Bài viết Một phương pháp lặp giải bài toán cân bằng đơn điệu giới thiệu một phương pháp lặp mới giải bài toán cân bằng với song hàm đơn điệu. Phương pháp dựa trên phương pháp lặp của Ronald và Bruck và kỹ thuật bài toán phụ của Noor kết hợp với tính chất của ma trận đối xứng xác định dương.
M T PH NG PHÁP L P GIẢI BÀI TOÁN CÂN B NG N I U Hồ Phi Tứ Khoa Toán - KHTN Email: tuhp@dhhp.edu.vn Ngày nhận bài: 06/5/2022 Ngày PB đánh giá: 19/5/2022 Ngày duyệt đăng: 26/5/2022 TÓM TẮT: Trong báo này, giới thiệu phương pháp lặp giải toán cân với song hàm đơn điệu Phương pháp dựa phương pháp lặp Ronald Bruck kỹ thuật toán phụ Noor kết hợp với tính chất ma trận đối xứng xác định dương Thuật toán đề xuất đơn giản, nữa, giảm nhẹ giả thiết cần thiết để thu hội tụ nghiệm toán cân Cụ thể phương pháp trước thường yêu cầu điều kiện đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz song hàm Trong phương pháp chúng tơi đề xuất u cầu tính đơn điệu song hàm khơng cần tính liên tục Lipschitz Bên cạnh đó, định lý hội tụ thuật toán thiết lập chứng minh cách chi tiết báo Từ khóa: Bài tốn cân bằng; Tính đơn điệu; Kỹ thuật tốn phụ; Phương pháp lặp A ITERATIVE METHOD FOR MONOTONE EQUILIBRIUM PROBLEM ABSTRACT: In this paper, we introduces a new iterative method for solving monotone equilibrium problem The method is based on the iteration mothod of Ronald and Bruck and the auxiliary problem principle of Noor, combining the usage of symmetric and positive definite matrices The proposed algorithm is quitely simple, moreover, it simplifies the assumptions necessary in order to converge to the solution Specifically, whereas previous methods require strong monotonicity and Lipschitz-type continuous conditions Our proposed method only requires monotonicity without Lipschitz-type continuos conditions Besides that, the convergence theorem is olso established and to be proved a detail in the paper Key words: Equilibrium problem; Monotone; Auxiliary problem principle Iterative method TẠP CH KHOA H C, S 54, tháng - 2022 13 GIỚI THIỆU - Cho tập lồi, đóng, khác rỗng khơng gian R n , xét song hàm cho với Xét toán cân (Equilibrium problem) ký hiệu - Tìm ): cho - Tập nghiệm toán ký hiệu - Xét ánh xạ đa trị Tìm đẳng thức Khi đó, tốn: biến , gọi toán bất cho phân đa trị (ký hiệu ) , toán Bằng cách đặt tương đương với [15] giới thiệu lần H Nikaido K Isoda [3] - Bài toán vào năm 1955 Tuy toán phát biểu đơn giản lại bao hàm nhiều lớp tốn quan trọng thuộc nhiều lĩnh vực khác toán tối ưu, toán bất đẳng thức biến phân đa trị, đơn trị, toán điểm bất động, cân Nash, v v…[2, 9] Điều giải thích toán cân ngày nhiều người quan tâm nghiên cứu Một song hàm gọi i) Đơn điệu mạnh ii) Đơn điệu với số , nếu iii) Giả đơn điệu C , iv) Liên tục kiểu Lipschitz Dễ thấy từ Ánh xạ đa trị , gọi đơn điệu 14 với số TR NG ẠI H C HẢI PH NG với với Với metric Khi lên - Dễ thấy Với tuyến gọi phép chiếu có tính sau: gọi nón pháp ; gọi vi phân theo biến thứ Một hàm gọi nửa liên tục với , ta có TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU Các hướng nghiên cứu tốn cân bao gồm: Nghiên cứu tồn nghiệm, cấu trúc tính ổn định tập nghiệm [7, 8]; hướng thứ hai nghiên cứu thuật giải hội tụ thuật giải [13, 15]; cuối ứng dụng toán vào vấn đề