Một số phương pháp xấp xỉ hàm số

Hệ thống Korovkin và xấp xỉ hàm liên tục bởi một dãy hàm cho bởi toán tử tuyến tính dương.. Định lý nổitiếng của Weierstrass về xấp xỉ một hàm số liên tục trên một đoạn bởidãy các đa thứ

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và cácthầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ, tạođiều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập

Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè đã giúp

đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa họcThạc sĩ và hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 12 năm 2013

Tác giả

Vũ Thị Thư

Lời cam đoan

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của PGS TS Khuất Văn Ninh

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừanhững thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sựtrân trọng và biết ơn Tôi xin cam đoan rằng các trích dẫn trong luậnvăn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 12 năm 2013

Tác giả

Vũ Thị Thư

Mục lục

Bảng ký hiệu 1

Mở đầu 2

Chương 1 KIẾN THỨC BỔ TRỢ 4

1.1 Một số không gian hàm 4

1.1.1 Chuỗi số, dãy hàm, chuỗi hàm 4

1.1.2 Không gian vectơ 9

1.1.3 Không gian C[a,b], Lp[a,b] 11

1.1.4 Không gian L(X, Y ) 16

1.1.5 Không gian Hilbert 18

1.2 Chuỗi Fourier 19

1.2.1 Hệ các hàm lũy thừa, hệ các hàm lượng giác 19

1.2.2 Chuỗi Fourier 20

Chương 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ HÀM SỐ 23

2.1 Một số định lý về xấp xỉ hàm liên tục 23

2.2 Xấp xỉ hàm bằng tích phân kì dị 29

2.3 Hệ thống Korovkin và xấp xỉ hàm liên tục bởi một dãy hàm cho bởi toán tử tuyến tính dương 35

2.3.1 Tập các hàm kiểm tra 35

2.3.2 Các hạch dương 36

2.4 Xấp xỉ hàm bởi tích phân Fejér-Korovkin 41

2.5 Xấp xỉ hàm bởi đa thức nội suy 42

2.5.1 Đa thức nội suy Lagrange 43

2.5.2 Đa thức nội suy Lagrange với mốc bất kì 43

2.5.3 Đa thức nội suy Lagrange với mốc cách đều 45

2.5.4 Sai số của phép nội suy 46

2.6 Xấp xỉ hàm số bằng hàm ghép trơn 48

2.6.1 Định nghĩa về hàm ghép trơn 48

2.6.2 Đa thức nội suy ghép trơn bậc 3 49

2.7 Đa thức xấp xỉ tốt nhất 53

Chương 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA XẤP XỈ HÀM SỐ 55

3.1 Tính tổng của một chuỗi số 55

3.2 Tính xấp xỉ giá trị hàm số 56

3.2.1 Tính xấp xỉ hàm số bởi đa thức Bernstein 56

3.2.2 Sử dụng đa thức nội suy Lagrange tính xấp xỉ giá trị hàm số 57 3.2.3 Sử dụng hàm ghép lớp trơn tính xấp xỉ giá trị hàm số 58

3.3 Một số ứng dụng trong phương trình vật lý toán 62

3.3.1 Bài toán dây rung 62

3.3.2 Bài toán dao động tự do của dây rung 64

Kết luận 68Tài liệu tham khảo 69

Bảng ký hiệu

N∗ Tập số tự nhiên khác không

C[a,b] Không gian các hàm liên tục trên [a, b]

Lp[a,b] Tập hàm lũy thừa bậc p khả tích Lebesgue trên [a, b]

(1 ≤ p < ∞)

Lp(R) Tập hàm lũy thừa bậc p khả tích Lebesgue trên R

X (2π) Không gian các hàm C2π hoặc Lp2π

X (R) Không gian các hàm C (R) hoặc Lp(R)

