Phương pháp lặp giải bài toán không thuần nhất giữa phương trình Elliptic và phương trình song điều hòa

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH NHƯ NGỌC PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN KHÔNG THUẦN NHẤT GIỮA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH NHƯ NGỌC PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN KHÔNG THUẦN NHẤT GIỮA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 Người hướng dẫn khoa học: TS VŨ VINH QUANG THÁI NGUYÊN - NĂM 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mở đầu 1 Các kiến thức 1.1 Các kiến thức không gian hàm 1.1.1 Không gian C k (Ω) 1.1.2 Không gian Lp (Ω) 1.1.3 Không gian W 1,p (Ω) 1.1.4 Biên liên tục Lipschitz 1.1.5 Vết hàm 1.1.6 Không gian Sobolev với số âm 1.2 Phương pháp lặp sơ đồ lặp 1.2.1 Lược đồ lặp hai lớp 1.2.2 Lược đồ dừng, định lý hội tụ phép lặp 1.3 Khái niệm nghiệm yếu phương trình Elliptic cấp hai 1.3.1 Khái niệm nghiệm yếu phương trình 1.3.2 Phát biểu toán biên 1.3.3 Sự tồn nghiệm yếu 4 4 11 12 12 15 17 17 18 20 Các phương pháp xác định nghiệm xấp xỉ toán cấp hai cấp bốn 24 2.1 Phương pháp lặp giải toán cấp hai tư tưởng chia miền 24 2.1.1 Cơ sở phương pháp chia miền 24 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii 2.2 2.1.2 Phương pháp chia miền giải toán biên elliptic Phương pháp xấp xỉ xác định giá trị biên toán song điều hòa Bài toán không phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ 3.1 Mô hình toán học toán không 3.2 Phương pháp xấp xỉ dựa sơ đồ Dirichlet-Neumann 3.3 Phương pháp xấp xỉ dựa sơ đồ xấp xỉ biên 3.4 Các kết thực nghiệm Kết luận Danh mục công trình công bố Tài liệu tham khảo Phụ lục Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 36 45 45 51 58 61 66 67 68 84 iii Các ký hiệu L Rn Ω ∂Ω C k (Ω) L2 (Ω) W 1,p (Ω) H 1/2 (∂Ω) H01 (Ω) H −1 (∂Ω) H −1/2 (∂Ω) V (.)V Cγ (Ω) CΩ E Toán tử elliptic Không gian Euclide n chiều Miền giới nội không gian Rn Biên trơn Lipschitz Không gian hàm có đạo hàm cấp k liên tục Không gian hàm đo bình phương khả tích Không gian Sobolev với số p Không gian Sobolev với số 1/2 Không gian hàm có vết không ∂Ω Không gian đối ngẫu với H01 (Ω) Không gian đối ngẫu với H 1/2 (∂Ω) Chuẩn xác định không gian V Tích vô hướng xác định không gian V Hằng số vết Hằng số Poincare Ma trận đơn vị Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Phương trình cấp bốn mà tiêu biểu phương trình song điều hoà xuất ngành học chất rắn với mô hình chuyển dịch ngang đàn hồi ngành học chất lỏng với mô hình dòng chảy với phương trình Navier-Stokes môi trường chất lỏng không nén được, ghép với phương trình bậc hai xuất mô hình không mô tả dịch chuyển ngang cấu trúc đàn hồi đa hợp mà làm hai thành phần khác nhau, thành phần uốn thành phần lại màng mỏng Đây mô hình hỗn hợp nhà toán học giới quan tâm Năm 2005, tài liệu [4], tác giả P Gervasio mô tả mô hình toán học toán không đưa phương pháp xác định nghiệm gần dựa sơ đồ lặp Ngoài phương pháp trên, để giải mô hình toán không sử dụng phương pháp phân rã toán song điều hoà hai toán elliptic từ đề xuất sơ đồ lặp cách xác định nghiệm xấp xỉ toán song điều hoà dựa phương pháp xấp xỉ biên xác định nghiệm hai toán elliptic sở phương pháp chia miền Cơ sở lý thuyết số tác giả Việt Nam đưa năm qua Nội dung luận văn mô tả mô hình toán học toán, nghiên cứu phương pháp giải đề xuất sơ đồ lặp xác định nghiệm xấp xỉ sở phân hoạch hai toán cấp hai cấp bốn, thực tính toán số xác định nghiệm xấp xỉ Luận văn gồm chương: Chương 1: Trình bày số kiến thức không gian hàm đặc biệt không gian Sobolev, khái niệm nghiệm yếu Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn phương trình elliptic, lý thuyết