Phương pháp NewTon - Raphson giải hệ phương trình phi tuyến

, n 1Tuy nhiên, chí trong m®t so trưòng hop đ¾c bi¾t ta mói có cách tìmnghi¾m đúng cna h¾ phương trình đó, các trưòng hop còn lai đeu phái tìmcách giái gan đúng.. Phương pháp Newton - Ra

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

Tran Th% Phương Lan

PHƯƠNG PHÁP NEWTON - RAPHSON GIÁI Hfi PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYEN

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC

LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn này đưoc thnc hi¾n và hoàn thành tai trưòng Đai hoc sư pham

Hà N®i 2 Trưóc het, tác giá xin bày tó sn kính trong, lòng biet ơn sâu sac tóithay giáo TS Nguyen Văn Hùng đã luôn hưóng dan và chí báo chu đáo, t¾ntình, nghiêm khac trong suot quá trình tác giá hoc t¾p và nghiên cúu lu¾n văn

Tác giá xin chân thành cám ơn Ban giám hi¾u, phòng Sau đai hoc, trưòngĐai hoc sư pham Hà N®i 2 cũng như toàn the các thay cô giáo trong trưòng

đã quan tâm và dành cho tác giá nhung đieu ki¾n tot nhat trong thòi gianhoc t¾p và nghiên cúu tai đây

Tác giá xin chân thành cám ơn sn giúp đõ, tao đieu ki¾n cna Ban GiámHi¾u Trưòng THPT Tam Đáo, THPT Phúc Yên

Tác giá xin chân thành cám ơn các ý kien đóng góp xác đáng cna các thaygiáo phán bi¾n đe lu¾n văn đưoc hoàn thi¾n hơn

Tác giá xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân đã đ®ng viên vàtao moi đieu ki¾n đe tác giá có the hoàn thành bán lu¾n văn này

Hà N®i, tháng 9 năm 2010

Tác giá

LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi, đưochoàn thành dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Hùng

Trong khi nghiên cúu lu¾n văn, tôi đã ke thùa thành quá khoa hoc cnacác nhà khoa hoc nghiên cúu vói sn trân trong biet ơn

Hà N®i, tháng 9 năm 2010

Tác giá

Mnc lnc

1.1

Sai so tuy ¾t đoi, sai so tương đoi 3

1.2 Sai so thu go n 4

1.3 Chu so chac 5

1.4 Sai so tính toán 5

1.5 Sai so do phương pháp tính toán 8

1.6 Xap xí ban đau 10

1.7 Ma tr¾n ngh%c h đáo 13

1.8 Các đ%nh lu¾t cơ bán cna hóa hoc áp dung cho các h¾ trong dung d%c h chat đi¾n li 16

1.8.1 Đ%nh lu¾t hop thúc 16

1.8.2 Đ%nh lu¾t báo toàn v ¾t chat 18

1.8.3 Đ%nh lu¾t tác dung khoi lưong 20

Chương 2 Phương pháp Newton - Raphson giái h¾ phương trình phi tuyen 23 2.1 Cơ só lí thuyet 23

2.1.1 Phương pháp l¾p Newton-Raphson 23

2.1.2 Cách giái h¾ phương trình phi tuyen bang phương pháp l¾p Newton - Raphson 24

2.2 Ví du áp dung 26

Chương 3 Úng dnng cúa phương pháp Newton - Raphson 32 3.1 Giái h¾ phi tuyen 2 an 32

