Tập bài giảng lí thuyết xác suất (tài liệu dùng cho hệ đào tạo chính quy SP và CN toán học)

Hiểu được các khái niệm cơ bản của Lí thuyết xác suất: phép thử ngẫunhiên, không gian mẫu, xác suất của biến cố, các tính chất của xác suất,xác suất có điều kiện và sự độc lập của các bi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Mục lục

1.1 Phép thử ngẫu nhiên và biến cố 9

1.1.1 Phép thử ngẫu nhiên 9

1.1.2 Biến cố 10

1.2 Xác suất của biến cố 12

1.2.1 Định nghĩa cổ điển của xác suất 12

1.2.2 Định nghĩa xác suất theo tần suất 14

1.2.3 Định nghĩa xác suất theo tiên đề 15

1.2.4 Xác suất hình học 16

1.2.5 Các tính chất của xác suất 17

1.3 Xác suất có điều kiện 20

1.3.1 Định nghĩa và ví dụ 20

1.3.2 Quy tắc nhân xác suất 22

1.3.3 Công thức xác suất đầy đủ 23

1.3.4 Công thức Bayes 24

1.4 Sự độc lập và công thức Bernoulli 26

1.4.1 Sự độc lập 26

1.4.2 Công thức Bernoulli 28

1.4.3 Số có khả năng nhất 30

Bài tập chương 1 33

2.1 Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 40

2.1.1 Một số khái niệm và tính chất của biến ngẫu nhiên 40

2.1.2 Phối xác suất của biến ngẫu nhiên 44

2.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc 47

2.2.1 Định nghĩa và ví dụ 47

2.2.2 Một số biến ngẫu nhiên rời rạc thường gặp 50

2.3 Biến ngẫu nhiên liên tục 53

2.3.1 Định nghĩa và ví dụ 53

2.3.2 Một số biến ngẫu nhiên liên tục thường gặp 55

2.4 Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 61

2.4.1 Kỳ vọng 61

2.4.2 Phương sai 64

2.4.3 Một số đặc trưng khác của biến ngẫu nhiên 67

Bài tập chương 2 70 Chương 3 VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỒNG THỜI 76 3.1 Véc tơ ngẫu nhiên và phân phối xác suất đồng thời 77

3.1.1 Một số khái niệm cơ bản của véc tơ ngẫu nhiên 77

3.1.2 Véc tơ ngẫu nhiên rời rạc 78

3.1.3 Véc tơ ngẫu nhiên liên tục 82

3.2 Các đặc trưng của véc tơ ngẫu nhiên 86

3.3 Phân phối xác suất có điều kiện 92

3.4 Phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên 97

3.4.1 Trường hợp phân phối rời rạc 97

3.4.2 Trường hợp phân phối liên tục 98

Tài liệu lưu hành nội bộ

3.4.3 Phân phối của hàm hai biến ngẫu nhiên 101

Bài tập chương 3 105 Chương 4 LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN 110 4.1 Luật số lớn 111

4.1.1 Hội tụ theo xác suất 111

4.1.2 Một số bất đẳng thức 112

4.1.3 Luật yếu số lớn 115

4.1.4 Ứng dụng của luật số lớn trong thống kê 118

4.2 Định lí giới hạn trung tâm 120

4.2.1 Hội tụ theo phân phối xác suất 120

4.2.2 Hàm đặc trưng 121

4.2.3 Định lí giới hạn trung tâm 124

4.3 Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối Poisson 126

4.4 Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn 128

Bài tập chương 4 132 Chương 5 GIỚI THIỆU VỀ XÍCH MARKOV VÀ ỨNG DỤNG 137 5.1 Tính Markov 138

5.1.1 Quá trình ngẫu nhiên là gì? 138

5.1.2 Tính Markov 138

5.2 Xích Markov rời rạc và thuần nhất 140

5.2.1 Ma trận xác suất chuyển 140

5.2.2 Phương trình Chapman-Kolmogorov 142

5.2.3 Phân phối ban đầu 143

5.3 Một số mô hình xích Markov 145

5.3.1 Mô hình kiểm kê 145

5.3.2 Mô hình phục vụ đám đông 146

5.3.3 Mô hình xích Markov trong bài toán điều khiển 147

5.4 Xích Markov hữu hạn 1505.4.1 Xích có hai trạng thái 1505.4.2 Định lí ergodic 152

LỜI NÓI ĐẦU

Lí thuyết xác suất và Thống kê toán là môn học bắt buộc đối với sinh viên

ở nhiều ngành học bởi vì những ứng dụng của chúng có thể bắt gặp trong rấtnhiều lĩnh vực của cuộc sống như kinh tế, tài chính, sinh học, vật lí, Đặcbiệt, trong chương trình giáo dục phổ thông tổng thể, cấu trúc chương trìnhmôn Toán ở trung học phổ thông cũng dựa trên sự phối hợp cả cấu trúc tuyếntính với cấu trúc đồng tâm xoáy ốc, xoay quanh và tích hợp ba mạch kiến thức:

Số và Đại số; Hình học và Đo lường; Thống kê và Xác suất Do đó, Lí thuyếtxác suất và Thống kê toán đặc biệt quan trọng đối với giáo viên toán tương lai.Tập bài giảng này là kết quả của hơn mười năm tác giả tham khảo, tìm hiểu,nghiên cứu và giảng dạy học phần Lí thuyết xác suất cho sinh viên từ K30 Cửnhân Toán cho đến nay Nội dung của tập bài giảng này dựa trên khung chươngtrình học phần Lí thuyết xác suất 3 tín chỉ dành cho sinh viên ngành Sư phạm

và Cử nhân Toán học Nội dung của tập bài giảng này trang bị cho sinh viênnhững kiến thức cơ bản về xác suất, biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất, cácđặc trưng của biến ngẫu nhiên, luật số lớn và các định lí giới hạn Bên cạnh

đó, tập bài giảng cũng giới thiệu một mô hình cơ bản song tương đối hiện đại

và có nhiều ứng dụng trong thực tế của Lí thuyết xác suất đó là mô hình xíchMarkov Từ đó giúp cho sinh viên thấy được phần nào những ứng dụng của líthuyết toán học trong thực tế, đồng thời tăng cường niềm say mê đối với toánhọc

Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS TS Nguyễn Năng Tâm, TS Trần VănBằng, TS Trần Minh Tước, ThS Phạm Thị Hương, ThS Phạm Văn Duẩn đãđọc và cho nhiều nhận xét quý báu về nội dung tập bài giảng Mặc dù rất cố

gắng song tập bài giảng này chắc chắn còn những thiếu sót, tác giả rất mongnhận được những nhận xét và góp ý để tập bài giảng hoàn thiện hơn.

Hà Nội, năm 2017Tác giả

Nguyễn Trung Dũng

A, Ac Biến cố đối của biến cố A

P(A) Xác suất của biến cố A

BR σ-đại số Borel trên R

BRn σ-đại số Borel trên Rn

(Ω, F , P) Không gian xác suất

Xn −→ XP Dãy (Xn) hội tụ theo xác suất đến X

Xn −→ Xd Dãy (Xn) hội tụ theo phân phối đến X

KHÔNG GIAN XÁC SUẤT

Mục tiêu

Sau khi học xong chương này sinh viên sẽ:

1 Hiểu được các khái niệm cơ bản của Lí thuyết xác suất: phép thử ngẫunhiên, không gian mẫu, xác suất của biến cố, các tính chất của xác suất,xác suất có điều kiện và sự độc lập của các biến cố

2 Có khả năng nhận biết các phép thử ngẫu nhiên, mô tả không gian mẫu

và các biến cố sơ cấp của phép thử ngẫu nhiên

3 Có khả năng tính xác suất cổ điển của biến cố, tính được xác suất của biến

cố dựa vào các tính chất của xác suất

4 Có khả năng xây dựng được không gian xác suất tương ứng với phép thửngẫu nhiên đã cho

Trong chương này, chúng ta trình bày một số khái niệm cơ sở của Lí thuyếtxác suất Trước hết chúng ta bắt đầu với câu hỏi " Xác suất là gì ?" Tiếp theochúng ta trình bày về phép thử ngẫu nhiên, các phương pháp gán xác suất chomột biến cố, khái niệm về xác suất có điều kiện và các tính chất Cuối cùngchúng ta trình bày về sự độc lập của các biến cố, công thức Bernoulli và số có

Tài liệu lưu hành nội bộ

khả năng nhất Nội dung của chương này được tham khảo trong các tài liệu[2, 14, 15]

Xác suất là gì?

Ngẫu nhiên và không chắc chắn luôn tồn tại trong cuộc sống thường nhậtquanh chúng ta cũng như trong khoa học, kĩ thuật và công nghệ Lí thuyết xácsuất là một bộ môn toán học cho phép mô tả và phân tích các hiện tượng ngẫunhiên xung quanh chúng ta Các hiện tượng ngẫu nhiên chúng ta đang nói ở đây

là các sự kiện hay thí nghiệm mà kết quả của chúng không thể dự báo trướcmột cách chắc chắn

1.1.1 Phép thử ngẫu nhiên

Phép thử ngẫu nhiên (random experiment) là khái niệm cơ bản nhất của Líthuyết xác suất, đó là những phép thử mà các kết quả (outcome) của nó khôngthể xác định được trước một cách chắc chắn

Các ví dụ về phép thử ngẫu nhiên:

1 Gieo một đồng xu và quan sát mặt xuất hiện

2 Đo lượng mưa ở thành phố Hà Nội trong tháng Giêng

3 Đếm số ô tô đi qua một giao lộ trong một khoảng thời gian

4 Chọn ngẫu nhiên 40 người và đếm số người thuận tay trái

5 Chọn ngẫu nhiên 10 người đo chiều cao của họ

Đối với phép thử ngẫu nhiên, sau khi đã thực hiện kết quả là xác định

- Một kết quả của phép thử ngẫu nhiên được gọi là một biến cố sơ cấp (basicevent) thường được kí hiệu là ω.

