Một số phương pháp xấp xỉ hàm số

Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS. TS. Khuất Văn Ninh. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình song rất nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiên luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập. Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 12 năm 2013 Tác giả Vũ Thị Thư Lời cam đoan Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Khuất Văn Ninh. Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng các trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, tháng 12 năm 2013 Tác giả Vũ Thị Thư Mục lục Bảng ký hiệu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1. KIẾN THỨC BỔ TRỢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1. Chuỗi số, dãy hàm, chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2. Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3. Không gian C [a,b] , L p [a,b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.4. Không gian L(X, Y ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1.5. Không gian Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2. Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.1. Hệ các hàm lũy thừa, hệ các hàm lượng giác . . . . . . . . . . 19 1.2.2. Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Chương 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1. Một số định lý về xấp xỉ hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2. Xấp xỉ hàm bằng tích phân kì dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3. Hệ thống Korovkin và xấp xỉ hàm liên tục bởi một dãy hàm cho bởi toán tử tuyến tính dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.1. Tập các hàm kiểm tra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 i 2.3.2. Các hạch dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4. Xấp xỉ hàm bởi tích phân Fejér-Korovkin. . . . . . . . . . . . . . . 41 2.5. Xấp xỉ hàm bởi đa thức nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.5.1. Đa thức nội suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.5.2. Đa thức nội suy Lagrange với mốc bất kì . . . . . . . . . . . 43 2.5.3. Đa thức nội suy Lagrange với mốc cách đều . . . . . 45 2.5.4. Sai số của phép nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.6. Xấp xỉ hàm số bằng hàm ghép trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.6.1. Định nghĩa về hàm ghép trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.6.2. Đa thức nội suy ghép trơn bậc 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.7. Đa thức xấp xỉ tốt nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Chương 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA XẤP XỈ HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.1. Tính tổng của một chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2. Tính xấp xỉ giá trị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2.1. Tính xấp xỉ hàm số bởi đa thức Bernstein . . . . . . . . . . 56 3.2.2. Sử dụng đa thức nội suy Lagrange tính xấp xỉ giá trị hàm số 57 3.2.3. Sử dụng hàm ghép lớp trơn tính xấp xỉ giá trị hàm số 58 3.3. Một số ứng dụng trong phương trình vật lý toán . . . . . 62 3.3.1. Bài toán dây rung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.3.2. Bài toán dao động tự do của dây rung . . . . . . . . . . . . 64 ii Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 iii Bảng ký hiệu N Tập số tự nhiên N ∗ Tập số tự nhiên khác không R Tập số thực C [a,b] Không gian các hàm liên tục trên [a, b] L p [a,b] Tập hàm lũy thừa bậc p khả tích Lebesgue trên [a, b] (1 ≤ p < ∞) L p (R) Tập hàm lũy thừa bậc p khả tích Lebesgue trên R X (2π) Không gian các hàm C 2π hoặc L p 2π X (R) Không gian các hàm C (R) hoặc L p (R) L (X, Y ) Không gian các hàm tuyến tính liên tục từ X vào Y 1 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Bài toán xấp xỉ hàm số là một bài toán quan trọng của toán học. Nó có vai trò quan trọng về phương diện lí thuyết và ứng