3.2 Giái h¾ phi tuyen 3 an 40

3.3 Tính cân bang trong các h¾ oxi hóa- khú phúc tap 46

Mé ĐAU

1 Lý do chon đe tài

Trong khoa hoc công ngh¾ và trong thưc te có rat nhieu bài toán đưocchuyen thành bài toán giái h¾ phương trình

f i (x1, x2, , x n) = 0 (i = 1, 2, , n) (1)Tuy nhiên, chí trong m®t so trưòng hop đ¾c bi¾t ta mói có cách tìmnghi¾m đúng cna h¾ phương trình đó, các trưòng hop còn lai đeu phái tìmcách giái gan đúng Neu h¾ phương trình đó xuat phát tù bài toán thnc

te thì bieu thúc f i (x1, x2, , x n )(i = 1, n) cna h¾ (1) thưòng cũng chí biet

gan đúng Vì the vi¾c giái đúng h¾ phương trình đó chang nhung khôngthnc hi¾n noi mà nhieu khi không có ý nghĩa Đoi vói lóp các bài toán đó thìvi¾c xác đ%nh sai so là m®t van đe đáng quan tâm

Phương pháp Newton - Raphson giái h¾ phương trình phi tuyen là phươngpháp có lòi giái hay, có the áp dung cho moi h¾, đ¾c bi¾t nhung h¾ càng phúctap thì phương pháp này càng tó ra ưu vi¾t Hơn nua, neu lna chon xap xíban đau tot thì phương pháp này cho ket quá rat nhanh và chính xác

Qua nghiên cúu ve phương pháp này chúng ta thay mình hieu biet ve kienthúc giái tích ó pho thông m®t cách rõ ràng, sâu sac hơn trưóc rat nhieu.Đong thòi cũng thay đưoc m®t phan úng dung ưu vi¾t cna nó trong nghànhhóa hoc phân tích khi tính cân bang các h¾ oxi hóa - khú phúc tap Vì v¾y vóimong muon tìm hieu sâu sac hơn nua phương pháp này tôi manh dan chon

nghiên cúu đe tài: "Phương pháp Newton - Raphson giái h¾ phương

trình phi tuyen "

2 Mnc đích nghiên cNu

Nghiên cúu m®t cách có h¾ thong kien thúc cơ bán cna phương phápNewton - Raphson giái h¾ phương trình phi tuyen Sau đó v¾n dung phươngpháp này giái m®t so h¾ phương trình phi tuyen 2 an, 3 an, tính toán cânbang các h¾ oxi hóa khú phúc tap

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

- Giái h¾ phi tuyen bang phương pháp Newton - Raphson

Tính toán cân bang các h¾ oxi hóa khú theo phương pháp Newton Raphson

-4 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

- Nghiên cúu m®t cách có h¾ thong kien thúc cơ bán cna phương phápNewton - Raphson giái h¾ phương trình phi tuyen

- Tính cân bang các h¾ oxi hóa khú theo phương pháp Newton - Raphson.Lu¾n văn đưoc chia làm 3 chương ( ngoài phan mó đau, ket lu¾n và tàili¾u tham kháo )

Chương 1: M®t so kien thúc bo tro

Chương 2: Phương pháp Newton - Raphson giái h¾ phương trình phi tuyen.Chương 3: Úng dung cna phương pháp Newton - Raphson

5 Phương pháp nghiên cNu

- Phương pháp giái gan đúng cna lý thuyet giái tích so

- Phương pháp phân tích đ%nh tính và đ%nh lưong cna hóa hoc

6 NhÑng đóng góp mái cúa đe tài

- Tính cân bang các h¾ oxi hóa khú theo phương pháp Newton - Raphsongiái h¾ phương trình phi tuyen

Chương 1 M®t so kien thNc chuan b%

1.1 Sai so tuy¾t đoi, sai so tương đoi

Trong tính toán, ta thưòng phái làm vi¾c vói các giá tr% gan đúng cna các

đai lưong Ta nói a là so gan đúng cna a ∗ , neu a không sai khác a ∗ nhieu

Đai lưong ∆a = |a − a ∗ | goi là sai so th¾t sn cna a Nói chung chúng ta không biet a ∗ nên ta cũng không biet ∆a Tuy nhiên ta có the tìm đưoc

∆a ≥ 0, goi là sai so tuy¾t đoi cna a, thóa mãn đieu ki¾n:

Đe bieu dien chính xác đieu này ngưòi ta dùng khái ni¾m sai so tương đoi,

đưoc kí hi¾u là δa và xác đ%nh như sau:

the lay ∆a = 0, 01.