phương pháp lặp giải phương trình toán tử Những kiến thức quan trọng làm sở để trình bày nghiên cứu lý thuyết mô hình toán học trình bày chương luận văn Chương 2: Trình bày sở phương pháp chia miền tổng quát, kết lý thuyết phương pháp chia miền phương trình elliptic cấp hai dựa tư tưởng xác định giá trị đạo hàm biên phân cách, lý thuyết phương pháp xấp xỉ xác định giá trị biên toán song điều hòa Đây kết tác giả Việt Nam công bố năm qua Các kết sở lý thuyết để đề xuất sơ đồ lặp tìm nghiệm xấp xỉ toán không chương luận văn Chương 3: Mô tả mô hình toán học toán không nhất, trình bày phương pháp xấp xỉ dựa sơ đồ Dirichlet-Neumann tác giả P Gervasio đề xuất Xuất phát từ lý thuyết chương 2, luận văn đề xuất phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ toán không việc phân rã toán toán song điều hoà toán elliptic tương ứng từ xây dựng phương pháp lặp xác định nghiệm xấp xỉ, tính toán thử nghiệm máy tính điện tử Phương pháp coi ngược với phương pháp P Gervasio đưa Các kết số lập trình môi trường MATLAB với nhiều ví dụ khác để kiểm tra tính đắn sơ đồ lặp đề xuất Mặc dù cố gắng song nội dung luận văn tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận bảo, đóng góp ý kiến Thầy Cô bạn đồng nghiệp để luận văn thêm hoàn thiện Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn TS Vũ Vinh Quang tận tình hướng dẫn tác giả suốt trình làm luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy Cô, bạn bè, đồng nghiệp gia đình giúp đỡ, động viên, khích lệ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các kiến thức 1.1 1.1.1 Các kiến thức không gian hàm Không gian C k (Ω) Giả sử Ω miền bị chặn không gian Euclid n chiều Rn Ω bao đóng Ω Ký hiệu C k (Ω), (k = 1, 2, ) tập hàm có đạo hàm đến cấp k kể k Ω, liên tục Ω Ta đưa vào C k (Ω) chuẩn u max | Dα u(x) |, C k (Ω) = (1.1) α =k α = (α1 , α2 , , αn ) gọi đa số, vecto với tọa ∂ α1 +α2 + +αn u α độ nguyên không âm, | α |= α1 + α2 + + αn , D u = ∂xα1 ∂xαnn Sự hội tụ theo chuẩn hội tụ Ω hàm tất đạo hàm chúng đến cấp k, kể k Tập C k (Ω) với chuẩn (1.1) không gian Banach 1.1.2 Không gian Lp (Ω) Giả sử Ω miền Rn p số thực dương Ta ký hiệu Lp (Ω) lớp hàm đo f xác định Ω cho | f (x) |p dx < ∞ Ω Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.2) Trong Lp (Ω) ta đồng hàm hầu khắp Ω Như phần tử Lp (Ω) lớp tương đương hàm đo thoả mãn (1.2) hai hàm tương đương chúng hầu khắp Ω Vì | f (x) + g(x) |p ≤ (| f (x) | + | g(x) |)p ≤ 2p (| f (x) |p + | g(x) |p ) nên rõ ràng Lp (Ω) không gian vecto hàm p xác định u Ta đưa vào Lp (Ω) phiếm p | f (x) | dx p= p (1.3) Ω Nếu < p < ∞ u ∈ Định lí 1.1 (Bất đẳng thức H¨ oder) Lp (Ω), v ∈ Lp (Ω) uv ∈ Lp (Ω) | u(x)v(x) | dx ≤ u(x) p v(x) p , (1.4) Ω p = p 1 , tức + = 1, p gọi số mũ liên hợp đối p−1 p p với p Định lí 1.2 ( Bất đẳng thức Minkowski) f +g p≤ f p + Nếu < p < ∞ g p (1.5) Định lí 1.3 Không gian Lp (Ω) với ≤ p < ∞ không gian Banach 1.1.3 Không gian W 1,p (Ω) Định nghĩa 1.1 Cho Ω miền Rn Hàm u(x) gọi khả tích địa phương Ω u(x) hàm cho Ω với x0 ∈ Ω tồn lân cận ω x0 để u(x) khả tích ω Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... KHOA HỌC ĐINH NHƯ NGỌC PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN KHÔNG THUẦN NHẤT GIỮA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36... 2.1.2 Phương pháp chia miền giải toán biên elliptic Phương pháp xấp xỉ xác định giá trị biên toán song điều hòa Bài toán không phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ 3.1 Mô hình toán. .. toán không sử dụng phương pháp phân rã toán song điều hoà hai toán elliptic từ đề xuất sơ đồ lặp cách xác định nghiệm xấp xỉ toán song điều hoà dựa phương pháp xấp xỉ biên xác định nghiệm hai toán