Phương pháp xấp xỉ liên tiếp trong lí thuyết phương trình phi tuyến với toán tử (K,Uo) - Lõm chính quy

1 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS TS GVCC Nguyễn Phụ Hy Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới PGS TS GVCC Nguyễn Phụ Hy, người quan tâm, động viên tận tình hướng dẫn tơi q trình thực luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, thầy giáo, cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Nhân tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình, Ban giám hiệu trường THPT Đoan Hùng - Phú Thọ bạn bè, đồng nghiệp tạo điều kiện, động viên giúp đỡ nhiều suốt trình học tập, nghiên cứu Hà Nội, ngày 27 tháng năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Huyền LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn PGS TS GVCC Nguyễn Phụ Hy Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Tác giả Nguyễn Thị Huyền MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Lời cam đoan Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian định chuẩn thực 1.2 Không gian Banach thực nửa thứ tự 10 1.3 Không gian E u0 1.4 Một số không gian Banach thực nửa thứ tự 19 Chương Tốn tử (K , u0 ) - lõm quy 40 2.1 Toán tử (K , u0 ) - lõm 40 2.2 Toán tử (K , u ) - lõm quy 51 Chương Phương pháp xấp xỉ liên tiếp lí thuyết phương 59 trình phi tuyến với toán tử (K , u ) - lõm quy 3.1 Sự tồn điểm bất động tốn tử (K , u ) - lõm quy 59 3.2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp lí thuyết phương trình phi 61 tuyến với tốn tử (K , u0 ) - lõm quy Kết luận 66 Tài liệu tham khảo 67 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong tốn học, vật lí kĩ thuật có nhiều tốn mà việc giải chúng dẫn đến việc xét toán tử lõm Chính mà vấn đề nhiều nhà toán học lớn giới quan tâm nghiên cứu Năm 1956, nhà toán học người Nga M A Kraxanơxelxki khởi đầu nghiên cứu lớp tốn tử phi tuyến lõm Tiếp sau năm 1984, I A Bakhtin mở rộng kết đến lớp toán tử phi tuyến (K , u0 ) - lõm Tuy nhiên điều kiện uo - đo định nghĩa toán tử (K , u0 ) - lõm khiến cho việc ứng dụng kết đạt theo hướng gặp khó khăn lớp tốn tử khơng thỏa mãn điều kiện kể lại có tính chất phổ dụng tốn tử (K , u ) - lõm Năm 1987, PGS TS GVCC Nguyễn Phụ Hy mở rộng kết toán tử lõm cho lớp toán tử phi tuyến mới: Tốn tử lõm quy, khơng u cầu tốn tử có tính chất uo - đo Với mong ước tìm hiểu sâu sắc lớp toản tử phi tuyến này, nhờ giúp đỡ, hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS TS GVCC Nguyễn Phụ Hy, mạnh dạn nghiên cứu đề tài: “Phương pháp xấp xỉ liên tiếp lí thuyết phương trình phi tuyến với toán tử (K , u ) -lõm quy”, khơng u cầu lớp tốn tử (K , u0 ) - lõm quy có tính chất uo - đo Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm nghiên cứu trình bày cách có hệ thống, chi tiết phương pháp xấp xỉ liên tiếp lí thuyết phương trình phi tuyến với toán tử (K , u ) -lõm quy Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu không gian Banach thực nửa thứ tự - Tìm hiểu tốn tử (K , u0 ) -lõm quy - Tìm hiểu tính hội tụ phương pháp xấp xỉ liên tiếp lí thuyết phương trình phi tuyến với tốn tử (K , u0 ) -lõm quy Đối tượng phạm vi nghiên cứu Các kiến thức sở cần thiết, kết phương pháp xấp xỉ liên tiếp lí thuyết phương trình phi tuyến với tốn tử (K , u0 ) -lõm quy Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu tham khảo - Tổng hợp, phân tích, hệ thống khái niệm, tính chất - Tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn Giả thiết khoa học (hay đóng góp mới) Nghiên cứu: “Phương pháp xấp xỉ liên tiếp lí thuyết phương trình phi tuyến với tốn tử (K , u ) -lõm quy” cho ta hiểu sâu sắc vấn đề Hơn nữa, kết thu mở rộng cho lớp toán tử khác Luận văn sử dụng làm tài liệu tham khảo cho vấn đề toán học tương tự khác Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian định chuẩn thực Định nghĩa 1.1 Ta gọi khơng gian định chuẩn thực (hay khơng gian tuyến tính định chuẩn thực) khơng gian tuyến tính X trường số thực ¡ với ánh xạ từ X vào tập ¡ , kí hiệu (đọc chuẩn), thỏa mãn điều kiên sau (i) x ³ 0; với x Ỵ X x = Û x = q (Phần tử không không gian X ); (ii) a = a x x ; với x Ỵ X (iii) x + y £ x + y a Ỵ ¡ ; với x, y Ỵ X Số x -gọi chuẩn véc tơ x Ta kí hiệu khơng gian định chuẩn tương ứng X Các tiên đề (i) , (ii) (iii) gọi tiên đề chuẩn Định nghĩa 1.2 Dãy điểm (x ) ¥ n n= hội tụ tới điểm x Ỵ X khơng gian định chun X c gi lim x n x nđƠ nh nghĩa 1.3 Dãy điểm (x ) ¥ n n= = không gian định chuẩn X gọi dãy c bn nu lim m ,n đ Ơ xn xm = Định nghĩa 1.4 Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach dãy X hội tụ Định nghĩa 1.5 Không gian Banach X gọi không gian Banach thực X không gian định chuẩn thực Không gian Banach thực thường kí hiệu E 1.2 Khơng gian Banach thực nửa thứ tự 1.2.1 Nón không gian định chuẩn Định nghĩa 1.6 Cho không gian Banach thực E Tập khác rỗng K Ì E gọi nón, K thỏa mãn điều kiện sau (N 1) K tập đóng khơng gian E ; (N ) " x ẻ K,"y ẻ K ị x + y ẻ K; (N ) " x Ỵ K,"t ³ Þ tx Ỵ K ; (N ) " x ẻ K,x qị - x ẽ K 1.2.2 Quan hệ thự thự không gian Banach thực Giả sử E không gian Banach thực, K nón khơng gian E Ta đưa quan hệ thứ tự vào không gian E sau Với x, y Ỵ E ta viết x £ y y - x Ỵ K quan hệ thự E Thật vậy, ta có + Tính chất phản xạ: Với x Ỵ E Khi quan hệ " £ " hiển nhiên x £ x , x- x = qỴ K + Tính chất bắc cầu: Với y- x Ỵ K x, y, z Ỵ ta có E : x £ y, y £ z z - y Ỵ K Do đó, ta có z - x = (z - y ) + (y x) Ỵ K Điều chứng tỏ z - y Ỵ K + Tính chất phản đối xứng: Với x, y Ỵ E x = y Bởi x ¹ y y - x ¹ q Lại y - mà x £ y, y £ x xỴ K nên x - y Ï K Điều mâu thuẫn với giả thiết y £ x Do đó, quan hệ " £ " quan hệ thứ tự khơng gian E với nón K Lúc này, ta nói khơng gian E với nón K trở thành khơng gian Banach thứ tự phận hay không không gian Banach nửa thứ tự Từ định nghĩa, dễ dàng suy tích chất đơn giản sau (ngồi tính chất khái niệm biết lí thuyết tập hợp) ¥ Tính chất Giả sử (x n )n = (y n )¥n = hai dãy khơng gian E Nếu x n £ y với n = 1, 2, n ; lim x n = x, lim y = nđƠ y n khụng gian nđƠ E thỡ x Ê y Tht vy, từ giả thiết ta có yn - xn Ỵ K ; với n = 1, 2, lim (y n - x n ) = y - x nđƠ Do K l úng nờn y - Tớnh chất Giả sử u Ỵ K xỴ K Như x £ y x Ỵ E Khi đó, x £ tu x £ gu0 ; với g ³ t Thật vậy, theo giả thiết ta có tu - x Ỵ K Như x £ gu (g - t )u0 Ỵ gu0 - x = (g - t )u0 + (tu0 - Tính chất Giả sử u Ỵ K , x Ỵ 0 K K Do đó, ta có x) ) Ỵ K tồn t0 Ỵ ¡ cho x £ Khi đó, tồn số thực nhỏ t cho x £ tu t0 u Thật vậy, giả sử u0 ¹ q x - tu0 Ỵ K , " Ỵ ¡ t xn + ³ x ³ t x n n Þ tn + ³ tn (n = 1, 2, ) 96 Ta nhận dãy (t n ) tăng, bị chặn trên, nên tồn lim tn = g £ , số g = Thật vậy, giả sử g < Khi * Agx > gA x Do x Ỵ * * * * A gx ³ gA x Þ xn + = 22 + du0 ³ g(1 + * A xn ³ A tnx Do , t n + ³ Þ $d > 0, A gx * gA x * ³ du0 cho u ³ gd- 1hx * , suy K ) , nên $h (u > * ³ gx - * h)x * ³ A (tn g - ) ³ tn g gx A gx * * ³ tn (1+ h)x (1+ h)tn (n = 1, 2, ) Đặc biệt, t2k + ³ ³ (1+ h)kt > 0(k = 1, 2, ) , chúng (1+ h)t2k - ³ ta g = lim tn = lim t2k + = + ¥ , điều mâu thuẫn với điều giả sử g < Vì vậy, g = * Hơn A đơn điệu K , t x £ x n * tn Ax £ A tnx (n = 1,2, ) nên n * * £ Ax n = xn + £ x (3.3) (n = 1,2, ) Chuyển qua giới hạn h thc (3.3) n đ + Ơ , ta có Ax * £ x (3.4) * Kết hợp (3.2) (3.4) ta Ax * = x * Định lí 3.1.2 Giả sử tốn tử A : E ® E thỏa mãn điều kiện 1)A toán tử (K , u ) - lõm quy bị chặn u0 nón K ; 97 2) $x Ỵ K (u0 ) cho dãy xn = A x n - 1(n = 1, 2, ) Khi tốn tử A có điểm bất động K (u0 ) compact tương đối Chứng minh Theo giả thiết dãy (xn ) tăng chứa dãy (x ) hội tụ Giả n k sử x ® x khơng gian E Vì dãy (x ) Ì K * (u nk ), x < x > n) (n n nk k n Cho x Ê yn k kđ Ơ ta c xn £ x *(n = 1, 2, ) Giả (k = 1, 2, ) Cho k đ Ơ ta x * £ sử E y Do x * = mà sup(xn ) Từ bất đẳng thức au £ x £ A x n £ u0 (n = 1, 2, ) suy x * K (u0 ) Ỵ Đến điều kiện định lí 3.1.1 thỏa mãn Vì vậy, A x = * * x 3.2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp lí thuyết phương trình phi tuyến với tốn tử (K , u ) -lõm quy Định lí 3.2.1 Nếu tốn tử (K , u ) - lõm quy A có điểm bất động x Ỵ K (u0 ) , x0 Ỵ K (u0 dãy điểm ) xn = A x n - 1(n = hội tụ theo u - chuẩn tới