thực tế đặc biệt mơ hình kinh tế [5, 6] Trong hướng nghiên cứu phương pháp giải đóng vai trị quan trọng Một số phương pháp giải đáng ý cho toán cân phương pháp điểm gần kề [13], nguyên lý toán phụ [4] đặc biệt phương pháp chiếu biến thể [14] Vào năm 1977 Ronald Bruck [10] giới thiệu phương pháp lặp đơn giản để giải toán bất đẳng thức biến phân đa trị sau: Chọn x1 Tại bước lặp , thực tính tốn Chọn ; Tính Đặt C dãy số dương ; TẠP CH KHOA H C, S 54, tháng - 2022 15 Với giả thiết tập nghiệm tốn khác rỗng, , dãy hội tụ yếu nghiệm Bài toán đơn điệu sinh thuật toán Bằng cách sử dụng mối qua hệ tương đương toán bất đẳng thức biến phân đa trị toán cân với song hàm: , với , , chúng tơi đề xuất thuật tốn lặp để giải toán cân với song hàm đơn điệu mà không cần điều kiện liên tục Lipschitz NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 3.1 Thuật tốn Bước Cho trước ma trận Chọn vuông cấp đối xứng, xác định dương Bước Giải tốn lồi mạnh Nếu Tính Bước Tính dừng, ngược lại chuyển sang Bước Bước Gán chuyển Bước 3.2 Sự hội tụ thuật toán Để chứng minh hội tụ thuật toán ta cần sử dụng tới bổ đề kỹ thuật sau Bổ đề 3.1 ([1]) Cho thức dãy số thực không âm thỏa mãn bất đẳng , Với số tự nhiên , k =1 16 TR NG ẠI H C HẢI PH NG bk + tồn Thì Bổ đề 3.2 ([11]) Cho kiện dãy số thực không âm thỏa mãn điều và Thì ta có Sự hội tụ thuật toán thể qua định lý sau Định lý 3.1 Giả sử song hàm , đơn điệu, nửa liên tục lồi theo biến thứ Khi đó, thuật tốn kết thúc bước lặp thứ toán Ngược lại, dãy nghiệm sinh Thuật tốn 1, hội tụ nghiệm Chứng minh Nếu thuật toán kết thúc điểm lặp x k với tốn [9] Do đó, ta nói nghiệm nghiệm toán Trong trường hợp ngược lại, chứng minh định lý chia làm bước sau Bước Chứng minh tồn Trong Từ , , Do đó, tồn Theo Mặt định khác, nghĩa suy hàm cho , , ta có TẠP CH KHOA H C, S 54, tháng - 2022 17 nên với , Do , , Vì Sử dụng giả thiết với Áp dụng Từ bổ đề với tính đơn điệu , ta có giả thiết với , suy tồn Lại có ma trận xác định cho Và dãy tụ , Bước chứng minh xong Nhận xét Theo Bước 1, ta có dương nên tồn , bị chặn Từ bị chặn, suy tồn dãy hội Bước Chứng minh Theo ta có Dựa vào tính đơn điệu , tức với Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức suy || x − x || − || x 18 , ta có M k j +1 − x || TR NG ẠI H C HẢI PH NG M kj i =1 j i +1 f (x , x ) + i kj i =1 i f ( x, xi ) x C , ta thu Vì vậy, Từ giả thiết song hàm lồi theo biến thứ theo định nghĩa Đặt Cho thay vào thứ ta nửa liên tục theo biến Do , ta có đối ngẫu , , sử dụng ta có Theo giả thiết nghiệm toán cân đơn điệu nên ta có Như Bước chứng minh xong Bước Chứng minh dãy hội tụ Theo giả thiết tập lồi Ký hiệu khác rỗng song hàm tồn , sử dụng đơn điệu điểm nê tập bất đẳng thức cho ta thu Vì , ta có Theo định nghĩa (6) nên TẠP CH KHOA H C, S 54, tháng - 2022 19 Kết hợp với , ta có (7) Do Từ giả thiết Vì vậy, tồn suy Kết hợp điều với dãy Do tồn giới hạn ta có Mặt khác, từ định nghĩa , với chứng minh trên, ta có với ta có || x k − u k ||2M || x k − x ||2M = || y + (1 − )u k − x k ||2M = || ( y − u k ) + (u k − x k ) ||2M = || y − u k ||2M +2 M ( y − u k ), u k − x k + || u k − x k ||2M Vì vậy, Cho ta Thay M ( z − u k ), x k − u k k Do đó, 20 TR NG ẠI H C HẢI PH NG Nhận hai vế bất đẳng thức với ta Vì , nên suy Áp dụng Bổ đề với , ta (9) Trong Tương tự ta có Kết hợp dẫn tới kết luận hội tụ , hay Suy với Giả sử cho khơng hội tụ Do dãy , Khi đó, cho Do tồn dãy dãy hội tụ thỏa mãn Vì Điều mâu thuẩn Như bị chặn nên chứa phải hội tụ Định lý hoàn toàn chứng minh K T LUẬN Trong báo tác giả đề xuất cách tiếp cận để giải toán cân Tại bước lặp , hàm toàn phương dạng chuẩn tắc tổng quát hàm tồn phương dạng , ma trận đối xứng xác định dương cấp không gian Tác giả chứng minh hội tụ thuật toán nghiệm toán cân với giả thiết đơn điệu không cần đến tính liên tục Lipschitz song hàm TẠP CH KHOA H C, S 54, tháng - 2022 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO P.N Anh, J.K Kim, L.D Muu (2012), An extragradient method for solving bilevel variational inequalities J Glob Optim 52, 627-639 G Bigi, M Castellani, M Pappalardo, M Passacantando (2013), Existence and Solution Methods for Equilibria, European J Operational Research 227: 1-11 H Nikaido, K Isoda (1955), Note on Noncooperative Convex Games, Pacific Journal of Mathematics 5: 807-815 M.A., Noor (2004), Auxiliary principle technique for equilibrium problems J Optim Theory Appl 122, 371-386 L.D Muu, N.V Quy, V.H Nguyen (2007), On Nash-Cournot Oligopolistic Market Equilibrium Models with Concave Cost Functions, J Glob Optim 41: 351-364 L.D Muu, T.D Quoc (2009), Regularization Algorithms for Solving Monotone Ky Fan Inequalities with Application to a Nash-Cournot Equilibrium Model, J Optim Theory Appl 142: 185-204 I.V Konnov: Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer (2001) I.V Konnov, D.A Dyabilkin (2011), Nonmonotone Equilibrium Problems: Coercivity Conditions and Weak Regularization, J Glob Optim 49: 575-587 A N Iusem, W Sosa (2010), On the Proximal Point Method for Equilibrium Problems in Hilbert Spaces, Optimization 59: 1259-1274 10 E Ronald, R.E Bruck (1977), On the weak convergence of an ergodic iteration for the solution of variational inequalities for monotone operators in Hilbert space J Math Anal Appl 61, 159-164 11 E Ronald, R.E Bruck,: A simple proof of the mean ergodic theorem for nonlinear contractions in Banach spaces Isr J Math 32, 107-116 (1979) 12 A Moudafi (1999), Proximal point algorithm extended to equilibrium problem J Nat Geom 15, 91-100 13 T.D Quoc, L.D Muu, V.H Nguyen (2008), Extragradient algorithms extended to equilibrium problems Optimization 57, 749-776 14 P Santos, S Scheimberg (2011), An inexact subgradient algorithm for equilibrium problems Comput Appl Math 30, 91-107 15 E Blum and W Oettli (1994), From optimization and variational inequalities to equilibrium problems, Math Stud 63, pp 123-145 22 TR NG ẠI H C HẢI PH NG ... Trong hướng nghiên cứu phương pháp giải đóng vai trị quan trọng Một số phương pháp giải đáng ý cho toán cân phương pháp điểm gần kề [13], nguyên lý toán phụ [4] đặc biệt phương pháp chiếu biến thể... Bài toán đơn điệu sinh thuật toán Bằng cách sử dụng mối qua hệ tương đương toán bất đẳng thức biến phân đa trị toán cân với song hàm: , với , , chúng tơi đề xuất thuật tốn lặp để giải toán cân. .. toán điểm bất động, cân Nash, v v…[2, 9] Điều giải thích toán cân ngày nhiều người quan tâm nghiên cứu Một song hàm gọi i) Đơn điệu mạnh ii) Đơn điệu với số , nếu iii) Giả đơn điệu C , iv) Liên