Phương pháp xấp xỉ liên tiếp

Phương pháp xấp xỉ liên tiếp

PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ LIÊN TIẾPChúng ta đã thấy việc giải phương trình bậc nhất hoặc phương trình bậc 2 là hết sức đơn giản. Đến phương trình bậc 3 thì nghiệm đã phức tạp hơn. Với phương trình bậc 4 ta vẫn có công thức giải nhưng hết sức phức tạp. Phương trình bậc 5 và cao hơn như ta đã biết không có phương pháp đại số để giải. Tuy nhiên vẫn có 1 phương pháp hữu ích trong việc tính nghiệm gần đúng của nhiều loại phương trình, đó là phương pháp xấp xỉ liên tiếp (phương pháp lặp).* Thành phần cơ bảnGiả sử giải phương trình f(x) = 0 (1)Ta viết lại (1) dưới dạng x = g(x) (2)Chọn 1 giá trị xo gần đúng nghiệm tùy ý thế vào vế phải để tính giá trị gần đúng thứ nhất x1 = g(x0). Một cách tổng quát, một khi có giá trị gần đúng thứ n là xn thì giá trị gần đúng tiếp theo xn+1 được xác định theo công thức xn+1 = g(xn) (3)→ ta được dãy số x0, x1, x2, …, xn, … và trong trường hợp limnnxε→∞= thì ε là nghiệm của phương trình (2) (giả thiết g(x) là hàm liên tục).Ta thấy từ phương trình (3). Khi n → ∞ thì xn+1 → ε và g(x) → g(ε).Từ đó ε = g(ε) nên ε là nghiệm của phương trình x = g(x)* Các bước tiến hành + Giả sử sau một số hữu hạn bước ta cso xn ≈ xn+1 với độ chính xác cho trước.+ xn+1 = g(xn) → xn ≈ g(xn) với độ chính xác cho trước. Do đó có thể lấy xn là giá trị gần đúng của nghiệm phương trình x = g(x).Ví dụ 1: Giải phương trình 10x – 1 – cos x = 0 (4) với độ chính xác 0,001Giải: 1 cos(4)10xx+⇔ = (5)Chọn x0 = 0 vào thế vế phải của (5) có x1 = (1 + cos 0)/10 = 0,2Thay x = 0,2 vào vế phải của (5) có x2 ≈ 0,198Tương tự có x3 ≈ 0,198Ta thấy x2 ≈ x3 thỏa mãn độ chính xác 0,001→ 0,198 là nghiệm với đọ chính xác 0,001 cảu nghiệm phương trình (4).Ở trên ta đã trình bày bản chất của phương pháp xấp xỉ liên tiếp để giải phương trình. Vấn đề còn lại cần giải quyết là hàm g(x) ở (2) phải như thế nào để dãy (xn) hội tụ và cần nghiên cứu về ánh xạ co.Chúng ta đã biết về ánh xạ:+ Nếu ( ) [ ; ]g x a b∈ ∀[ ; ]x a b∈ thì ta nói g(x) là ánh xạ từ [ ; ]a b vào chính nó.+ Ánh xạ g(x) từ [ ; ]a b vào chính nó được gọi là ánh xạ co nếu nó làm giảm khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ 1 2, [ ; ]x x a b∈ ít nhất M lần (M > 1) hay tồn tại (0;1)q∈ sao cho 2 điểm bất kỳ 1 2, [ ; ]x x a b∈ đều thỏa mãn 1 2 2 11( ) ( ) ,g x g x q x x qM− ≤ − =.Dễ thấy nếu g(x) là 1 ánh xạ co trên toàn trục số thì bao giờ cũng tìm được 1 đoạn thẳng mà qua ánh xạ g(x) lại biến hành 1 bộ phận của chính đoạn đó.Thật vậy, lấy a bất kỳ. Đặt b = g(a) Chọn q1 sao cho q < q1 < 1. Lấy 11b aRq−=−. Ta chứng minh đoạn [ ; ]a R a R− + chính là đoạn phải tìm.Lấy điểm bất kỳ [ ; ]x a R a R∈ − +, khi đó x a R− ≤.Ta có ( ) ( ) ( )g x b g x g a q x a qR− = − ≤ − ≤Mặt khác, 1 1( ) ( ) (1 ) (1 )g x a g x b b a qR b a qR R q R q q R− ≤ − + − ≤ + − = + − = + − <.Vậy mọi điểm thuộc đoạn [ ; ]a R a R− + qua ánh xạ g biến thành điểm của chính đoạn đó.Định lý 1: Giả sử ( )xϕlà ánh xạ co từ [ ; ]a b vào chính nó. Khi đó với mọi điểm 0x ∈ [ ; ]a b, dãy số x0, x1,…, xn,… trong đó 1( )n nx xϕ+= hội tụ tại nghiệm ε của phương trình ( )x xϕ= (ε là nghiệm duy nhất trên đoạn [ ; ]a b của phương trình ( )x xϕ=).Ví dụ 2: Giải phương trình x3 + 4x – 1 = 0 (6) với độ chính xác 0,0001Giải:21(6)4xx⇔ =+ (7)Đặt 21( )4xxϕ=+. Với 2 điểm x1, x2 ta có:( ) ( ) ( ) ( )2 21 2 1 21 22 12 22 2 2 22 11 2 1 21 1( ) ( )4 44 4 4 4x x x xx xx xx xx x x xϕ ϕ+ −−− = − = =+ ++ + + +Có 244xx+≤Nên 2 2 2 21 2 1 21 2 1 2824 4x x x xx x x x+ + ++ ≤ + ≤ = +Lại có 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 24 2 8x x x x x x+ +≤ +→ ( ) ( )2 22 2 2 21 21 2 1 21 24 422 8 8x xx x x xx x+ +++ ≤ + + =→ 2 1 2 11( ) ( )8x x x xϕ ϕ− ≤ −→ ( )xϕlà ánh xạ co trên toàn trục sốLấy a = 0, b = ϕ(0) = 1/4, q = 1/8 ta lấy q1 = 1/2. Khi đó, 111 2b aRq−= =−.Đoạn cần tìm là 1 1;2 2 −  .Ta có phương trình (7) có duy nhất 1 nghiệm thuộc 1 1;2 2 −  . Lấy x0 = 0 ta có x1 = 0,25; x2 = 0,2641; x3 = 0,2463; x4 = 0,2463.Ta có x3 = x4 với độ chính xác 0,0001→ phương trình (7) có nghiệm duy nhất trên 1 1;2 2 −   với độ chính xác 0,0001 là x = 0,2463. Vì ( )xϕlà ánh xạ co trên toàn trục số nên phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x = 0,2463 với độ chính xác 0,0001.Hệ quả của định lý 1:Định lý 2: Giả sử ( )xϕlà ánh xạ từ [ ; ]a b vào chính nó và thỏa mãn '( ) 1x qϕ≤ <. Khi đó, với mọi điểm 0x ∈ [ ; ]a b, dãy số x0, x1,…, xn,… trong đó 1( )n nx xϕ+= hội tụ tại nghiệm ε của phương trình ( )x xϕ= (ε là nghiệm duy nhất trên đoạn [ ; ]a b của phương trình ( )x xϕ=).Áp dụng định lý 2 ta có thể giải phương trình sin x + cos x = 4x.Ý tưởng: sin cos( )4x xxϕ+= → cos sin 1'( )4 2x xx xϕ−= ≤ ∀ ∈ ¡Bài tập áp dụng:Bài tập 1: Giải các phương trình sau:1) 4 2 0xx − + =2) 31 0x x− − =3) 10 2 0xx− − =Bài tập 2: a) Tính 3790 với độ chính xác 0,001b) Tìm phương pháp tính ka ( k nguyên dương, a > 0). . nhiên vẫn có 1 phương pháp hữu ích trong việc tính nghiệm gần đúng của nhiều loại phương trình, đó là phương pháp xấp xỉ liên tiếp (phương pháp lặp).* Thành. PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ LIÊN TIẾPChúng ta đã thấy việc giải phương trình bậc nhất hoặc phương trình bậc 2 là hết sức đơn giản. Đến phương trình