Phương pháp NewTon - Raphson giải hệ phương trình phi tuyến

số là một vấn đề đáng quan tâm.Phương pháp Newton - Raphson giải hệ phương trình phi tuyến là phươngpháp có lời giải hay, có thể áp dụng cho mọi hệ, đặc biệt những hệ càng phứctạp thì ph

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học sư phạm

Hà Nội 2 Trước hết, tác giả xin bày tỏ sự kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc tớithầy giáo TS Nguyễn Văn Hùng đã luôn hướng dẫn và chỉ bảo chu đáo, tậntình, nghiêm khắc trong suốt quá trình tác giả học tập và nghiên cứu luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Sau đại học, trườngĐại học sư phạm Hà Nội 2 cũng như toàn thể các thầy cô giáo trong trường

đã quan tâm và dành cho tác giả những điều kiện tốt nhất trong thời gianhọc tập và nghiên cứu tại đây

Tác giả xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ, tạo điều kiện của Ban GiámHiệu Trường THPT Tam Đảo, THPT Phúc Yên

Tác giả xin chân thành cảm ơn các ý kiến đóng góp xác đáng của các thầygiáo phản biện để luận văn được hoàn thiện hơn

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên vàtạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này

Hà Nội, tháng 9 năm 2010

Tác giả

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi, đượchoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hùng

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học củacác nhà khoa học nghiên cứu với sự trân trọng biết ơn

Hà Nội, tháng 9 năm 2010

Tác giả

Mục lục

1.1 Sai số tuyệt đối, sai số tương đối 3

1.2 Sai số thu gọn 4

1.3 Chữ số chắc 5

1.4 Sai số tính toán 5

1.5 Sai số do phương pháp tính toán 8

1.6 Xấp xỉ ban đầu 10

1.7 Ma trận nghịch đảo 13

1.8 Các định luật cơ bản của hóa học áp dụng cho các hệ trong dung dịch chất điện li 16

1.8.1 Định luật hợp thức 16

1.8.2 Định luật bảo toàn vật chất 18

1.8.3 Định luật tác dụng khối lượng 20

Chương 2 Phương pháp Newton - Raphson giải hệ phương trình phi tuyến 23 2.1 Cơ sở lí thuyết 23

2.1.1 Phương pháp lặp Newton-Raphson 23

2.1.2 Cách giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp lặp Newton - Raphson 24

2.2 Ví dụ áp dụng 26

Chương 3 Ứng dụng của phương pháp Newton - Raphson 32 3.1 Giải hệ phi tuyến 2 ẩn 32

3.2 Giải hệ phi tuyến 3 ẩn 40

3.3 Tính cân bằng trong các hệ oxi hóa- khử phức tạp 46

Kết luận 57

số là một vấn đề đáng quan tâm.

Phương pháp Newton - Raphson giải hệ phương trình phi tuyến là phươngpháp có lời giải hay, có thể áp dụng cho mọi hệ, đặc biệt những hệ càng phứctạp thì phương pháp này càng tỏ ra ưu việt Hơn nữa, nếu lựa chọn xấp xỉban đầu tốt thì phương pháp này cho kết quả rất nhanh và chính xác

Qua nghiên cứu về phương pháp này chúng ta thấy mình hiểu biết về kiếnthức giải tích ở phổ thông một cách rõ ràng, sâu sắc hơn trước rất nhiều.Đồng thời cũng thấy được một phần ứng dụng ưu việt của nó trong nghànhhóa học phân tích khi tính cân bằng các hệ oxi hóa - khử phức tạp Vì vậy vớimong muốn tìm hiểu sâu sắc hơn nữa phương pháp này tôi mạnh dạn chọnnghiên cứu đề tài: "Phương pháp Newton - Raphson giải hệ phươngtrình phi tuyến "

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một cách có hệ thống kiến thức cơ bản của phương phápNewton - Raphson giải hệ phương trình phi tuyến Sau đó vận dụng phươngpháp này giải một số hệ phương trình phi tuyến 2 ẩn, 3 ẩn, tính toán cânbằng các hệ oxi hóa khử phức tạp