- Tập hợp gồm tất cả các biến cố sơ cấp được gọi là không gian mẫu hay còngọi là không gian các biến cố sơ cấp (sample space) và được kí hiệu là Ω

Ví dụ 1.1.1 (Gieo đồng xu) Tiến hành gieo và quan sát mặt xuất hiện mộtđồng xu cân đối liên tiếp n lần là một phép thử ngẫu nhiên

Nếu chúng ta kí hiệu S là kết quả đồng xu xuất hiện mặt sấp (mặt quốc huy)

và N là kết quả xuất hiện mặt ngửa (mặt số) khi đó không gian mẫu của phépthử là

Ω = {(ω1, ω2, , ωn)| ωi ∈ {S, N }, i= 1, , n}

Từ không gian mẫu như trên, bằng kĩ thuật đếm đơn giản ta tính được sốbiến cố sơ cấp hay số phần tử của không gian mẫu Ω là 2n

Ví dụ 1.1.2 (Tuổi thọ của máy sản xuất) Chúng ta xét một máy sản xuất

ra các sản phẩm nào đó Khi đó phép thử quan sát tuổi thọ của máy (theo giờ)

Tài liệu lưu hành nội bộ

cố (event) và được kí hiệu bằng các chữ cái A, B, C, Chúng ta nói rằng biến

cố A xảy ra nếu kết quả của phép thử là một phần tử thuộc tập A

Chúng ta có các ví dụ về biến cố như sau:

1 Biến cố tổng tổng số chấm xuất hiện khi gieo hai con xúc xắc không nhỏhơn 10 là

A ={(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)}

2 Gọi A là biến cố tuổi thọ của máy sản xuất nhỏ hơn 1000 giờ, ta có A =

[0,1000)

Phép toán trên các biến cố:

Nếu nhìn nhận biến cố như một tập hợp các kết quả của phép thử ngẫunhiên, khi đó trên tập các biến cố chúng ta có đầy đủ các phép toán như đốivới các tập hợp thông thường Dưới đây, chúng ta trình bày một số phép toán

cơ bản trên các biến cố

1 Hợp (tổng) của biến cố A với biến cố B là một biến cố kí hiệu là A ∪ Bxảy ra nếu có ít nhất một trong hai biến cố A và B xảy ra

2 Giao (tích) của biến cố A với biến cố B là một biến cố kí hiệu là A ∩ Bhoặc AB xảy ra nếu cả hai biến cố A và B cùng xảy ra

3 Hiệu của biến cố A đối với biến cố B là biến cố xảy ra nếu A xảy ra nhưng

B không xảy ra, kí hiệu là A \ B

4 Đặc biệt, Ω\ A được gọi biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A

5 Biến cố A kéo theo biến cố B nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra, khi đó chúng

ta cũng nói rằng biến cố A thuận lợi cho biến cố B và kí hiệu là A ⊂ B

6 Hai biến cố A và B là xung khắc nếu A xảy ra thì B không xảy ra và ngượclại, ta có A ∩ B =∅

Chú ý 1.1.4 - Nếu hai biến cố A và B là xung khắc thì ta viết A+B thay cho

A ∪ B

- Quy tắc lấy biến cố đối (quy tắc De Morgan):

A ∪ B =A ∩ B,

A ∩ B =A ∪ B

Xác suất (probability) là một số nằm giữa 0 và 1 "đo lường" mức độ xuấthiện của biến cố trong phép thử Nếu xác suất càng gần 1 thì khả năng xảy racủa biến cố càng cao Ngược lại, nếu xác suất càng gần 0 thì khả năng xảy racủa biến cố càng thấp

Xác suất của biến cố A kí hiệu là P(A) Trong mục này, chúng ta sẽ trìnhbày các phương pháp gán xác suất cho biến cố A

1.2.1 Định nghĩa cổ điển của xác suất

Cho phép thử có không gian mẫu Ω gồm hữu hạn các kết quả xảy ra Hơnnữa, giả thiết các kết quả này là đồng khả năng xuất hiện Khi đó xác suất củabiến cố A được định nghĩa như sau

P(A) = Số kết quả thuận lợi cho biến cố A

Số kết quả có thể của phép thử =

|A|

|Ω|. (1.2.1)Chú ý 1.2.1 Từ định nghĩa cổ điển của xác suất, chúng ta có một số lưu ý nhưsau:

+ Chỉ áp dụng cho những phép thử có hữu hạn kết quả có thể và các kết quả

là đồng khả năng

+ Việc tính xác suất cổ điển quy về bài toán đếm Trước hết chúng ta đếm

số kết quả có thể của phép thử (có thể sử dụng phương pháp liệt kê, các

Tài liệu lưu hành nội bộ

phương pháp của giải tích tổ hợp hoặc các kỹ thuật đếm nâng cao ).Sau đó chúng ta đếm số kết quả thuận lợi cho biến cố chúng ta quan tâm

