Một số phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến f(x)=0

Lài cám ơn Tơi xin chân thành cám ơn Phịng Sau đai hoc, thay giáo, giáo, tồn the anh ch% em hoc viên khóa 15 chuyên ngành Tốn giái tích Trưịng Đai hoc Sư pham Hà N®i đ®ng viên, giúp đõ đe tác giá có đieu ki¾n tot nhat suot q trình hồn thành lu¾n văn Đ¾c bi¾t, tơi xin bày tó lịng cám ơn sâu sac tói PGS TS Khuat Văn Ninh đ%nh hưóng chon đe tài t¾n tình hưóng dan, giúp đõ tơi hồn thành lu¾n văn Hà N®i, tháng 12 năm 2013 Tác giá Tran Văn Cưàng Lài cam đoan Tơi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna PGS TS Khuat Văn Ninh, lu¾n văn Thac sĩ chun ngành Tốn giái tích vói đe tài “M®t so phương pháp l¾p giái phương trình phi tuyen” đưoc hồn thành bói sn nh¾n thúc cna bán thân tác giá Trong suot q trình nghiên cúu thnc hi¾n lu¾n văn, tác giá ke thùa nhung thành tnu cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng 12 năm 2013 Tác giá Tran Văn Cưàng Mnc lnc Má đau Chương KIEN THÚC CHUAN B± 1.1 M®t so kien thúc ve giái tích hàm 1.1.1 Không gian metric 1.1.2 Không gian đ%nh chuan .5 1.2 Phương pháp dây cung 1.3 Phương pháp Newton mó r®ng 1.3.1 Phương pháp Newton (Phương pháp tiep tuyen) 1.3.2 Phương pháp Newton - Raphson 11 1.3.3 Phương pháp Newton - Kantorovich .13 Chương PHƯƠNG PHÁP L¾P 18 2.1 Phân loai hàm l¾p 18 2.1.1 Mđt so khỏi niắm bán 18 2.1.2 Hm lắp mđt iem .19 2.1.3 Hàm l¾p nhieu điem 20 2.1.4 B¾c h®i tu 20 2.2 Các đ%nh lý tong quát ve phng phỏp lắp 22 i 2.2.1 Mđt so mắnh e ve iem bat đng 22 2.2.2 Sn h®i tu tuyen tính tuyen tính .24 2.2.3 Thnc hi¾n phép l¾p 29 Chương M®T SO ÚNG DUNG CÚA PHƯƠNG PHÁP L¾P 46 Ket lu¾n .62 Tài li¾u tham kháo 63 i Má đau Lí chon đe tài Nhieu van đe thnc te dan tói vi¾c giái phương trình h¾ phương trình Chúng có the phương trình, h¾ phương trình đai so, vi phân, hay đao hàm riêng Vi¾c giái cna phương trình nói chung rat khó Ta chí có the mong muon tìm đưoc nghi¾m gan cna chúng Có rat nhieu phương pháp đe tìm nghi¾m gan cna phương trình Moi phương pháp có nhung ưu điem riêng, phù hop vói nhung loai phương trình khác Nhưng có the thay rang nhieu thu¾t tốn giái phương trình đưoc mơ tá bói hàm l¾p Viắc trỡnh by mđt cỏch hắ thong ve lý thuyet cna cỏc thuắt toỏn lắp v bắc hđi tu cna chúng vi¾c giái gan phương trình h¾ phương trình giúp cho ta có m®t nhìn sâu tong quát ve phương pháp l¾p riêng bi¾t biet, có the tìm đưoc úng dung cna nhung phương pháp vi¾c giái phương trình Vì nhung lí trên, đưoc sn đ%nh hưóng cna PGS TS Khuat Văn Ninh, tơi chon đe tài cho lu¾n văn thac sĩ cna MđT SO PHNG PHP LắP GII PHNG TRèNH PHI TUYEN Mnc đích nghiên cNu Nghiên cúu lý thuyet ve phương pháp l¾p giái gan phương trình f (x) = khơng gian m®t chieu Nhi¾m nghiên cNu Tìm hieu só lý thuyet, tính chat cna phương pháp l¾p đưoc bieu dien dưói dang hàm l¾p, vi¾c giái phương trình Trong ú nghiờn cỳu ve thuắt toỏn, ve bắc hđi tu Nghiên cúu úng dung cna phương pháp l¾p vi¾c giái phương trình cu the Đoi tưang pham vi nghiên cNu Các phương pháp l¾p vi¾c giái gan phương trình f (x) = khơng gian m®t chieu Phương pháp nghiên cNu - Tìm hieu tư li¾u sách, báo - Sú dung phương pháp cna Giái tích co đien, Giái tích hàm, Giái tích so - Tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc đích nghiên cúu đe tài DN kien đóng góp cúa đe tài Trình bày m®t cỏch hắ thong ve phng phỏp lắp ve bắc hđi tu úng dung cna tốn cu the Chương KIEN THÚC CHUAN B± Trong chương trình bày m®t so kien thúc chuan b% ve giái tích hàm giái tích so, phương trình tốn tỳ, mđt so phng phỏp lắp giỏi phng tỡnh phi tuyen f (x) = Phương pháp Newton m®t so mó r®ng N®i dung cna chương đưoc tham khỏo cỏc ti liắu [1,3,5,7,8,9] 1.1 Mđt so kien thNc ve giái tích hàm 1.1.1 Khơng gian metric Đ%nh nghĩa 1.1 Cho t¾p X ƒ= ∅ Ánh xa d : X × X → R đưoc goi metric X neu thóa mãn đieu ki¾n sau: i) ∀x, y ∈ X, d (x, y) ≥ 0, d (x, y) = ⇔ x = y; ii) ∀x, y ∈ X, d (x, y) = d (y, x); iii) ∀x, y, z ∈ X, d (x, z) ≤ d (x, y) + d (y, z) C¾p (X, d) đưoc goi không gian metric Các phan tú cna Xgoi điem, tiên đe i), ii), iii) goi h¾ tiên đe metric, d(x, y) goi khoáng cách giua hai phan tú x y Đ%nh nghĩa 1.2 Cho không gian metric (X, d) Dãy {xn} ⊂ X đưoc goi dãy bán (hay dãy Cauchy) neu ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, ∀m, n ≥ n0 : d (xm, xn) < ε y lim d (xm, xn) = m,n→∞ Đ%nh nghĩa 1.3 Không gian metric (X, d) goi đn neu moi dãy Cauchy X đeu h®i tu đen m®t điem thu®c X Đ%nh nghĩa 1.4 Cho khơng gian metric (X, d) Ánh xa A tù không gian (X, d) vào goi ánh xa co neu ton tai so α, ≤ α < 1, cho d (Ax, Axr) ≤ αd (x, xr) , ∀x, xr ∈ X Đ%nh lý 1.1 (Nguyên lý Banach ve ánh xa co) Moi ánh xa co A ánh xa không gian metric đú (X, d) vào đeu có điem bat đ®ng x¯ nhat, nghĩa x¯ ∈ X thóa mãn h¾ thúc Ax¯ = x¯ Ví dn 1.1 Trong không gian R1 cho ánh xa A đưoc xác đ%nh bói cơng thúc Ax = π − a sin x, |a| < Khi A ánh xa khơng gian đn R1 vào Hơn nua, x+ x− r r r x r x |Ax − Ax | = |a sin x − a sin x | = |a| cos sin r x − x 2 r ≤ |a| = |a| |x − x | Suy A ánh xa co, |a| < Theo nguyên lý Banach ve ánh xa co, ánh xa A có điem bat đ®ng nhat x¯ Ta de dàng kiem tra đưoc điem bat đ®ng nhat x¯ = π Ví dn 1.2 Cho ánh xa A ánh xa núa khống [1, +∞) vào xác đ%nh bang công thúc Ax = x + x Ta cú [1, +) l mđt hop đóng cna R1 vói metric d(x, y) = |x − y| Do [1, +∞) vói metric cna R1 lắp thnh mđt khụng gian metric n Giỏ sỳ ỏnh xa A : [1, +∞) → [1, +∞) x ›→ A(x) ánh xa co, suy ton tai nhat x0 ∈ [1, +∞) cho 1 = (vô lý) Ax0 = x0 ⇔ x0 + = x0 ⇔ x0 x0 V¾y A khơng có điem bat đ®ng, A khơng ánh xa co 1.1.2 Không gian đ%nh chuan Đ%nh nghĩa 1.5 Không gian đ%nh chuan (hay khơng gian tuyen tính đ%nh chuan) khơng gian tuyen tính X trưịng P (P = R hoắc P = C) cựng vúi mđt ỏnh xa tự X vào t¾p so thnc R, ký hi¾u "·" đoc chuan, thóa mãn tiên đe sau đây: i) ∀x ∈ X, "x" ≥ 0, "x" = ⇔ x = θ (ký hi¾u phan tú khơng θ); ii) ∀x ∈ X, ∀α ∈ P , "αx" = |α| "x"; iii) ∀x, y ∈ X, "x + y" ≤ "x" + "y" So "x" đưoc goi chuan cna véctơ x Ta ký hi¾u khơng gian đ%nh chuan (X, "·") Neu X chí trang b% mđt chuan ta cú the ký hiắu l X Các tiên đe i), ii), iii) goi h¾ tiên đe chuan Đ%nh nghĩa 1.6 Dãy điem {xn} không gian đ%nh chuan X goi dãy bán neu lim m,n→∞ "xn − xm" = Đ%nh nghĩa 1.7 Không gian đ%nh chuan X goi không gian Banach neu moi dãy bán X đeu h®i tu Ví dn 1.3 Cho khơng gian véctơ thnc n chieu Rn Đoi vói véctơ bat kì x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn ta đ¾t ‚ .n "x" = , |xj| (1.1) j=1 Tù công thúc "x" = d(x, θ) h¾ tiên đe metric suy cơng thúc (1.1) cho m®t chuan Rn Khơng gian đ%nh chuan tương úng ký hi¾u Rn De thay Rn khơng gian Banach Ví dn 1.4 Cho khơng gian véctơ C[a,b] Đoi vói véctơ bat kì x(t) ∈ C[a,b] ta đ¾t "x" = max |x(t)| a≤t≤b (1.2) Tù cơng thúc "x" = d(x, θ) h¾ tiên đe metric suy cơng thúc (1.2) cho m®t chuan C[a,b] Khơng gian đ%nh chuan tương úng ký hi¾u C[a,b] De thay C[a,b] khơng gian Banach Ví dn 1.5 Cho khơng gian véctơ L[a,b] Đoi vói véctơ bat kỡ x(t) L[a,b] ta áb "x" = a |x(t)| dt (1.3) 2.11 khơng cịn vói m > Ví du ϕ(x) = ϕ1(x) + U (x) f r(x) p f rr(x) có b¾c p vói m > Hai đ%nh lý dưói cho ta đ¾c trưng khác cna hàm l¾p b¾c p Đ%nh lý 2.12 Cho (x) Ip vúi mđt giỏ tr% cúa m Khi vói giá tr% cúa m, ton tai hàm Q(x) cho Q(α) ƒ= f [ϕ(x)] = Q(x)f p (x) ChNng minh Giá sú α khơng điem b®i m Như chí phan a), ton tai m®t hàm liên tuc λ(x) cho f (x) = λ(x)(x − α) m f (m) ƒ= (α) λ(x) = m! Khi ta có m f [ϕ(x)] = [ϕ(x) − α] λ [ϕ(x)] p m = [V (x)(x − α) ] λ [ϕ(x)] m p = V m(x)λ [ϕ(x)] [(x − α) ] Vì λ(α) ƒ= 0, nên λ(x) khơng tri¾t tiêu lân c¾n cna α ta có the viet f [ϕ(x)] = V m(x)λ [ϕ(x)] λ−p (x)f p (x) Đ¾t Ta có Q(x) = V m(x)λ [ϕ(x)] λ−p(x) Q(α) = ϕ (p) (α) (α) 1−p m f (m) ƒ= 0, p! m! Q suy đieu phái chúng minh Ta có phát bieu ngưoc cna Đ%nh lý 2.12 sau Đ%nh lý 2.13 Giá sỳ f [(x)] = Q(x)f p (x) vúi mđt giá tr% cúa m, Q(α) ƒ= Khi vói giá tr% cúa m, ϕ(x) ∈ Ip ChNng minh Giá sú λ(x) xác đ%nh Đ%nh lý 2.12 Khi m f [ϕ(x)] = [ϕ(x) − α] λ [ϕ(x)] , tù giá thiet ta có f [ϕ(x)] = Q(x)f p (x) = Q(x)λp(x)(x − α) mp Đ%nh nghĩa V (x) bói cơng thúc V m(x) = λ−1 [ϕ(x)] λp(x)Q(x) Khi p ϕ(x) − α = V (x)(x − α) ta có V (α) ƒ= 0, suy đieu phái chúng minh Q Đ%nh lý 2.12 Đ%nh lý 2.13 chúng tó rang ϕ(x) ∈ Ip neu chí neu f [ϕ(x)] = Q(x)f p (x) vói Q(α) ƒ= Ví dn 2.8 Giá sú m = ϕ(x) = x − u(x)H(x), H(x) 1− A = f rrr 2f , A2(x) (x)u(x) = Đây hàm l¾p Halley Khi (x) f [ϕ(x)] = f (x) − u(x)H(x)f (x) H + u r rr (x) (x) + f o u (x) , H(x) = + A2(x)u(x) +2A (x)u (x) + o u (x) Tù suy u2 (x)f rr (x) + o u (x) f [ϕ(x)] = f (x) − u(x)f r (x) − A2(x)u2 (x)f r (x) + = o u3(x) = o f 3(x) Do hàm l¾p Halley có b¾c vói m = Đ%nh lý 2.14 Cho m = ϕ(x) ∈ Ip Khi dpf [ϕ(x)] dxp (p) = f r (α)ϕ (α) x= α ChNng minh Giá sú ψ(x) = x − f (x) Rõ ràng ψ(x) ∈ I1 Đ¾t Ψ(x) = ψ [ϕ(x)] = ϕ(x) − f [ϕ(x)] Theo Đ%nh lý 2.5, Ψ(x) ∈ Ip Do p ϕ(x) − f [ϕ(x)] = α + V1(x)(x − α) Vì ϕ(x) ∈ Ip, (2.30) p ϕ(x) = α + V (x)(x − α) nên p f [ϕ(x)] = [V (x) − V1(x)] (x − α) (2.31) Tù Ta có the bieu dien f [ϕ(x)] dưói dang thú hai sau Xác đ%nh λ(x) bói cơng thúc f (x) = λ(x)(x − α), λ(α) = f r(α) Khi p f [ϕ(x)] = λ [ϕ(x)] [ϕ(x) − α] = λ [ϕ(x)] V (x)(x − α) (2.32) Tù (2.31) (2.32) ta có λ [ϕ(x)] V (x) = V (x) − V1(x) Tù (2.30) suy (p) V1(α) = ϕ p! d f [ϕ(x)] dx p (α) − p x= α (2.33) d f [ϕ(x)] = V (α) − dx x=α p p p! Thay x = α (2.33) ta thu đưoc ket cna cna đ%nh lý Q Chúng ta phát bieu dang tong quát cna đ%nh lý sau Đ%nh lý 2.15 Cho m = ϕ(x) ∈ Ip Khi djf [ϕ(x)] (j) = f (α), < j < 2p dxj r (α)ϕ x= α ChNng minh Đ¾t Dj = dj/dxj Rõ ràng tù Đ%nh lý 2.12 ta có D f [ϕ(x)] j = vói < j < p x= (j) Vì ϕ (α) = vói < j < p, nên đ%nh lý đưoc chúng minh vói < j < p Giá sú p ≤ j < 1p Ta có f (x) = f r(α)(x − α) + τ (x)(x − α) , ϕ(x) = α + V (x)(x p − α) Rõ ràng neu f ϕ có đn m®t so lưong đao hàm liên tuc, τ V có the đưoc xác đ%nh cho có nhieu đao hàm liên tuc yêu cau Ta có f [ϕ(x)] = f r(α) [ϕ(x) − α] + τ [ϕ(x)] [ϕ(x) − α] p = f r(α)V (x)(x − α) + S(x) Khi j r D f [ϕ(x)] = f (α) + Dj S(x), p C [j, k] Dj−kV (x)Dk(x − α) + C [j, k] h¾ so nh% thúc Do D jf [ϕ(x)] = f r(α)p!C [j, k] Dj−pV (x) x= x= De dàng chí rang Dj−pV (x) x= suy đieu phái chúng minh (j −p)! = ϕ j! (j ) (α), Q Chương MđT SO NG DUNG CA PHNG PHP LắP Trong chng se nêu lên m®t so úng dung cna phuowng pháp l¾p vi¾c giái phương trình dang f (x) = Các ví du đưoc nêu ó nham minh hoa cu the cho m®t so hm lắp Trờn cựng mđt phng trỡnh ta xõy dung hàm l¾p có b¾c khác đe giái phương trình Thnc te cho thay vói m®t sai so cho trưóc hàm l¾p có b¾c cao so bưóc l¾p Tác giá nêu ví du chương sú dung tài li¾u [4] Ví dn 3.1 Giái phương trình (x − 1) + 0, 5ex = Giái Úng ding Maple thu¾t tốn phương pháp Newton > x:=array(0 10); x := array(0 10, [ ]) > f:=x->(x-1)ˆ3+0.5*exp(x); f := x → (x − 1) + ex > g:=D(f); g := x → 3(x − 1) + 5ex > x[0]:=1; x[0] := > x[1]:=evalf(x[0]-f(x[0])/g(x[0])); x[1] := > x[2]:=evalf(x[1]-f(x[1])/g(x[1])); x[2] := 1428571429 > x[3]:=evalf(x[2]-f(x[2])/g(x[2])); x[3] := 1618998250 > x[4]:=evalf(x[3]-f(x[3])/g(x[3])); x[4] := 1622041957 > x[5]:=evalf(x[4]-f(x[4])/g(x[4])); x[5] := 1622042721 > f(0.162 204272 1); 10−9 V¾y f (x5) xap xí bang nên nghi¾m xap xí cna phương trình cho x c 0, 1622042721 Dùng phương pháp chia đôi Xét f (x) = (x − 1) + 0, 5ex Ta có f (0) = −0, f (1) = 0, 5e Do f (0)f (1) < nên f (x) có nghi¾m ξ ∈ (0; 1) Xét f (0, 5) c 0, 699360635 ⇒ f (0)f (0, 5) < Chia đơi khống (0; 1) thành (0; 0, 5) Xét f (0, 25) c 0, 220137708 ⇒ f (0)f (0, 25) < Chia đơi khống (0; 0, 5) thành (0; 0, 25) Xét f (0, 125) c −0, 103347648 ⇒ f (0, 125)f (0, 25) < Chia đơi khống (0; 0, 25) thành (0, 125; 0, 25) Xét f (0, 1875) c 0, 066738171 ⇒ f (0, 125)f (0, 1875) < Chia đơi khống (0, 125; 0, 25) thành (0, 125; 0, 1875) Xét f (0, 15625) c −0, 016118267 ⇒ f (0, 15625)f (0, 1875) < Chia đơi khống (0, 125; 0, 1875) thành (0, 15625; 0, 1875) Xét f (0, 171875) c 0, 025844006 ⇒ f (0, 15625)f (0, 171875) < Chia đơi khống (0, 15625; 0, 1875) thành (0, 15625; 0, 171875) Xét f (0, 1640625) c 0, 004997955 ≈ V¾y nghi¾m xap xí cna phương trình ξ c 0, 1640625 Dùng phương pháp Newton 74 Xét f (x) = (x − 1) + 0, 5ex Ta có f (0)f (1) < nên f (x) có nghi¾m khống (0, 1) f r(x) = 3(x − 1) + 0, 5ex > 0; f rr (x) = 6(x − 1) + 0, 5ex < Ta có f (1).f rr(1) > 0, nên điem Fourier x = Chon xap xí ban đau x0 = Theo phương pháp Newton, dãy xap xí liên tiep đưoc xây dnng sau f (xn) xn+1 = xn − Do f ) ; n = 1, 2, n r (x f (1) x1 = − = f r(1) 0, x =2 = −f (0) r f (0) c 0,142857142 f (x23, ) x3 = x2 − (x r 2) c 0, 161899825 f (x3) x4 = x3 − (x f f r 3) c 0, 162204195 f (x4) x5 = x4 − f r 4) c 0, 162204272 (x Ta có f (x5) = nên nghi¾m cna phương trình x c 0, 162204272 Nh¾n xét é ví du vói sai so ban đau ε = 10−5 xét (0; 1) so bưóc l¾p cna phương pháp chia đơi 16, so bưóc l¾p cna phương pháp Newton V¾y hàm l¾p có b¾c cng lún thỡ se hđi tu en nghiắm nhanh hn Ví dn 3.2 Giái phương trình x3 − 3x2 + = ... .5 1.2 Phương pháp dây cung 1.3 Phương pháp Newton mó r®ng 1.3.1 Phương pháp Newton (Phương pháp tiep tuyen) 1.3.2 Phương pháp Newton - Raphson 11 1.3.3 Phương pháp Newton... vi¾c giái gan phương trình h¾ phương trình giúp cho ta có m®t nhìn sâu tong quát ve phương pháp l¾p riêng bi¾t biet, có the tìm đưoc úng dung cna nhung phương pháp vi¾c giái phương trình Vì nhung... nghi¾m cna phương trình x = 1, Vì |x3 − x∗ | = 0, 002 nên x3 nghi¾m gan chap nh¾n đưoc 1.3 Phương pháp Newton má r®ng 1.3.1 Phương pháp Newton (Phương pháp tiep tuyen) Cho phương trình f (x)