dụng. Vấn đề này đã được các nhà toán học quan tâm từ đầu thế kỷ XVIII. Định lý nổi tiếng của Weierstrass về xấp xỉ một hàm số liên tục trên một đoạn bởi dãy các đa thức đã mở đầu cho việc chứng minh tính trù mật của không gian các đa thức trong một số các không gian hàm quan trọng. Định lý về xấp xỉ một hàm tuần hoàn bởi một dãy các đa thức lượng giác làm tiền đề cho việc nghiên cứu và tính xấp xỉ giá trị của hàm tuần hoàn. Một số ứng dụng của giải tích hàm cho ta cách tiếp cận vấn đề xấp xỉ hàm số một cách tổng quát hơn. Với mong muốn hiểu sâu hơn về các phương pháp xấp xỉ hàm số nên tôi đã chọn đề tài “Một số phương pháp xấp xỉ hàm số” để hoàn thành luận văn Thạc sĩ. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu một số phương pháp xấp xỉ hàm số, như xấp xỉ bởi đa thức đại số, đặc biệt là xấp xỉ bởi đa thức lượng giác được cho bởi toán tử tích phân kì dị. 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Tổng quan về việc xấp xỉ một hàm liên tục trên một đoạn, xấp xỉ một hàm số tuần hoàn trên đường thẳng. - Nghiên cứu việc xấp xỉ một hàm nhờ toán tử tích phân kì dị. - Nghiên cứu về xấp xỉ tốt nhất một hàm liên tục, một hàm khả tích Lebesgue bởi một đa thức. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Một số phương pháp xấp xỉ hàm liên tục và hàm khả tích Lebesgue. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích và tổng hợp các tài liệu đã có từ đó hệ thống một số vấn đề lý thuyết liên quan đến đề tài. 6. Đóng góp của đề tài Trình bày một cách hệ thống về một số phương pháp xấp xỉ hàm số và ứng dụng của chúng. 3 Chương 1 KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1. Một số không gian hàm 1.1.1. Chuỗi số, dãy hàm, chuỗi hàm • Chuỗi số Định nghĩa 1.1. Cho dãy số: a 1 , a 2 , , a n , Lập dãy số mới: A 1 = a 1 , A 2 = a 1 + a 2 , . . . A n = a 1 + a 2 + + a n = n  k=1 a k . Ký hiệu hình thức: ∞  k=1 a k = lim n→+∞ A n = lim n→+∞ n  k=1 a k và gọi ∞  k=1 a k là một chuỗi số, a k được gọi là số hạng thứ k của chuỗi số. • Chuỗi số hội tụ Xét chuỗi số ∞  k=1 a k . (1.1) Đặt A n = n  k=1 a k . Khi đó A n được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi số (1.1). Dãy {A n } là dãy tổng riêng của chuỗi (1.1). 4 Nếu dãy {A n } hội tụ và lim n→+∞ A n = A thì ta nói chuỗi số ∞  k=1 a k hội tụ và có tổng bằng A, viết là +∞  k=1 a k = A. Nếu dãy {A n } không có giới hạn hữu hạn thì ta nói chuỗi số (1.1) phân kỳ. • Phần dư của chuỗi Xét chuỗi số hội tụ ∞  k=1 a k . (1.2) Đặt r n = +∞  k=n+1 a k = +∞  k=1 a n+k Khi đó r n được gọi là phần dư thứ n của chuỗi hội tụ (1.2). Giả sử A = +∞  k=1 a k và A n = n  k=1 a k thì ta có r n = A−A n ⇒ lim n→∞ r n = 0. • Điều kiện để một chuỗi hội tụ Định lý 1.1. (Định lý về điều kiện cần) Nếu chuỗi ∞  k=1 a k hội tụ thì lim k→+∞ a k = 0. Điều kiện cần và đủ để chuỗi hội tụ: Xét chuỗi số +∞  k=1 a k (1.3) có dãy tổng riêng là A n = n  k=1 a k . Theo nguyên lý Cauchy để chuỗi (1.3) hội tụ điều kiện cần và đủ là: ∀ε > 0, cho trước ∃n 0 = n 0 (ε), n 0 ∈ N ∗ sao cho: ∀n > n 0 , ∀p ∈ N ∗ thì |A n+p − A n | < ε. Điều này nghĩa là: |a n+1 + a n+2 + + a n+p | < ε. Vậy ta có: 5 [...]... PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ HÀM SỐ 2.1 Một số định lý về xấp xỉ hàm liên tục Định nghĩa 2.1 Chuỗi hàm đa thức là chuỗi hàm mà mỗi số hạng là một đa thức ∞ Pn (x) hội tụ đều tới hàm f (x) trên đoạn Ta biết rằng chuỗi hàm n=0 [a, b] thì f (x) liên tục trên [a, b] Ta sẽ chỉ ra nó là điều kiện đủ để hàm f (x) khai triển được thành chuỗi hàm đa thức Đó là nội dung của định lý sau: Định lý 2.1 (Weierstrass) Nếu hàm số. .. ra chuỗi số n=1 ∗ tại một số ε0 > 0, để ∀n ∈ N∗ , ∃p0 ∈ N sao cho |An+p0 − An | ≥ ε0 • Dãy hàm Cho U là một tập con của tập số thực R A là tập tất cả các hàm số xác định trên U Ánh xạ F : N → A n → un ∈ A u1 (x) , u2 (x) , u3 (x) , , un (x) , (n = 1, 2, 3, ) được gọi là dãy hàm số xác định trên tập U Ký hiệu: {un (x)} , ∀n = 1, 2, 3, • Sự hội tụ đều của dãy hàm Giả sử un (x) là