Một phương pháp xấp xỉ ngoài giải bài toán quy hoạch tuyến tính với hàm mục tiêu có hệ số không âm và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ HỒNG HẠNH MỘT PHƢƠNG PHÁP XẤP XỈ NGOÀI GIẢI BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VỚI HÀM MỤC TIÊU CĨ HỆ SỐ KHƠNG ÂM VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ HỒNG HẠNH MỘT PHƢƠNG PHÁP XẤP XỈ NGỒI GIẢI BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VỚI HÀM MỤC TIÊU CĨ HỆ SỐ KHƠNG ÂM VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN ANH TUẤN THÁI NGUYÊN– 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này, tơi nhận đƣợc động viên đóng góp nhiệt tình từ thầy giáo trƣờng Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo Đặc biệt gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Anh Tuấn ngƣời thầy đề xuất hƣớng nghiên cứu, động viên thƣờng xuyên tận tâm bảo nghiêm túc chuyên môn suốt thời gian qua để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn gia đình, bạn bè ngƣời thân động viên khuyến khích giúp đỡ tơi suốt q trình hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 08 năm 2014 Tác giả i Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i MỤC LỤC ii MỞ ĐẦU iv Chƣơng PHƢƠNG PHÁP NĨN XOAY VÀ THUẬT TỐN NĨN XOAY TUYẾN TÍNH GIẢI BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VỚI HÀM MỤC TIÊU CĨ HỆ SỐ KHƠNG ÂM 1.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính 1.2 Khái niệm nón đơn hình tuyến tính, cạnh phƣơng nón Nón – (nón cực tiểu) 1.2.1 Khái niệm nón đơn hình tuyến tính 1.2.2 Khái niệm cạnh nón đơn hình 1.2.3 Khái niệm nón xoay M(r,s) sinh từ nón M 1.2.4 Định nghĩa Nún (Nón cực tiểu) 1.3 Phƣơng pháp nón xoay tuyến tính 1.3.1 Thuật toán nón xoay tuyến tính 1.3.2 Bảng lặp giải toán quy hoạch tuyến tính thuật tốn nón xoay tuyến tính ví dụ minh hoạ 12 1.4 Thuật tốn nón xoay giải tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn với hàm mục tiêu có hệ số khơng âm 17 1.4.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn với hàm mục tiêu có hệ số khơng âm 17 1.4.2 Xây dựng nón – (nón cực tiểu) xuất phát 18 1.4.3 Thuật tốn nón xoay tuyến tính LD giải tốn quy hoạch tuyến tính với hàm mục tiêu có hệ số không âm 18 ii Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 1.4.4 Giải tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn với hàm mục tiêu có hệ số khơng âm thuật tốn nón xoay LD dƣới dạng bảng nón xoay thu gọn ví dụ minh hoạ 19 1.4.5 Minh hoạ hình học thuật tốn nón xoay tuyến tính LD 20 Chƣơng 26 ỨNG DỤNG THUẬT TỐN NĨN XOAY LD GIẢI MỘT VÀI LỚP BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH THƢỜNG GẶP 26 2.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn có tổng biến bị chặn 26 2.1.1 Bài toán 26 2.1.2 Ví dụ minh họa 33 2.2 Thuật tốn nón xoay LD giải tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc biết sở đối ngẫu 36 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 iii Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Bài tốn quy hoạch tuyến tính có hai dạng dạng chuẩn dạng tắc, hai dạng có quan hệ mật thiết với Bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tốn có miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính với biến khơng