Một số phương pháp giải phương trình phi tuyến

GVHD: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH LỜI CẢM ƠN Khoá luận em hoàn thành với giúp đỡ, bảo tận tình thầy giáo PGS.TS.Khuất Văn Ninh Nhân dịp em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy khoa Tốn trường ĐHSP Hà Nội – người dạy dỗ, bảo chúng em trình học tập để chúng em có thêm nhiều kĩ năng, kiến thức trưởng thành Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh – người trực tiếp hướng dẫn đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho em thời gian em thực khoá luận Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Lê Thị Lam LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP LỜI CAM ĐOAN Khố luận tốt nghiệp em hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh, với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu em tham khảo kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu người trước với trân trọng lòng biết ơn sâu sắc Em xin cam đoan kết nghiên cứu khoá luận kết nghiên cứu, tổng hợp, thu thập tài liệu riêng thân em, khơng có trùng lặp với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Lê Thị Lam MỞ ĐẦU Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải tốn có nguồn gốc thực tiễn Cùng với thời gian, toán học ngày phát triển chia làm hai lĩnh vực: toán học lý thuyết tốn học ứng dụng Nói đến tốn học ứng dụng khơng thể khơng nói đến Giải tích số Giải tích số khoa học nghiên cứu cách giải gần phương trình; tốn xấp xỉ hàm số toán tối ưu Vấn đề tìm nghiệm phương trình f(x) = 0, f(x) hàm số đại số siêu việt tốn thường gặp kĩ thuật lý thuyết; vấn đề nghiên cứu quan trọng giải tích số Chính vậy; em lựa chọn đề tài cho khố luận tốt nghiệp em là: “Một số phương pháp giải phương trình phi tuyến.” NỘI DUNG CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUNG 1.1 Một số kiến thức không gian hàm: 1.1.1 Không gian mêtric: * Định nghĩa 1.1.1: Ta gọi không gian mêtric tập hợp X ≠ Ø với ánh xạ d từ tích Đềcác X x X vào tập hợp số thực □ thỏa mãn tiên đề sau đây: i) x,yX : d(x,y) ≥ ; d(x,y) = x = y ii) x,yX : d(x,y) = d(y,x) iii) x,y,zX : d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y) Ánh xạ d gọi mêtric X; số d(x,y) gọi khoảng cách hai phần tử x y Khơng gian mêtric kí hiệu :M = (X,d) * Định nghĩa 1.1.2: Không gian mêtric M = (X,d) gọi không gian đủ dãy không gian hội tụ * Định nghĩa 1.1.3: Cho hai không gian mêtric M1 = (X,d1); M2 = (X,d2) Ánh xạ A từ không gian M1 vào không gian M2 gọi ánh xạ co tồn số ; ≤  cho : AxY ≤ C.xX ; xX * Định lý 1.1.2 (Định lý ba mệnh đề tương đương toán tử tuyến tính liên tục): Cho A tốn tử tuyến tính từ khơng gian định chuẩn X vào khơng gian định chuẩn Y Ba mệnh đề sau tương đương: 1) A liên tục 2) A liên tục điểm x0 thuộc X 3) A bị chặn ◻ Chứng minh: 1)2) Giả sử toán tử A liên tục Theo định nghĩa; toán tử A liên tục điểm xX; tốn tử A liên tục điểm x0 X 2)3) Giả sử toán tử A liên tục điểm x0X; tốn tử A khơng bị chặn * Khi (nN ) (xnX) : Axn > nxn Ta có xn 0; đặt yn= xn n || xn || yn= →0 (n→) nghĩa yn→0 n n→yn + x0→ x0 (n→) Theo giả thiết ta có ||A(yn+x0) - Ax0||→ (n→) Nhưng ||Ayn||= ||A( xn )|| = || Ax || > 1.