một dãy hàm xác định... hai dãy hàm {an } , {bn } cùng xác định trên tập U Giả thiết: +∞ i) Dãy tổng riêng An (x) của chuỗi hàm an (x) bị chặn đều trên U có n=1 nghĩa là tồn tại một số M > 0 sao cho n |An (x)| = ak (x) ≤ M, ∀n, ∀x ∈ U k=1 ii) Dãy hàm {bn } đơn điệu có nghĩa là với mỗi số x ∈ U dãy bn (x) là dãy số đơn điệu và dãy hàm {bn (x)} hội tụ đều trên U đến 0 +∞ an (x) bn (x) hội tụ đều trên U Khi đó chuỗi hàm n=1... nên hàm f (x) xác định trên [−π, π] Ta được π 1 Sn (x) = π −π sin 2n+1 z 2 f (x + z) dz 2 sin z 2 Đặt 1 sin 2n+1 z 2 Dn (z) = π 2 sin z 2 Khi đó Sn (x) được gọi là tổng Dirichlet của hàm f (x) còn Dn (z) được gọi là nhân của tổng Dirichlet của hàm f (x) Ta thấy rằng với mỗi hàm số f ∈ L2 [−π, π] (hoặc f ∈ L1 [−π, π] đều tồn tại một chuỗi Fourier xác định như công thức (1.12) 22 Chương 2 MỘT SỐ PHƯƠNG... định trên U ⊂ R Dãy hàm số {un (x)} , ∀n = 1, 2, 3, được gọi là hội tụ đều tới hàm u (x) trên tập U nếu với mọi ε > 0 đều tồn tại n sao cho (∀n > nε ) (∀x ∈ U ) thì |un (x) − u (x)| < ε Định lý 1.3 Dãy hàm {un (x)} hội tụ đều tới hàm u (x) trên U khi và chỉ khi lim sup |un (x) − u (x)| = 0 n→+∞ U • Chuỗi hàm Định nghĩa 1.2 Cho dãy hàm {un (x)} cùng xác định trên một tập U ⊂ R Chuỗi hàm là tổng hình thức... δ (x)| < ε, π − x cos x là một đa thức lượng giác 2 Thác triển tuần hoàn chu kỳ T = 2π từ đoạn [0, π] lên toàn trục số, ta trong đó δ (x) = ω (x) sin x + φ được điều phải chứng minh 2.2 Xấp xỉ hàm bằng tích phân kì dị Định nghĩa 2.3 Nếu ρ là một tham số trên tập A nào đó hay khoảng (a, b) với 0 ≤ a < b ≤ +∞ hoặc tập N và giả sử ρo là một trong các điểm a, b hoặc +∞ Tập các hàm {χρ (x)} được gọi là các... Tính chất của tổng chuỗi hàm +∞ un (x) Giả thiết rằng Định lý 1.7 (Tính liên tục) Cho chuỗi hàm n=1 i) un là các hàm liên tục trên tập U, ∀n = 1, 2, 3, +∞ un (x) hội tụ đều trên U đến tổng S (x) ii) Chuỗi hàm n=1 Khi đó S là một hàm liên tục trên U Định lý 1.8 (Định lý Dini) Giả sử rằng +∞ un (x) hội tụ trên [a, b] đến tổng S (x) i) Chuỗi hàm n=1 ii) un (n = 1, 2, 3, ) là các hàm liên tục trên [a, b]... độ đo µ trên một σđại số các tập con của E Họ tất cả các hàm số f khả tích trên E tức 12 là f p p (1 ≤ p < ∞) khả tích trên E, tức là sao cho |f | dµ < +∞ gọi E p là không gian L (E, µ) Khi E là một tập hợp đo được theo độ đo Lebesgue thì ta viết Lp (E) Nếu E = [a, b] ⊂ R và µ là độ đo Lebesgue thì ta viết Lp hoặc [a,b] Lp [a, b] Định nghĩa 1.9 Giả sử (E, M, µ) là một không gian độ đo Hàm số f đo được... gọi là hệ số Fourier của hàm f (x) Chuỗi hàm lượng giác +∞ a0 + (an cos nx + bn sin nx), (1.12) n=0 trong đó a0 , an , bn xác định theo (1.11) được gọi là chuỗi Fourier của hàm f (x) Nếu xét hàm số f (x) ∈ L1 [−π, π] thì các tích phân π 1 π π f (x) dx, −π 1 π π f (x) cos nxdx, 1 π −π f (x) sin nxdx (n = 1, 2, 3 ) −π vẫn có nghĩa Như vậy với các hàm f (x) ∈ L1 [−π, π] có thể ứng với các hệ số Fourier... hiệu x⊥y Hệ các vectơ {xn } được gọi là một hệ trực giao nếu các vectơ xn đôi một trực giao với nhau Trong không gian L2 [−π, π], các hàm {1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, , cos nx, sin nx, } (n = 1, 2, 3, ) tạo thành một hệ trực giao đầy đủ gọi là hệ lượng giác 19 1.2.2 Chuỗi Fourier Định nghĩa 1.17 Trong không gian L2 [−π, π], cho hàm số f (x) Khi đó các hệ số π 1 a0 = π f (x) dx −π π 1 an = π f (x) . cách tiếp cận vấn đề xấp xỉ hàm số một cách tổng quát hơn. Với mong muốn hiểu sâu hơn về các phương pháp xấp xỉ hàm số nên tôi đã chọn đề tài Một số phương pháp xấp xỉ hàm số để hoàn thành luận. việc xấp xỉ một hàm liên tục trên một đoạn, xấp xỉ một hàm số tuần hoàn trên đường thẳng. - Nghiên cứu việc xấp xỉ một hàm nhờ toán tử tích phân kì dị. - Nghiên cứu về xấp xỉ tốt nhất một hàm liên. liên tục, một hàm khả tích Lebesgue bởi một đa thức. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Một số phương pháp xấp xỉ hàm liên tục và hàm khả tích Lebesgue. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân