn điều kiện:   h  (1)   h(1), h  (1)     h(1) 65 Ta có điều phải chứng minh  Định lí 2.8 Giả sử h(1)  thỏa mãn điều kiện sau:   h (1)   h(1) , h (1)     h(1) Khi đó, toán (1.1), (1.2) có nghiệm Chứng minh Theo định lí 1.7 chương ta có toán (1.1), (1.2) có nghiệm với   q  L a, b  ,  c   toán (1.1 ), (1.2 ) có nghiệm tầm thường Theo ý 2.2 toán (1.1 ), (1.2 ) có nghiệm tầm thường toán: n '(t )  (u )(t ) h(n )  có nghiệm tầm thường, nghĩa toán: n '(t )  (u )(t )  q(t ) h(n )  c   có nghiệm với q  L a, b  ,  c   Ta có h(1)  nên h(1)  Theo định lí 2.7 toán có nghiệm với điều kiện:   h (1)   h(1), h (1)     h(1) Do đó, toán (1.1), (1.2) có nghiệm với điều kiện:   h (1)   h(1) , h (1)     h(1) Định lí chứng minh  66 2.3 Tính giải toán biên cho phương trình vi phân đối số lệch Trong mục dựa vào kết trình bày để thiết lập tính giải toán biên cho phương trình vi phân đối số lệch cấp có dạng: u '(t )  p(t )u t(t )  q(t ) (2.34) h(u )  c (2.35)   p, q  L a, b  ,  , t : a, b   a, b  hàm đo Đặt: t (s ) p0 (t )  s(t )  p(t )  t (t )  t  p(s ) e    t   1  s(t )  p(t )  p1 (t )  s(t )  p(t )   t  t (t ) t  t (t )  p(s ) e    1  s(t )  p(t )    t (t ) t  t (t )  t p ( x )d x ds t ds  p(s ) e     p ( x )d x ds , h.k.n t  a, b  t t (s )  t (s ) p ( x )d x ds  s(t )  p(t )  t  p(s ) e     p(s ) e    t (t )  t  p(s ) e    p ( x )d x ds t t (s )  p ( x )d x ds , h.k.n t  a, b  t 1  sign t(t )  t  , h.k.n t  a, b     p(s ) e   p ( x )d x t t (s ) t t (t ) t (s )  p(s ) e    1  s(t )  p(t )  s(t )  ds  s(t )  p(t )  t t (s )  1  s(t )  p(t ) t (t )  t (s ) p ( x )d x  Hơn nữa, với h  , h   PFab , ta kí hiệu:       p(s )ds    p(s )ds  , m  h  e a  m  h  e a              t p ( x )d x ds 67 Định lí 2.9 Giả sử h  h   h  h  , h   PFab , m  m thỏa mãn điều kiện: b b  p (s )ds  m  p (s )ds  m a b a b a a  m1, m  p0 (s )ds   p1 (s )ds  m  m , với p0 , p1 , m , m xác định Khi đó, toán (2.34), (2.35) có nghiệm Chứng minh Theo định lí 1.7, để chứng minh toán (2.34), (2.35) có nghiệm ta cần chứng minh toán tương ứng: u '(t )  p(t )u t(t ) (2.34 ) h(u )  (2.35 ) có nghiệm tầm thường Giả sử u nghiệm tùy ý (2.34 ), (2.35 ) Ta chứng minh u nghiệm tầm thường Thật vậy, đặt ,h xác định bởi: t (s ) t (t ) (w )(t )  p(t )  p(s )e  p (z )d z t t   w t(s )ds, h.k.n t  a, b  , w  C a, b  ,  ,   p (s )ds      , w  C h(w )  h w(.)e a     a, b  ,  toán: n '(t )  (n )(t ) h(n )  có nghiệm hàm n xác định bởi: (2.36) 68 t n(t )  u(t )e   p(s )ds a , t  a, b   Kiểm tra n nghiệm toán (2.36) Ta có: t n (t )  u (t )e   p(s )ds a  t    p(s )ds   ,  u(t )e a      t n (t )  p(t )u t(t )e   p(s )ds a t   p(t )u(t )e  p(s )ds a (2.37) Mặt khác, t (s )  t (t ) (n )(t )  p(t )  p(s )e p (z )d z t t n t(s )ds t (s ) t (t )  p(t )  p(s )e  t t (s ) p (z )d z u t(s )e t t (t )  p(t )    p (z )d z a ds t  p(z )dz p(s )u t(s )e a ds  t t   p(z )dz  t(t ) a (n )(t )  p(t )e   p(s )u t(s )ds   t   Nếu lấy tích phân hai vế (2.34 ) ta được: t (t ) t (t ) t t  u '(s )ds   p(s )u t(s )ds, t (t ) u t(t )  u(t )   p(s )u t(s )ds t Kết hợp với (2.38) ta được: t (n )(t )  p(t )e   p(z )dz a u t(t )  u(t )   (2.38) 69 t hay (n )(t )  p(t )u t(t )e   p(s )ds a t  p(t )u(t )e   p(s )ds a (2.39) Từ (2.38), (2.39) ta suy ra: n '(t )  (n )(t ) Ta lại có:       p (s )ds  p (s )ds  p (s )ds          h u(.)e a   h(u )  h(n )  h n(.)e a e a           Vậy n nghiệm toán (2.36)  Chứng minh toán (2.36) thỏa điều kiện định lí 2.7 Toán tử  biểu diễn dạng      ,  ,   Pab   cho  (1)  p0 ,  (1)  p1 hàm h có biểu diễn h  h  h ,     h , h  PFab với h (1)  m , h (1)  m Khi đó, giả thiết định lí trở thành: b  a  b     (1)(s )ds  h (1)  (1)(s )ds  h (1)  h (1), b a b a a   h (1)  (1)(s )ds    (1)(s )ds  h (1)  h (1), hay    h (1)   h(1),  h (1)     h(1) Do đó, theo định lí 2.7 toán không tương ứng có nghiệm nên toán (2.36) có nghiệm tầm thường t Vì n(t )  u(t )e   p(s )ds a , t  a, b  nên u  Vậy toán (2.34 ), (2.35 ) có nghiệm tầm thường Định lí chứng minh  70 Hoàn toàn tương tự chứng minh định lí 2.9 sử dụng định lí 2.8 ta có định lí sau: Định lí 2.10 Giả sử h  h   h  h  , h   PFab , m  m thỏa mãn điều kiện: b b  p (s )ds  m  p (s )ds  m a 1 b a b a a  m 0, m  p0 (s )ds   p1 (s )ds  m  m , với p0 , p1 , m , m xác định Khi đó, toán (2.34), (2.35) có nghiệm Chú ý 2.11 1) Từ kết định lí 2.9, định lí 2.10 tính nghiệm phương trình vi phân đối số lệch xét trường hợp đặc biệt toán (1.1), (1.2) phương trình vi phân thường: u '  p(t )u  q(t ) h(u )  c p, q  L a, b  , , c   Theo định lí 2.9, định lí 2.10, toán có nghiệm m  m tức         p(s )ds    p(s )ds    p(s )ds    h  e a  , h  h   h  nên h e a   h  e a                    71 2) Ta có số minh họa hình học điều kiện định lí 2.1, định lí 2.3, định lí 2.7, định lí 2.8: 1 y2 y1 x1 x1 =− h0 (1) − ( λ + h1 (1) ) x2 = x2 0 + λ − h0 (1) + h1 (1) + λ + h1 (1) y1 =1 + λ + h1 (1) y2 =1 − λ − h1 (1) + − h0 (1) Hình 1: Minh họa hình học điều kiện định lí 2.1 72 1 y2 y1 x1 = + 1− x2 = x1 x2 + h1 (1) 0 λ + h1 (1) λ + 1− λ h0 (1) + h1 (1) 1 − h0 (1) − y1 = λ λ + λ − h0 (1) + h1 (1) y2 = λ + h1 (1) Hình 2: Minh họa hình học điều kiện định lí 2.3 73 1 1 h(1) h (1) h(1) h (1) h(1) h(1)  h (1) h(1) h (1) 0 h(1)   h (1) h(1) h (1) 0 Hình 3: Minh họa hình học điều kiện định lí 2.7, định lí 2.8 74 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA LUẬN VĂN Trong luận văn này, trình bày vấn đề lý thuyết toán biên cho phương trình vi phân hàm tuyến tính cấp Các kết luận văn trích dẫn từ tài liệu tham khảo [4], [10] Cụ thể xét tồn nghiệm, xấp xỉ nghiệm toán (1.1), (1.2) trường hợp  toán tử tuyến tính bị chặn áp dụng xét lớp toán biên với điều kiện biên dạng hai điểm (2.1), (2.1) với l  Trường hợp l  trình bày [9] (có thể xem thêm luận văn học viên Nguyễn Thị Ngọc Bích, Lớp Giải Tích Khóa 19) Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương 1: Luận văn trình bày lại định lí tồn tính nghiệm toán (1.1), (1.2) Các kết chương định lí 1.7, 1.10, 1.13; đó, định lí 1.7 phát biểu điều kiện cần đủ để toán (1.1), (1.2) có nghiệm toán tương ứng có nghiệm tầm thường Từ điều kiện đó, xây dựng tính xấp xỉ nghiệm toán (1.1), (1.2) định lí 1.14 Mặt khác, định lí 1.7 sở để chứng minh kết chương Trong chương 1, mục 1.3, chứng minh số chiều tập hợp nghiệm phương trình tương ứng hữu hạn qua định lí 1.17 Hơn nữa, nêu điều kiện cần đủ để số chiều tập hợp 1, kết định lí 1.21 Trong phần này, trình bày hai ví dụ minh họa cho kết Chương 2: Luận văn sử dụng kết trình bày chương để xét tính giải nghiệm toán (1.1) thỏa điều kiện biên hai điểm (2.2) Các kết trình bày định lí 2.1, 2.3 Trong mục 2.2, áp dụng kết trình bày mục 2.1 để nghiên cứu số điều kiện đủ để toán (1.1), (1.2) có nghiệm trường hợp toán tử  phiếm hàm h có biểu diễn dạng: h  h   h  , với h  , h   PFab , 75      , với  ,   Pab Các kết trình bày định lí 2.7, 2.8 Trong mục 2.3, áp dụng kết xét tính giải toán biên cho