x Chứng minh Đầu tiên ta giả sử x = x1 = A x = tx, t Ỵ (0,1) Ta có A t x > tAx = t x = x0 Bằng phép quy nạp toán học dễ dàng chứng minh dãy (xn ) tăng n n n 1, 2, ) xn = A x = Theo giả thiết $a > 0, $b > A x = x cho au £ x £ nghĩa xn Ì K (u0 ) Gọi tn A tx < xn £ x £ bu (n = 1, 2, ) số lớn cho xn - t n x ³ q (3.5) (n = 1, 2, ) (nhờ bổ đề 2.1) Hiển nhiên , tn Ỵ (0, 1ùú 1, 2, ) Mặt khác, (n = û xn + tn x - ³ xn - tn x ³ q (n = 1, 2, ) Þ tn + tn (n = 1, 2, ) ³ dãy (t ) tăng bị chặn , nên tồn lim t g Ê n = nđƠ Gi s g < Do A 2gx > gA x = gx > q tính (K , u0 2 quy toán tử A A , nên ($d > ($h > 0)A gx ³ Suy (1 du ³ gx + gx + x = + b æ xn + = n A xn ³ A tn x = A (n = 1, 2, ) Þ xn + ³ (1 + Đặc biệt t2k + ³ h)tn x (1 + t 0) A gx - ÷ư t n gA x ³ h)g x h)t2k - ³ ³ ³ (1 + bg > tn tn + du0 ú ỗ ữ ữ A gx (1 ỗỗ gx + ữ g g ữ ỗgố ứ (n = 1, 2, ) Þ ) -lõm (1 + h)gx = (1 + h)tn x h)t (n = 1, 2, ) n k h) t > (k = 1, 2, ) Hệ thức chứng tỏ g = lim t n = nđƠ iu ny mõu thun vi gi thiết g < lim t2k + = + ¥ kđ Ơ (3.5), ta cú nđƠ Vỡ vy lim t q £ x - xn £ x Þ lim x - x n nđƠ - tn x = (1 - n = Từ bất đẳng thức tn )x £ b(1-tn )u0 (n = 1, 2, ) , = u0 Tiếp theo ta giả sử x = (k > 1) Ta có kx x = A x A kx < kA = kx x , Ax x = = = A k kx > k A kx Þ Akx < kAx Bằng phép quy nạp toán học, dễ dàng chứng minh dãy (xn ) giảm x = kx = kA x Theo giả thiết $l > 0, $m > n n n > A kx = x > A x = x n 0, cho l u0 ³ x0 ³ xn ³ x ³ mu ³ (n = 1, 2, ) (3.6) nghĩa (xn ) Ì K (u ) Gọi t số nhỏ cho n Hiển nhiên, t n ³ t n x - xn + ³ t nx - xn ³ q (n = 1, 2, ) Mặt khác t nx - t n+1 xn ³ q (n = 1, 2, ) Þ ³ t n (n = Nên dãy số ( t n ) giảm bị chặn 1, nên tồn ti lim t nđƠ Gi s t > Theo tính chất tốn tửA t Ax - t Þ A tx < ut tA x u ut = tx- u £ tx- ut = t ³ n At x > q q Khi ta tìm số < u < Þ Ax - t At x > l 2 A tx > Þ t A x A t x ut u A x uu > 1, 2, ) cho ổ ữ u t x = ỗỗ ữữt x = 1- x r = l Từ u l - u x2 x Þ t £ n+2 1+ r x = A £2 A t n t tn ỗố > = A n+2 1+ r l ø÷ t n n tx £ tn A tx tn £ t 1+ r x 10 Đặc biệt t 2k + £ t 2k - 1+ £ r Suy t = lim t 2k + Ê lim t nđƠ kt £ (1 + r ) (k = 1, 2, ) , mâu thuẫn với điều gi s t > Vỡ vy kđ Ơ n = Do q £ xn - x £ t n x - x = (t n - 1) x £ (t n - 1)l u0 Các hệ thức chứng tỏ lim x n - x = nđƠ u0 Cui cựng ta xột im tùy ý x Ỵ K (u0 ) Vì nên $a , b, a ¢, b cho ¢> au £ x £ bu 0, a ¢u £ Có thể chọn tùy ý t < ổ a n n a b Âu ị x0 £ , 1÷, t ÷ø xn £ A z = zn (n = 1, 2, ) Þ y n - x £ x n - x £ zn - x Theo chứng minh x £ x0 £ x0 £ t x = z n Do yn = A y £ A x = b , 1ữ Ta cú > max ữứ ỗ b ç èç a çè b y0 = t x £ x = Ax Ỵ K (u0 ), x Ỵ b¢ a x K (u0 ) 10 nên lim y n - x nđƠ - yn - x u0 u0 = lim z n - x nđƠ = 0, u0 u £ yn - x £ x n - x £ z n - x £ z n - x u0 