một số phương pháp lặp giải bài toán song điều hoà với điều kiện biên hỗn hợp mạnh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ ÁNH HỒNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN SONG ĐIỀU HÒA VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP MẠNH LUẬN VĂN THẠC SỸ Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 36 Người hướng dẫn khoa học: TS. VŨ VINH QUANG THÁI NGUYÊN, 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu 2 1 Các kiến thức cơ bản 4 1.1 Các kiến thức cơ bản về các không gian hàm . . . . . . . . 4 1.1.1 Không gian C k ( ¯ Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Không gian L p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Không gian W 1,p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.4 Khái niệm vết của hàm . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Lý thuyết về phương trình elliptic . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình . . . . . . 10 1.2.2 Phát biểu các bài toán biên . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Phương pháp lặp và các sơ đồ lặp cơ bản . . . . . . . . . . 13 2 Một số phương pháp giải bài toán elliptic với biên kì dị 15 2.1 Phương pháp chia miền giải bài toán biên elliptic cấp 2 với điều kiện biên hỗn hợp mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.1 Cơ sở của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.2 Sự hội tụ của phương pháp . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Phương pháp lặp giải bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.1 Mô hình bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.2 Phương pháp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 Bài toán Crack và một số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ 27 3.1 Phương pháp tích phân biên hàm kì dị cho bài toán song điều hòa với điểm đứt gãy kì dị . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1.1 Mô hình bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.1.2 Phương pháp tích phân biên kì dị . . . . . . . . . . 30 i Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC 3.1.3 Kết quả số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 Phương pháp chia miền giải bài toán crack . . . . . . . . . 37 3.2.1 Sơ đồ lặp chia miền . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2.2 Các kết quả thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . 39 Tài liệu tham khảo 46 ii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Vũ Vinh Quang. Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học của mình, TS. Vũ Vinh Quang, người đã đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tác giả. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành bản luận văn này. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình, BGH trường THPT Chu Văn An - Thái Nguyên và các bạn trong lớp Cao học K4A, đã động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn. 