L (X, Y ) Không gian các hàm tuyến tính liên tục từ X vào Y

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Bài toán xấp xỉ hàm số là một bài toán quan trọng của toán học Nó

có vai trò quan trọng về phương diện lí thuyết và ứng dụng Vấn đề này

đã được các nhà toán học quan tâm từ đầu thế kỷ XVIII Định lý nổitiếng của Weierstrass về xấp xỉ một hàm số liên tục trên một đoạn bởidãy các đa thức đã mở đầu cho việc chứng minh tính trù mật của khônggian các đa thức trong một số các không gian hàm quan trọng Định lý

về xấp xỉ một hàm tuần hoàn bởi một dãy các đa thức lượng giác làmtiền đề cho việc nghiên cứu và tính xấp xỉ giá trị của hàm tuần hoàn.Một số ứng dụng của giải tích hàm cho ta cách tiếp cận vấn đề xấp xỉhàm số một cách tổng quát hơn Với mong muốn hiểu sâu hơn về cácphương pháp xấp xỉ hàm số nên tôi đã chọn đề tài “Một số phươngpháp xấp xỉ hàm số” để hoàn thành luận văn Thạc sĩ

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số phương pháp xấp xỉ hàm số, như xấp xỉ bởi đathức đại số, đặc biệt là xấp xỉ bởi đa thức lượng giác được cho bởi toán

tử tích phân kì dị

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tổng quan về việc xấp xỉ một hàm liên tục trên một đoạn, xấp xỉmột hàm số tuần hoàn trên đường thẳng

- Nghiên cứu việc xấp xỉ một hàm nhờ toán tử tích phân kì dị

- Nghiên cứu về xấp xỉ tốt nhất một hàm liên tục, một hàm khả tíchLebesgue bởi một đa thức

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Một số phương pháp xấp xỉ hàm liên tục và hàm khả tích Lebesgue

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp phân tích và tổng hợp các tài liệu đã có từ đó hệ thốngmột số vấn đề lý thuyết liên quan đến đề tài

6 Đóng góp của đề tài

Trình bày một cách hệ thống về một số phương pháp xấp xỉ hàm số

và ứng dụng của chúng

An được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số (1.1).

Dãy {An} là dãy tổng riêng của chuỗi (1.1)

Nếu dãy {An} hội tụ và lim

• Điều kiện để một chuỗi hội tụ

Định lý 1.1 (Định lý về điều kiện cần) Nếu chuỗi

∀ε > 0, cho trước ∃n0 = n0(ε), n0 ∈ N∗ sao cho: ∀n > n0, ∀p ∈ N∗ thì

|An+p− An| < ε Điều này nghĩa là: |an+1 + an+2 + + an+p| < ε Vậy

ta có:

Định lý 1.2 Điều kiện cần và đủ để chuỗi

+∞

P

k=1

ak hội tụ là: ∀ε > 0 chotrước ∃n0 = n0(ε), n0 ∈ N∗ sao cho ∀n > n0, ∀p ∈ N∗ ta đều có

• Sự hội tụ đều của dãy hàm

Giả sử un(x) là một dãy hàm xác định trên U ⊂ R

Dãy hàm số {un(x)} , ∀n = 1, 2, 3, được gọi là hội tụ đều tới hàm

u (x) trên tập U nếu với mọi ε > 0 đều tồn tại n sao cho (∀n > nε) (∀x ∈ U )thì |un(x) − u (x)| < ε

Định lý 1.3 Dãy hàm {un(x)} hội tụ đều tới hàm u (x) trên U khi vàchỉ khi lim

Nếu tại x0 ∈ U chuỗi số

Tập tất cả các điểm hội tụ của một chuỗi hàm được gọi là miền hội

tụ của chuỗi hàm đó Giả sử U1 là miền hội tụ của chuỗi hàm (1.4), khi

đó với mọi x ∈ U1 chuỗi

Ta gọi S (x) là tổng của chuỗi hàm

• Sự hội tụ đều của chuỗi hàm

uk(x) hội tụ đều đến tổng S (x) trên tập U , nếu

∀ε > 0 cho trước đều ∃nε > 0 sao cho (∀n > nε) , (∀x ∈ U ) thì

|Sn(x) − S (x)| < ε

• Điều kiện hội tụ đều của chuỗi hàm

Định lý 1.4 (Điều kiện cần và đủ Cauchy) Chuỗi hàm

+∞

P

k=1

uk(x) hội

tụ đều trên tập U khi và chỉ khi ∀ε > 0 cho trước tồn tại số tự nhiên

n0 = n0(ε) (không phụ thuộc vào x) sao cho ∀n > n0, ∀m ∈ N∗ đều xảyra

|An(x)| =

ii) Chuỗi hàm

+∞

P

n=1

un(x) hội tụ đều trên U đến tổng S (x)

Khi đó S là một hàm liên tục trên U

un(x) hội tụ trên [a, b] đến tổng S (x)

ii) un (n = 1, 2, 3, ) là các hàm liên tục trên [a, b] và un(x) ≥ 0 (hoặc

un(x) ≤ 0), ∀x ∈ [a, b] , ∀n = 1, 2, 3,

iii) S là hàm liên tục trên [a, b].