u (n = 1, 2, ) 10 Do x xn - ìï í £ max zn - x u0 Suy u0 , yn - x ỹù ýu ùùỵ ùùợ lim x - x n nđƠ = u0 (n = 1, 2, ) KẾT LUẬN Bước đầu tìm hiểu đề tài “Phương pháp xấp xỉ liên tiếp lí thuyết phương trình phi tuyến với phần tử (K , u )- lõm quy”, với mục đích đề ra, luận văn trình bày chi tiết vấn đề nghiên cứu chương Chương 1: Hệ thống kiến thức không gian Banach thực nửa thứ tự, không gian Eu Giới thiệu chứng minh chi tiết số định lí nón, giới thiệu số không gian định chuẩn thực nửa thứ tự Chương 2: Trong không gian Banach thực E với nón K , đưa số định nghĩa toán tử dương, toán tử đơn điệu, toán tử u - đo được, toán tử lõm, toán tử u - lõm … Từ trình bày chứng minh số tính chất điểm bất động tốn tử (K , u0 )- lõm quy, xây dựng ví dụ tốn tử (K , u )-lõm toán tử (K , u )-lõm quy Chương 3: Luận văn mở rộng kết toán tử lõm cho lớp toán tử phi tuyến mới: Toán tử (K , u0 )- lõm quy, khơng u cầu tốn tử có tính chất u - đo được, kết tồn điểm bất động với toán tử lõm quy phương pháp xấp xỉ để tìm điểm bất động lớp tốn tử Rất cảm ơn nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn tơi hồn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO A Tiếng Việt [1] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nxb Khoa học kĩ thuật Hà Nội [2] Nguyễn Phụ Hy (2007), Bài tập Giải tích hàm, Nxb Khoa học kĩ thuật Hà Nội [3] Nguyễn Phụ Hy (1987), “Các véc tơ riêng toán tử lõm quy”, Tạp chí tốn học, tập 15 (số 2), (17-23) [4] Nguyễn Phụ Hy (1987), “Các điểm bất động tốn tử lõm quy”, Tạp chí tốn học, tập 15 (số 1), (27-32) [5] Hồng Tụy (2003), Hàm thực giải tích hàm, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội [6] Nguyễn Như Học (2007), Điểm bất động lớp phi tuyến h – cực trị, Luận văn thạc sỹ [7] Lê Hồng Sơn(2008), Véc tơ riêng lớp toán tử phi tuyến d – cực trị, Luận văn thạc sỹ B Tiếng Nga [1] Bredanxki (1978), Các toán tử tự liên hợp không gian hàm vô hạn biến, Kiep, (tiếng Nga) [2] M A Kraxnôxelxki (1962), Các nghiệm dương phương trình tốn tử, Matxcơva, (tiếng Nga) ... Chương Toán tử (K , u0 ) - lõm quy 40 2.1 Tốn tử (K , u0 ) - lõm 40 2.2 Toán tử (K , u ) - lõm quy 51 Chương Phương pháp xấp xỉ liên tiếp lí thuyết phương 59 trình phi tuyến với tốn tử (K , u ) - lõm. .. tử (K , u ) - lõm quy 3.1 Sự tồn điểm bất động toán tử (K , u ) - lõm quy 59 3.2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp lí thuyết phương trình phi 61 tuyến với tốn tử (K , u0 ) - lõm quy Kết luận 66 Tài... tiết phương pháp xấp xỉ liên tiếp lí thuyết phương trình phi tuyến với tốn tử (K , u ) -lõm quy Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu khơng gian Banach thực nửa thứ tự - Tìm hiểu tốn tử (K , u0 ) -lõm quy