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Khi nghiên cứu bài toán cơ học và vật lý trong kỹ thuật, thông qua việc mô hình hóa, các bài toán thường dẫn đến các dạng phương trình elliptic cấp 2 hoặc các dạng phương trình song điều hòa với các hệ số điều kiện biên khác nhau. Trong trường hợp khi điều kiện biên của bài toán đang xét không tồn tại các điểm kì dị thì đã có nhiều phương pháp của các tác giả trên thế giới tìm nghiệm gần đúng của các bài toán tương ứng như phương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn Tuy nhiên, trong trường hợp khi trên biên tồn tại các điểm kì dị là các điểm phân cách giữa các loại điều kiện biên hàm và đạo hàm, điều này thường xảy ra đối với mô hình các bài toán cơ học và vật liệu đàn hồi thì chúng ta sẽ gặp các bài toán elliptic hoặc các bài toán song điều hòa với điều kiện biên kì dị. Khi đó các phương pháp thông thường sẽ gặp nhiều khó khăn. Đối với các bài toán này, để tìm nghiệm xấp xỉ, người ta thường sử dụng một phương pháp đó là phương pháp tích phân biên hàm kì dị tìm nghiệm dưới dạng khai triển thông qua các hệ hàm cơ sở. Một hướng nghiên cứu thứ hai đó là xây dựng các sơ đồ lặp dựa trên tư tưởng chia miền. Mục đích chính của luận văn là tìm hiểu bài toán vết nứt hay còn gọi là bài toán crack được các tác giả trên thế giới đưa ra. Mô hình toán học của bài toán là bài toán song điều hoà với điều kiện biên kì dị. Trình bày cơ sở của phương pháp tích phân biên hàm kì dị giải bài toán này đồng thời xây dựng các sơ đồ lặp dựa trên tư tưởng chia miền tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán. Đồng thời tiến hành thực nghiệm tính toán để kết luận sự hội tụ của các phương pháp lặp và so sánh tính hiệu quả của hai phương pháp đã đưa ra. Nội dung của luận văn gồm 3 chương: Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về các không gian hàm và đặc biệt là không gian Sobolev, các bất đẳng thức quan trọng, khái niệm về nghiệm yếu, lý thuyết về các sơ đồ lặp hai lớp và định lý cơ bản về sự hội tụ của sơ đồ lặp. 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Chương 2: Trình bày cơ sở của phương pháp chia miền để giải bài toán biên elliptic cấp hai với điều kiện biên hỗn hợp mạnh và cơ sở của phương pháp lặp giải bài toán song điều hoà với điều kiện biên hỗn hợp. Chương 3: Nghiên cứu mô hình bài toán vết nứt, trình bày cơ sở phương pháp tích phân biên hàm kì dị giải bài toán này. Trên cơ sở của phương pháp chia miền giải phương trình cấp 2 và phương pháp lặp giải phương trình cấp 4, luận văn đưa ra sơ đồ lặp giải bài toán vết nứt, tiến hành thực nghiệm kiểm tra tính đúng đắn của phương pháp đưa ra. Từ đó đưa ra kết luận so sánh giữa hai phương pháp. Trong luận văn, các chương trình thực nghiệm được lập trình trên ngôn ngữ Matlab chạy trên máy tính PC. Mặc dù đã rất cố gắng song nội dung bản luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn thêm hoàn thiện. Tác giả 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1 Các kiến thức cơ bản Trong chương này, luận văn trình bày những kết quả lý thuyết quan trọng về các không gian Sobolev, phương trình elliptic với khái niệm nghiệm yếu và định lý tồn tại duy nhất nghiệm, các bất đẳng thức Poincare, lý thuyết về phương pháp lặp giải phương trình toán tử. 1.1 Các kiến thức cơ bản về các không gian hàm 1.1.1 Không gian C k ( ¯ Ω) Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian Euclid n chiều R n và ¯ Ω là bao đóng của Ω. Ta kí hiệu C k ( ¯ Ω)(k = 0, 1, 2, ) là tập các hàm có đạo hàm đến cấp k kể cả k trong Ω, liên tục trong ¯ Ω. Ta đưa vào C k ( ¯ Ω) chuẩn ||u|| C k ( ¯ Ω) =  |α|=k max x∈ ¯ Ω |D α u(x)|, (1.1) trong đó α = (α 1 , α 2 , , α n ) được gọi là đa chỉ số véc tơ với các tọa độ nguyên không âm, |α| = α 1 + α 2 + + α n , D α u = ∂ α 1 + +α n u ∂x α 1 1 ∂x α n n 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1. Các kiến thức cơ bản Sự hội tụ theo chuẩn này là sự hội tụ đều trong ¯ Ω của các hàm và tất cả đạo hàm của chúng đến cấp k kể cả k. Rõ ràng tập C k ( ¯ Ω) với chuẩn (1.1) là không gian Banach. 