phương trình vi phân đối số lệch cấp có dạng: u '(t )  p(t )u t(t )  q(t ) h(u )  c Từ kết trình bày luận văn, xét toán biên hai điểm cho phương trình vi phân hàm tuyến tính cấp một, câu hỏi đặt số chiều tập hợp nghiệm phương trình tương ứng nào? Hơn nữa, thời gian có hạn nên chưa nghiên cứu tính xấp xỉ nghiệm kết toán biên hai điểm cho phương trình vi phân hàm tuyến tính bậc cao Do đó, thông qua kết đạt luận văn này, tác giả mong muốn mở rộng tiếp tục nghiên cứu vấn đề nêu Tác giả mong góp ý dẫn quý Thầy Cô hội đồng 76 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] N V Azbelev, V P Maksimov, and L F Rakhmatullina (1991), Introduction to the Theory of Functional-Differential Equations, Nauka, Moscow [2] E Bravyi (2000), A note on the Fredholm property of boundary value problems for linear functional differential equations, Mem Differential Equations Math Phys., (20), 133–135 [3] N Dunford and J T Schwartz (1958), Linear Operators I General Theory, Pure and Applied Mathematics, vol 7, Interscience Publishers, New York [4] R Hakl, A Lomtatidze, and I P Stavroulakis (2004), On a boundary value problem for scalar linear functional differential equations, Abstract and Applied Analysis, (1), 45–67 [5] J Hale (1977), Theory of functional differential equations, Springer – Verlag, New York – Heidelberg – Berlin [6] L V Kantorovich, B Z Vulih, and A G Pinsker (1950), Functional Analysis in Partially Ordered Spaces, Gosudarstv Izdat Tehn – Teor Lit., Moscow [7] I Kiguradze and B Puza (2003), Boundary value problems for systems of linear functional differential equations, Folia Faculty of Science Natural Univ Masar Brunensis, Brno [8] I Kiguradze and B Puza (1997), On boundary value problems for systems of linear functional differential equations, Czechoslovak Math J., 47, (2), 341– 373 [9] A Lomtatidze, Z Oplustil and J Sremr (2007), On a non – local boundary value problem for first order linear functional differential equations, Mem Differential Equations Math Phys., 41, 69–85 [10] Z Oplustil and J Sremr (2009), On a non – local boundary value problem for linear functional differential equations, Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, (36), 1–13 [11] H H Shaefer (1972), Normed tensor product of Banach lattics, Israel J Math, 13, 400 – 415 [...]... của bài toán biên không địa phương cho phương trình vi phân hàm tuyến tính cấp một Cùng với bài toán (1.1), (1.2), với mỗi k   , ta xét bài toán sau: u '(t )   k (u )(t )  qk (t ) (1.20) hk (u )  ck  (1.21)  trong đó  k  L ab , hk : C a, b  ,    là hàm tuyến tính bị chặn, qk  L a,b  ,  và c k   Vấn đề xấp xỉ nghiệm của bài toán biên tổng quát cho phương trình vi phân hàm. .. 1.6 ta có toán tử T xác định như trên là toán tử compăc Mặt khác, theo định lí Riesz – Schauder, ta suy ra phương trình (1.3) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình thuần nhất tương ứng: x  T (x ) (1.4) chỉ có nghiệm tầm thường Ta cũng có bài toán (1.4) tương đương với bài toán (1.10 ) , (1.20 ) theo nghĩa như trên Do đó bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi bài toán thuần... tổng quát cho phương trình vi phân hàm vi phân hàm với giả thiết ,  k là toán tử tuyến tính bị chặn mạnh đã được trình bày trong [7], [8] Trong phần này ta cũng sẽ chứng minh tính xấp xỉ nghiệm vẫn đúng trong trường hợp  là toán tử tuyến tính bị chặn Trước hết, ta có một số ký hiệu:    a, b  ,  được biểu diễn Giả sử   L ab Ký hiệu M  là tập hợp các hàm y  C   dưới dạng: t y(t )  z... )(s )ds , t  a, b  a Khi đó, T là toán tử tuyến tính và theo mệnh đề 1.6 thì T là toán tử compăc Ta có bài toán (1.1 0 ) tương đương với phương trình toán tử x  T (x ) theo nghĩa: 31  Nếu u  C a,b  ,  là nghiệm của (1.1 ) thì x  u 0 là nghiệm của phương trình x  T (x )   Và ngược lại, nếu x  C a, b  ,  là nghiệm của phương trình x  T (x ) thì    a, b  ,  và u... thì bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất  Bây giờ giả sử bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất Theo định lí 1.7 ta có bài toán (1.10 ) , (1.20 ) chỉ có nghiệm tầm thường Ta sẽ chứng minh tồn tại k , m   sao cho lk  0 và thỏa mãn (1.16) Xét bài toán: u '(t )  (u )(t ) (1.1 0 ) u(t0 )  1 (1.17) Theo giả thiết của định lí ta có   Lab là toán tử t0 - Volterra nên theo hệ quả 1.12 thì bài toán. .. thuẫn với cách chọn t0 Do đó ua , ut độc lập 0 tuyến tính Điều này mâu thuẫn với giả thiết dim U  1 0 32 Do đó bài toán (1.1 0 ), (1.33) chỉ có nghiệm tầm thường  Điều kiện cần Dùng phản chứng, giả sử tồn tại z  a, b  sao cho bài toán (1.1 0 ), (1.33) chỉ có   nghiệm tầm thường và dim U  2 Gọi u1 , u2  U là nghiệm độc lập tuyến tính của bài toán thuần nhất Hiển nhiên: u1 (z )  0 u2 (z )... suy ra rằng nếu bài toán (1.10 ) , (1.20 ) có nghiệm không tầm     thường thì với mỗi c   , tồn tại q  L a, b  ,  hoặc với mỗi q  L a, b  ,  , tồn tại c   sao cho bài toán (1.1), (1.2) vô nghiệm 12 Định nghĩa 1.9 Toán tử tuyến tính bị chặn   Lab được gọi là toán tử t0 - Volterra nếu với   a1  a, t0  , b1  t0 , b  và u  C a, b  ,  sao cho u(t )  0 ,...  (z )(s )ds, t  a, b  , a trong đó z  C a,b  , , z C  1 Định lí được phát biểu sau đây cho ta biết các điều kiện đủ để xấp xỉ nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) Định lí 1.14 Giả sử bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất u và và dãy toán tử  k  L ab , các   hàm tuyến tính bị chặn hk : C a, b  ,    thỏa mãn điều kiện: 23  t       sup     k (y )(s )  (y... toàn yếu Bổ đề 1.4 (định lý VI. 7.6)  Toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian C a, b  ,   vào không gian Banach hoàn toàn yếu là toán tử liên tục hoàn toàn yếu Bổ đề 1.5 (định lý IV.8.11) Nếu tập hợp M  L a, b  ,  là tập compăc tương đối yếu thì nó có tính chất liên tục tuyệt đối theo tích phân Ta có mệnh đề sau đây: Mệnh đề 1.6 Giả sử   Lab Khi đó toán tử T : C t T (n )(t ) ...   , k  1, 2, Vì e  0;1 tùy ý nên khi cho e  0 ta được lim  k  0 k  Bổ đề được chứng minh  Bây giờ ta sẽ chứng minh định lí 1.10 Theo định lý 1.7 để chứng minh bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất ta chỉ cần chứng minh bài toán thuần nhất tương ứng (1.1 0 ), (1.2 0 ) chỉ có nghiệm tầm thường    a, b  ,  là một nghiệm tùy ý của bài toán thuần nhất (1.1 ), (1.2 ) Giả sử u  C 0 ... 2: MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN HAI ĐIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH CẤP MỘT 46 2.1 Tính giải nghiệm toán biên hai điểm cho phương trình vi phân hàm tuyến tính cấp 46 2.2 Tính. .. 1: TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM TUYẾN TÍNH CẤP MỘT 1.1 Sự tồn tính nghiệm toán biên không địa phương cho phương trình vi phân hàm tuyến tính cấp. .. cho phương trình vi phân hàm tuyến tính cấp 1.2 Xấp xỉ nghiệm toán biên không địa phương cho phương trình vi phân hàm tuyến tính cấp 22 1.3 Số chiều tập hợp nghiệm phương trình