Phương pháp lặp giải bài toán về độ uốn của bản có giá đỡ Hoàng Thu Hợp.

i Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THU HỢP PHƢƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN VỀ ĐỘ UỐN CỦA BẢN CÓ GIÁ ĐỠ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. VŨ VINH QUANG THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 ii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận đƣợc sự động viên đóng góp nhiệt tình từ các thầy cô giáo của trƣờng ĐHKH – Đại học Thái Nguyên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo. Đặc biệt tôi gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS. Vũ Vinh Quang là ngƣời thầy đã đề xuất các hƣớng nghiên cứu, động viên thƣờng xuyên và tận tâm chỉ bảo nghiêm túc về chuyên môn trong suốt thời gian qua để tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đối với gia đình, bạn bè và ngƣời thân đã động viên khuyến khích và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 08 năm 2014 Tác giả iii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 3 1.1. Không gian Sobolev. 3 1.1.1. Không gian ( ) k C W 3 1.1.2. Không gian ( ) p L W 4 1.1.3. Không gian ( ) 1, W p W 5 1.1.4. Không gian ( ) 1 0 H W và khái niệm vết của hàm. 7 1.1.5. Công thức Green, bất đẳng thức Poincare 9 1.1.6. Không gian Sobolev với chỉ số âm ( ) 1 H - W và ( ) 1 2 H - ¶W . 10 1.2. Phƣơng trình elliptic. 11 1.2.1. Khái niệm nghiệm yếu của phƣơng trình. 12 1.2.2. Phát biểu các bài toán biên. 13 1.3. Kiến thức về các sơ đồ lặp cơ bản 15 1.3.1. Lƣợc đồ lặp hai lớp 15 Xét bài toán: 15 1.3.2. Lƣợc đồ dừng, các định lý cơ bản về sự hội tụ của phƣơng pháp lặp 16 Chƣơng 2 18 PHƢƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN SONG ĐIỀU HÒA 18 2.1. Mô hình bài toán song điều hòa 18 2.1.1. Toán tử song điều hòa 18 2.1.2. Các điều kiện biên của phƣơng trình song điều hòa 19 iv Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 2.2. Phƣơng pháp xấp xỉ biên giải bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh 20 2.2.1. Phƣơng pháp kết hợp giải bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh 20 2.3. Sơ đồ lặp của phƣơng pháp 24 Chƣơng 3 28 CÁC SƠ ĐỒ LẶP GIẢI BÀI TOÁN VỀ ĐỘ UỐN 28 CỦA BẢN CÓ GIÁ ĐỠ 28 3.1. Mô hình các bài toán cơ học 28 3.2. Phƣơng pháp lặp kết hợp giải bài toán có một giá đỡ 30 3.2.1. Mô tả phƣơng pháp. 30 3.2.2. Sơ đồ lặp kết hợp 32 3.2.3. Các ví dụ thử nghiệm 34 3.3. Phƣơng pháp kết hợp giải bài toán có hai giá đỡ bên trong 37 3.3.1. Mô tả phƣơng pháp 37 3.3.2. Các ví dụ thử nghiệm 39 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 PHẦN PHỤ LỤC 44 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Trong thực tế, khi nghiên cứu các bài toán cơ học và vật lý kỹ thuật bằng cách mô hình hóa, bài toán thƣờng dẫn đến các dạng phƣơng trình elliptic cấp 2 hoặc các dạng phƣơng trình song điều hòa với các điều kiện biên khác nhau. Khi điều kiện biên của bài toán đang xét không tồn tại các điểm kì dị thì đã có nhiều phƣơng pháp của các tác giả trên thế giới để tìm nghiệm gần đúng của các bài toán tƣơng ứng nhƣ phƣơng pháp sai phân, phƣơng pháp phần tử hữu hạn… Trong trƣờng hợp khi điều kiện biên của bài toán tồn tại các điểm kì dị là các điểm phân cách giữa các loại điều kiện biên hàm và đạo hàm, điều này thƣờng sảy ra với mô hình các bài toán cơ học và vật liệu đàn hồi. Khi đó các phƣơng pháp tìm nghiệm thông thƣờng sẽ gặp khó khăn. Đối với các bài toán thuộc dạng này, để tìm nghiệm xấp xỉ ta có thể sử dụng phƣơng pháp tích phân biên hàm kì dị tìm nghiệm dƣới dạng khai triển thông qua các hệ hàm cơ sở. Một hƣớng nghiên cứu khác đó là xây dựng các sơ đồ lặp dựa trên tƣ tƣởng chia miền. Mục đích chính của luận văn là tìm hiểu bài toán về độ uốn của bản có giá đỡ bên trong, một trong những bài toán điển hình trong cơ học. Mô hình toán học của bài toán là bài toán song điều hòa với điều kiện biên kì dị. Xây dựng các sơ đồ lặp dựa trên tƣ tƣởng chia miền tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán. Đồng thời tiến hành thực nghiệm tính toán để kết luận sự hội tụ của các phƣơng pháp lặp. Nội dung của luận văn gồm 3 chƣơng: Chƣơng 1: Trình bày những kết quả lý thuyết quan trọng về các không gian Sobolev, bất đẳng thức Green, bất đẳng thức Poincare, phƣơng trình elliptic với khái niệm nghiệm yếu và các bài toán biên, lý thuyết về phƣơng pháp lặp toán tử. 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Chƣơng 2: Trình bày kiến thức về bài toán song điều hòa, cơ sở của phƣơng pháp lặp kết hợp giải bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh. Chƣơng 3: Nghiên cứu mô hình bài toán về độ uốn của bản có giá đỡ, trên cơ sở của phƣơng pháp chia miền và phƣơng pháp lặp luận văn đƣa ra sơ đồ lặp giải bài toán về độ uốn của bản có giá đỡ bên trong, tiến hành thực nghiệm kiểm tra tính đúng đắn của phƣơng pháp đã đƣa ra. Trong luận văn, các chƣơng trình thực nghiệm đƣợc lập trình trên ngôn ngữ Matlab chạy trên máy tính PC. Mặc dù đã rất cố gắng xong nội dung của luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận đƣợc những đóng góp của các thầy cô giáo và các anh chị em bạn bè đồng nghiệp để luận văn đƣợc hoàn thiện hơn. 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Chƣơng 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong chƣơng này, luận văn trình bày những kết quả lý thuyết quan trọng về các không gian Sobolev, bất đẳng thức Green, bất đẳng thức Poincare, phƣơng trình elliptic với khái niệm nghiệm yếu và các bài toán biên, lý thuyết về phƣơng pháp lặp toán tử. Các kết quả này là nền tảng về mặt lý thuyết đƣợc sử dụng trong các chƣơng sau của luận văn. 1.1. Không gian Sobolev. 1.1.1. Không gian ( ) k C W Giả sử W là một miền bị chặn trong không gian Euclid n chiều n ¡ và W là bao đóng của W . Ta kí hiệu ( ) ( ) , 0,1,2 k CkW= là tập các hàm có đạo hàm đến cấp k kể cả k trong W , liên tục trong W . Ta đƣa vào ( ) k C W chuẩn: ( ) ( ) max k C x k u D u x a a W ÎW = = å trong đó ( ) 12 , , , n a a a a= đƣợc gọi là đa chỉ số vectơ với các tọa độ nguyên không âm, 12 n a a a a= + + + : 1 1 1 n n n u Du xx aa a aa ++ ¶ = ¶¶ Sự hội tụ theo chuẩn đã cho là sự hội tụ đều trong W của các hàm và tất cả đạo hàm của chúng đến cấp k . Rõ ràng tập ( ) k C W với chuẩn đã cho là không gian Banach. 4 S húa bi Trung tõm Hc liu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 1.1.2. Khụng gian ( ) p L W Gi s W l mt min trong n Ă v p l mt s thc dng. Ta kớ hiu ( ) p L W l lp cỏc hm o c f xỏc nh trờn W sao cho: ( ) (*) p f x dx W <Ơ ũ Trong ( ) p L W ta ng nht cỏc hm bng nhau hu khp trờn W . Nh vy cỏc phn t ca ( ) p L W l cỏc lp tng ng cỏc hm o c tha món (*) v hai hm tng ng nu chỳng bng nhau hu khp trờn W . Vỡ : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 p p p p p f x g x f x g x f x g x ổử ữ ỗ + Ê + Ê + ữ ỗ ữ ỗ ốứ nờn rừ rng ( ) p L W l mt khụng gian vect. Ta a vo ( ) p L W phim hm . p c xỏc nh bi: ( ) 1 p p p u u x dx W ớỹ ùù ùù = ỡý ùù ùù ợỵ ũ 1.1.2.1 nh lý. (Bt ng thc Hoder). Nu 1 pÊ < Ơ v ( ) p uLẻW , ( ) p vLẻW thỡ ( ) p uv LẻW v ( ) ( ) ' || pp u x v x dx u v W = ũ Trong ú ', 1 p p p = - tc l 11 1 'pp += , 'p c gi l s m liờn hp i vi p 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 1.1.2.2. Định lý. (Định lý Minkowski). Nếu 1 p£ < ¥ thì p p p f g f g+ £ + 1.1.2.3. Định lý. Không gian ( ) p L W với 1 p£ < ¥ là một không gian Banach. 1.1.3. Không gian ( ) 1, W p W 1.1.3.1. Định nghĩa. Cho W là một miền trong n ¡ . Hàm ( ) ux đƣợc gọi là khả tích địa phƣơng trong W nếu ( ) ux là một hàm trong W và với mỗi 0 x ÎW đều tồn tại một lân cận w của 0 x để ( ) ux khả tích trong W . 1.1.3.2. Định nghĩa. Cho W là một miền trong n ¡ . Giả sử ( ) ( ) ,u x v x là hai hàm khả tích địa phƣơng trong W sao cho ta có hệ thức: ( ) 1 1 1 n k k kk n u dx v dx xx j j WW ¶ =- ¶¶ òò đối với mọi ( ) ( ) ( ) 01 , , 0 1,2, , k ni x C k k k k i nj Î W = + + £ = . Khi đó, ( ) vx đƣợc gọi là đạo hàm suy rộng cấp k của ( ) ux . Kí hiệu: ( ) 1 1 n k kk n u vx xx ¶ = ¶¶ 6 S húa bi Trung tõm Hc liu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 1.1.3.3. nh ngha Gi s p l mt s thc, 1 pÊ < Ơ , W l mt min trong n Ă . Khụng gian Sobolev ( ) 1, W p W c nh ngha nh sau: ( ) ( ) ( ) 1, W | , , 1, , p p p i u u u L L i n x ớỹ ùù ả ùù W = ẻ W ẻ W = ỡý ùù ả ùù ợỵ Trong ú cỏc o hm trờn l cỏc o hm suy rng. Vi 2p = , ta kớ hiu ( ) ( ) 1,2 1 W HW = W , ngha l: ( ) ( ) ( ) 1 2 2 | , , 1,2, , i u H u u L L i n x ớỹ ùù ả ùù W = ẻ W ẻ W = ỡý ùù ả ùù ợỵ 1.1.3.4. B i) Khụng gian ( ) 1, W p W l khụng gian Banach vi chun ( ) ( ) ( ) 1, W 1 pp p n L i i L y uu x WW = W ả =+ ả ồ trong ú 1 pÊ < Ơ , dng chun ny tng ng vi dng sau: ( ) ( ) ( ) 1, 1 W p p p pp p LL u u u W W W ổử ữ ỗ = + ẹ ữ ỗ ữ ỗ ốứ trong ú , , in uu u xx ổử ảả ữ ỗ ữ ẹ= ỗ ữ ỗ ữ ỗ ảả ốứ v ( ) ( ) 1 1 p p p p n L i L u u x d d W W ổử ữ ỗ ữ ỗ ữ ẹ= ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ốứ ồ ii) Khụng gian ( ) 1 H W l khụng gian Hilbert vi tớch vụ hng: [...]... (ả W) è (R )} l trự mt trong n H 1 2 (ả W) cú cỏc tớnh cht sau: (ả W) L2 (ả W ) iii) Tn ti mt ỏnh x tuyn tớnh liờn tc: gẻ H 1 2 (ả W) đ u g ẻ H 1 (W ) ( ) ( ) Vi g u g = g v tn ti mt hng s C 1 W ch ph thuc min W sao cho: ug H 1 (W ) Ê C 1 (W g ) H 1 2 (ả W) ,"g ẻ H 1 2 (W) 1.1.5 Cụng thc Green, bt ng thc Poincare 1.5.1.1 nh lý (Cụng thc Green) Gi s ả W l liờn tc Lipschitz, cho u , v ẻ H ũu W ảu dx =... ) = 0 ) ) S húa bi Trung tõm Hc liu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 10 1.1.5.3 Tớnh cht.