3 Bài toán Crack và một số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ
3.2.2 Các kết quả thực nghiệm
Trên cở sở của phương pháp đã đề ra, sau đây luận văn sẽ đưa ra các kết quả thực nghiệm để kiểm tra sự hội tụ của phương pháp chia miền giải bài toán crack tổng quát. Trong thực nghiệm chúng tôi sử dụng phương pháp lưới với số lưới M ×N = 64. Chuyển các bài toán vi phân về các bài toán sai phân tương ứng với các hệ phương trình đại số tuyến tính. Sau đó sử dung thuật toán thu gọn khối lượng tính toán để xác định nghiệm xấp xỉ trên không gian lưới. Trong thực nghiệm đã sử dụng các chương trình được viết trên nền ngôn ngữ Matlab và đã sử dụng các hệ thống hàm trong thư viện chương trình RC 2009 được công bố trong tài liệu [13]. Trong các
kết quả thực nghiệm, luận văn sẽ kiểm tra trong hai trường hợp biết trước nghiệm đúng và không biết trước nghiệm đúng, đồng thời đưa ra độ chính xác của phương pháp lặp tương ứng với các tham số cùng với đồ thị tương ứng của nghiệm gần đúng. Điều kiện dừng lặp luôn luôn được chọn với sai số ε = 10−4.
Bảng 3.5: Hàm nghiệm đúng u = sinxsiny, miền [−1,1]×[0,1], điểm kì dị a = 0, τ = 0.7
Tham số lặp Số bước lặp Sai số
1.0 25 3.10−4 1.1 22 2.10−4 1.2 22 1.10−4 1.3 20 1.10−4 1.4 22 1.10−4 1.5 20 1.10−4 1.6 31 1.10−4 1.7 40 0.0017 1.8 không hội tụ 1.9 không hội tụ
Bảng 3.6: Hàm nghiệm đúng u = exsiny +eysinx, miền [−1,1]×[0,1], điểm kì dị a = 0, τ = 0.5
Tham số lặp Số bước lặp Sai số
1.0 40 3.10−4 1.1 40 2.10−4 1.2 35 1.10−4 1.3 36 1.10−4 1.4 40 1.10−4 1.5 40 1.10−4 1.6 40 1.10−4 1.7 45 0.0017 1.8 không hội tụ
Hình 3.3: Đồ thị nghiệm xấp xỉ trong trường hợp biết trước nghiệm đúng
Nhận xét 3.2.2. Về mặt ý nghĩa cơ học, tại điểm kì dị giá trị đạo hàm của nghiệm sẽ tăng vô hạn, điều này được biểu hiện thông qua Hình 3.4
Hình 3.4: Dáng điệu của đạo hàm tại điểm kì dị x = 0
Bảng 3.8: Kết quả thực nghiệm trong trường hợp tổng quát với các dữ liệu như sau:
g0 = x2 +y2 + 5 g1 = (x−1)2.ey + (y−1)2.ex g2 = ex+y g3 = sinxsiny
f = x2 +y2
Tham số lặp Số bước lặp Sai số
1.0 40 0.0014 1.1 40 0.0013 1.2 40 0.0011 1.3 40 0.0010 1.4 32 0.0010 1.5 30 0.0010 1.6 40 0.0010 1.7 không hội tụ
Hình 3.5: Đồ thị nghiệm xấp xỉ trong trường hợp không biết trước nghiệm đúng
Sử dụng phương pháp chia miền tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán crack với điều kiện biên thuần nhất và vế phải bằng 0, chúng ta nhận được nghiệm xấp xỉ của bài toán qua đồ thị sau:
Hình 3.6: Đồ thị nghiệm xấp xỉ của bài toán crack mô tả vết nứt của tấm đàn hồi
Nhận xét 3.2.3. 1) Thông qua các kết quả thực nghiệm đã khẳng định sự hội tụ của phương pháp lặp dựa trên tư tưởng chia miền giải bài toán crack. Thông qua thực nghiệm có thể thấy rằng tham số tối ưu của sơ đồ lặp trên biên xấp xỉ bằng 1.5 và tham số lặp chia miền xấp xỉ bằng 0.5.
2) Có thể khẳng định rằng phương pháp chia miền là tổng quát hơn phương pháp xấp xỉ biên. Bởi vì phương pháp xấp xỉ biên chỉ giải quyết được bài toán trong trường hợp đặc biệt trong đó phương pháp chia miền giải quyết được bài toán trong trường hợp tổng quát.
3) Việc so sánh hiệu quả cũng như độ chính xác giữa hai phương pháp là khó về mặt lý thuyết. Tuy nhiên, thông qua kết quả thực nghiệm, khi tiến hành giải bài toán crack do tác giả Li đặt ra bằng cả hai phương pháp thì kết quả thu được là tương đương nhau.
