Phương pháp NewTon - Raphson giải hệ phương trình phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 Trần Thị Phương Lan PHƯƠNG PHÁP NEWTON - RAPHSON GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60 46 01 Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Văn Hùng Hà Nội - 2010 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2. Trước hết, tác giả xin bày tỏ sự kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Nguyễn Văn Hùng đã luôn hướng dẫn và chỉ bảo chu đáo, tận tình, nghiêm khắc trong suốt quá trình tác giả học tập và nghiên cứu luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Sau đại học, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 cũng như toàn thể các thầy cô giáo trong trường đã quan tâm và dành cho tác giả những điều kiện tốt nhất trong thời gian học tập và nghiên cứu tại đây. Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ, tạo điều kiện của Ban Giám Hiệu Trường THPT Tam Đảo, THPT Phúc Yên. Tác giả xin chân thành cảm ơn các ý kiến đóng góp xác đáng của các thầy giáo phản biện để luận văn được hoàn thiện hơn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, tháng 9 năm 2010 Tác giả LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hùng. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học nghiên cứu với sự trân trọng biết ơn. Hà Nội, tháng 9 năm 2010 Tác giả Mục lục Mở đầu 1 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.1. Sai số tuyệt đối, sai số tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Sai số thu gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Chữ số chắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4. Sai số tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5. Sai số do phương pháp tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6. Xấp xỉ ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.7. Ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.8. Các định luật cơ bản của hóa học áp dụng cho các hệ trong dung dịch chất điện li . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.8.1. Định luật hợp thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.8.2. Định luật bảo toàn vật chất . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.8.3. Định luật tác dụng khối lượng . . . . . . . . . . . . . . 20 Chương 2. Phương pháp Newton - Raphson giải hệ phương trình phi tuyến 23 2.1. Cơ sở lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1. Phương pháp lặp Newton-Raphson . . . . . . . . . . . 23 2.1.2. Cách giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp lặp Newton - Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2. Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Chương 3. Ứng dụng của phương pháp Newton - Raphson 32 3.1. Giải hệ phi tuyến 2 ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2. Giải hệ phi tuyến 3 ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3. Tính cân bằng trong các hệ oxi hóa- khử phức tạp . . . . . . . 46 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong khoa học công nghệ và trong thưc tế có rất nhiều bài toán được chuyển thành bài toán giải hệ phương trình f i (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = 0 (i = 1, 2, . . . , n) (1) Tuy nhiên, chỉ trong một số trường hợp đặc biệt ta mới có cách tìm nghiệm đúng của hệ phương trình đó, các trường hợp còn lại đều phải tìm cách giải gần đúng. Nếu hệ phương trình đó xuất phát từ bài toán thực tế thì biểu thức f i (x 1 , x 2 , . . . , x n )(i = 1, n) của hệ (1) thường