Phương pháp xấp xỉ liên tiếp trong lí thuyết phương trình phi tuyến với toán tử (K,Uo) - Lõm chính quy

2 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. GVCC Nguyễn Phụ Hy. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới PGS. TS. GVCC Nguyễn Phụ Hy, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình thực hiện luận văn này. Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, các thầy giáo, cô giáo của trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này. Nhân đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình, Ban giám hiệu trường THPT Đoan Hùng - Phú Thọ cùng bạn bè, đồng nghiệp đã tạo điều kiện, động viên và giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu. Hà Nội, ngày 27 tháng 6 năm 2012. Tác giả Nguyễn Thị Huyền 3 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. GVCC Nguyễn Phụ Hy. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Tác giả Nguyễn Thị Huyền 4 MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn 2 Lời cam đoan 3 Mở đầu 5 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 7 1.1. Không gian định chuẩn thực 7 1.2. Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 8 1.3. Không gian 0 u E 10 1.4. Một số không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 19 Chương 2. Toán tử 0 ( , )K u - lõm chính quy 40 2.1. Toán tử 0 ( , )K u - lõm 40 2.2. Toán tử 0 ( , )K u - lõm chính quy 51 Chương 3. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp trong lí thuyết phương trình phi tuyến với toán tử 0 ( , )K u - lõm chính quy 59 3.1. Sự tồn tại điểm bất động của toán tử 0 ( , )K u - lõm chính quy 59 3.2. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp trong lí thuyết phương trình phi tuyến với toán tử 0 ( , )K u - lõm chính quy 61 Kết luận 66 Tài liệu tham khảo 67 5 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài. Trong toán học, vật lí và kĩ thuật có rất nhiều bài toán mà việc giải quyết chúng đều dẫn đến việc xét các toán tử lõm. Chính vì vậy mà vấn đề này đã được nhiều nhà toán học lớn trên thế giới quan tâm nghiên cứu. Năm 1956, nhà toán học người Nga M. A. Kraxanôxelxki đã khởi đầu nghiên cứu về lớp toán tử phi tuyến lõm. Tiếp sau đó năm 1984, I. A. Bakhtin mở rộng kết quả đến lớp toán tử phi tuyến 0 ( , )K u - lõm. Tuy nhiên điều kiện o u - đo được trong định nghĩa toán tử 0 ( , )K u - lõm khiến cho việc ứng dụng các kết quả đã đạt được theo hướng này gặp khó khăn đối với những lớp toán tử không thỏa mãn điều kiện kể trên nhưng lại có tính chất phổ dụng như toán tử 0 ( , )K u - lõm. Năm 1987, PGS. TS. GVCC Nguyễn Phụ Hy đã mở rộng các kết quả đối với toán tử lõm cho lớp toán tử phi tuyến mới: Toán tử lõm chính quy, trong đó không yêu cầu toán tử có tính chất o u - đo được. Với mong ước tìm hiểu sâu sắc hơn về lớp toản tử phi tuyến này, nhờ sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS. TS. GVCC Nguyễn Phụ Hy, tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài: “Phương pháp xấp xỉ liên tiếp trong lí thuyết phương trình phi tuyến với toán tử 0 ( , )K u -lõm chính quy”, trong đó không yêu cầu lớp toán tử 0 ( , )K u - lõm chính quy có tính chất o u - đo được. 2. Mục đích nghiên cứu 6 Đề tài này nhằm nghiên cứu và trình bày một cách có hệ thống, chi tiết về phương pháp xấp xỉ liên tiếp trong lí thuyết phương trình phi tuyến với toán tử 0 ( , )K u -lõm chính quy. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu về không gian Banach thực nửa sắp thứ tự. - Tìm hiểu về toán tử 0 ( , )K u -lõm chính quy. - Tìm hiểu về tính hội tụ của phương pháp xấp xỉ liên tiếp trong lí thuyết phương trình phi tuyến với toán tử 0 ( , )K u -lõm chính quy. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về phương pháp xấp xỉ liên tiếp trong lí thuyết phương trình phi tuyến với toán tử 0 ( , )K u -lõm chính quy. 5. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu các tài liệu tham khảo. - Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất. - Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn. 6. Giả thiết khoa học (hay những đóng góp mới) Nghiên cứu: “Phương pháp xấp xỉ liên tiếp trong lí thuyết phương trình phi tuyến với toán tử 0 ( , )K u -lõm chính quy” sẽ cho ta hiểu sâu sắc hơn về vấn đề này. Hơn nữa, kết quả thu được sẽ mở rộng cho lớp các toán tử khác. Luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho những vấn đề toán học tương tự khác. 7 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Không gian định chuẩn thực Định nghĩa 1.1. Ta gọi không gian định chuẩn thực (hay không gian tuyến tính định chuẩn thực) là không gian tuyến tính X trên trường số thực ¡ cùng với một ánh xạ từ X vào tập ,¡ kí hiệu là . (đọc là chuẩn), thỏa mãn các điều kiên sau đây ( )i 0; x ³ với mọi x XÎ và 0x x q= Û = (Phần tử không của không gian X ); ( )ii . . ;x x a a= với mọi x XÎ và mọi a Î ¡ . ( )iii ;x y x y + £ + với mọi ,x y XÎ . Số x -gọi là chuẩn của véc tơ x . Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn tương ứng là X . Các tiên đề ( )i , ( )ii và ( )iii gọi là các tiên đề chuẩn. Định nghĩa 1.2. Dãy điểm 1 ( ) n n x ¥ = của không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ tới điểm x XÎ nếu lim 0 n n x x ® ¥ - = . Định nghĩa 1.3. Dãy điểm 1 ( ) n n x ¥ = trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản nếu , lim 0. n m m n x x ® ¥ - = Định nghĩa 1.4. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ. 8 Định nghĩa 1.5. Không gian Banach X gọi là không gian Banach thực nếu X là không gian con định chuẩn thực. Không gian Banach thực thường kí hiệu bởi E . 1.2. Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 1.2.1. Nón trong không gian định chuẩn Định nghĩa 1.6. Cho không gian Banach thực E . Tập con khác rỗng K EÌ gọi là một nón, nếu K thỏa mãn các điều kiện sau đây 1 ( )N K là một tập đóng trong không gian ;E 2 ( )N , ;x K y K x y K" Î " Î Þ + Î 3 ( )N , 0 ;x K t tx K" Î " ³ Þ Î 4 ( )N , .x K x x K q" Î ¹ Þ - Ï 1.2.2. Quan hệ sắp thự thự trong không gian Banach thực. Giả sử E là không gian Banach thực, K là một nón trong không gian E . Ta đưa quan hệ sắp thứ tự vào không gian E như sau Với ,x y EÎ ta viết x y£ nếu y x K- Î . Khi đó quan hệ " "£ là một quan hệ sắp thự trên E . Thật vậy, ta có + Tính chất phản xạ: Với mọi x EÎ thì hiển nhiên x x£ , vì x x Kq- = Î . + Tính chất bắc cầu: Với mọi , , : ,x y z E x y y zÎ £ £ ta có y x K- Î và .z y K- Î Do đó, ta có ( ) ( ) z x z y y x K- = - + - Î . Điều đó chứng tỏ z y K- Î . + Tính chất phản đối xứng: Với mọi ,x y EÎ mà , x y y x£ £ thì .x y= Bởi vì nếu thì x y y x q¹ - ¹ . Lại do y x K- Î nên .x y K - Ï Điều này mâu thuẫn với giả thiết y x£ . 9 Do đó, quan hệ " "£ là quan hệ sắp thứ tự trên không gian E với nón K . Lúc này, ta nói không gian E cùng với nón K trở thành không gian Banach sắp thứ tự bộ phận hay không không gian Banach nửa sắp thứ tự. Từ định nghĩa, dễ dàng suy ra các tích chất đơn giản sau (ngoài các tính chất và khái niệm đã biết trong lí thuyết tập hợp) Tính chất 1. Giả sử 1 ( ) n n x ¥ = và 1 ( ) n n y ¥ = là hai dãy trong không gian .E Nếu ; n n x y £ với mọi 1,2, n = và lim , lim n n n n x x y y ® ¥ ® ¥ = = trong không gian E thì x y£ . Thật vậy, từ giả thiết ta có ; n n y x K - Î với mọi 1,2, n = và lim ( ) . n n n y x y x ® ¥ - = - Do K là tập đóng nên y x K- Î . Như vậy x y£ . Tính chất 2. Giả sử 0 u KÎ và x EÎ . Khi đó, nếu 0 x tu £ thì 0 ;x ug £ với mọi tg ³ . Thật vậy, theo giả thiết ta có 0 tu x K- Î và 0 ( ) t u K g - Î . Do đó, ta có 0 0 0 ( ) ( ) u x t u tu x K g g - = - + - Î . Như vậy 0 .x ug £ Tính chất 3. Giả sử 0 0 , u K x KÎ Î và tồn tại 0 t Î ¡ sao cho 0 0 0 .x t u £ Khi đó, tồn tại số thực nhỏ nhất t sao cho 0 0 .x tu £ Thật vậy, giả sử 0 u q¹ và 0 0 ,x tu K t - Î " Î ¡ thì 10 0 0 sign ; x u t K t + Î với mọi t Î ¡ . Cho t ® ¥ , do K là tập đóng, ta được 0 u KÎ và 0 .u K - Î Mâu thuẫn với tính chất của nón K . Vì vậy , tồn tại số thực t nhỏ nhất sao cho 0 0 .x tu £ Tính chất 4. Giả sử 0 0 , u K x EÎ Î sao cho 0 0 0 0 0, t x t u $ > ³ - . Khi đó, tồn tại số thực nhỏ nhất t sao cho 0 0 x tu ³ - . Thật vậy, vì 0 0 x E x EÎ Þ - Î . Khi đó, với 0 0 0 0 0 0 0 0 : 0, u K t x t u x t u Î $ > ³ - Þ - £ . Theo tính chất 3, tồn tại số thực t nhỏ nhất sao cho 0 0 x tu - £ hay tồn tại số thực t nhỏ nhất sao cho 0 0 .x tu ³ - 1.3. Không gian 0 u E 1.3.1. Định nghĩa không gian 0 u E và một số tính chất đơn giản. Cho không gian Banach thực E với nón ,K giả sử { } 0 \u K q Î . Phần tử x EÎ gọi là 0 u - đo được nếu tìm được hai số không âm 1 2 ,t t sao cho 1 0 2 0 t u x t u - £ £ . Ta kí hiệu cận dưới đúng của các số 1 t là ( )xa , của các số 2 t là ( ).x b Theo tính chất 3 và tính chất 4 của mục 1.2.2 thì 0 0 ( ) ( )x u x x u a b- £ £ . (1.1) Hơn nữa bất đẳng thức (1.1) còn thỏa mãn với mọi 1 2 ( ), ( )t x t xa b > > . 