1.1.2 Không gian L p (Ω) Giả sử Ω là một miền trong R n và p là một số thực dương. Ta kí hiệu L p (Ω) là lớp các hàm đo được f xác định trên Ω sao cho  Ω |f(x)| p dx < ∞. (1.2) Trong L p (Ω ta đồng nhất các hàm bằng nhau hầu khắp trên Ω. Như vậy các phần tử của L p (Ω) là các lớp tương đương các hàm đo được thỏa mãn (1.2) và hai hàm tương đương nếu chúng bằng nhau hầu khắp trên Ω. Vì |f(x) + g(x)| p ≤ (|f (x) + g(x)|) p ≤ 2 p (|f(x)| p + |g(x)| p ) nên rõ ràng L p (Ω) là một không gian véc tơ. Ta đưa vào L p (Ω) phiếm hàm || · || p được xác định bởi ||u|| p =     Ω |u(x)| p dx    1/p . (1.3) 1.1.3 Không gian W 1,p (Ω) Định nghĩa 1.1.1. Cho Ω là một miền trong R n . Hàm u(x) được gọi là khả tích địa phương trong Ω nếu u(x) là một hàm trong Ω và với mỗi x 0 ∈ Ω đều tồn tại một lân cận ω của x 0 để u(x) khả tích trong Ω. Định nghĩa 1.1.2. Cho Ω là một miền trong R n . Giả sử u(x), v(x) là hai hàm khả tích địa phương trong Ω sao cho ta có hệ thức  Ω u ∂ k ϕ ∂x k 1 1 ∂x k n n dx = (−1) k  Ω vϕdx, 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1. Các kiến thức cơ bản đối với mọi ϕ(x) ∈ C k 0 (Ω), k = k 1 + + k n , k i ≤ 0(i = 1, 2, , n). Khi đó, v(x) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp k của u(x). Kí hiệu v(x) = ∂ k u ∂x k 1 1 ∂x k n n . Định nghĩa 1.1.3. Giả sử p là một số thực, 1 < p < ∞, Ω là một miền trong R n . Không gian Sobolev W 1,p (Ω) được định nghĩa như sau: W 1,p (Ω) = {u|u ∈ L p (Ω), ∂u ∂x i ∈ L p (Ω), i = 1, 2, , n}, trong đó các đạo hàm trên là các đaọ hàm suy rộng. Với p = 2, ta kí hiệu W 1,p (Ω) = H 1 (Ω), nghĩa là H 1 (Ω) = {u|u ∈ L 2 (Ω), ∂u ∂x i ∈ L 2 (Ω), i = 1, 2, , n}. Bổ đề 1.1.4. i) Không gian W 1,p (Ω) là không gian Banach với chuẩn ||u|| W 1,p (Ω) = ||u|| L p (Ω) + n  i=1 || ∂u ∂x i || L p (Ω) . ii) Không gian H 1 (Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng (u, v) H 1 (Ω) = (u, v) L 2 (Ω) + n  i=1  ∂u ∂x i , ∂v ∂x i  L 2 (Ω) , ∀u, v ∈ H 1 (Ω). 1.1.4 Khái niệm vết của hàm Định nghĩa 1.1.5. Không gian Sobolev W 1,p (Ω) được định nghĩa như các bao đóng của không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω tương ứng với chuẩn của W 1,p (Ω). Không gian H 1 0 (Ω) được định nghĩa bởi H 1 0 (Ω) = W 1,2 0 (Ω). Định lý 1.1.6. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Khi đó: i) Nếu 1 ≤ p < n thì W 1,p 0 (Ω) ⊂ L q (Ω) là: - Nhúng compact đối với q ∈ [1, p ∗ ), trong đó 1 p ∗ = 1 p − 1 n . 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1. Các kiến thức cơ bản - Nhúng liên tục với q = p ∗ . ii) Nếu p = n thì W 1,n 0 (Ω) ⊂ L q (Ω) là nhúng compact nếu q ∈ [1, +∞). iii) Nếu p > n thì W 1,p 0 (Ω) ⊂ C 0 ( ¯ Ω) là nhúng compact. Định lý 1.1.7 (Định lý vết). Giả sử Ω là tập mở trong R n với biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Khi đó tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục γ : H 1 (Ω) → L 2 (∂Ω) sao cho với bất kì u ∈ H 1 (Ω) ∩ C 0 ( ¯ Ω) ta có γ(u) = u| ∂Ω . Hàm γ(u) được gọi là vết của u trên ∂Ω. Định nghĩa 1.1.8. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Không gian H 1/2 (∂Ω) được gọi là miền giá trị của ánh xạ vết γ, tức là H 1/2 (∂Ω) = γ(H 1 (Ω)). Định lý 1.1.9. i) Kí hiệu H 1/2 (∂Ω) là không gian Hilbert với chuẩn ||u|| 2 H 1/2 (∂Ω) =  ∂Ω |u(x)| 2 dS x +  ∂Ω  ∂Ω |u(x) − u(y)| 2 |x − y| n+1 dS x dS y . ii) Tồn tại một hằng số C γ (Ω) sao cho: ||γ(u)|| H 1/2 (∂Ω) ≤ C γ (Ω)||u|| H 1 (Ω) , ∀u ∈ H 1 (Ω). Khi đó, C γ (Ω) được gọi là hằng số vết. Bổ đề 1.1.10. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Không gian H 1/2 (∂Ω) có các tính chất sau: i) Tập {u| ∂Ω , u ∈ C ∞ (R n )} trù mật trong H 1/2 (∂Ω). ii) Nhúng H 1/2 (∂Ω) ⊂ L 2 (∂Ω) là compact. iii) Tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục g ∈ H 1/2 (∂Ω) → u g ∈ H 1 (Ω) với γ(u g ) = g và tồn tại hằng số C 1 (Ω) chỉ phụ thuộc vào miền Ω sao cho ||u|| H 1 (Ω) ≤ C 1 (Ω)||g|| H 1/2 (∂Ω) , ∀g ∈ H 1/2 (∂Ω). Bổ đề 1.1.11. Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz. Khi đó H 1 0 (Ω) = {u|u ∈ H 1 (Ω), γ(u) = 0}. 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... sai số được xác định bởi (2.10) 2.2 Phương pháp lặp giải bài toán song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp 2.2.1 Mô hình bài toán Trong mục này luận văn xét mô hình bài toán cho phương trình song điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp Trong luận văn sẽ trình bày cơ sở của một phương pháp lặp dựa trên lý thuyết toán tử trong các không gian hàm Sự hội tụ của phương pháp lặp đã được chứng minh về mặt lý thuyết... θ||A|| > 0 2 2 Như vậy, lược đồ lặp hội tụ với mỗi θ < ||A|| 14 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2 Một số phương pháp giải bài toán elliptic với biên kì dị 2.1 Phương pháp chia miền giải bài toán biên elliptic cấp 2 với điều kiện biên hỗn hợp mạnh 2.1.1 Cơ sở của phương pháp Cho Ω ⊂ R2 là miền với biên Lipschitz ∂Ω, xét bài toán   −∆u(x) = f (x), ∀x... (∂Ω) Ta xét trường hợp tổng quát khi điều kiện biên lu(x) = g(x) là điều kiện biên dạng hỗn hợp mạnh tức là trên một phân biên trơn gồm cả hai điều kiện biên Dirichlet (l là toán tử 15 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2 Một số phương pháp giải bài toán elliptic với biên kì dị hàm) và Neumann (l là toán tử đạo hàm hướng) Đây là bài toán đã được nhiều... v1 = 0 trên SA ⇒ ϕ = 0 Vậy B là toán tử đối xứng, dương trong L2 (SA ) Định lý 2.2.2 Sơ đồ lặp (2.14), (2.16) là hội tụ với tham số lặp 0 . để giải bài toán biên elliptic cấp hai với điều kiện biên hỗn hợp mạnh và cơ sở của phương pháp lặp giải bài toán song điều hoà với điều kiện biên hỗn hợp. Chương 3: Nghiên cứu mô hình bài toán. pháp lặp và các sơ đồ lặp cơ bản . . . . . . . . . . 13 2 Một số phương pháp giải bài toán elliptic với biên kì dị 15 2.1 Phương pháp chia miền giải bài toán biên elliptic cấp 2 với điều kiện biên. HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ ÁNH HỒNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN SONG ĐIỀU HÒA VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP MẠNH LUẬN VĂN THẠC SỸ Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 36 Người hướng dẫn