cũng chỉ biết gần đúng. Vì thế việc giải đúng hệ phương trình đó chẳng những không thực hiện nổi mà nhiều khi không có ý nghĩa. Đối với lớp các bài toán đó thì việc xác định sai số là một vấn đề đáng quan tâm. Phương pháp Newton - Raphson giải hệ phương trình phi tuyến là phương pháp có lời giải hay, có thể áp dụng cho mọi hệ, đặc biệt những hệ càng phức tạp thì phương pháp này càng tỏ ra ưu việt. Hơn nữa, nếu lựa chọn xấp xỉ ban đầu tốt thì phương pháp này cho kết quả rất nhanh và chính xác. Qua nghiên cứu về phương pháp này chúng ta thấy mình hiểu biết về kiến thức giải tích ở phổ thông một cách rõ ràng, sâu sắc hơn trước rất nhiều. Đồng thời cũng thấy được một phần ứng dụng ưu việt của nó trong nghành hóa học phân tích khi tính cân bằng các hệ oxi hóa - khử phức tạp. Vì vậy với mong muốn tìm hiểu sâu sắc hơn nữa phương pháp này tôi mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài: "Phương pháp Newton - Raphson giải hệ phương trình phi tuyến ". 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu một cách có hệ thống kiến thức cơ bản của phương pháp Newton - Raphson giải hệ phương trình phi tuyến. Sau đó vận dụng phương pháp này giải một số hệ phương trình phi tuyến 2 ẩn, 3 ẩn, tính toán cân bằng các hệ oxi hóa khử phức tạp. 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Giải hệ phi tuyến bằng phương pháp Newton - Raphson. - Tính toán cân bằng các hệ oxi hóa khử theo phương pháp Newton - Raphson . 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu một cách có hệ thống kiến thức cơ bản của phương pháp Newton - Raphson giải hệ phương trình phi tuyến. - Tính cân bằng các hệ oxi hóa khử theo phương pháp Newton - Raphson. Luận văn được chia làm 3 chương ( ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo ) Chương 1: Một số kiến thức bổ trợ. Chương 2: Phương pháp Newton - Raphson giải hệ phương trình phi tuyến. Chương 3: Ứng dụng của phương pháp Newton - Raphson. 5. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp giải gần đúng của lý thuyết giải tích số. - Phương pháp phân tích định tính và định lượng của hóa học. 6. Những đóng góp mới của đề tài - Tính cân bằng các hệ oxi hóa khử theo phương pháp Newton - Raphson giải hệ phương trình phi tuyến. Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Sai số tuyệt đối, sai số tương đối Trong tính toán, ta thường phải làm việc với các giá trị gần đúng của các đại lượng. Ta nói a là số gần đúng của a ∗ , nếu a không sai khác a ∗ nhiều. Đại lượng ∆a = |a − a ∗ | gọi là sai số thật sự của a. Nói chung chúng ta không biết a ∗ nên ta cũng không biết ∆a. Tuy nhiên ta có thể tìm được ∆a ≥ 0, gọi là sai số tuyệt đối của a, thỏa mãn điều kiện: |a − a ∗ | ≤ ∆a (1.1) hay a −∆a ≤ a ∗ ≤ a + ∆a. Đương nhiên ∆a thỏa mãn điều kiện ( 1.1) càng nhỏ càng tốt. Hai số gần đúng có cùng sai số tuyệt đối sẽ có mức độ chính xác khác nhau nếu độ lớn của chúng khác nhau, số bé hơn sẽ có độ chính xác kém hơn. Để biểu diễn chính xác điều này người ta dùng khái niệm sai số tương đối, được kí hiệu là δa và xác định như sau: δa = ∆a |a| Ví dụ 1.1. Giả sử a ∗ = π, a = 3, 14. Do 3, 14 ≤ a ∗ ≤ 3, 15 = 3, 14 + 0, 01 nên ta có thể lấy ∆a = 0, 01. Mặt khác, 3, 14 ≤ π ≤ 3, 141 = 3, 14 + 0, 001 do đó có thể coi ∆a = 0, 001. Ví dụ 1.2. Đo độ dài hai đoạn thẳng AB, CD ta được a = 10cm và b = 1cm với ∆a = ∆b = 0, 01. Khi đó ta có δa = 0,01 10 = 0, 1% còn δb = 0,01 1 = 1% hay δa = 10δb. Hiển nhiên rằng phép đo a chính xác hơn hẳn phép đo b mặc dù 4 ∆a = ∆b. Như vậy độ chính xác của một phép đo phản ánh qua sai số tương đối. 1.2. Sai số thu gọn Một số thập phân a có dạng tổng quát như sau: a = ±(β p 10 p + β p−1 10 p−1 + ··· + β p−s 10 p−s ) trong đó 0 ≤ β i ≤ 9(i = p − 1, p − s); β p > 0 là những số nguyên. Nếu p − s ≥ 0 thì a là số nguyên; p − s = −m(m ≥ 0) thì a có phần thập phân gồm m chữ số. Nếu s = ∞, a là số thập phân vô hạn. Thu gọn một số a là vứt bỏ một số các chữ số bên phải a để được một số a ngắn gọn hơn và gần đúng nhất với a. Quy tắc thu gọn: Giả sử a = β p 10 p + ···+ β j 10 j + ···+ β p−s 10 p−s và ta giữ lại đến số hạng thứ j. Gọi phần vứt bỏ là µ, ta đặt a = β p 10 p + . . . + β j+1 10 j+1 + ˜ β j 10 j trong đó ˜ β j =  β j + 1 nếu 0, 5 × 10 j < µ < 10 j β j nếu 0 ≤ µ < 0, 5 × 10 j Nếu µ = 0, 5 × 10 j thì ˜ β j =  β j nếu β j là chẵn β j + 1 nếu β j là lẻ Ví dụ 1.3. π ≈ 3, 141592 ≈ 3, 14159 ≈ 3, 1416 ≈ 3, 142 ≈ 3, 14 ≈ 3, 1 ≈ 3. Sai số thu gọn Γ a thỏa mãn điều kiện: |a − a| ≤ Γ a Vì a = β p 10 p + . . . + β j 10 j + µ 5 còn a = β p 10 p + ··· + β j+1 10 j+1 + ˜ β j 10 j , nên |a − a| = |(β j − ˜ β j )10 j + µ| < 0, 5 × 10 j . Sau khi thu gọn, sai số tuyệt đối tăng lên: |a − a| ≤ |a ∗ − a| + |a − a| ≤ ∆ a + Γ a . 1.3. Chữ số chắc Chữ số có nghĩa là mọi chữ số khác " 0 " và cả "0", nếu nó kẹp giữa hai chữ số có nghĩa hoặc nó đại diện cho hàng được giữ lại. Ví dụ 1.4. a = 0,0030140. Ba chữ số " 0 " đầu không có nghĩa. Mọi chữ số có nghĩa β i của a = ±(β p 10 p + β p−1 10 p−1 + ···+ β p−s 10 p−s ) gọi là chữ số chắc, nếu ∆ a ≤ ω × 10 i trong đó ω là tham số cho trước. Tham số ω được chọn để một chữ số vốn đã chắc sau khi thu gọn vẫn là chữ số chắc. Giả sử chữ số chắc cuối cùng của a trước khi thu gọn là β i . Để β i+1 và các chữ số trước nó vẫn chắc, phải có ∆ a + Γ a ≤ ω × 10 i+1 . Suy ra ω ×10 i + 0, 5 ·10 i+1 ≤ ω × 10 i+1 hay ω ≥ 5 9 . Ta sẽ gọi chữ số chắc theo nghĩa hẹp (rộng) nếu ω = 0, 5(ω = 1). Khi viết số gần đúng, chỉ nên giữ lại một hoặc hai chữ số không chắc để khi tính toán, sai số chỉ tác động đến chữ số không chắc thôi. 1.4. Sai số tính toán Khi giải bài toán ta phải thực hiện các phép tính thông thường và luôn luôn phải làm tròn các kết quả trung gian. Sai số tạo ra bởi tất cả các lần làm tròn như vậy gọi là sai số tính toán. Trong tính toán ta thường gặp bốn loại sai số sau: [...]... được thực hiện bằng phương pháp tổ hợp tuyến tính theo sơ đồ Kamar như sau: αA + β B α E + C cC + dD lgK1 A lgK2 α E + βB +(α + c) dD lgK = lgK1 + αlgK2 Sơ đồ này tỏ ra rất thuận tiện cho việc tính toán bất kì một loại cân bằng nào Chương 2 Phương pháp Newton - Raphson giải hệ phương trình phi tuyến 2.1 Cơ sở lí thuyết 2.1.1 Phương pháp lặp Newton- Raphson Cho hệ phương trình phi tuyến:   f1 (x1 ,... dấu trong dãy hệ số của phương trình đó, những hệ số là số 0 không tính đến Số nghiệm âm của phương trình (1.3) bằng hoặc kém hơn một số chẵn số lần đổi dấu trong hệ số của phương trình f (- x) = 0 Nếu phương trình là đầy đủ, thì số nghiệm âm bằng số lần giữ nguyên dấu trong hệ số của phương trình hoặc kém hơn nó một số chẵn i Tìm nghiệm có môđun lớn hoặc bé nhất của phương trình đại số (1.3): Nghiệm... tiên x0 , thay vì giải hệ phương trình (2.1) ta giải hệ phương trình sau: F (x0 ) + J(x0 )(x − x0 ) = 0 (2.2) 24 Nếu detJ(x0 ) = 0 thì (2.2) có nghiệm duy nhất, ta kí hiệu x1 , để cho thuận lợi ta giải (2.2) đối với: ∆x0 = x − x0 , sau đó tính x1 = x0 + ∆x0 Như vậy ta đã thay hệ phương trình fi (x1 , x2 , x3 , , xn ) = 0(i = 1, n) bởi hệ phương trình (2.2) đơn giản hơn nhiều vì (2.2) tuyến tính đối... phương Thực tế phép lặp dừng lại khi bước lặp thỏa mãn bất đẳng thức: xm+1 − xm ≤ Để chọn bước lặp đầu tiên ta chọn bằng đồ thị ( hoặc phép thử ) 2.1.2 Cách giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp lặp Newton - Raphson Cho hệ phương trình phi tuyến:   f1 (x1 , x2 , , xn ) = 0      f (x , x , , x ) = 0 2 1 2 n       f (x , x , , x ) = 0 n 1 2 n ở đây fi (i = 1, n) và các... 9 × 10−4 1.5 Sai số do phương pháp tính toán Khi giải gần đúng một bài toán phức tạp ta phải thay một bài toán đã cho bằng một bài toán đơn giản hơn có thể giải được thông qua việc thực hiện 9 các phép tính thông thường Phương pháp thay bài toán phức tạp bằng bài toán đơn giản hơn như thế gọi là phương pháp gần đúng Sai số do phương pháp gần đúng tạo ra gọi là sai số phương pháp Ví dụ 1.7 Hãy tính... trong phương trình (1.3) hai hệ số cạnh nhau khác dấu, ta nói rằng có sự đổi dấu Nếu hai hệ số cạnh nhau cùng dấu, ta nói rằng có sự giữ nguyên dấu Lưu ý ở đây ta chỉ nói đến các hệ số khác 0 12 Phương trình (1.3) được gọi là đầy đủ nếu nó không có hệ số a nào bằng 0 Nguyên lí Decard được phát biểu như sau: Số nghiệm dương của phương trình (1.3) bằng hoặc kém hơn một số chẵn số lần đổi dấu trong dãy hệ. .. với hệ số hợp thức tương ứng của từng chất ban đầu Tỉ số có giá trị bé nhất là tọa độ cực đại của phản ứng xmax = min{ Ci0 n0 , α < 0} hoặc ξmax = min{ i , α < 0} |αi | |αi | (Đối với các chất đầu αi < 0) Ví dụ 1.9 Xét hỗn hợp phản ứng gồm có Cr2 O2 0,1M, NO− 0,12M, H+ 0,4M 7 2 − 2− − + 3NO2 + CrO7 + 8H 3NO3 + 2Cr3+ + 4H2 O α -3 -1 -8 3 2 C0 0,12 0,1 0,4 0,0 0,0 -1 x -8 x 3x 2x 0,40 - 8x 3x 2x ∆C -3 x... + 1, 9872 −7, 9976 −0, 00036 0, 0000354 = · 0, 0055 0, 006 1, 0000082 2, 000013 • Lặp lại quá trình trên ta có x4 = 1, 0000082 2, 000013 • Vậy nghiệm của hệ là x = 1, 0000082 y = 2, 000013 Sau đây là chương trình được viết cho hệ phương trình trên với bước xuất phát x0 = (x0 ; y0 ): Chương trình: Program New-Raph; var A: array[1 2,1 2] of real ; dk, k, kmax, k1: integer; x0 , y0 , x1 , y1 , dx1 , dy1...6 1 Sai số giả thiết: Do mô hình hóa, lí tưởng hóa các bài toán thực tế, sai số này không loại trừ được 2 Sai số phương pháp: Các bài toán thường gặp rất phức tạp, không thể giải đúng được mà phải sử dụng các phương pháp gần đúng Sai số này sẽ được nghiên cứu cho từng phương pháp cụ thể 3 Sai số các số liệu: Các số liệu thường thu được bằng thực nghiệm do đó có sai số Sai số của các số liệu gần... và xét hệ phương trình tuyến tính với ẩn số 25 h = (h1 , h2 , , hn )  n  f (x0 + h , x0 + h , , x0 + h ) = f + ∂f1 h ≈ 0  1 1 1 2 2 n 1 n  ∂xi i   i=1  n    f2 (x0 + h1 , x0 + h2 , , x0 + hn ) = f2 + ∂f2 hi ≈ 0 1 2 n ∂xi i=1         fn (x0 + h1 , x0 + h2 , , x0 + hn ) = fn +  2 1 n n i=1 ∂fn ∂xi hi (2.3) ≈0 Nếu (x0 , x0 , , x0 ) là bước xuất phát của phương pháp, . trợ. Chương 2: Phương pháp Newton - Raphson giải hệ phương trình phi tuyến. Chương 3: Ứng dụng của phương pháp Newton - Raphson. 5. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp giải gần đúng của lý thuyết giải. nghiên cứu - Nghiên cứu một cách có hệ thống kiến thức cơ bản của phương pháp Newton - Raphson giải hệ phương trình phi tuyến. - Tính cân bằng các hệ oxi hóa khử theo phương pháp Newton - Raphson. Luận. cứu Nghiên cứu một cách có hệ thống kiến thức cơ bản của phương pháp Newton - Raphson giải hệ phương trình phi tuyến. Sau đó vận dụng phương pháp này giải một số hệ phương trình phi tuyến 2 ẩn, 3 ẩn,