11 Kí hiệu 0 u E là tập hợp tất cả các phần tử x EÎ có tính chất 0 u - đo được. Khi đó tập 0 u E có các tính chất dưới đây ( )i 0 u E là không gian tuyến tính con của E . Thật vậy, ta có + 0 1 2 3 4 ( , )( 0, 0, 0, 0) u x y E t t t t " Î $ ³ $ ³ $ ³ $ ³ sao cho 1 0 2 0 3 0 4 0 , t u x t u t u y t u - £ £ - £ £ . Do đó 0 1 3 0 2 4 0 ( ) ( ) u t t u x y t t u x y E - + £ + £ + Þ + Î . + 0 1 2 1 0 2 0 ( )( 0, 0) - u x E t t t u x t u ¢ ¢ ¢ ¢ " Î $ ³ $ ³ £ £ . Khi đó, với mọi h Î ¡ thì hoặc 1 0 2 0 ht u hx ht u ¢ ¢ - £ £ nếu 0h ³ ; hoặc 1 0 2 0 ht u hx ht u ¢ ¢ - ³ ³ nếu 0h < . Do đó, ta suy ra 0 u hx E Î . ( )ii 0 u E là không gian định chuẩn với chuẩn { } 0 max ( ), ( ) u x x x a b= (1.2) Thật vậy, hiển nhiên 0 . u là một ánh xạ từ 0 u E vào tập số thực không âm + ¡ . Ta lần lượt kiểm tra các tiên đề về chuẩn + Hiển nhiên rằng 0 0 ( ) 0 u u x E x " Î ³ { } 0 0 max ( ), ( ) 0 u x x xa b = Û = ( ) ( ) 0 . x x x a b qÛ = = Û = + 0 ( )( ) u x E l" Î " Î ¡ ta tìm được các số không âm 1 2 ,t t sao cho 1 0 2 0 .t u x t u - £ £ Từ đó, suy ra [...]... gn gn + E hn hn hn T ú E E 1- = hn + gn E 2y n n yn E gn + E + E hn hn gn E gn hn - gn E - hn E hn E E hn E 1 > 0( " n 2) n - xn xn gn E = v gn gn = E + yn n yn Ê E E - xn xn E + yn n yn = 1+ E E 1 n 16 - hn 1 n - 1- E Suy ra gn - hn E 2 n - E Tng t gn hn E E xn = xn 1- yn + n yn E xn Ê xn E E + E yn = 1+ n yn E E 1 > 0 "n 2 n Suy ra - hn 1 n Ê - 1+ E Vy gn E - hn 2 n Ê E Ta cú gn gn + E... nún chun trong khụng gian Banach thc E , thỡ khụng gian E u l khụng gian Banach theo u 0 - chun 0 Ơ Chng minh Gi s (x n ) n=1 l mt dóy c bn bt kỡ trong khụng gian E u 0 theo u 0 - chun, ngha l (" e > 0)($ n 0 ẻ ) N * (" n , m n 0 ) x n - x m < e, hay (1.5) - eu 0 Ê x n - x m Ê eu 0 Do ú x n - x m + eu 0 ẻ K v xn - xm E - e u0 E Ê x n - x m + eu 0 E Ê 2N e u 0 E Do K l nún chun nờn t x n - x m + eu... 2eu 0 suy ra x n - x m + eu 0 E Ê 2N e u 0 E ) T ú ta cú xn - xm E Ê e (1 + 2N ) u 0 E ; vi mi n , m n 0 19 Ơ iu ny cho thy dóy (x n ) n=1 l dóy c bn trong khụng gian Banach E nờn tn ti x ẻ E sao cho lim x n - x nđ Ơ E = 0 Chuyn qua gii hn trong h thc (1.5) khi m đ Ơ ta nhn c - eu 0 Ê x n - x Ê eu 0 ; vi mi n n 0 Chng t xn - x ẻ E u 0 Do ú x = x n - (x n - x ) ẻ E u 0 v x n - x Ê e; vi " n n... E T ú v t nh ngha chun trong khụng gian Ey n - xn y n Ê x n Ê x n yn yn y n Suy ra xn - E n yn yn Ê xn Ê E xn E n yn yn E iu ú tng ng vi - yn n yn Ê E xn xn Ê E yn n yn E 15 t xn gn = xn + E yn n yn , hn = E - xn xn yn + n yn E E Khi ú, vi mi n 2 ta cú gn E xn = xn + E yn xn n yn xn E E E yn = 1- = 1- n yn 1 > 0, n 1 > 0 n E E v hn E - xn = xn + E yn - xn n yn xn E E - E yn n yn E E Nh vy gn... tớnh cht u 0 - o c thỡ E u = E * 0 x Tht vy, gi s x ẻ E u Vỡ x * l u 0 - o c thỡ: a u 0 Ê x * Ê b u 0 vi 0 a 0 > 0, b 0 > 0 v