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Giải hệ phi tuyến bằng phương pháp Newton - Raphson

Tính toán cân bằng các hệ oxi hóa khử theo phương pháp Newton Raphson

-4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu một cách có hệ thống kiến thức cơ bản của phương phápNewton - Raphson giải hệ phương trình phi tuyến

- Tính cân bằng các hệ oxi hóa khử theo phương pháp Newton - Raphson.Luận văn được chia làm 3 chương ( ngoài phần mở đầu, kết luận và tàiliệu tham khảo )

Chương 1: Một số kiến thức bổ trợ

Chương 2: Phương pháp Newton - Raphson giải hệ phương trình phi tuyến.Chương 3: Ứng dụng của phương pháp Newton - Raphson

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp giải gần đúng của lý thuyết giải tích số

- Phương pháp phân tích định tính và định lượng của hóa học

6 Những đóng góp mới của đề tài

- Tính cân bằng các hệ oxi hóa khử theo phương pháp Newton - Raphsongiải hệ phương trình phi tuyến

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Sai số tuyệt đối, sai số tương đối

Trong tính toán, ta thường phải làm việc với các giá trị gần đúng của cácđại lượng Ta nói a là số gần đúng của a∗, nếu a không sai khác a∗ nhiều Đạilượng ∆a = |a − a∗| gọi là sai số thật sự của a Nói chung chúng ta khôngbiết a∗ nên ta cũng không biết ∆a Tuy nhiên ta có thể tìm được ∆a ≥ 0,gọi là sai số tuyệt đối của a, thỏa mãn điều kiện:

Mặt khác, 3, 14 ≤ π ≤ 3, 141 = 3, 14 + 0, 001 do đó có thể coi ∆a = 0, 001

Ví dụ 1.2

Đo độ dài hai đoạn thẳng AB, CD ta được a = 10cm và b = 1cm với

∆a = ∆b = 0, 01 Khi đó ta có δa = 0,0110 = 0, 1% còn δb = 0,011 = 1% hay

δa = 10δb Hiển nhiên rằng phép đo a chính xác hơn hẳn phép đo b mặc dù

p − s ≥ 0 thì a là số nguyên; p − s = −m(m ≥ 0) thì a có phần thập phângồm m chữ số Nếu s = ∞, a là số thập phân vô hạn Thu gọn một số a làvứt bỏ một số các chữ số bên phải a để được một số a ngắn gọn hơn và gầnđúng nhất với a.

Quy tắc thu gọn:

Giả sử a = βp10p+ · · · + βj10j + · · · + βp−s10p−s và ta giữ lại đến số hạngthứ j Gọi phần vứt bỏ là µ, ta đặt

a = βp10p+ + βj+110j+1+ ˜βj10jtrong đó

|a − a| ≤ ΓaVì

a = βp10p+ + βj10j + µ

còn

a = βp10p+ · · · + βj+110j+1 + ˜βj10j,nên

|a − a| = |(βj − ˜βj)10j + µ| < 0, 5 × 10j.Sau khi thu gọn, sai số tuyệt đối tăng lên:

a = 0,0030140 Ba chữ số " 0 " đầu không có nghĩa

Mọi chữ số có nghĩa βi của a = ±(βp10p+ βp−110p−1+ · · · + βp−s10p−s) gọi

là chữ số chắc, nếu

∆a ≤ ω × 10itrong đó ω là tham số cho trước Tham số ω được chọn để một chữ số vốn

đã chắc sau khi thu gọn vẫn là chữ số chắc Giả sử chữ số chắc cuối cùng của

a trước khi thu gọn là βi Để βi+1 và các chữ số trước nó vẫn chắc, phải có

∆a+ Γa ≤ ω × 10i+1 Suy ra ω × 10i+ 0, 5 · 10i+1 ≤ ω × 10i+1 hay ω ≥ 59 Ta

sẽ gọi chữ số chắc theo nghĩa hẹp (rộng) nếu ω = 0, 5(ω = 1)