Khi đó chuỗi hàm

+∞

P

n=1

un(x) hội tụ đều trên [a, b]

Định lý 1.9 (Tích phân từng số hạng) Cho chuỗi hàm

+∞

P

n=1

un(x) Giảthiết rằng i) un là các hàm khả tích trên [a, b] , ∀n = 1, 2, 3,

ii) Chuỗi hàm

+∞

P

n=1

un(x) hội tụ đều trên [a, b] và có tổng là S (x)

Khi đó S là hàm khả tích trên [a, b] và

1.1.2 Không gian vectơ

Định nghĩa 1.3 Cho tập hợp E mà các phần tử ký hiệu α, β, γ, vàtrường K mà các phần tử được ký hiệu là x, y, z, Giả sử trên tập E

có hai phép toán:

Phép toán cộng (+): E × E → E

(α, β) 7→ α + βPhép toán nhân (.): K × E → E

(x, α) 7→ x.αthỏa mãn 8 tiên đề sau:

1) (α + β) + γ = α + (β + γ) , ∀α, β, γ ∈ E

2) Tồn tại θ ∈ E sao cho θ + α = α + θ = α, ∀α ∈ E

3) Với mỗi α, tồn tại α0 ∈ E sao cho α + α0 = α0 + α = θ

4) α + β = β + α, ∀α, β ∈ E

5) (x + y) α = x.α + y.α, ∀x, y ∈ K, ∀α ∈ E.

6) x (α + β) = x.α + y.β, ∀x ∈ K, ∀α, β ∈ E

7) x (y.α) = (x.y) α, ∀α ∈ E, ∀x, y ∈ K

8) 1.α = α, trong đó 1 là phần tử đơn vị của trường K

Khi đó E cùng hai phép toán trên gọi là không gian vectơ trên trường

K hay có thể gọi K-không gian vectơ

Khi K = R thì E được gọi là không gian vectơ thực (hay không giantuyến tính thực), còn khi K = C thì E được gọi là không gian vectơphức

• Sự phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính

Định nghĩa 1.4 Cho hệ vectơ {a1, a2, , ak} trong không gian vectơ

E Khi đó vectơ x biểu thị tuyến tính qua hệ vectơ {ai}ki=1 nếu

Hệ gồm một vectơ {a} là độc lập tuyến tính khi a 6= θ Nếu vectơ

Định nghĩa 1.5 Không gian vectơ V được gọi là không gian n chiều(1 ≤ n nguyên) nếu trong V tồn tại n vectơ độc lập tuyến tính và khôngtồn tại quá n vectơ độc lập tuyến tính.

Khi đó ta nói số chiều của không gian V là n Ký hiệu là dim (V ).Các không gian n chiều, n ≥ 0, được gọi là không gian hữu hạn chiều.Nếu trong V có thề tìm được một số bất kỳ các vectơ độc lập tuyếntính thì ta nói V là không gian vô hạn chiều

Định nghĩa 1.6 Một hệ vectơ được gọi là hệ sinh của không gian vectơnếu mọi vectơ của không gian đó biểu thị tuyến tính qua hệ đó

Một hệ vectơ của V được gọi là một cơ sở của V nếu mọi vectơ của

V đều biểu thị tuyến tính qua hệ này

Định lý 1.11 Trong không gian vectơ n chiều V ta có

Mọi hệ vectơ có số vectơ lớn hơn n vectơ thì đều là hệ phụ thuộctuyến tính

Mọi hệ độc lập tuyến tính trong V đều có thề bổ sung để trở thànhmột cơ sở của V

Mọi hệ độc lập tuyến tính gồm n vectơ của V đều là cơ sở

1.1.3 Không gian C[a,b], Lp[a,b]

• Không gian C[a,b], Lp[a,b]

Định nghĩa 1.7 Tập hợp các hàm số thực liên tục trên một đoạn [a, b]với khoảng cách giữa hai phần tử x (t) , y (t) là:

ρ (x, y) = max

a≤t≤b |x (t) − y (t)|

là không gian C[a,b].