x l u 0 - o c Khi ú, t bt ng thc - t 1u 0 Ê x * Ê t 2 ta suy ra u0 - t1 * t x Ê x Ê 2 x* a0 a0 Do ú, x l x * - o c Ngc li, nu x ẻ E x * hay x * - o c thỡ ( $ t 1 0, $ t 2 0) sao cho   - t 1x * Ê x Ê t 2x * Do ú   - t1b 0u 0 Ê x Ê t 2b 0u 0 Nh vy x l u 0 - o c , nờn... t ca dóy s (z n )n = 1 trong Ê tng ng vi s hi t ca hai dóy s Ơ Ơ thc: (Re z n )n = 1 v (Im z n )n = 1 Tht vy, gi s rng z n đ z (n đ Ơ ); vi z = x + iy Khi ú, ta cú zn - z = (x n - x )2 + (y n - y )2 z n = x n + iy n v 21 Do z n đ z (n đ Ơ ) suy ra ( " e > 0)($ n 0 ẻ Ơ * )( " n n 0 ) z n - z = (x n - x )2 + (y n - y )2 < e T ú, suy ra vi mi n n 0 ta cú x n - x < e v y n - y < e Nh vy x n đ x ,... z 1 Ê z 2 ù 1 ớ ù y1 Ê y 2 ù ợ Tht vy z 1 Ê z 2 z 2 - z 1 = (x 2 + iy 2 ) - (x 1 + iy 1) ẻ K ỡx - x 0 ù 1 ù 2 ớ ù y 2 - y 1 0 ù ợ ỡx Ê x , ù 2 ù 1 ớ ù y1 Ê y 2 ù ợ Hai phn t tựy ý trong khụng gian Ê cú th khụng cú quan h " Ê " , chng hn vi z 1 = 3 + 2i, z 2 = 1 + 5i ta cú z 1 - z 2 = 2 - 3i ẽ K ị ta khụng cú quan h z 2 Ê z 1 z 2 - z 1 = - 2 + 3i ẽ K ị ta khụng cú quan h z 1 Ê z 2 Vy , khụng... 0 ta cú tz = tx + ity ; tx 0, ty 0 iu ú, chng t tz ẻ K (iv ) Vi mi z = x + iy ẻ K , z ạ q ta cú ỡx > 0 ỡx 0 ù ù ù ù ị ớ ớ ùy 0 ùy > 0 ù ù ợ ợ - x < 0 - x Ê 0 ù ù ù ù ớ ớ - y Ê 0 ù - y < 0 ù ù ợ ợ Trong c hai trng hp ta u cú - z = - x + i (- y ) ẽ K Nh vy K l mt nún Tip theo ta chng minh K l mt nún chun Tht vy, vi mi e1, e2 ẻ K ta vit e1 = x 1 + iy1 ( x 1 0, y1 0);e2 = x 2 + iy 2 ( x 2...12 + hoc - l t 1u 0 Ê l x Ê l t 2u 0 nu l 0; + hoc - l t 1u 0 l x l t 2u 0 nu l < 0 Ta xột hai trng hp sau 1 Vi l 0 ta cú inf(l t 1) = l inf t 1 = l a (x ) v inf(l t 2 ) = l inf t 2 = l b (x ) t t1 1 t t2 2 Do ú, ta cú max { a (x ), l b (x )}= l max { (x ), b (x )}= l x l a u0 = l x u0 2 Vi l < 0 ta cú inf (- l t 1 ) = - l inf t 1 = - l a (x ) v inf (- l t 2 ) = - l inf t 2 = - l b (x ) t1... )n = 1 , z n = x n + iy n m x n đ x , y n đ y (n đ Ơ ) Khi ú, vi mi e Â> 0 tn ti s nguyờn dng k 0 sao cho xn - x < e 2 v y n - y < e ; 2 vi mi n k 0 t z = x + iy ta cú zn - z = 2 x n - x + yn - y 2 < e ; vi mi n k 0 Vy z n hi t ti z khi n đ Ơ 1.4.1.2 Nún trong khụng gian Banach thc Ê Trong khụng gian Banach Ê , tp K = { ẻ Ê : Re z 0, Im z 0} z l mt nún Tht vy, hin nhiờn K ạ q vỡ 0 ẻ K Ơ (i . 2. Toán tử 0 ( , )K u - lõm chính quy 40 2.1. Toán tử 0 ( , )K u - lõm 40 2.2. Toán tử 0 ( , )K u - lõm chính quy 51 Chương 3. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp trong lí thuyết phương trình. cứu đề tài: Phương pháp xấp xỉ liên tiếp trong lí thuyết phương trình phi tuyến với toán tử 0 ( , )K u -lõm chính quy , trong đó không yêu cầu lớp toán tử 0 ( , )K u - lõm chính quy có tính. trình phi tuyến với toán tử 0 ( , )K u - lõm chính quy 59 3.1. Sự tồn tại điểm bất động của toán tử 0 ( , )K u - lõm chính quy 59 3.2. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp trong lí thuyết phương trình