M¾t khác, 3, 14 ≤ π ≤ 3, 141 = 3, 14 + 0, 001 do đó có the coi ∆a = 0,

001

Ví dn 1.2.

Đo đ® dài hai đoan thang AB, CD ta đưoc a = 10cm và b = 1cm vói

∆a = ∆b = 0, 01 Khi đó ta có δa =

∆a = ∆b Như v¾y đ® chính xác cna m®t phép đo phán ánh qua sai so tương

đoi

1.2 Sai so thu gon

M®t so th¾p phân a có dang tong quát như sau:

so a là vút bó m®t so các chu so bên phái a đe đưoc m®t so a ngan gon

hơn và gan đúng nhat vói a

Quy tac thu gon:

−

−

a = 0,0030140 Ba chu so " 0 " đau không có nghĩa.

Moi chu so có nghĩa β i cna a = ±(β p10p + β p

là chu so chac, neu

đã chac sau khi thu gon van là chu so chac Giá sú chu so chac cuoi cùng cna

a trưóc khi thu gon là β i Đe β i+1 và các chu so trưóc nó van chac, phái có

∆a + Γa ≤ ω × 10 i+1 Suy ra ω × 10 i + 0, 5 · 10 i+1 ≤ ω × 10 i+1 hay ω ≥ 5 .Ta

se goi chu so chac theo nghĩa hep (r®ng) neu ω = 0, 5(ω = 1).

Khi viet so gan đúng, chí nên giu lai m®t ho¾c hai chu so không chac đekhi tính toán, sai so chí tác đ®ng đen chu so không chac thôi

9

−

1.4 Sai so tính toán

Khi giái bài toán ta phái thnc hi¾n các phép tính thông thưòng và luônluôn phái làm tròn các ket quá trung gian Sai so tao ra bói tat cá các lanlàm tròn như v¾y goi là sai so tính toán

Trong tính toán ta thưòng g¾p bon loai sai so sau:

1 Sai so giá thiet: Do mô hình hóa, lí tưóng hóa các bài toán thnc te, sai

so này không loai trù đưoc

2 Sai so phương pháp: Các bài toán thưòng g¾p rat phúc tap, không thegiái đúng đưoc mà phái sú dung các phương pháp gan đúng Sai so này

se đưoc nghiên cúu cho tùng phương pháp cu the

3 Sai so các so li¾u: Các so li¾u thưòng thu đưoc bang thnc nghi¾m do đó

có sai so Sai so cna các so li¾u gan đúng đã đưoc nghiên cúu trong muc1.1

4 Sai so tính toán: Các so von đã có sai so, còn thêm sai so thu gon nênkhi tính toán se xuat hi¾n sai so tính toán

Giá sú tìm đưoc đai lưong y theo công thúc:

i

c) Sai so cna phép tính lũy thùa, khai căn, ngh%ch đáo

Cho y = x α , khi đó δy = | d lny|∆x = |α|δx.

- Neu α > 1 ( phép lũy thùa ) thì δy > δx, do đó đ® chính xác giám.

- Neu 0 ≤ α < 1 ta có phép khai căn, khi đó δy < δx, hay đ® chính xác tăng.

- Neu α = 1, ta có phép ngh%ch đáo, δy = δx, nghĩa là đ® chính xác không

| |

d x

S

=

Như v¾y a có 4 chu so chac và a ≈ 3, 513.

1

−

63

Giái A là tong cna 6 phân so Ta có the tính trnc tiep A mà không can

phái thay nó bang m®t tong đơn gián hơn Vì v¾y ó đây nó không có sai sophương pháp Đe tính A ta thnc hi¾n phép chia đen ba chu so th¾p phân vàđánh giá các sai so quy tròn tương úng:

1

= 0, 125 vói θ2 = 08

= 0, 037 vói θ3 = 10−427

1

= 0, 008 vói θ5 = 0125

= 0, 005 vói θ = 4 10−4216

A ≈ a = 1, 000 − 0, 125 + 0, 037 − 0, 016 + 0, 008 − 0, 005 = 0, 899.

Khi giái gan đúng m®t bài toán phúc tap ta phái thay m®t bài toán đã chobang m®t bài toán đơn gián hơn có the giái đưoc thông qua vi¾c thnc hi¾n

các phép tính thông thưòng Phương pháp thay bài toán phúc tap bang bàitoán đơn gián hơn như the goi là phương pháp gan đúng Sai so do phươngpháp gan đúng tao ra goi là sai so phương pháp

33

1+ ( 1) −

n3

vói sai so tuy¾t đoi không vưot quá 5 × 10−3.

Giái Ve phái cna P là m®t chuoi so đan dau h®i tu Do đó vi¾c tính P là

hop lí Nhưng ve phái cna P có vô han so hang, ta không the c®ng het so này đen so khác mãi đưoc Do đó đe tính P ta phái sú dung m®t phương pháp gan đúng, cu the P thay bang tong n so hang đau

1 0

|P − 0, 899| ≤ |3 × 10 −3 + 9 × 10−4 ≤ 4 × 10 −3.

1.6 Xap xí ban đau

Thông thưòng quá trình tìm nghi¾m r cna phương trình

Vi¾c tìm xap xí ban đau x0 cho nghi¾m r cna phương trình (1.2) thưòng

do sn dn đoán dna trên thông tin ve hàm f có đưoc, ho¾c bang cách ve đo

th% tìm điem x0 sao cho f (x0) ≈ 0 Ngoài ra, ta cũng có the tìm đưoc x0 dnavào đ%nh lý sau:

Neu f ( x ) là m®t hàm thnc liên tnc trên [ a ; b], (a < b ), có f (a)·f (b) < 0 thì ton tai ít nhat m®t nghi¾m r cúa f( x ) trong khoáng (a;b).

Vi¾c tìm m®t đoan [ a ; b] như v¾y goi là cô l¾p nghi¾m

Bây giò ta xét m®t so thu¾t toán tìm xap xí ban đau cho nghi¾m thnc cnaphương trình đai so có dang:

f (x) = P n (x) = a0x n + a1x n−1 + · · · +

n

vói các h¾ so thnc a i (i = 0, n) Phương trình đai so (1.3) nói chung , có the

có các ngi¾m thnc khác nhau ho¾c nghi¾m thnc kép Neu ta kí hi¾u nghi¾m

cna (1.3) là các so r1, r2, , r n thì P n (x) có the viet dưói dang:

P n (x) = a0(x − r1)(x − r2)(x − r3) · · · (x − rn)Giá thiet rang: |r1| > |r2| > > |r n |

−

Neu trong phương trình (1.3) hai h¾ so canh nhau khác dau, ta nói rang có

sn đoi dau Neu hai h¾ so canh nhau cùng dau, ta nói rang có sn giu nguyêndau

Lưu ý ó đây ta chí nói đen các h¾ so khác 0

Phương trình (1.3) đưoc goi là đay đn neu nó không có h¾ so a nào bang0

Nguyên lí Decard đưoc phát bieu như sau:

So nghi¾m dương cúa phương trình (1.3) bang ho¾c kém hơn m®t so chan

so lan đoi dau trong dãy h¾ so cúa phương trình đó, nhung h¾ so là so 0 không tính đen.

So nghi¾m âm cúa phương trình (1.3) bang ho¾c kém hơn m®t so chan

so lan đoi dau trong h¾ so cúa phương trình f(- x) = 0.

Neu phương trình là đay đú, thì so nghi¾m âm bang so lan giu nguyên dau trong h¾ so cúa phương trình ho¾c kém hơn nó m®t so chan.

i Tìm nghi¾m có môđun lán ho¾c bé nhat cúa phương trình đai so

(1.3):

Nghi¾m đơn cna (1.3), vói a0 = 1, có môđun lón nhat cũng có the đưocxap xí tù phương trình

x2 + a1x + a2 = 0 ho¾c x + a1 = 0Neu nghi¾m đơn có môđun lón hơn nhieu so vói các nghi¾m khác thì cácxap xí này cho ta ket quá tương đoi chính xác

Nghi¾m có giá tr% môđun nhó nhat cna (1.3) cũng có the tính xap xí tùphương trình

a n−2x + a n−1x + a n = 0 ho¾c a n−1x + a n = 0.

ii Lưac đo Horner

Lưoc đo horner dùng đe chia m®t đa thúc

o thó

a mãn:

2

−

−

So sánh các h¾ so cna hai đa thúc bang nhau ta đưoc:

b0 = a0, b1 = a0x0 + a1, b2 = b1x0 + a2, , b n−1 = b n−2x0 + a n−1, R = b n−1x0 +

Ma tr¾n ngh%ch đáo cna ma tr¾n vuông A cap n là m®t ma tr¾n, kí hi¾u

A −1 thóa mãn đieu ki¾n:

AA −1 = A −1A = I

Ma tr¾n có ma tr¾n ngh%ch đáo A −1 khi và chí khi detA ƒ= 0 và khi đó

ta có the tìm A −1 bang cách tính giá tr% các phan bù đai so A ij , i, j = 1, 2, , n sau đó ta có the áp dung các công thúc:

·

A nn

A −1 =

ll và dùng phép bien đoi sơ cap theo hàng như the nào đe cho tat cá

các thành phan ó c®t thú l bang 0 trù a (l−1) Cũng lưu ý rang moi lan chiacho

a (l−1)

(l−1)

ll phái bat bu®c kiem tra xem a ll có khác 0 hay không

Cu the sau khi chia hàng thú nhat cna (1.4) cho a11 ta có

a n1 a n2 a nn 0 0 1

1j 2j = a 2j − a21

Hai bưóc cơ bán can đưoc tien hành đoi vói ma tr¾n này là:

1. Vói moi hàng thú l, chia tat cá a (l−1) cho a (l−1) , j = l, l + 1 , l + n.

Thông thưòng i chí so hàng, j là chí so c®t còn l gán cho giá tr% 0 và sau

đó đưoc thay ngay bang l +1 là chí so cna các phan tú đưòng chéo chính

hi¾n tai Nên thay a (l−1) bang Q đe de dàng vói moi l co đ%nh các thành phan

a

a

l+1, se giu nguyên giá tr% vì nó chí chia cho 1 thôi.

1.8 Các đ%nh lu¾t cơ bán cúa hóa hoc áp dnng cho các h¾ trong

dung d%ch chat đi¾n li

Neu goi n ( ho¾c C) là so mol ( ho¾c nong đ® ) ban đau

và n’ ( ho¾c C’ ) là so mol (ho¾c nong đ® ) sau phán úng thì:

n t = n + ∆n và C t = C + ∆C

Thưòng quy ưóc:

α > 0 đoi vói các sán pham phán úng.

α < 0 đoi vói các sán pham tham gia phán úng.

tr% n F eCl2 = 0, 2 Suy ra ∆n F eCl2 = n − n0 = 0, 2

⇒ Toa đ® phán úng x = ∆n 0,22 = 0, 1.

Tù đó ta tính đưoc ∆n = αx và so mol cna tùng cau tú như trên

α

α =

(Đoi vói các chat đau α i < 0)

Thành phan giói han có the là thành phan cân bang nhưng thưòng chưa

là thành phan cân bang vì sau đó còn có the xáy ra các quá trình phu

1.8.2 Đ%nh lu¾t báo toàn v¾t chat

• Đ%nh lu¾t báo toàn nong đ® ban đau:

Dang thu¾n ti¾n nhat cna đ%nh lu¾t báo toàn v¾t chat áp dung cho dungd%ch các chat đi¾n li là đ%nh lu¾t báo toàn nong đ® ban đau Theo đ%nhlu¾t này, nong đ® ban đau cna m®t cau tú bang tong nong đ® cân bang cnadang ton tai cna cau tú đó có m¾t trong dung d%ch khi cân bang

(j = 1) còn trang thái cân bang lai có dang liên hop ( đa nhân ) (j > 1) thì

trong bieu thúc đ%nh lu¾t báo toàn nong đ® ban đau nong đ® ó dang liênhop phái nhân vói h¾ so tương úng

d%ch K2CrO4 0, 1M khi có m¾t axít manh, biet rang dung d%ch Crom ton tai

dưói dang CrO2− , HCrO2− , Cr2O2− đưoc bieu dien như sau:

Đoi vói ion K+:

• Đ%nh lu¾t báo toàn Proton:

Theo đ%nh lu¾t này, neu ta chon m®t trang thái nào đó cna dung d%chlàm chuan ( thưòng goi là trang thái quy chieu hay là múc không ) thì tongnong đ® Proton mà các cau tú ó múc không giái phóng ra bang tong nongđ® Proton mà cau tú thu vào đe đat tói trang thái cân bang

Bieu thúc đieu ki¾n Proton đưoc viet như sau:

Vói dung d%ch CH3COOH C1mol/l và CH3COONa C2mol/l thì các quá

và thành phan cna h¾

(i) chí hoat đ® cna cau tú i

(i) = [i]f i ( f i là h¾ so hoat đ® cna cau tú i , [ ] chí nong đ® ó trang tháicân bang )

Kc = [C] [D]

[A]a[B]b

thì Kc đưoc goi là hang so cân bang nong đ® Đai lưong này phu thu®c vàocác giá tr% h¾ so hoat đ® cna các cau tú tham gia phán úng, túc lnc ion cnadung d%ch Neu chap nh¾n gan đúng các giá tr% h¾ so hoat đ® bang đơn v%( chí đúng trong dung d%ch vô cùng loãng) thì :

Kc = K

Trong thnc te do không biet chính xác lnc ion ho¾c do yêu cau cna vi¾ctính toán chí là đ%nh hưóng đe giái thích các hi¾n tưong, ngưòi ta thưòngchap nh¾n đieu ki¾n Kc = K và tính toán cân bang theo nong đ®

• Bieu dien cân bang dưái dang tong quát:

Trong tính toán cân bang ion thưòng phái to hop các bieu thúc báo toànnong đ® và đ%nh lu¾t tác dung khoi lưong

Vói phán úng tong quát:

α

t

3

3

Chương 2 Phương pháp Newton - Raphson giái

h¾ phương trình phi tuyen

∂x1

∂

f 2 ( x )

∂x1

∂

f 1 ( x )



F (x0) + J (x0)(x − x0) = 0 (2.2)

Neu detJ (x0) ƒ= 0 thì (2.2) có nghi¾m duy nhat, ta kí hi¾u x1, đe cho

thu¾n loi ta giái (2.2) đoi vói: ∆x0 = x − x0, sau đó tính x1 = x0 + ∆x0

Như v¾y ta đã thay h¾ phương trình f i (x1, x2, x3, , x n ) = 0(i = 1, n)

bói h¾ phương trình (2.2) đơn gián hơn nhieu vì (2.2) tuyen tính đoi vói x

Neu x m tìm đưoc thì xm+1 tính theo công thúc xm+1 = x m + ∆x m, vectơ

so gia ∆x m = (∆x m , , ∆x m ) tìm đưoc tù h¾ F (x m ) + J (x m )(∆x m) = 0,

Phương pháp Newton se h®i tu neu các xap xí ban đau đưoc chon tot

và ma tr¾n J (x) không suy bien Hơn the nua toc đ® h®i tu là toc đ® bình

phương Thnc te phép l¾p dùng lai khi bưóc l¾p thóa mãn bat đang thúc:

"xm+1 − x m " ≤ s Đe chon bưóc l¾p đau tiên ta chon bang đo th% ( ho¾c phép

