Một phương pháp xấp xỉ ngoài giải bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn khi biết một điểm chấp nhận được

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN BIẾT MỘT PHƢƠNG PHÁP XẤP XỈ NGỒI GIẢI BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH DẠNG CHUẨNKHI BIẾT MỘT ĐIỂM CHẤP NHẬN ĐƢỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun – 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ii ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN BIẾT MỘT PHƢƠNG PHÁP XẤP XỈ NGOÀI GIẢI BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH DẠNG CHUẨN KHI BIẾT MỘT ĐIỂM CHẤP NHẬN ĐƢỢC Chuyên ngành:TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:TS.NGUYỄN ANH TUẤN Thái Nguyên – 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ iii MỤC LỤC MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƢƠNG BÀI TOÁN TỐI ƢU TỔNG QT VÀ BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.1 Bài toán tối ƣu tổng quát: 1.2.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính 1.2.2 Phƣơng pháp đơn hình CHƢƠNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ PHƢƠNG PHÁP NÓN XOAY 11 2.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính 11 2.2 Khái niệm nón tuyến tính, cạnh nón nón - 11 2.2.1 Khái niệm nón đơn hình tuyến tính 11 2.2.2 Khái niệm cạnh nón đơn hình: 12 2.2.3 Khái niệm nón xoay M(r,s) sinh từ nón M: 16 2.2.4 Định nghĩa Nón – (Nón cực tiểu) 17 2.3 Phƣơng pháp nón xoay tuyến tính: 19 2.3.1 Thuật tốn nón xoay tuyến tính 20 2.3.2 Bảng lặp giải toán qui hoạch tuyến tính thuật tốn nón xoay tuyến tính ví dụ minh hoạ: 23 CHƢƠNG THUẬT TOÁN NĨN XOAY GIẢI BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH KHI BIẾT MỘT ĐIỂM CHẤP NHẬN ĐƢỢC 29 3.1 Lựa chọn siêu phẳng đƣa vào sở 30 3.2 Thuật tốn nón xoay giải tốn quy hoạch tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phƣơng trình tuyến tính biết điểm chấp nhận đƣợc 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Trong thập kỷ qua, với phát triển mạnh mẽ công nghệ thơng tin, lý thuyết tối ưu có bước tiến lớn phải nói đến phương pháp giải tốn quy hoạch tuyến tính gắn liền với tên tuổi nhiều nhà toán học L.V Kantorovich (1939), George Dantzig (1947), Lemke (1954), Leonid Khachian (1979), Karmarkar (1984), Bài tốn quy hoạch tuyến tính có hai dạng dạng chuẩn dạng tắc, hai dạng có quan hệ mật thiết với Bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tốn có miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính, cịn tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc tốn quy hoạch có miền ràng buộc hệ phương trình tuyến tính với biến có dấu khơng âm Nội dung luận văn đề nghị thuật tốn cải tiến từ thuật tốn nón xoay tuyến tính trình bày [5] biết điểm chấp nhận miền ràng buộc toán (đây giả thiết thơng thường mà thuật tốn khác sử dụng) Sự cải