(Điều mâu thuẫn với n chứng minh ) n || xn || n || xn || Vậy toán tử A liên tục điểm x0 X bị chặn 3)1) Giả sử toán tử A bị chặn Theo định nghĩa C > ||Ax|| ≤ C||x||; x X (*) Lấy điểm xX dãy điểm tùy ý (xn) X hội tụ tới x Nhờ hệ thức (*) ta có : ||Axn - Ax||= ||A(xn - x)|| ≤ C ||xn - x|| → (n→) Do A liên tục điểm x Do x thuộc X A liên tục X ◻ 1.1.3.Không gian Hilbert: * Định nghĩa 1.1.6: Cho không gian tuyến tính X trường K (K trường số thực □ trường số phức □ ) Ta gọi tích vơ hướng khơng gian X ánh xạ từ tích Đềcac XxX vào trường K ký hiệu < , > thỏa mãn tiên đề : 1) (x, y X) : = ; 2) (x,y,z X): = + ; 3) (x,y X);(K) : =  ; 4) (x X) : 0 ; = x =  * Định nghĩa 1.1.7: Ta gọi tập H gồm phần tử x, y, z,… không gian Hilbert, tập H thỏa mãn điều kiện sau: 1) H khơng gian tuyến tính trường K; 2) H trang bị tích vơ hướng < , > ; 3) H không gian Banach với chuẩn || x || = x, x  ; x X Ta gọi khơng gian tuyến tính đóng không gian Hilbert H không gian Hilbert không gian Hilbert H * Định lý 1.1.3: (Định lý đẳng thức Paseval): Cho (en)n1 hệ trực chuẩn không gian Hilbert H Năm mệnh đề sau tương đương: 1) Hệ (en)n1 sở trực chuẩn không gian H; 2) x H : = x x,   en e n ; n 1 3) x , y H : < x , y > =  Paseval); x , e e (đẳng thức n n , y n 1 |  (phương trình đóng); 4) x H :  x, en | || x || = n1 5) Bao tuyến tính hệ (en)n1 trù mật khắp nơi không gian H ◻Chứng minh: 1)2) x H ta có  Chuỗi   x, en n1 |x, x (Bất đẳng thức Bessel) en |  n  hội tụ H với x thuộc H  en Kí hiệu tổng chuỗi z Khi m N k m ta có: = - lim k  k   x, en x, em n1 .en , em   x, em   x, em 0 Nghĩa z – x trực giao với sở trực chuẩn (en)n1 Do z = x Vì x    x, en .en n 1 2)3) Áp dụng tính chất liên tục tích vơ hướng ta PHỤ LỤC : GIẢI NHỮNG VÍ DỤ BẰNG NGƠN NGỮ LẬP TRÌNH PASCAL Trên sở chương chương ta giải ví dụ chương trình Pascal sau 1) Giải ví dụ 3.2.1 chương trình Pascal Ví dụ 3.2.1: Giải gần phương trình sau phương pháp chia đôi với -1 sai số không vượt 10 : x + 3x + = Giải: Program Giaividu3.2.1; Var a,b,c,s:real; Function f(x:real):real; Begin End; f:=x*x*x + 3*x + 5; Begin Write (‘Nhap sai so s = ‘); readln(s); Write (‘Nhap so a,b:’); readln(a,b); Repeat c:=(a+b)/2; if f(a)*f(c) > then a:=c else b:=c; Until (b – a < s) Writeln (‘ Vay nghiem xap xi cua pt la:’,c:2:5); Readln; End (3.2.1) Kết quả: Nhap sai so s=0.1 Nhap a,b: -2 -1 Vay nghiem xap xi cua pt la: -1,15625 2) Giải ví dụ 3.2.2 chương trình Pascal Ví dụ 3.2.1: Giải gần phương trình sau phương pháp chia đôi với -2 sai số