Khi viết số gần đúng, chỉ nên giữ lại một hoặc hai chữ số không chắc đểkhi tính toán, sai số chỉ tác động đến chữ số không chắc thôi

1.4 Sai số tính toán

Khi giải bài toán ta phải thực hiện các phép tính thông thường và luônluôn phải làm tròn các kết quả trung gian Sai số tạo ra bởi tất cả các lầnlàm tròn như vậy gọi là sai số tính toán

Trong tính toán ta thường gặp bốn loại sai số sau:

1 Sai số giả thiết: Do mô hình hóa, lí tưởng hóa các bài toán thực tế, sai

số này không loại trừ được

2 Sai số phương pháp: Các bài toán thường gặp rất phức tạp, không thểgiải đúng được mà phải sử dụng các phương pháp gần đúng Sai số này

sẽ được nghiên cứu cho từng phương pháp cụ thể

3 Sai số các số liệu: Các số liệu thường thu được bằng thực nghiệm do đó

có sai số Sai số của các số liệu gần đúng đã được nghiên cứu trong mục1.1

4 Sai số tính toán: Các số vốn đã có sai số, còn thêm sai số thu gọn nênkhi tính toán sẽ xuất hiện sai số tính toán

Giả sử tìm được đại lượng y theo công thức:

y = f (x1, x2, , xn)Gọi x∗i, y∗(i = 1, n) và xi, y(i = 1, n) là các giá trị đúng và gần đúng củađối số và hàm số Nếu f khả vi liên tục thì

c) Sai số của phép tính lũy thừa, khai căn, nghịch đảo

Cho y = xα, khi đó δy = |dxd lny|∆x = |α|δx

- Nếu α > 1 ( phép lũy thừa ) thì δy > δx, do đó độ chính xác giảm

- Nếu 0 ≤ α < 1 ta có phép khai căn, khi đó δy < δx, hay độ chính xác tăng

- Nếu α = 1, ta có phép nghịch đảo, δy = δx, nghĩa là độ chính xác khôngđổi

13 = 1

1 = 1, 000 với θ1 = 01

23 = 1

8 = 0, 125 với θ2 = 01

1.5 Sai số do phương pháp tính toán

Khi giải gần đúng một bài toán phức tạp ta phải thay một bài toán đã chobằng một bài toán đơn giản hơn có thể giải được thông qua việc thực hiện

các phép tính thông thường Phương pháp thay bài toán phức tạp bằng bàitoán đơn giản hơn như thế gọi là phương pháp gần đúng Sai số do phươngpháp gần đúng tạo ra gọi là sai số phương pháp

Giải Vế phải của P là một chuỗi số đan dấu hội tụ Do đó việc tính P làhợp lí Nhưng vế phải của P có vô hạn số hạng, ta không thể cộng hết số nàyđến số khác mãi được Do đó để tính P ta phải sử dụng một phương phápgần đúng, cụ thể P thay bằng tổng n số hạng đầu

|P − Pn| ≈ | 1

(n + 1)3 − 1

(n + 2)3 + · · · | <

1(n + 1)3.(theo lí thuyết chuỗi đan dấu) Vì vậy với n = 6 ta thấy :

P − 0, 899 = P − P6 + A − 0, 899

|P − 0, 899| ≤ |P − P6| + |A − 0, 899|

|P − 0, 899| ≤ |3 × 10−3 + 9 × 10−4 ≤ 4 × 10−3

Vậy ta tính đượcP ≈ 0, 899 với sai số tuyệt đối không vượt quá 4 × 10−3

P = 0, 899 ± 9 × 10−4.Qua ví dụ 1.6 và ví dụ trên ta thấy sai số tổng hợp cuối cùng có phần củasai số phương pháp và có phần của sai số tính toán