Nội dung chính của luận văn trình bày cơ sở lý thuyết và thực nghiệm giải quyết mô hình bài toán vết nứt được rất nhiều nhà toán học quan tâm. Kết quả chính của luận văn bao gồm:
1 Nghiên cứu cơ sở lý thuyết về các không gian hàm, phương trình elliptic và lý thuyết về các sơ đồ lặp.
2 Trình bày cơ sở của phương pháp chia miền giải bài toán hỗn hợp mạnh đối với phương trình elliptic và cơ sở của phương pháp lặp giải bài toán song điều hoà với điều kiện biên hỗn hợp.
3 Trình bày phương pháp tích phân biên hàm kì dị cho bài toán song điều hòa với vết nứt kì dị, đưa ra các kết quả số để kết luận sự hội tụ của phương pháp tích phân biên hàm kì dị khi giải bài toán vết nứt.
4 Trên cơ sở của phương pháp chia miền đối với bài toán biên cấp 2 và bài toán song điều hoà cấp 4, luận văn đưa ra một sơ đồ lặp giải bài toán vết nứt, tiến hành xây dựng các chương trình thực nghiệm kiểm tra tính đúng đắn của sơ đồ. Từ đó đưa ra kết luận so sánh giữa phương pháp tích phân biên hàm kì dị và phương pháp chia miền.
Hướng nghiên cứu tiếp theo của luận văn là phát triển phương pháp chia miền và phương pháp lặp để giải quyết các mô hình cơ học phức tạp hơn.
[1] N.Saito, H.Fujita (2001), Operater Theoremrical Analysis to Domain
Decomposition Methods, 12th Int. Conf, on Domain Decomposition
Methods. Editos: Tony Chan, Takashy, Hideo, Oliver Pinoncau, 63-70, www.ddm.org/DDI2/saito.pdf.
[2] Dang Quang A and Vu Vinh Quang, A domain decomposition meth-
ods for solving an elliptic boundary value problem, Methods of Com-
plex and Clifford Analysis (Proceedings pf ICAM Hanoi 2004), SAS International Publications.Delhi, 309-319.
[3] Đặng Quang Á, Vũ Vinh Quang (2005), "Nghiên cứu thực nghiệm một phương pháp chia miền giải các bài toán với điều kiện biên hỗn hợp trong miền hình học phức tạp", Tạp chí Tin học và Điều khiển học, T.21, S.3, 216-229.
[4] Li ZC, Lu TT, Hu HY (2004), The collocation Trefftz method for biharmonic equations with crack singularities, Eng Anal Bound Elem, 28:79–96.
[5] Irwin GR (1957), Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate, Trans ASME J Appl Mech, 24, 361–4.
[6] Elliotis M, Georgiou G, Xenophontos C (2006), The singular function
boundary integral method for a two-dimensional fracture problem, Eng
Anal Bound Elem, 30:100–6.
[7] Elliotis M, Georgiou G, Xenophontos C (2002), The solution of a Laplacian problem over an L-shaped domain with a singular function
[8] ElliotisM, Georgiou G, Xenophontos C (2005).Solving Laplacian prob- lems with boundary singularities: a comparison of a singular function boundary integral method with the p/hp version of the finite element
method, Appl Math Comput, 169:485–99.
[9] Elliotis M, Georgiou G, Xenophontos C (2005), Solution of the pla- nar Newtonian stick-slip problem with the singular function boundary
integral method, Int J Numer Meth Fluids, 48:1000–21.
[10] Szilard R (, 1974), Theory and Analysis of Plates, Prentice-Hall.
[11] Timoshenko S.P and Woinowsky-Krieger S, (1970), Theory of Plates
and Shells, McGraw-Hill,NewYork.
[12] A.A. Samarskii, (2001),The Theory of Difference Schemes,New York. Marcel Dekker.
[13] Vũ Vinh Quang, Trương Hà Hải, Nguyễn Thị Tuyển (2010), Xây dựng bộ chương trình RC2009 giải số bài toán elliptic với hệ số hằng, Tạp chí Khoa học và Công nghệ Đại học Thái Nguyên, T.69(07):56-63.
[14] Dang Quang A (1998), "Iterative Method for solving the second Boundary Value Problem (BVP) for Biharmonic type Equation", Tạp chí tin học và điều khiển học, 14(4), pp.66-72.
[15] Đặng Quang Á, Vũ Vinh Quang (2006), Một số kết quả nghiên cứu về phương pháp chia miền giải phương trình elliptic và phương trình
song điều hoà, Hội nghị khoa học Kỉ niệm 30 năm thành lập viện Công