Không gian C[a,b] là không gian định chuẩn với chuẩn xác định

x (t) ∈ C[a,b] : kxk = max

a≤t≤b |x (t)| (1.5)Định lý 1.12 Không gian C[a,b] là không gian Banach với chuẩn (1.5).Chứng minh Giả sử {xn(t)}∞n=1 là dãy cơ bản bất kỳ trong C[a,b] nghĩalà

R1 Vì R1 là không gian đầy đủ, nên dãy {xn(t)}∞n=1 hội tụ trong R1.Đặt x (t) = lim

n→∞xn(t), cho t thay đổi trên [a, b] thì ta có hàm số x (t)xác định trên [a, b]

là kf kp(1 ≤ p < ∞) khả tích trên E, tức là sao cho R

E

|f |pdµ < +∞ gọi

là không gian Lp(E, µ)

Khi E là một tập hợp đo được theo độ đo Lebesgue thì ta viết Lp(E).Nếu E = [a, b] ⊂ R và µ là độ đo Lebesgue thì ta viết Lp[a,b] hoặc

Lp[a, b]

Định nghĩa 1.9 Giả sử (E, M, µ) là một không gian độ đo Hàm số f

đo được trên E gọi là chủ yếu giới nội nếu tồn tại một tập hợp P ⊂ M

có độ đo không, sao cho f giới nội trên tập E\P , tức là tồn tại một số

K sao cho

Cận dưới đúng của tập hợp các số K thỏa mãn bất đẳng thức (1.7) gọi

là cận trên đúng chủ yếu của hàm f , được ký hiệu esssup

x∈E

|f (x)|

Định nghĩa 1.10 Giả sử (E, M, µ) là một không gian độ đo Gọi

L∞(E, µ) là tập hợp các giới nội hầu khắp nơi trên E Với mỗi phần tử

f của L∞(E, µ), đặt

kf k∞ = esssup

x∈E

|f (x)| Định nghĩa 1.11 Cho họ (At)t∈T gồm các toán từ tuyến tính At, ánh

xạ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y , trong đó T

là một họ chỉ số có lực lượng nào đấy

Họ toán tử (At)t∈T gọi là bị chặn từng điểm nếu với mỗi x ∈ X tập(At(x)) bị chặn trong không gian Y

Họ toán tử (At)t∈T gọi là bị chặn đều nếu tập các chuẩn kAtkt∈T bịchặn

Định nghĩa 1.12 Dãy toán tử tuyến tính (An)∞n=1 trong không gian

L (X, Y ) gọi là hội tụ từng điểm tới toán tử A trong L (X, Y ) nếu vớimỗi x ∈ X, dãy điểm (Anx)∞n=1 hội tụ tới Ax trong không gian địnhchuẩn Y

Định nghĩa 1.14 Tập L2[−π, π] gồm tất cả các hàm có bình phươngkhả tổng trên đoạn [−π, π] tức là các hàm đo được Lebesgue trên đoạn[−π, π] mà

và quy ước f = g khi và chỉ khi f (x) = g (x) hầu khắp nơi trên [−π, π].Khi đó L2[−π, π] cùng với chuẩn xác định một không gian định chuẩn.Trong L2[−π, π] ta đưa ra một khoảng cách bằng công thức

L2[−π, π] cùng với khoảng cách này tạo thành một không gian metricvới quy ước f = g khi và chỉ khi f (x) = g (x) hầu khắp nơi trên [−π, π]

Sự hội tụ theo nghĩa này của một dãy các hàm khả tổng được gọi là

sự hội tụ trung bình bình phương

Trong L2[−π, π] ta trang bị một tích vô hướng giữa hai phần tử f và

1.1.4 Không gian L(X, Y )

Cho hai không gian định chuẩn X và Y Ký hiệu L(X, Y ) là tập hợptất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X vào không gian

Y Ta đưa vào L(X, Y ) hai phép toán:

Tổng của hai toán tử A, B ∈ L (X, Y ) là toán tử, ký hiệu A + B, xácđịnh bằng hệ thức