Việc tìm xấp xỉ ban đầu x0 cho nghiệm r của phương trình (1.2) thường

do sự dự đoán dựa trên thông tin về hàm f có được, hoặc bằng cách vẽ đồthị tìm điểm x0 sao cho f (x0) ≈ 0 Ngoài ra, ta cũng có thể tìm được x0 dựavào định lý sau:

Nếu f ( x ) là một hàm thực liên tục trên [ a ; b], (a < b ), có f (a)·f (b) < 0thì tồn tại ít nhất một nghiệm r của f( x ) trong khoảng (a;b)

Việc tìm một đoạn [ a ; b] như vậy gọi là cô lập nghiệm

Bây giờ ta xét một số thuật toán tìm xấp xỉ ban đầu cho nghiệm thực củaphương trình đại số có dạng:

f (x) = Pn(x) = a0xn+ a1xn−1+ · · · + an−1x + an = 0 (1.3)với các hệ số thực ai(i = 0, n) Phương trình đại số (1.3) nói chung , có thể

có các ngiệm thực khác nhau hoặc nghiệm thực kép Nếu ta kí hiệu nghiệmcủa (1.3) là các số r1, r2, , rn thì Pn(x) có thể viết dưới dạng:

Pn(x) = a0(x − r1)(x − r2)(x − r3) · · · (x − rn)Giả thiết rằng: |r1| > |r2| > > |rn|

Từ đẳng thức thứ hai của hệ trên suy ra:

Quá trình này được tiếp tục cho đến đẳng thức cuối cùng ta được:

Nếu trong phương trình (1.3) hai hệ số cạnh nhau khác dấu, ta nói rằng có

sự đổi dấu Nếu hai hệ số cạnh nhau cùng dấu, ta nói rằng có sự giữ nguyêndấu

Lưu ý ở đây ta chỉ nói đến các hệ số khác 0

Phương trình (1.3) được gọi là đầy đủ nếu nó không có hệ số a nào bằng0

Nguyên lí Decard được phát biểu như sau:

Số nghiệm dương của phương trình (1.3) bằng hoặc kém hơn một số chẵn

số lần đổi dấu trong dãy hệ số của phương trình đó, những hệ số là số 0 khôngtính đến

Số nghiệm âm của phương trình (1.3) bằng hoặc kém hơn một số chẵn sốlần đổi dấu trong hệ số của phương trình f(- x) = 0

Nếu phương trình là đầy đủ, thì số nghiệm âm bằng số lần giữ nguyên dấutrong hệ số của phương trình hoặc kém hơn nó một số chẵn

i Tìm nghiệm có môđun lớn hoặc bé nhất của phương trình đại số(1.3):

Nghiệm đơn của (1.3), với a0 = 1, có môđun lớn nhất cũng có thể đượcxấp xỉ từ phương trình

x2 + a1x + a2 = 0 hoặc x + a1 = 0Nếu nghiệm đơn có môđun lớn hơn nhiều so với các nghiệm khác thì cácxấp xỉ này cho ta kết quả tương đối chính xác

Nghiệm có giá trị môđun nhỏ nhất của (1.3) cũng có thể tính xấp xỉ từphương trình

an−2x2 + an−1x + an = 0 hoặc an−1x + an = 0

ii Lược đồ Horner

Lược đồ horner dùng để chia một đa thức

a0xn+ a1xn−1 + · · · + an−1x + ancho một nhị thức x − x0 Kết quả sau phép chia sẽ là một đa thức bậc n - 1

là b0xn−1+ b1xn−2+ · · · + bn−2x + bn−1 và phần dư sẽ là R, sẽ chỉ cho một sốsao cho thỏa mãn:

a0xn+ a1xn−1+ · · · + an−1x + an = (x − x0)(b0xn−1+ · · · + bn−2x + bn−1) + R

So sánh các hệ số của hai đa thức bằng nhau ta được:

b0 = a0, b1 = a0x0 + a1, b2 = b1x0 + a2, ,

bn−1 = bn−2x0 + an−1, R = bn−1x0 + an.Thông thường lược đồ chia đa thức cho một nhị thức được sắp xếp như sau:

x0 b0x0 b1x0 b2x0 bn−2x0 bn−1x0

1.7 Ma trận nghịch đảo

Ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A cấp n là một ma trận, kí hiệu

A−1 thỏa mãn điều kiện:

AA−1 = A−1A = I

Ma trận có ma trận nghịch đảo A−1 khi và chỉ khi detA 6= 0 và khi đó ta

có thể tìm A−1 bằng cách tính giá trị các phần bù đại số Aij, i, j = 1, 2, , nsau đó ta có thể áp dụng các công thức:

Cụ thể sau khi chia hàng thứ nhất của (1.4) cho a11 ta có

Hai bước cơ bản cần được tiến hành đối với ma trận này là:

1 Với mỗi hàng thứ l, chia tất cả a(l−1)ij cho a(l−1)ll , j = l, l + 1 , l + n

2 Với mỗi i = 1, 2, , n, i 6= l thay cho a(l−1)ij bằng:

a(l)ij = a(l−1)ij − a(l−1)il a

(l−1) lj

a(l−1)ll, j = l, l + 1, , l + n

Và vấn đề tìm A−1 trở thành tìm:

a(l)ij = a

(l−1) lj

a(l−1)ll, l = 1, 2, , n; j = l, l + 1, , l + n

a(l)ij = a(l−1)ij − a(l−1)il a(l)lj , i = 1, 2, , l, , n; j = l, , l + n

Thông thường i chỉ số hàng, j là chỉ số cột còn l gán cho giá trị 0 và sau

đó được thay ngay bằng l +1 là chỉ số của các phần tử đường chéo chínhhiện tại Nên thay a(l−1)ll bằng Q để dễ dàng với mỗi l cố định các thành phần

ở hàng thứ l có thể chia cho a(l−1)ll Nếu không chuyển a(l−1)ll đến chỗ Q, thì

a(l)ij = a(l−1)ll /a(l−1)ll = 1, i = l, j = l và các thành phần a(l)ij khác còn lại j = l,l+1, sẽ giữ nguyên giá trị vì nó chỉ chia cho 1 thôi

Nếu gọi n ( hoặc C) là số mol ( hoặc nồng độ ) ban đầu

và n’ ( hoặc C’ ) là số mol (hoặc nồng độ ) sau phản ứng thì:

n0 = n + ∆n và C0 = C + ∆CThường quy ước:

|αi|, α < 0} hoặc ξmax = min{

2 = 0, 04 và phản ứng sẽ diễn ra cho đến hết NO−2

• Thành phần giới hạn

Thành phần giới hạn có thể là thành phần cân bằng nhưng thường chưa

là thành phần cân bằng vì sau đó còn có thể xảy ra các quá trình phụ

1.8.2. Định luật bảo toàn vật chất

• Định luật bảo toàn nồng độ ban đầu:

Dạng thuận tiện nhất của định luật bảo toàn vật chất áp dụng cho dungdịch các chất điện li là định luật bảo toàn nồng độ ban đầu Theo định luậtnày, nồng độ ban đầu của một cấu tử bằng tổng nồng độ cân bằng của dạngtồn tại của cấu tử đó có mặt trong dung dịch khi cân bằng

Ví dụ 1.10

Định luật bảo toàn nồng độ ban đầu đối với ion K+, CrO2−4 trong dungdịch K2CrO4 0, 1M khi có mặt axít mạnh, biết rằng dung dịch Crom tồn tạidưới dạng CrO2−4 , HCrO2−4 , Cr2O2−7 được biểu diễn như sau:

Đối với ion K+:

C+K = 2CK2CrO4 = 0, 2 = [K+]Đối với ion CrO2−4 :

CC

r O2−4 = CK2CrO4 = 0, 1 = [CrO2−4 ] + [HCrO−4 ] + 2[Cr2O2−7 ]