Ví dụ 1.2.2 Gieo đồng thời 2 con xúc xắc Tính xác suất để:

a Tổng số chấm xuất hiện bằng 8

b Hiệu số chấm xuất hiện bằng 2

Lời giải

Chúng ta có không gian mẫuΩ ={(a, b)| a, b ∈ N,1≤ a, b ≤6} Do đó, chúng

ta có số phần tử của không gian mẫu |Ω| = 6×6 = 36

a Gọi A là biến cố: tổng số chấm xuất hiện bằng 8 Khi đó chúng ta có

1.2.2 Định nghĩa xác suất theo tần suất

Cho phép thử G và A là một biến cố liên quan Giả sử phép thử G có thểđược lặp lại nhiều lần một cách độc lập trong các điều kiện giống nhau Hơnnữa, chúng ta giả thiết rằng trong n lần thực hiện G biến cố A xuất hiện kn (A)

lần Khi đó tỷ số

fn(A) = kn(A)

được gọi là tần suất xuất hiện biến cố A trong n lần thực hiện G

Người ta nhận thấy rằng (theo Luật số lớn được trình bày ở Chương 4), khi

số phép thử tăng lên vô hạn, tần suất fn(A) luôn dao động xung quanh một số

cố định Khi đó xác suất của biến cố A được định nghĩa như sau

Tài liệu lưu hành nội bộ

1.2.3 Định nghĩa xác suất theo tiên đề

Cho Ω là không gian mẫu của phép thử nào đó (Ω có thể hữu hạn hoặc vôhạn phần tử) Khi đó chúng ta có khái niệm về σ− đại số các biến cố như sau.Định nghĩa 1.2.4 (σ− đại số các biến cố ) Họ F các tập con của Ω đượcgọi là một σ− đại số các biến cố nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

T1 Tiên đề về tính không âm: với mọi biến cố A ∈ F thì P(A)≥ 0

T2 Tiên đề về tính chuẩn hóa: P(Ω) = 1

T3 Tiên đề về tính σ− cộng tính: nếu A1, A2, là dãy các biến cố đôi mộtxung khắc nhau thì

P

∞[

n=1

An
=

∞X

+ P(A) = X

ωi∈A

P(ωi) với A ∈ F Khi đó chúng ta có thể kiểm tra được rằng P(.) thỏa mãn 3 tiên đề T1, T2

và T3 Do đó (Ω, F , P) là một không gian xác suất Nếu giả thiết tập A có kphần tử khi đó P(A) = k

N Đây chính là định nghĩa cổ điển của xác suất Nhưvậy, định nghĩa cổ điển của xác suất là trường hợp riêng của hệ tiên đề xác suấttrong trường hợp không gian mẫu có hữu hạn phần tử và các kết quả là đồngkhả năng xuất hiện

1.2.4 Xác suất hình học

Giả sử tập hợp các biến cố sơ cấp Ω được mô tả như một miền con đo đượctrong Rn có thể tích hữu hạn và A là một tập con đo được của Ω Xét phép thử

G : chọn ngẫu nhiên một điểm M thuộc Ω Gọi A là biến cố: điểm M thuộc miền

A Khi đó xác suất của biến cố A được gọi là xác suất hình học và xác định bởi

Tài liệu lưu hành nội bộ

Biểu diễn lên mặt phẳng x0y chúng ta các miền của C và Ωtrong Hình 1.2.1như sau

Từ các tiên đề xác suất chúng ta có các tính chất như sau

Mệnh đề 1.2.8 Cho A, B là các biến cố Khi đó ta có:

1 P(∅) = 0

2 Nếu A ⊂ B thì P(A)≤ P(B)

3 Với mọi biến cố A ta có 0≤ P(A) ≤1

4 Với mọi biến cố A ta có P(A) = 1− P(A)

5 P(A ∪ B) =P(A) +P(B)− P(A ∩ B)

Chứng minh 1 Hiển nhiên.

2 Nếu A ⊂ B thì B = A+ (B ∩ A) Do đó, theo Tiên đề T3 ta có P(B) =

Lời giải

Gọi A là biến cố: gặp một người mắc bệnh huyết áp Gọi B là biến cố: gặpmột người mắc bệnh tim Suy ra A.B là biến cố: gặp một người không mắc cảhai bệnh tim và huyết áp Theo giả thiết ta có P(A) = 0,12; P(B) = 0,06 và

P(AB) = 0,04 Từ tính chất của xác suất chúng ta có

P(A.B) = 1− P(A ∪ B) = 1− P(A)− P(B) +P(AB)

Thay số vào chúng ta có P(A.B) = 0,86

Mệnh đề 1.2.10 (Quy tắc cộng xác suất) Cho A1, A2, , An là các biến

Tài liệu lưu hành nội bộ

Chứng minh Chúng ta chứng minh công thức (1.2.4) phương pháp quy nạptheo n

+ Với n = 2, công thức đúng theo Mệnh đề 1.2.8 ý 5

+ Giả sử công thức đúng với n −1, tức là ta có

i=1

Ai Ta có

n[

i=1

Ai= B ∪ An Do đó ta có

P

n[

i=1

Ai
=P(B) +P(An)− P(B ∩ An) (1.2.6)

Mặt khác, B ∩ An =

n−1[

i=1

(B ∩ Ai) Theo giả thiết quy nạp ta có

P(B ∪ An) =

n−1X

Mệnh đề 1.2.11 (Tính liên tục của xác suất) Chúng ta có các khẳng địnhsau:

(i.) Nếu (An) là dãy đơn điệu tăng, tức là A1 ⊂ A2 ⊂ · · · ⊂ An ⊂ thì tồntại

lim

n→∞P(An) =P

∞[

+ An =

n[

k=1

Bk =

n[

n=1

An
=P

∞[

n=1

Bn
=

∞X

n=1

P(Bn) = lim

n[

1.3.1 Định nghĩa và ví dụ

Trong thực tế, nhiều khi chúng ta phải trả lời câu hỏi: "Có thể nói gì về khảnăng xảy ra của sự kiện A khi biết sự kiện B nào đó đã xảy ra?" Trong một sốtrường hợp đơn giản chúng ta có ngay câu trả lời Nếu sự kiện B kéo theo A khi

đó khả năng xảy ra sự kiện A là chắc chắn Nếu sự kiện A và B là xung khắcthì khả năng xảy ra sự kiện A là không thể Tổng quát, để trả lời cho câu hỏitrên chúng ta có khái niệm xác suất có điều kiện như sau

Định nghĩa 1.3.1 Cho 2 biến cố A và B với P(B) > 0 Xác suất của biến

cố A tính trong điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi xác suất có điều kiện(conditional probability) của A với điều kiện B, kí hiệu là P(A|B) và được định

Tài liệu lưu hành nội bộ

nghĩa như sau

P(A|B) = P(AB)

Từ định nghĩa xác suất có điều kiện, chúng ta có ngay một số tính chất nhưsau

Mệnh đề 1.3.2 Cho biến cố B với P(B)> 0 Khi đó ta có:

• 0≤ P(A|B) với mọi biến cố A

• P(A|B) = 1− P(A|B) với mọi biến cố A

• Nếu B ⊂ A thì P(A|B) = 1

• Nếu (An) là một dãy các biến cố đôi một xung khắc thì

P

∞X

n=1

An|B

=

∞X

n=1

P(An|B)

Ví dụ 1.3.3 Một công ty cần tuyển 2 nhân viên từ 7 người tham gia dự tuyểntrong đó có 4 nữ và 3 nam Biết rằng khả năng được tuyển của mỗi người nhưnhau

a Tính xác suất công ty tuyển được 2 nữ

b Tính xác suất công ty tuyển được 2 nữ nếu biết rằng có ít nhất 1 nữ đãđược tuyển

Lời giải

Gọi Ω là không gian mẫu của phép thử Ta có |Ω| =C72 = 21

a Gọi A là biến cố: công ty tuyển được 2 nữ Chúng ta có |A| =C42 = 6 Do

đó ta có

P(A) = 6

21 =2

7

b Gọi B là biến cố: công ty tuyển được ít nhất 1 nữ Chúng ta cần tính

1.3.2 Quy tắc nhân xác suất

Từ định nghĩa của xác suất có điều kiện, chúng ta có

Chúng ta có thể tổng quát kết quả này như sau

Định lí 1.3.4 Cho n biến cố A1, A2, , An sao cho P(A1A2 An−1)>0 Khi

đó ta có

P(A1A2 An) =P(A1)P(A2|A1) P(An|A1A2 An−1) (1.3.3)Chứng minh Trước hết chúng ta thấy rằng nếu điều kiện P(A1A2 An−1)>0

thỏa mãn thì P(A1)>0, P(A1A2)> 0, , P(A1A2 An−2)>0 Bây giờ, chúng

ta chứng minh công thức (1.3.3) bằng quy nạp theo n

+ Với n = 2, công thức đúng theo định nghĩa xác suất có điều kiện

+ Giả sử công thức đúng với n −1, tức là

P(A1A2 An−1) =P(A1)P(A2|A1) P(An−1|A1A2 An−2) (1.3.4)

ta chứng minh công thức (1.3.3) cũng đúng với n Thật vậy, ta đặt B =

A1A2 An−1 Khi đó ta có A1A2 An =BAn Do đó

P(A1A2 An) =P(BAn) =P(B)P(An|B) (1.3.5)Thế (1.3.4) vào (1.3.5) chúng ta có điều phải chứng minh

Tài liệu lưu hành nội bộ

Ví dụ 1.3.5 Một người có một chùm chìa khóa gồm 7 chiếc giống nhau trong

đó chỉ có 2 chiếc mở được cửa Để mở cửa, người đó chọn ngẫu nhiên lần lượttừng chiếc ra thử Chiếc nào không mở được cửa thì bỏ ra ngoài Tính xác suất

để đến lần thử thứ ba người đó mở được cửa

Lời giải

Gọi Ai là biến cố: người đó mở được cửa ở lần thử thứ i, i = 1,2,3, Rõràng các biến cố A1, A2, không độc lập Hơn nữa, chúng ta có A1.A2.A3 làbiến cố: đến lần thử thứ ba người đó mở được cửa

Vì vậy, áp dụng quy tắc nhân xác suất chúng ta có

1.3.3 Công thức xác suất đầy đủ

Định nghĩa 1.3.6 (Hệ đầy đủ các biến cố) Hệ gồm các biến cố B1, B2, , Bnđược gọi là đầy đủ nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

i, B1∪ B2∪ · · · ∪ Bn = Ω,

ii, Bi∩ Bj =∅ với mọi i 6=j, i, j = 1,2, , n

Định lí 1.3.7 (Công thức xác suất đầy đủ) Cho B1, B2, , Bn là một hệđầy đủ các biến cố với P(Bi)>0, i= 1,2, , n Khi đó với mọi biến cố A ta có

P(A) =

nX

i=1

Chứng minh Do B1, B2, , Bn là hệ đầy đủ nên ta có B1+B2+· · ·+Bn = Ω

Vì vậy, với mọi biến cố A ta có A =AΩ =

nX

i=1

ABi

Từ đó ta có P(A) =

nX

i=1

P(ABi) =

nX

i=1

P(Bi)P(A|Bi) Chúng ta có điều phảichứng minh

Ví dụ 1.3.8 Một xí nghiệp có ba phân xưởng 1, 2 và 3 cùng sản xuất một loạisản phẩm Tỷ lệ làm ra sản phẩm của ba phân xưởng lần lượt tương ứng là 25%,35% và 40% Biết rằng tỷ lệ làm ra sản phẩm hỏng của ba phân xưởng lần lượt

là 3%, 4% và 5% Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm của xí nghiệp Tính xác suấtlấy được sản phẩm hỏng

P(Bk|A) = P(Bk )P(A|Bk )

P(Bk )P(A|Bk )

nX

i=1

P(Bi)P(A|Bi)

Chứng minh Với mỗi k (1≤ k ≤ n)chúng ta có P(ABk) =P(BkA) Vì P(A)>0

và P(Bk)> 0 nên suy ra P(A)(Bk|A) =P(Bk)(A|Bk) Do đó, chúng ta có

P(Bk|A) = P(Bk)P(A|Bk)

P(A)

Tài liệu lưu hành nội bộ

Mặt khác, theo công thức xác suất đầy đủ ta có

P(A) =

nX

P(A) =

4X

Sự độc lập là một khái niệm rất quan trọng trong Lí thuyết xác suất, chúng

ta nói rằng hai biến cố A và B là độc lập nếu sự xuất hiện của biến cố A khôngảnh hưởng đến sự xuất hiện của biến cố B và ngược lại Cụ thể chúng ta có địnhnghĩa như sau

Định nghĩa 1.4.1 Hai biến cố A và B được gọi là độc lập (independent) nếu

P(AB) =P(A)P(B)

Từ định nghĩa của xác suất có điều kiện chúng ta có chú ý sau

Chú ý 1.4.2 Nếu P(A)>0 hoặc P(B) >0thì hai biến cố A và B là độc lập nếu

và chỉ nếu P(A|B) = P(A) hoặc P(B|A) =P(B)

Mệnh đề 1.4.3 Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì các biến cố: A và B; A

Tài liệu lưu hành nội bộ

Ví dụ họ ba biến cố A1, A2, A3 độc lập nếu và chỉ nếu

P(A1A2) =P(A1)P(A2); P(A1A3) = P(A1)P(A3)

P(A2A3) =P(A2)P(A3); P(A1A2A3) = P(A1)P(A2)P(A3)

Chú ý rằng, khái niệm độc lập trong Định nghĩa 1.4.1 được gọi là độc lậptừng đôi (pairwise independent) còn khái niệm độc lập trong Định nghĩa 1.4.4được gọi là độc lập toàn thể (muatually or completely independent) Rõ ràngđộc lập toàn thể suy ra độc lập từng đôi nhưng điều ngược lại nói chung khôngđúng

Ví dụ 1.4.5 Xét phép thử có không gian mẫu Ω ={ω1, ω2, ω3, ω4} với các kếtquả có cùng khả năng xảy ra, tức là P(ω1) = P(ω2) = P(ω3) = P(ω4) = 1

4 Xétcác biến cố A = {ω1, ω2}, B = {ω1, ω3} và C = {ω1, ω4} là độc lập từng đôinhưng không độc lập toàn thể vì

b Tính P(A ∪ B ∪ C) = 1− P(A.B.C) = 1−0,3.0,2.0,1 = 0,994.

c Tính P(AB ∪ AC ∪ BC) = P(AB) +P(AC) +P(BC)−2P(ABC) = 0,902

1.4.2 Công thức Bernoulli

Định nghĩa 1.4.7 (Dãy phép thử độc lập) Một dãy các phép thử được gọi

là độc lập nếu việc thực hiện và kết quả của phép thử này không ảnh hưởng đếnviệc thực hiện và kết quả của phép thử kia

Định nghĩa 1.4.8 (Dãy phép thử Bernoulli) Một dãy phép thử được gọi

là dãy phép thử Bernoulli (Bernoulli scheme) nếu thỏa mãn các điều kiện:+ là dãy phép thử độc lập,

+ mỗi phép thử chỉ có 2 kết quả A và A,

+ xác suất xảy ra biến cố A là như nhau trong mỗi phép thử

Biến cố A được gọi là sự kiện "thành công", biến cố A được gọi là sự kiện

"thất bại" Các xác suất p =P(A), q = 1− p =P(A) được gọi là xác suất thànhcông và xác suất thất bại tương ứng

Ví dụ 1.4.9 Tiến hành gieo liên tiếp 1 đồng xu được chế tạo cân đối và đồngchất n lần Khi đó chúng ta thu được một dãy gồm n phép thử Bernoulli vớibiến cố thành công A: xuất hiện mặt sấp có p=P(A) = 1

Tài liệu lưu hành nội bộ

+ Với k = n khi đó Hn =A.A A

Do đó, chúng ta có P(Hk) = Cnkpk(1− p)n−k Đây chính là công thức Bernoulli

mà chúng ta phát biểu đầy đủ trong định lí sau

Định lí 1.4.11 Cho một dãy gồm n phép thử Bernoulli với biến cố thành công

A có p = P(A),0 < p < 1 Kí hiệu pk(n;p) là xác suất để biến cố A xuất hiệnđúng k lần Khi đó chúng ta có

pk(n;p) =Cnkpk(1− p)n−k, k = 0,1,2, , n

Ví dụ 1.4.12 Một đề thi trắc nghiệm gồm 12 câu hỏi Mỗi câu hỏi có 4 phương

án trả lời trong đó có 1 phương án đúng Mỗi câu trả lời đúng được 3 điểm, mỗicâu trả lời sai bị trừ 1 điểm Một học sinh học yếu làm bài bằng cách chọn ngẫunhiên một phương án trả lời cho mỗi câu hỏi Tính xác suất để học sinh bị điểmâm

Lời giải

Theo giả thiết, ta có một dãy gồm 12 phép Bernoulli với biến cố thành công

A : "học sinh trả lời đúng" có P(A) = 0,25 Gọi B là biến cố: học sinh bị điểm

âm Theo giả thiết, biến cố B xảy ra khi và chỉ khi biến cố: học sinh trả lời đúngnhiều nhất 2 câu xảy ra

Áp dụng công thức Bernoulli, chúng ta có

P(học sinh bị điểm âm) =p0(12; 0,25) +p1(12; 0,25) +p2(12; 0,25)

= 0,7512+C121 0,25.0,7511+C122 0,2520,7510

1.4.3 Số có khả năng nhất

Định nghĩa 1.4.13 (Số có khả năng nhất) Số k0 thỏa mãn điều kiện

pk0(n;p) = max

1≤k≤npk(n;p)

được gọi là số có khả năng nhất

Khái niệm số có khả năng nhất dựa trên quan điểm thống kê Khi chúng talặp lại các phép thử nhiều lần thì biến cố:" biến cố thành công xuất hiện k0 lần"

sẽ xuất hiện nhiều nhất Chúng ta có tiêu chuẩn xác định số có khả năng nhấtnhư sau

Định lí 1.4.14 Số có khả năng nhất k0 được xác định như sau:

1 Nếu (n+ 1)p không là số nguyên thì k0 = [(n+ 1)p]

2 Nếu (n+ 1)p là số nguyên thì k0 = (n+ 1)p hoặc k0 = (n+ 1)p −1

Ở đây, kí hiệu [x] là phần nguyên của x

tương đương với np+ 1 > k hay k > np+p = (n+ 1)p Tương tự, chúng ta có

f(k)< f(k −1) khi và chỉ khi k <(n+ 1)p Hơn nữa, f(k) =f(k −1) khi và chỉkhi k = (n+ 1)p

Từ đó suy ra

Tài liệu lưu hành nội bộ

+ Nếu (n+ 1)p là số nguyên thì pk(n;p) đạt cực đại tại hai giá trị của k là

P(C) =C60580,92580,082

c Ta có(n+ 1)p= 61.0,92 = 56,62 Do đó, số viên trúng vòng 10 có khả năngnhất là 56 viên.

BÀI TẬP CHƯƠNG 1

1.1 Cho ba biến cố A, B, C Hãy biểu diễn các biến cố sau theo A, B, C:

a Chỉ có A xảy ra

b Ít nhất một biến cố xảy ra

c Có ít nhất hai biến cố xảy ra

d Có đúng một biến cố xảy ra

1.2 Có ba bạn A, B và C lần lượt gieo một đồng xu được chế tạo cân đối vàđồng chất Người đầu tiên gieo được mặt sấp là thắng

a Hãy mô tả không gian mẫu Ω

b Xác định các biến cố: A thắng; B thắng; cả A và B không thắng.1.3 Có n người ngồi trên một chiếc ghế dài Tính xác suất để:

a Hai người xác định trước luôn ngồi cạnh nhau

b Hai người xác định trước ngồi cách nhau k người

1.4 Bỏ ngẫu nhiên n lá thư vào n bì thư đã ghi sẵn địa chỉ Tính xác suất để:

a Không có lá thư nào đúng địa chỉ

b Có đúng k lá thư đúng địa chỉ,

1.5 Có n hành khách đứng chờ một đoàn tàu gồm m toa đang đến ga Biếtrằng mỗi hành khách chọn ngẫu nhiên một toa để lên, tất cả các toa đềutrống và mỗi toa có thể chứa cả n người Tính xác suất:

a Với mỗi i, toa thứ i có ni người.