âm, cịn tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc tốn quy hoạch có miền ràng buộc hệ phương trình tuyến tính với biến có dấu khơng âm Thuật tốn đơn hình đơn hình đối ngẫu George Dantzig Lemke đề xuất vào năm 1947 1954 giải toán quy hoạch tuyến tính dạng tắc Nhiều tốn quy hoạch tuyến tính thực tế thường bắt đầu dạng chuẩn tắc, luận văn trình bày phương pháp nón xoay giải trực tiếp tốn quy hoạch tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính, từ xây dựng thuật tốn nón xoay tuyến tính giải tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn với hàm mục tiêu có hệ số khơng âm vài ứng dụng Luận văn gồm chương: Chương trình bày phương pháp nón xoay thuật tốn nón xoay tuyến tính giải tốn quy hoạch tuyến tính với hàm mục tiêu có hệ số khơng âm với sở xuất phát ban đầu gốc tọa độ O(0,0,…,0) Chương trình bày ứng dụng thuật tốn nón xoay tuyến tính trình bày chương giải cho hai lớp tốn quy hoạch tuyến tính thường gặp sau đưa hai lớp toán dạng toán quy hoạch tuyến tính với hàm mục tiêu có hệ số khơng âm Các thuật tốn nón xoay trình bày luận văn xây dựng chi tiết, bước thuật tốn trình bày cho dễ dàng lập trình chuyển sang chương trình máy tính ngơn ngữ Pascal, C, Java, Luận văn hoàn thành dựa tài liệu [5] [6], tài liệu có phần tài liệu tham khảo Tác giả iv Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Bùi Thị Hồng Hạnh v Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Chƣơng PHƢƠNG PHÁP NĨN XOAY VÀ THUẬT TỐN NĨN XOAY TUYẾN TÍNH GIẢI BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VỚI HÀM MỤC TIÊU CĨ HỆ SỐ KHƠNG ÂM Nội dung chƣơng này, chúng tơi trình bày phƣơng pháp giải tốn quy hoạch tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phƣơng trình tuyến tính thuộc lƣợc đồ xấp xỉ ngồi (vì xuất phát giải từ đỉnh nón đơn hình tuyến tính ngồi miền chấp nhận đƣợc) gọi thuật tốn nón xoay tuyến tính [5] Từ trình bày trƣờng hợp riêng biến thể giải tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn hàm mục tiêu có hệ số khơng âm, lớp tốn thƣờng hay gặp thực tế 1.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính XÐt tốn quy hoạch tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phƣơng trinh tuyến tính sau: n f ( x) C, x ( L) ci xi i x PL : x R n : Ai , x bi 0, i 1,2, , m x R n , Ai véc tơ dòng Ai R n , m n, Ai (ai1, ai2, , ain) ≠ O(0,…,0) , C(c1, c2,…, cn), bi R1 , i=1, 2, , m Hạng hệ Ai (i=1, 2, …, m) n, giả thiết bình thƣờng miền ràng buộc PL toán quy hoạch tuyến tính nói chung có ràng buộc dấu biến x Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 1.2 Khái niệm nón đơn hình tuyến tính, cạnh phƣơng nón Nón – (nón cực tiểu) 1.2.1 Khái niệm nón n hỡnh tuyn tớnh Xột M đ-ợc xác định từ n ràng buộc tuyến tính PL , thĨ lµ: M:={x R n : + bi i I} (1.1) {1, 2, , m}, /I/ = n (ở /I/ số đo số phần tử ®ã I:= i1, i2 , , in tập I) vµ Ai với i I lµ mét hệ ®éc lËp tuyÕn tÝnh Tập M gọi nón đơn hình tuyến tính hệ ràng buộc PL với đỉnh xM nghiệm (đ-ợc xác định) tho hÖ sau: + bi = 0, Hệ véc tơ Ai víi i i I (1.2) I đƣợc gọi sở nón M, hay cịn gọi sở đỉnh xM Tập I gọi tập số sở nón M 1.2.2 Khái niệm cạnh nón đơn hình Với i I, tập hợp điểm x Rn thỏa mãn hệ: + br = 0, r I\{i} (1.3) gọi đƣờng thẳng i nón M Tập điểm x thoả mãn hệ: Ar , x br 0, r Ai , x bi I\ i gọi cạnh i nón M Với i (i I), VÐc t¬ zMi (i I), xác định h: Ar , zMi i A ,z i M 0, r I,r i (1.4) gọi véc tơ phƣơng cạnh i nón M Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Đỉnh xM nón M xác định từ (1.2), trƣờng hợp biết hệ véc tơ phƣơng zMi (i I) sử dụng công thức sau: xM bi zMi (1.5) i I Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Dễ thấy từ ràng buộc cuối ta suy x1 x2 x3 100 , miền ràng buộc compact nên bai tốn ln có phƣơng án tối ƣu Vậy tốn Klee-Minty viết lại là: f ( x) ( B 2) 100.x1 10.x2 xj 0, j 1, 2,3 x1 x2 x3 x3 1002 x1 1, 20.x1 x2 200.x1 100 20.x2 x3 1002 Đây tốn thuộc lớp tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn có tổng biến bị chặn với M0 = 1002(ràng buộc có tổng biến bị chặn x1 x2 x3 1002 ) Ta đƣa toán toán toán quy hoạch tuyến tính có hàm mục tiêu với hệ số khơng âm dạng (LC*) , ta thấy s=1 c1 =-100= {cj: j=1,2,3}= min{-100, -10, -1} Vậy phép đổi biến tƣơng ứng là: x2 X2 x3 X3 x1 1002 X1 X2 X Bài toán dạng (LC*) tƣơng ứng tốn có hệ số hàm mục tiêu không âm là: F ( X ) 100 X 90 X ( B3) Xj 0, j 1, 2,3 X1 X2 X1 X2 X 1002 99 X 1003 X 1002 20 X 19 X 20 X 20.1002 100 200 X 180 X 199 X 199.1002 0 34 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Ta đƣa số liệu vào bảng nón xoay thu gọn để giải thuật tốn nón xoay tuyến tính LD trình bày chƣơng 1, với sở xuất phát gốc tọa độO(0.0,0), tập số sở ban đầu I0:={ 1, 2, 3} Với quy tắc chọn số đƣa vào có sở quy tắc max Chỉ số bj (3) Bc Bc Cơ sở 100 0 -1002 1002-1 20.1002-100 199.1002 0 X0 0 199.1002 X1 -1 0 -1 -20 -200 0 0 90 Ai( x ) Ai( x1 ) 0 -1002 1002-1 20.1002-100 199.1002 -200 -180 [-199] 0 -1002 -1 -100 1/2 1/2 (99/199) 99 0 -1 0 -1 1 -1 -1 -19 -20 -180 -199 0 0 0 -200/199 -180/199 1/199 1002 Sau bƣớc lặp ta nhận đƣợc lời giải toán (B3) Xopt = ( 0, 0, 1002), theo định lý 2.2 ta suy lời giải tốn (B2) lời giải toán ban đầu Klee-Minty là: x2opt X 2opt x3opt X 3opt 1002 x1opt 1002 X 1opt X 2opt X 3opt 1002 0 1002 Vậy phƣơng án tối ƣu toán Klee-Minty xopt = ( 0, 0, 1002) Nếu toán giải phƣơng pháp đơn hình thơng thƣờng lời giải nhận đƣợc sau bƣớc lặp qua toán trung gian biến 35 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 2.2 Thuật tốn nón xoay LD giải tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc biết sở đối ngẫu Chúng ta biết tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc với m ràng buộc (ràng buộc đẳng thức) R n biết sở chấp nhận đƣợc đối ngẫu giải tốn thuật tốn đơn hình đối ngẫu Việc biết sở đối ngẫu toán quy hoạch tuyến tính coi giả thiết thông thƣờng mà nhiều sách, tài liệu sử dụng Dễ dàng thấy giả phương án bước lặp thuật tốn đơn hình đối ngẫu đỉnh nón – hàm mục tiêu phương pháp nón xoay tuyến tính Chính vậy, m>n-m sau áp dụng phƣơng pháp nón xoay tuyến tính đề xuất chƣơng 1, cụ thể sử dụng thuật tốn nón xoay LD giải tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc R n biết sở đối ngẫu thơng qua việc giải tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn có số chiều số biến phi sở tốn tắc cho với sở xuất phát từ gốc toạ độ Rn m Và điều cho thấy hiệu giải trực tiếp toán phƣơng pháp đơn hình đối ngẫu Rn (bởi số chiều tốn lúc cịn n-m