tiến làm cho thuật toán đề xuất làm việc với siêu phẳng tương ứng ràng buộc biên loại tất ràng buộc biên miền ràng buộc mà thuật tốn nón xoay tuyến tính đề nghị [5] phải làm việc tính tốn bước lặp thuật tốn chưa cải tiến Đây ưu điểm thuật tốn làm cho số bước lặp giảm đáng kể kích thước (số chiều) toán lớn Luận văn gồm chương: Chương trình bày tốn tối ưu tổng qt, tốn quy hoạch tuyến tính phương pháp đơin hình giải tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc Chương trình bày khái niệm liên quan đến nón đơn hình tuyến tính, từ làm sở cho việc xây dựng phương pháp nón xoay tuyến tính giải trục tiếp tốn quy hoạch tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính biết nón-min hàm mục tiêu tốn Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Chương (dựa phương pháp nón xoay đề nghị chương 2) trình bày việc xây dựng thuật tốn nón xoay cải tiến CT giải tốn quy hoạch tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính biết điểm chấp nhận miền ràng buộc toán ví dụ số minh hoạ cho thuật tốn. Thuật tốn nón xoay cải tiến CT giải tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn biết điểm chấp nhận miền ràng buộc toán đề nghị luận văn xây dựng chi tiết, bước thuật tốn trình bày cho dễ dàng lập trình chuyển sang chương trình máy tính ngơn ngữ Pascal, C, Java, Luận văn hoàn thành dựa sách”Quy hoạch tuyến tính với phương pháp nón xoay”[5] sách, tài liệu có phần tài liệu tham khảo Tác giả Nguyễn Văn Biết Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ CHƢƠNG BÀI TOÁN TỐI ƢU TỔNG QUÁT VÀ BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Chƣơng này, chúng tơi trình bày toán tối ƣu tổng quát, toán quy hoạch tuyến tính tóm tắt sơ lƣợc phƣơng pháp đơn hình giải tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc 1.1 Bài toán tối ƣu tổng quát: Bài toán tối ƣu tổng quát đƣợc phát biểu nhƣ sau: Cực đại hoá (cực tiểu hoá) hàm: f ( x )  max(min) (1.1) với điều kiện gi ( x )( , , )bi ,i  1, ,m (1.2) x  X  Rn (1.3) Bài toán (1.1) – (1.3) đƣợc gọi quy hoạch, hàm f ( x ) đƣợc gọi hàm mục tiêu, hàm gi ( x ),i  1, ,m đƣợc gọi hàm ràng buộc, đẳng thức hệ (1.2) đƣợc gọi ràng buộc Tập hợp: D  x  X / gi ( x )( , ,  )bi ,i  1, m (1.4) đƣợc gọi miền ràng buộc (hay miền chấp nhận đƣợc) Mỗi điểm: ( x  x1 ,x2 , ,xn )  D đƣợc gọi phƣơng án (hay lời giải chấp nhận đƣợc) Một phƣơng án x*  D đạt cực đại (hay cực tiểu) hàm mục tiêu, cụ thể là: f ( x* )  f ( x ),x  D (đối với toán Max) f ( x* )  f ( x ),x  D (đối với tốn Min) Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ đƣợc gọi phƣơng án tối ƣu (lời giải tối ƣu) Khi giá trị f ( x* ) đƣợc gọi giá trị tối ƣu toán 1.2 Bài toán QHTT phƣơng pháp đơn hình 1.2.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính Bài tốn quy hoạch tuyến tính có hai dạng dạng tắc dạng chuẩn tắc, sau ta trình bày lần lƣợt hai dạng Bài tốn QHTT dạng tắc: n c x j j 1 n a x j 1 ij j j  max  bi ,i  1, ,m x j  0, j  1, ,n Bài toán QHTT dạng chuẩn: n c x j j 1 n a x j 1 ij j j  max  bi ,i  1, ,m x j  0, j  1, ,n Bất kỳ QHTT đƣa hai dạng chuẩn tắc nhờ phép biến đổi tuyến tính sau: n Một ràng buộc a x j 1 n ij j  bi  aij x j  bi cách nhân hai vế với (-1) viết lại: j 1 Số hóa Trung tâm Học liệu đƣa n  a' j 1 ij ràng buộc: x j  b'i http://www.lrc-tnu.edu.vn/ n Một ràng buộc đẳng thức a x j 1 n bất đẳng thức: a x j 1 ij ij j  bi thay hai ràng buộc n j  bi  aij x j  bi j 1 Một biến xi khơng bị ràng buộc dấu thay hiệu hai biến không âm cách đặt: x j  x j  x j với x j  0,x j  n Một ràng buộc bất đẳng thức a x j 1 ij đẳng thức cách đƣa vào biến phụ yi  : j  bi đƣa ràng buộc n a x j 1 ij j  y j  bi Về nguyên tắc, áp dụng nhiều lần phép biến đổi 1, ta đƣa toán QHTT dạng chuẩn, sau áp dụng nhiều lần phép biến đổi ta đƣa dạng tắc 1.2.2 Phƣơng pháp đơn hình Vào năm 1947, Nhà Tốn học ngƣời Mỹ George Dantzig đề xuất giải toán QHTT dạng tắc sau:  c,x   max (1.5) Ax  b (1.6) x0 (1.7) Trong A ma trận kích thƣớc m.n (m ≤ n) với hạng ma trận A m Dƣới để ngắn gọn, chúng tơi trình bày sơ lƣợc tóm tắt thuật tốn, cịn phần sở thuật tốn đơn hình xem [3] Thuật tốn đơn hình Bƣớc 1: Xây dựng bảng đơn hình xuất phát Tìm phƣơng án cực biên xuất phát x sở Aj , j  J Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Xác định số z jk hệ phƣơng trình: z jJ jk Aj  Ak Đối với k  J , tính ƣớc lƣợng:  k   z jk c j  ck (1.8) (1.9) jJ Còn với j   j  Tính giá trị hàm mục tiêu: z0   c j x j jJ Bƣớc 2: Kiểm tra tối ƣu: Nếu k  0,k  J x phƣơng án tối ƣu, dừng thuật toán Trái lại, chuyển sang bƣớc Bƣớc 3: Tìm véc tơ đƣa vào sở Có hai khả xảy ra: Tồn k  J cho  k  z jk  0,j  J tốn QHTT khơng có lời giải tối ƣu (Z khơng bị chặn trên) Dừng thuật tốn Đối với k  J cho  k  tồn j  J : z jk  Khi chọn số s theo tiêu chuẩn: s  k / k  0 (1.10) Đƣa véc tơ As vào sở Bƣớc 4: Tìm véc tơ loại khỏi sở Xác định:  x j  x | z js    r  z js  zrs  r   (1.11) Khi số loại r, đƣa véc tơ Ar khỏi sở Bƣớc 5: Chuyển sang phƣơng án cực biên sở Cơ sở  A , j  J '  với J '  ( J \ r )  s j  J ' j thành phần phƣơng án cực biên x' đƣợc tính theo cơng thức: Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/  x j  ( xr / zrs ).z js , nÕu j  s x' j   ( xr / zrs ), nÕu j  s (1.12) Khai triển véc tơ Ak theo véc tơ sở đƣợc tính theo cơng thức (1.15) Quay lên bƣớc Cơng thức đổi sở bảng đơn hình: Ta xét công thức chuyển từ phƣơng án cực biên x với sở J sang phƣơng án cực biên x' với sở J' Ta có cơng thức (1.12) để tính thành phần x' , ta thiết lập cơng thức tính số z' jk ta có từ: As   z js Aj Suy ra: jJ Ar  ( As  zrs  jJ , j  r Mặt khác: Ak   z jk Aj  jJ z js Aj )  jJ , j  r (1.13) z jk Aj  zrk Ar (1.14) Thay biểu thức Ar từ (1.13) vào (1.14) ta