b Một toa định trước có đúng k người

c Có đúng r toa có người

1.6 Có n chiếc kẹo cùng loại được chia ngẫu nhiên cho m người

a Tính xác suất với mỗi i, người thứ i có ni chiếc

b Chứng minh rằng xác suất để một người định trước nhận được k chiếckẹo là

pk = Cm+n−k−2n−k

Cn m+n−1

Tài liệu lưu hành nội bộ

1.11 Cho các biến cố A, B thỏa mãn P(A) =P(B) = 1

2 Chứng minh rằng

P(AB) =P(A.B).1.12 Cho các biến cố A, B với P(A) > 0 và P(B) > 0 Chứng minh rằng nếu

P(A|B)> P(A) thì P(B|A) > P(B)

1.13 Bắn liên tiếp vào một mục tiêu cho đến khi có viên đạn đầu tiên trúng mụctiêu thì ngừng bắn Tìm xác suất sao cho phải bắn đến viên thứ 6, biếtrằng xác suất trúng mục tiêu của mỗi viên là 0,2 và các lần bắn là độc lập.1.14 Một máy bay có ba bộ phận có tầm quan trọng khác nhau Máy bay bị rơinếu có một viên trúng bộ phận thứ nhất, hoặc có hai viên trúng bộ phậnthứ hai, hoặc ba viên trúng bộ phận thứ ba

Xác suất để một viên đạn trúng bộ phận thứ nhất, bộ phận thứ hai, bộphận thứ ba lần lượt tương ứng là 0,15; 0,3; 0,55 Tính xác suất để máybay bị rơi khi:

A trong tổng số bệnh nhân đã được chữa khỏi bệnh.

1.18 Có hai chuồng thỏ Chuồng thứ nhất có 5 con thỏ đen và 10 con thỏ trắng.Chuồng thứ hai có 3 thỏ trắng và 7 thỏ đen Từ chuồng thứ hai bắt ngẫunhiên một con cho vào chuồng thứ nhất, rồi sau đó lại bắt ngẫu nhiên mộtcon thỏ ở chuồng thứ nhất ra thì được thỏ trắng Tính xác suất để thỏtrắng này là của chuồng thứ nhất

1.19 Một tín hiệu thông tin được phát đi 3 lần với xác suất thu được mỗi lần

là 0,4

a Tìm xác suất để nguồn thu nhận được thông tin đó

b Nếu muốn xác suất thu được thông tin đó lên đến 0,9 thì phải phát ítnhất bao nhiêu lần?

1.20 Một chiến sỹ tập bắn Xác suất để chiến sỹ này bắn trúng mục tiêu là 0,3.Hỏi chiến sỹ đó phải bắn ít nhất bao nhiêu viên để với xác suất không nhỏhơn 0,8 chiến sỹ bắn trúng mục tiêu ít nhất một viên

1.21 Theo kết quả điều tra về bệnh lao, tỷ lệ người bị lao ở một vùng là 0,001.Tìm xác suất khi khám cho 10 người:

a Không ai bị lao

b Có 5 người bị lao

c Ít nhất một người bị lao

Tài liệu lưu hành nội bộ

d Số người không bị lao có khả năng nhất

1.22 Biết rằng tỷ lệ người mắc bệnh nào đó là 2% Người ta sử dụng một phảnứng mà nếu người bị bệnh thì luôn cho kết quả dương tính, nếu không bịbệnh thì xác suất dương tính là 10%

a Tìm xác suất phản ứng dương tính

b Tìm xác suất bị bệnh trong nhóm người có phản ứng dương tính

c Qua phương pháp này ước lượng tỷ lệ người mắc bệnh là bao nhiêu?1.23 Có 2n bi xanh, 2n bi đỏ được bỏ ngẫu nhiên vào 2n hộp sao cho mỗi hộpchứa đúng hai viên bi Tìm xác suất sao cho:

a Không có hộp nào chứa hai bi khác màu

b Có đúng 2k hộp mà trong đó mỗi hộp chứa hai bi khác màu

1.24 Cho B1, B2, , Bn là một hệ đầy đủ các biến cố và A, C là các biến cố saocho P(BkC)>0 với k = 1,2, , n Chứng minh rằng

P(A|C) =

nX

k=1

P(A|BkC)P(Bk|C)

1.25 Từ một hộp chứa m quả cầu trắng và n quả cầu đen (m > n), lấy ngẫunhiên lần lượt từng quả không hoàn lại Kí hiệu p(m, n) là xác suất saocho trong suốt quá trình lấy tổng số quả cầu trắng đã lấy được kể từ lầnđầu luôn lớn hơn tổng số quả cầu đen lấy được Chứng minh rằng

p(m, n) = m − n

m+n.1.26 Có N + 1 chiếc hộp được đánh số từ 0 đến N , hộp đánh số i chứa i quảcầu trắng và N − i quả cầu đen, i = 0,1, , N Lấy ngẫu nhiên một hộp,sau đó lấy lần lượt hoàn lại từng quả một cách ngẫu nhiên Tính xác suất:

a n quả lấy lần đầu tiên đều trắng.

b Quả lấy lần thứ n+ 1 là trắng với điều kiện n quả đầu trắng