Phương pháp xấp xỉ liên tiếp

Phương pháp xấp xỉ liên tiếp

PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ LIÊN TIẾP

Chúng ta đã thấy việc giải phương trình bậc nhất hoặc phương trình bậc 2 là hết sức đơn giản Đến phương trình bậc 3 thì nghiệm đã phức tạp hơn Với phương trình bậc 4 ta vẫn

có công thức giải nhưng hết sức phức tạp Phương trình bậc 5 và cao hơn như ta đã biết không có phương pháp đại số để giải Tuy nhiên vẫn có 1 phương pháp hữu ích trong việc tính nghiệm gần đúng của nhiều loại phương trình, đó là phương pháp xấp xỉ liên tiếp (phương pháp lặp)

* Thành phần cơ bản

Giả sử giải phương trình f(x) = 0 (1)

Ta viết lại (1) dưới dạng x = g(x) (2)

Chọn 1 giá trị xo gần đúng nghiệm tùy ý thế vào vế phải để tính giá trị gần đúng thứ nhất x1

= g(x0) Một cách tổng quát, một khi có giá trị gần đúng thứ n là xn thì giá trị gần đúng tiếp theo xn+1 được xác định theo công thức xn+1 = g(xn) (3)

→ ta được dãy số x0, x1, x2, …, xn, … và trong trường hợp limn x n ε

→∞ = thì ε là nghiệm của phương trình (2) (giả thiết g(x) là hàm liên tục)

Ta thấy từ phương trình (3) Khi n → ∞ thì xn+1 → ε và g(x) → g(ε).

Từ đó ε = g(ε) nên ε là nghiệm của phương trình x = g(x)

* Các bước tiến hành

+ Giả sử sau một số hữu hạn bước ta cso xn ≈ xn+1 với độ chính xác cho trước

+ xn+1 = g(xn) → xn ≈ g(xn) với độ chính xác cho trước Do đó có thể lấy xn là giá trị gần đúng của nghiệm phương trình x = g(x)

Ví dụ 1: Giải phương trình 10x – 1 – cos x = 0 (4) với độ chính xác 0,001

Giải: (4) 1 cos

10

x

x +

Chọn x0 = 0 vào thế vế phải của (5) có x1 = (1 + cos 0)/10 = 0,2

Thay x = 0,2 vào vế phải của (5) có x2 ≈ 0,198

Tương tự có x3 ≈ 0,198

Ta thấy x2 ≈ x3 thỏa mãn độ chính xác 0,001

→ 0,198 là nghiệm với đọ chính xác 0,001 cảu nghiệm phương trình (4)

Ở trên ta đã trình bày bản chất của phương pháp xấp xỉ liên tiếp để giải phương trình Vấn

đề còn lại cần giải quyết là hàm g(x) ở (2) phải như thế nào để dãy (xn) hội tụ và cần

nghiên cứu về ánh xạ co

Chúng ta đã biết về ánh xạ:

+ Nếu ( ) [ ; ]g x ∈ a b ∀ x∈[ ; ]a b thì ta nói g(x) là ánh xạ từ [ ; ]a b vào chính nó.

+ Ánh xạ g(x) từ [ ; ]a b vào chính nó được gọi là ánh xạ co nếu nó làm giảm khoảng cách

giữa 2 điểm bất kỳ x x1, 2∈[ ; ]a b ít nhất M lần (M > 1) hay tồn tại q∈(0;1) sao cho 2 điểm bất kỳ x x1, 2∈[ ; ]a b đều thỏa mãn g x( )1 g x( )2 q x2 x1 , q 1

M

Dễ thấy nếu g(x) là 1 ánh xạ co trên toàn trục số thì bao giờ cũng tìm được 1 đoạn thẳng

mà qua ánh xạ g(x) lại biến hành 1 bộ phận của chính đoạn đó

Thật vậy, lấy a bất kỳ Đặt b = g(a)

Chọn q1 sao cho q < q1 < 1 Lấy

1

1

b a R

q

−

=

− Ta chứng minh đoạn [a R a R− ; + ] chính là

đoạn phải tìm

Lấy điểm bất kỳ x∈ −[a R a R; + ], khi đó x a− ≤R

Ta có ( )g x − =b g x( )−g a( ) ≤q x a− ≤qR

Mặt khác, g x( )− ≤a g x( )− + − ≤b b a qR b a+ − =qR R+ (1−q1)=R(1+ −q q1)<R Vậy mọi điểm thuộc đoạn [a R a R− ; + ] qua ánh xạ g biến thành điểm của chính đoạn đó

Định lý 1:

Giả sử ( )ϕ x là ánh xạ co từ [ ; ]a b vào chính nó Khi đó với mọi điểm x0∈[ ; ]a b , dãy số

x0, x1,…, xn,… trong đó x n+1 =ϕ( )x n hội tụ tại nghiệm ε của phương trình x=ϕ( )x (ε là nghiệm duy nhất trên đoạn [ ; ]a b của phương trình x=ϕ( )x ).

Ví dụ 2: Giải phương trình x3 + 4x – 1 = 0 (6) với độ chính xác 0,0001

Giải:

2

1

(6)

4

x

x

⇔ =

Đặt ( ) 21

4

x

x

+ Với 2 điểm x1, x2 ta có:

( ) ( )

x x x x

x x

Có

4

x

x ≤ +

Nên

8

2

x +x ≤ x + x ≤ + + = + +

Lại có

x +x ≤ x +x +x x

2

x x x x

→ ( )2 ( )1 1 2 1

8

→ ( )ϕ x là ánh xạ co trên toàn trục số

Lấy a = 0, b = ϕ(0) = 1/4, q = 1/8 ta lấy q1 = 1/2 Khi đó,

1

1

b a R

q

−

Đoạn cần tìm là 1 1;

2 2

Ta có phương trình (7) có duy nhất 1 nghiệm thuộc 1 1;

2 2

Lấy x0 = 0 ta có x1 = 0,25; x2 = 0,2641; x3 = 0,2463; x4 = 0,2463.

Ta có x3 = x4 với độ chính xác 0,0001

→ phương trình (7) có nghiệm duy nhất trên 1 1;

2 2

  với độ chính xác 0,0001 là x =

0,2463 Vì ( )ϕ x là ánh xạ co trên toàn trục số nên phương trình (1) có nghiệm duy nhất là

x = 0,2463 với độ chính xác 0,0001

Hệ quả của định lý 1:

Định lý 2:

Giả sử ( )ϕ x là ánh xạ từ [ ; ]a b vào chính nó và thỏa mãn '( )ϕ x ≤ <q 1 Khi đó, với mọi điểm x0∈[ ; ]a b , dãy số x0, x1,…, xn,… trong đó x n+1 =ϕ( )x n hội tụ tại nghiệm ε của phương trình x=ϕ( )x (ε là nghiệm duy nhất trên đoạn [ ; ]a b của phương trình x=ϕ( )x

)

Áp dụng định lý 2 ta có thể giải phương trình sin x + cos x = 4x

Ý tưởng: ( ) sin cos

4

x x x

x x

Bài tập áp dụng:

Bài tập 1: Giải các phương trình sau:

1) x− +4 2x =0

2) x−3 x− =1 0

3) 10x− − =x 2 0

Bài tập 2:

a) Tính 3 790 với độ chính xác 0,001

b) Tìm phương pháp tính k a ( k nguyên dương, a > 0).