đƣợc: Ak   jJ , j  r z jk Aj  zrk   As  zrs   z js Aj   jJ , j  r    jJ , j  r ( z jk  zrk z z js )A j  rk As zrs zrs Đây công thức biểu diễn Ak qua sở J '  ( J \ r )  s Bởi ta có, j  J ' :  z jk  ( zrk / zrs )z js , nÕu j  s z' jk   ( zrk / zrs ), nÕu j  s (1.15) Sau có z' jk ta tính:  'k   z' jJ ' jk c j  ck (1.16) Để dễ tính tốn, bƣớc lặp ta thiết lập bảng đơn hình Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 27 Đến thông tin để xây dựng bảng lặp bƣớc k  từ bảng lặp bƣớc k đầy đủ, xây dựng bảng lặp bƣớc k  phía dƣới bảng lặp bƣớc k nhƣ sau: - Cột bảng lặp bƣớc k  cột số sở I k 1  ( I k  sk  )\ rk  đƣợc xây dựng cách chuyển cột số sở bảng bƣớc lặp k xuống cần thay số rk số sk bảng đƣợc - Cột cột chứa giá trị bi với i  I k 1 (bên phải cột số sở I k 1 ) đƣợc xây dựng cách chuyển cột chứa giá trị bi với i  I k bảng bƣớc lặp thứ k xuống thay giá trị brk giá trị bsk bảng (bƣớc k  1) - Tiếp theo bên phải cột bi ( i  I k 1 ) bảng ma trận véc tơ phƣơng zki 1 ,i  I k 1 nón-min M k 1 đƣợc tính từ véc tơ phƣơng zki nón – M k bảng lặp bƣớc k theo công thức xoay (2.37) Sau ta tính tốn đến dịng cuối bảng dòng toạ độ đỉnh nón – M k 1 x k 1   b z iI k 1 i i k 1 (theo cơng thức (2.38)) Đến bảng nón xoay bƣớc lặp k  đƣợc xây dựng xong Quá trình lặp kết thúc sau hữu hạn bƣớc định lý 2.10 Một số phần tử trung tâm cần ý xây dựng bảng nón xoay thu gọn là: - Giá trị  Ask ,x k  bsk ( k  0,1, , ) dƣơng nằm cột chứa giá trị  Ai ,x k  bi ( i  0,1,2, ,m ) đƣợc dấu móc trịn (  Ask , x k   bsk ) Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 28 tƣơng ứng với dòng sk (đƣợc chọn đƣa vào sở bƣớc lặp k ) theo mục b1) hay b2) thuật toán nón xoay tuyến tính   C,zkrk    C,zki  ,i  I sk - Giá trị nằm cột chứa giá trị sk rk sk i  A ,zk   A ,zk  đƣợc dấu móc trịn (   C,zkrk  ) tƣơng ứng với dòng rk (đƣợc cnọn  Ask ,zkrk  đƣa sở bƣớc lặp k ) theo tiêu chuẩn (2.35) (2.36) thuật tốn nón xoay tuyến tính - Phần tử xoay  Ask ,zkrk  thuộc cột chứa giá trị  Ask ,zki ,i  I k đƣợc nằm dấu móc vng [  Ask ,zkrk  ] Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 29 CHƢƠNG THUẬT TOÁN NĨN XOAY GIẢI BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH KHI BIẾT MỘT ĐIỂM CHẤP NHẬN ĐƢỢC Chƣơng (dựa phƣơng pháp nón xoay đề nghị chƣơng 2) trình bày việc xây dựng thuật tốn nón xoay cải tiến CT giải toán (L) dạng chuẩn biết điểm chấp nhận đƣợc miền ràng buộc toán ví dụ số minh hoạ cho thuật tốn. Ta nhắc lại tốn qui hoạch tuyến tính ( L ) chƣơng 2: n   f ( x )  C,x   ci xi  i 1 ( L):   x  P :  x  R n :  Ai ,x  b  0,i  1, , ,m L i  x  R n , Ai véc tơ dòng Ai  Rn ,m  n, Ai ( ai1 ,ai , ,ain )  O( 0, ,0 ), C( c1 ,c2 , ,cn ),bi  R1 ,i  1, 2, ,m Hạng hệ Ai ( i  1, , ,m ) n , giả thiết bình thƣờng miền ràng buộc PL tốn quy hoạch tuyến tính có ràng buộc dấu biến x Giả sử PL   , xét ràng buộc