(Bt ng thc Poincare) Tn ti mt hng s C W sao cho: u 2 L (W ) Ê CW ẹu 2 L (W ) 1 , " u ẻ H 0 (W ) Trong ú hng s C W phc thuc vo ng kớnh ca W c gi l hng s Poincare Bt ng thc Poincare cú ý ngha rng u = ẹ u chun trờn H 1 L2 (W ) l mt (W) ó xỏc nh 1.1.5.4 nh lý (Bt ng thc Poincare m rng) Gi s biờn ả W liờn tc Lipschitz, ả W=... toỏn t biờn 1.2.1 Khỏi nim nghim yu ca phng trỡnh Xột phng trỡnh: - Vu = f (1.2) (W), f ẻ C (W) v phng trỡnh (1.2) tha món trong min W Khi ú, u (x ) c gi l nghim c in ca phng trỡnh (1.2) Ly hm j bt kỡ thuc D (W = C (W nhõn vi hai v ca (1.2) ri ly ) ) Gi s u ẻ C 2 Ơ 0 tớch phõn ta c: - ũ Vuj dx = ũ f j dx W (1.3) W p dng cụng thc Green vo (1.3) v kt hp vi in kin j |ả W= 0 ta cú : n ũồ W i= 1 ảj ảu dx... Phỏt biu cỏc bi toỏn biờn 1.2.2.1 Bi toỏn Dirichlet Xột bi toỏn: ớ - Vu = f , x ẻ W ù ù ỡ ù u = j ,x ẻ ảW ù ợ (1.5) ( ) Hm u ẻ H (W c gi l nghim yu ca bi toỏn (1.5) nu: ) u - w ẻ H (W ) trong ú w l hm thuc H (W , cú vt bng j v: ) ũ ẹ u ẹ vdx = ũ fvdx , " v ẻ H (W) trong ú f ẻ L W 2 1 1 0 (1.6) 1 1 0 W S húa bi Trung tõm Hc liu (1.7) W http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 14 1.2.2.2.Nhn xột + Nghim yu ca bi toỏn... bi toỏn: Ay = f (1.11) trong ú A : H đ H l toỏn t tuyn tớnh trong khụng gian Hilbert thc hu hn chiu H Gi s A l toỏn t i xng, xỏc nh dng, f ẻ H l vect tựy ý Trong mi phng phỏp lp, xut phỏt t y 0 bt kỡ thuc H , ngi ta a ra cỏch xỏc nh nghim xp x y 1,y 2 , , y k , ca phng trỡnh (1.11) Cỏc xp x nh vy c bit nh l cỏc cp giỏ tr lp vi ch s lp k = 1, 2, , bn cht ca nhng phng phỏp ny l giỏ tr y k + 1 cú th... ớ ả ỹ ự ù ù ả ộ ả 2u ả 2u ả 2u ù ù 2 2 ờ ỳds + ũ v ỡ (D u ) + n 1n 2 + n 1 - n 2 + 2 n 1n 2 ỳ ý ù ản ù ả s ờ ả x 12 ả x 1ả x 2 ả x2 ờ ỳ ù G ù ở ỷ ù ù ợ ỵ ( - ũ G ) ả v ả 2u ds 2 ả nả n (2.2) Trong lý thuyt n hi, toỏn t song iu hũa thng c vit di dng: 2 2 2 2 ổ 2 2 ử ử ả 2 ổả 2u ỗ + s ả u + 2 s ộ1 - s ả u ựữ+ + ả ỗ ả u + s ả u ữ ờ ỳữ D u = 2ỗ 2 ( )ả x ả x ỳữ ả x 2 ỗả x 2 ả x 2 ữ (2.3) ữ ỗả x ỗ 2 ờ ữ... chia min v phng phỏp lp hiu chnh toỏn t trờn biờn, ta ó xõy dng c mt phng phỏp lp tỡm nghim xp x ca bi toỏn song iu hũa vi h iu kin biờn rt phc tp Cỏc kt qu ny ó c cỏc tỏc gi chng minh cht ch bng lý thuyt toỏn t v kim nghim tớnh ỳng n ca cỏc s lp trờn mỏy tớnh in t [1, 2] Cỏc kt qu ny s c s dng nghiờn cu gii quyt bi toỏn v bn vi giỏ bờn trong c trỡnh by trong chng 3 ca lun vn S húa bi Trung tõm... phng phỏp phn t biờn, phng phỏp tớch phõn chp ca Wei [3], phng phỏp chui cp s dng phng trỡnh tớch phõn Fredholm ca Sompornjaroensuk v Kiattikomol Tuy nhiờn cỏc phng phỏp trờn thng gp cỏc vn khú khn v lý thuyt cng nh tớnh toỏn xp x Trờn c s cỏc kt qu ó trỡnh by trong chng 2, lun vn s phõn tớch mụ hỡnh bi toỏn 1 giỏ , hai giỏ v t ú a ra kt qu xõy dng cỏc s lp tỡm nghim xp x ca bi toỏn tng ng Phng phỏp