không vượt 10 : x –x–1=0 Giải: Program Giaividu3.2.2; Var a,b,c,s:real; Function f(x:real):real; Begin End; f:=x*x*x – x – 1; Begin Write (‘Nhap sai so s = ‘); readln(s); Write (‘Nhap so a,b:’); readln(a,b); Repeat c:=(a+b)/2; if f(a)*f(c) > then a:=c else b:=c; Until (b – a < s) Writeln (‘ Vay nghiem xap xi cua pt la:’,c:2:5); Readln; End Kết quả: Nhap sai so s=0.01 Nhap a,b: (3.2.2) Vay nghiem xap xi cua pt la: -1.15625 3) Giải ví dụ 3.3.1 chương trình Pascal Ví dụ 3.3.1: Giải phương trình sau nhờ phương pháp lặp đơn xác -4 đến 10 : x + 9x + = Giải: Program Giaividu3.3.1; Var x0,x1,s,e,q: real; i: byte; x: array[1 10] of real; Function f(x:real): real; Begin End; f:= -1/9 (sqr(sqr(x))* sqr(x) * x + 8); Begin Write(‘nhap q =’); readln(q); Write(‘nhap sai so s =’); readln(s); Write(‘chon xap xi ban dau x0 =’); readln(x0); Writeln(‘cac xap xi tiep theo la:’); i:=1; e:=0; Repeat Begin x1:=f(x0); Writeln(‘x[‘,i,’x[=’,x1:2:9); e:=abs(x1 – x0); i:=i+1; End; (3.3.1) Until (e < s*q/(1 – q)); Writeln( ‘Vay nghiem xap xi cua pt la:’,x[i]:2:9); Readln; End Kết sau: Nhap q = 0.777 Nhap sai so s = 0.001 Chon xap xi ban dau x0 = Cac xap xi tiep theo la: x[1] = -0.8888888889 x[2] = -0.840170846 x[3] = -0.8560543636 x[4] = -0.851454831 x[5] = -0.8528402569 x[6] = -0.8524276571 x[7] = -0.8525509563 x[8] = -0.8525141477 Vay nghiem xap xi cua pt la: -0.8525141477 4) Giải ví dụ 3.3.2 chương trình Pascal Ví dụ 3.3.2: Giải phương trình sau nhờ phương pháp lặp đơn xác -3 đến 10 : x – sin x = 0,25 Giải: Program Giaividu3.3.2; Var x0,x1,s,e,q: real; i: byte; (3.3.2) x: array[1 10] of real; Function f(x:real): real; Begin End; f:=sin (x) + 0.25; Begin Write(‘nhap q =’); readln(q); Write(‘nhap sai so s =’); readln(s); Write(‘chon xap xi ban dau x0 =’); readln(x0); Writeln(‘cac xap xi tiep theo la:’); i:=1; e:=0; Repeat Begin x1:=f(x0); Writeln(‘x[‘,i,’x[=’,x1:2:9); e:=abs(x1 – x0); i:=i+1; End; Until (e < s*q/(1 – q)); Writeln( ‘Vay nghiem xap xi cua pt la:’,x[i]:2:9); Readln; End Kết sau: Nhap q = 0.5403 Nhap sai so s = 0.001 Chon xap xi ban dau x0 = Cac xap xi tiep theo la: x[1] = 1.091470985 x[2] = 1.137306264 x[3] = 1.157505311 x[4] = 1.165804029 x[5] = 1.169105432 x[6] = 1.170907057 x[7] = 1.170907057 Vay nghiem xap xi cua pt la: 1.170907057 5) Giải ví dụ 3.4.1 chương trình Pascal Ví dụ 3.4.1: Giải phương trình sau phương pháp Newton với sai -5 số tuyệt đối không vượt 10 : 3x – cos x – = Giải: Program Giaividu3.4.1; Uses crt; Var x0,x1,s,e: real; i: byte; x: array[1 10] of real; Function f(x:real): real; Begin f:= 3*x – cos (x) – 1; end; Function dhf(x:real): real; Begin End; dhf:= + sin (x); Begin Write(‘Nhap sai so s = ‘); readln(s); (3.4.1) Write(‘ Chon xap xi ban dau x0 = ‘); readln (x0); Writeln( ‘ Cac xap xi tiep theo la: ‘); i:=1; e:= 0; Repeat Begin x1:= x0 – f(x0)/dhf(x0); writeln(‘ x[ ‘,i, ‘]= ‘, x1:2:9); e:= abs(x1 – x0); x0:= x1; i:= i + 1; End; Until (e < s); Writeln (‘Vay nghiem xap xi cua pt la :’, x[i]:2:9); Readln; End Kết sau: -5 Nhap sai so s = 10 Chon xap xi ban dau x0 = Cac xap xi tiep theo la: x[1] = 0.6200159522 x[2] = 0.6071206581 x[3] = 0.6071016481 Vay nghiem xap xi cua pt la : 0.6071016481 6) Giải ví dụ 3.4.2 chương trình Pascal Ví dụ 3.4.2: Giải phương trình sau phương pháp Newton với sai -3 số tuyệt đối không vượt 10 : 2x + 3x – = (3.4.2) Giải: Program Giaividu3.4.2; Uses crt; Var x0,x1,s,e: real; i: byte; x: array[1 10] of real; Function f(x:real): real; Begin f:= 2*x*x*x + 3*sqr(x) – ; end; Function dhf(x:real): real; Begin End; dhf:= 6*sqr(x) + 6*x; Begin Write(‘Nhap sai so s = ‘); readln(s); Write(‘ Chon xap xi ban dau x0 = ‘); readln (x0); Writeln( ‘ Cac xap xi tiep theo la: ‘); i:=1; e:= 0; Repeat Begin x1:= x0 – f(x0)/dhf(x0); writeln(‘ x[ ‘,i, ‘]= ‘, x1:2:9); e:= abs(x1 – x0); x0:= x1; i:= i + 1; End; Until (e < s); LÊ THỊ LAM – K34C TOÁN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP 50 Writeln (‘Vay nghiem xap xi cua pt la :’, x[i]:2:9); Readln; End Kết sau: -5 Nhap sai so s = 10 Chon xap xi ban dau x0 = 0.5 Cac xap xi tiep theo la: x[1] = 0.94444444444 x[2] = 0.8209461562 x[3] = 0.8066290937 x[4] = 0.8064439631 Vay nghiem xap xi cua pt la : 0.8064439631 7) Giải ví dụ 3.5.1 chương trình Pascal Ví dụ 3.5.1: Giải gần phương trình sau nhờ phương pháp dây cung: x – 6x + = Giải: Program Giaividu3.5.1; Var x0, x1, s, e, a, b, m: real; i: byte; x: array[1 10] of real; Function f(x: real): real; Begin f:= x*x*x*x – 6*x + 4; End; (3.5.1) Begin Write (‘ Nhap a,b : ’); readln(a, b); Write (‘ Nhap m = ’); readln(m); Write (‘ Nhap sai so s = ’); readln(s); Write (‘ Chon x0 = ’); readln(x0); Writeln (‘Cac xap xi tiep theo la’) i:=1; e:= 0; Repeat If f(a) > then x1:= x0 – f(x0)*(x0 – a)/(f(x0) – f(a)) else x1:= x0 – f(x0)*(b – x0)/(f(b) – f(x0)); Writeln(‘ x[ ‘,i,’ ]= ’,x1: 2: 9); e:= abs (x1 – x0); x0:= x1; i:= i+1; Until (e < s); Writeln (‘Vay nghiem cua pt la:’,x[i]:2:9); Readln; End Kết sau: Nhap a,b: Nhap m = Nhap sai so s = 0.001 Chon x0 = Cac xap xi tiep theo la: x[1] = 0.8 x[2] = 0.7288629738 x[3] = 0.7126570468 x[4] = 0.7094644357 x[5] = 0.7088555864 Vay nghiem cua pt la: 0.7088555864 8) Giải ví dụ 3.5.2 chương trình Pascal Ví dụ 3.5.2: Tìm nghiệm dương phương trình sau nhờ phương pháp dây cung với độ xác đến 0, 03 : (x 1)  x e 0 Giải: Program Giaividu3.5.2; Var x0, x1, s, e, a, b: real; i: byte; x: array[1 10] of real; Function f(x: real): real; Begin End; f:= 2*(x – 1) – 1/2 * exp(x); Begin Write (‘ Nhap a,b : ’); readln(a, b); Write (‘ Nhap sai so s = ’); readln(s); Write (‘ Chon x0 = ’); readln(x0); Writeln (‘Cac xap xi tiep theo la’) i:=1; e:= 0; Repeat If f(a) > then x1:= x0 – f(x0)*(x0 – a)/(f(x0) – f(a)) else x1:= x0 – f(x0)*(b – x0)/(f(b) – f(x0)); (3.5.2) Writeln(‘ x[ ‘,i,’ ]= ’,x1: 2: 9); e:= abs (x1 – x0); x0:= x1; i:= i+1; Until (e < s); Writeln (‘Vay nghiem cua pt la:’,x[i]:2:9); Readln; End Kết sau: Nhap a,b: Nhap sai so s = 0.03 Chon x0 = Cac xap xi tiep theo la: x[1] = 0.2689414214 x[2] = 0.07559782528 x[3] = 1.782031246 x[4] = 0.9568940865 x[5] = 0.2346810378 Vay nghiem cua pt la: 0.2346810378 KẾT LUẬN Khoá luận có mục đích giới thiệu số phương pháp giải phương trình phi tuyến việc vận dụng phương pháp vào giải ví dụ cụ thể Trong luận văn, em trình bày nội dung phương pháp giải, thực hành giải ví dụ cụ thể lập trình Pascal tìm nghiệm gần phương trình phi tuyến Do thời gian trình độ có hạn, khố luận em khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong góp ý quý thầy cô bạn sinh viên TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2001) Giải tích số NXB Giáo dục Trần Anh Bảo, Nguyễn Văn Khải, Phạm Văn Kiều, Ngô Xuân Sơn (2003) Giải tích số NXB Đại học Sư Phạm Hà Nội Phạm Kì Anh (1996) Giải tích số NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Phan Văn Hạp, Lê Đình Thịnh (2002) Phương pháp tính thuật tốn NXB Giáo dục Hồng Xn Huấn (2004) Giáo trình phương pháp số NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Nguyễn Phụ Hy (2005) Giải tích hàm NXB Khoa học Kĩ thuật MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU NỘI DUNG Chương 1: Các kiến thức chung 1.1 Một số kiến thức không gian hàm 1.2 Số gần sai số………………………………………………10 1.3 Khoảng tách nghiệm phương trình .15 1.4 Tỷ sai phân 17 Chương 2: Một số phương pháp giải phương trình phi tuyến 19 2.1 Phương pháp tách nghiệm 19 2.2 Phương pháp chia đôi 20 2.3 Phương pháp lặp đơn 22 2.4 Phương pháp Newton 23 2.5 Phương pháp dây cung 24 2.6 Phương pháp parabol 26 Chương 3: Những ví dụ cụ thể tập 29 3.1 Ví dụ tập phương pháp tách nghiệm 29 3.2 Ví dụ tập phương pháp chia đôi 31 3.3 Ví dụ tập phương pháp lặp đơn 34 3.4 Ví dụ tập phương pháp Newton 36 3.5 Ví dụ tập phương pháp dây cung 40 3.6 Ví dụ tập phương pháp parabol 42 PHỤ LỤC .45 KẾT LUẬN 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO 58 ... đồng CHƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Trong chương này, nghiên cứu số phương pháp giải phương trình biến số: f(x) = (1) f(x) hàm số đại số hay siêu việt Phương trình trên,... hiểu phương pháp giải gần phương trình phi tuyến (1) 2.1 .Phương pháp tách nghiệm Nội dung phương pháp: Phương pháp tách nghiệm phương pháp đoạn [a,b] mà [a,b] chứa nghiệm phương trình f(x) = (2.1.1)... quan trọng giải tích số Chính vậy; em lựa chọn đề tài cho khoá luận tốt nghiệp em là: Một số phương pháp giải phương trình phi tuyến. ” NỘI DUNG CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUNG 1.1 Một số kiến thức