thứ i m ràng buộc xác định PL  Ai ,x  bi  ( i  1, , ,m ) ,nếu PL tồn điểm x0 thoả mãn chặt ràng buộc  Ai ,x  bi  (tức  Ai , x0  bi  ) ràng buộc i đƣợc gọi ràng buộc biên PL Ngƣợc lại x  PL mà  Ai ,x  bi  ràng buộc i gọi ràng buộc biên PL Nhiều lớp tốn quy hoạch tuyến tính mà m ràng buộc tham gia xác định PL toán ( L ) tập ràng buộc biên khơng lớn hay nói xác nhỏ đáng kể so với m Do việc xây dựng thuật toán giải toán quy hoạch tuyến tính mà bƣớc lặp q trình tính tốn Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 30 làm việc với tập ràng buộc biên toán hƣớng nghiên cứu đƣợc nhiều ngƣời quan tâm Chính vậy, nội dung chƣơng xây dựng thuật tốn có tính nhƣ Thuật tốn nón xoay đề nghị chƣơng giải toán ( L ) thuật toán giải trực tiếp tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn khơng đòi hỏi phải biết trƣớc điểm chấp nhận đƣợc miền ràng buộc toán Trong trƣờng hợp biết đƣợc điểm chấp nhận đƣợc (nhƣ giả thiết thơng thƣờng mà thuật tốn đơn hình chấp nhận giải tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc) thuật tốn nón xoay tuyến tính để nghị mục 2.3.1 cải tiến để đƣợc thuật tốn hiệu Chính vậy, nội dung chƣơng khai thác tận dụng thông tin biết trƣớc điểm chấp nhận đƣợc tốn từ lựa chọn số đƣa vào đƣa khỏi sở thuật toán cho hiệu nhằm dẫn đến giảm số bƣớc lặp tới lời giải toán Tại bƣớc lặp k , giả sử ta biết điểm chấp nhận đƣợc x*k biết nón cực tiểu M k với đỉnh tƣơng ứng x k Theo thuật toán, x k điểm chấp nhận đƣợc tốn x k lời giải nó, ngƣợc lại ta di chuyển x k tới đỉnh x k 1 nón xoay M k 1 (vẫn nón cực tiểu toán ( L ) ) Bằng cách lựa chọn siêu phẳng cắt  Ask , x   bsk  Siêu phẳng cắt đƣợc xác định từ giao biên miền chấp nhận toán với đoạn thẳng nối đỉnh x k với điểm chấp nhận biết x*k Sự di chuyển dừng đỉnh x k 1 nón xoay M k 1 thỏa mãn tất ràng buộc toán (tức x k 1 điểm chấp nhận đƣợc toán) 3.1 Lựa chọn siêu phẳng đƣa vào sở Ta tiến hành xác dịnh siêu phẳng cắt đƣa vào sở nhƣ sau: Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 31 Ký hiệu J  ( x k ) :  j  1, , ,m : A j ,x k   bj  0 Gọi y k ( PL ) giao điểm đoạn  x*k ,x k  với biên miền chấp nhận đƣợc ( PL ) toán ( L ) , dĩ nhiên ta có y k ( PL )  PL ( y k ( PL ),x k ]  PL Khi ràng buộc  Ask ,x   bsk  với  Ask , y k ( PL )  bsk  đƣợc chọn siêu phẳng cắt Điểm y k ( PL ) số sk đƣợc xác định nhƣ sau: j  J  ( x k ) , xét giao điểm siêu phẳng  A j , x   b j  với đoạn  x*k ,x k  y jk   jk x*k  (   kj )x k (  jk   0,1 ) ta có:  A j , y jk  b j  A j ,  jk x*k  (   kj ).x k  b j  (3.1) (3.0)  A j ,x k   jk ( x*k  x k )  b j    k j    A j ,x k  b j  (3.2)  A j ,x*k  x k  Định lý 3.1: j  J  ( x k ) ta ln có  jk   0,1 với  jk xác định (3.2) Chứng minh: Ta có j  J  ( x k ) :   k j    A j ,x k  b j   A j ,x*k  x k  =    A j ,x k  b j    A j ,x*k  b j     A j ,x k  b j  Mà    A j ,x k  b j 