Bây giờ với toán tử tuyến tính bất kỳ A ∈ L(X, Y ) ta đặt

Một dãy toán tử (An) ⊂ L(X, Y ) hội tụ đều tới toán tử (An) ⊂ L(X, Y )thì dãy (An) hội tụ từng điểm tới toán tử A trong không gian Y

Định lý 1.14 Nếu Y là không gian Banach, thì L(X, Y ) là không gianBanach

Chứng minh Lấy một dãy cơ bản bất kỳ (An) ⊂ L(X, Y ) Theo địnhnghĩa

(∀ε > 0) (∃n0 ∈ N∗) (∀n, m ≥ n0) kAn− Amk < ε (1.9)Nhờ đó với ∀x ∈ X ta có

kAnx − Axk ≤ ε kxk , ∀n ≥ n0, ∀x ∈ X

Do đó

kAn − Ak ≤ ε, ∀n ≥ n0

1.1.5 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.15 Cho không gian tuyến tính X trên trường P (P làtrường số thực R hoặc trường số phức C ) Ta gọi là tích vô hướng trênkhông gian X là ánh xạ X từ tích Descartes X × X vào trường P , kýhiệu (., ), thỏa mãn tiên đề:

2) H được trang bị một tích vô hướng (.,.);

3) H là không gian Banach với chuẩn kxk = p(x, x), x ∈ H

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert

H là không gian Hilbert con của không gian H

Định lý 1.15 (Định lý hình chiếu lên không gian con đóng) Cho khônggian Hilbert H và H0 là không gian con đóng của H Khi đó phần tửbất kỳ x ∈ H biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng

x = y + z, y ∈ H0, z⊥H0.Phần tử y trong biểu diễn trên gọi là hình chiếu của phần tử x lên khônggian con H0

1.2 Chuỗi Fourier

1.2.1 Hệ các hàm lũy thừa, hệ các hàm lượng giác

Trong không gian C [a, b], hệ các hàm 1, x, x2, , xn, , x ∈ [a, b]được gọi là hệ các hàm lũy thừa

Trong không gian Hilbert H, hai vectơ x, y được gọi là trực giao vớinhau nếu (x, y) = 0 Ký hiệu x⊥y

Hệ các vectơ {xn} được gọi là một hệ trực giao nếu các vectơ xn đôimột trực giao với nhau

Trong không gian L2[−π, π], các hàm

{1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, , cos nx, sin nx, } (n = 1, 2, 3, )tạo thành một hệ trực giao đầy đủ gọi là hệ lượng giác

1.2.2 Chuỗi Fourier

Định nghĩa 1.17 Trong không gian L2[−π, π], cho hàm số f (x) Khi

đó các hệ số

a0 = 1π

π

Z

−π

f (x) sin nxdx, (n = 1, 2, 3 )

được gọi là hệ số Fourier của hàm f (x)

Chuỗi hàm lượng giác

Cho hàm f (x) ∈ L2[−π, π] khai triển thành chuỗi Fourier của f (x)là

Ta thấy rằng với mỗi hàm số f ∈ L2[−π, π] (hoặc f ∈ L1[−π, π] đềutồn tại một chuỗi Fourier xác định như công thức (1.12).

Cho hàm f liên tục trên đoạn [0, 1], với mọi n ≥ 1, xét đa thứcBernstein Bn(x) bậc nhỏ hơn hoặc bằng n cho bởi

Đạo hàm theo r ta được

n

X

k=0

(k − nx)2Cnkxk(1 − x)n−k = nx (1 − x) (2.7)

Do x bất kỳ thuộc đoạn [0, 1] và ta luôn có x (1 − x) ≤ 1

f (x) − f  k

n



≤ δ, thì

... S hàm liên tục [a, b].

Khi chuỗi hàm

+∞

P

n=1

un(x) hội tụ [a, b]

Định lý 1.9 (Tích phân số hạng) Cho chuỗi hàm. .. µ) khơng gian độ đo Hàm số f

đo E gọi chủ yếu giới nội tồn tập hợp P ⊂ M

có độ đo khơng, cho f giới nội tập E\P , tức tồn số

K cho

Cận tập hợp số K thỏa mãn bất đẳng... Fourier

1.2.1 Hệ hàm lũy thừa, hệ hàm lượng giác

Trong không gian C [a, b], hệ hàm 1, x, x2, , xn, , x ∈ [a, b]được gọi hệ hàm lũy thừa

Trong