• Định luật bảo toàn Proton:

Theo định luật này, nếu ta chọn một trạng thái nào đó của dung dịchlàm chuẩn ( thường gọi là trạng thái quy chiếu hay là mức không ) thì tổngnồng độ Proton mà các cấu tử ở mức không giải phóng ra bằng tổng nồng

độ Proton mà cấu tử thu vào để đạt tới trạng thái cân bằng

trong đó, K là hằng số cân bằng nhiệt động, chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ, bảnchất của các phản ứng và dung môi, hầu như không phụ thuộc vào áp suất

và thành phần của hệ

(i) chỉ hoạt độ của cấu tử i

(i) = [i]fi ( fi là hệ số hoạt độ của cấu tử i , [ ] chỉ nồng độ ở trạng tháicân bằng )

Đặt

Kc = [C]

c[D]d[A]a[B]b

thì Kc được gọi là hằng số cân bằng nồng độ Đại lượng này phụ thuộc vàocác giá trị hệ số hoạt độ của các cấu tử tham gia phản ứng, tức lực ion củadung dịch Nếu chấp nhận gần đúng các giá trị hệ số hoạt độ bằng đơn vị( chỉ đúng trong dung dịch vô cùng loãng) thì :

Kc = K

Trong thực tế do không biết chính xác lực ion hoặc do yêu cầu của việctính toán chỉ là định hướng để giải thích các hiện tượng, người ta thườngchấp nhận điều kiện Kc = K và tính toán cân bằng theo nồng độ

• Biểu diễn cân bằng dưới dạng tổng quát:

Trong tính toán cân bằng ion thường phải tổ hợp các biểu thức bảo toànnồng độ và định luật tác dụng khối lượng

Φ = −H2O2 − 3I−− 2H++ I−3 + 2H2O

Chương 2 Phương pháp Newton - Raphson giải

hệ phương trình phi tuyến

fn(x1, x2, , xn) = 0

Hệ này được viết dưới dạng

nếu coi x = (x1, x2, x3, , xn) và F (x) = (f1(x), f2(x), f3(x), , fn(x)) Taxét ma trận Jacobian của các hàm fi(x)(i = 1, n) được giả thiết là hàm khả

Nếu detJ (x0) 6= 0 thì (2.2) có nghiệm duy nhất, ta kí hiệu x1, để cho thuậnlợi ta giải (2.2) đối với: ∆x0 = x − x0, sau đó tính x1 = x0 + ∆x0

Như vậy ta đã thay hệ phương trình fi(x1, x2, x3, , xn) = 0(i = 1, n) bởi

hệ phương trình (2.2) đơn giản hơn nhiều vì (2.2) tuyến tính đối với x.Nếu xm tìm được thì xm+1 tính theo công thức xm+1 = xm + ∆xm, vectơ

số gia ∆xm = (∆xm1 , , ∆xmn) tìm được từ hệ F (xm) + J (xm)(∆xm) = 0,hay chính là hệ:

và ma trận J (x) không suy biến Hơn thế nữa tốc độ hội tụ là tốc độ bìnhphương Thực tế phép lặp dừng lại khi bước lặp thỏa mãn bất đẳng thức:

kxm+1− xmk ≤  Để chọn bước lặp đầu tiên ta chọn bằng đồ thị ( hoặc phépthử )

2.1.2. Cách giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp lặp

fn(x1, x2, , xn) = 0

ở đây fi(i = 1, n) và các đạo hàm riêng của chúng cho đến bậc hai đượcgiả thiết là liên tục và giới nội Khai triển các hàm fi(i = 1, n) tại lân cậncủa điểm x0 theo chuỗi Taylor và xét hệ phương trình tuyến tính với ẩn số

được gọi là ma trận Jacobian của hệ phương trình phi tuyến trên tại điểm x0.Nếu tồn tại J−1(x0), thì nghiệm (h1, h2, , hn) của hệ (2.3) tìm được theo