Bài toán quy hoạch tuyến tính với hàm mục tiêu phụ thuộc tham số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÀNH KIÊN BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VỚI HÀM MỤC TIÊU PHỤ THUỘC THAM SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÀNH KIÊN BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VỚI HÀM MỤC TIÊU PHỤ THUỘC THAM SỐ Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS TRẦN VŨ THIỆU THÁI NGUN – 2014 ▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ✤➙② ❧➔ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ r✐➯♥❣ tæ✐✳ ❈→❝ sè ❧✐➺✉ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥➯✉ tr♦♥❣ luận ✈➠♥ ❧➔ tr✉♥❣ t❤ü❝✱ ❝❤÷❛ tø♥❣ ✤÷đ❝ ❝ỉ♥❣ ❜è tr♦♥❣ ❜➜t ❦ý ♠ët ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥➔♦ ❦❤→❝✳ ❚→❝ ❣✐↔ Nguyễn Thành Kiên LỜI NĨI ĐẦU Qui hoạch tuyến tính tốn tìm cực tiểu (hay cực đại) hàm tuyến tính với biến số thỏa mãn ràng buộc đẳng thức (hay bất đẳng thức) tuyến tính Ở dạng chung nhất, qui hoạch tuyến tính hiểu toán min{cT x : x ∈ D}, c ∈ Rn , D ⊂ Rn tập lồi đa diện, nghĩa tập nghiệm hệ đẳng thức (hay bất đẳng thức) tuyến tính x ∈ Rn véctơ biến cần tìm Qui hoạch tuyến tính tốn tối ưu đơn giản ứng dụng rộng rãi thực tiễn Đơi hệ số tốn, nói riêng hệ số mục tiêu (như giá cả, lợi nhuận, ), khơng hồn tồn xác định trước mà biến động Cũng vậy, nhiều tốn qui hoạch toán học, liệu ban đầu thường phụ thuộc tham số Các tốn gọi toán qui hoạch tham số (parametric programming) Vì thế, để tìm lời giải cho toán loại ta cần nghiên cứu qui hoạch tham số Có nhiều dạng tốn phụ thuộc tham số Chẳng hạn, với tốn qui hoạch tuyến tính, hệ số mục tiêu hay hệ số vế phải hệ ràng buộc hai phụ thuộc tham số Cũng hệ số biến toán phụ thuộc tham số Luận văn đề cập tới lớp toán qui hoạch tham số điển hình, thường gặp Đó tốn qui hoạch tuyến tính với hệ số mục tiêu phụ thuộc tuyến tính vào tham số, gọi tắt qui hoạch tuyến tính tham số Qui hoạch tuyến tính tham số nghiên cứu tính chất nghiệm tối ưu phụ thuộc tham số đề xuất phương pháp tìm nghiệm tối ưu theo tham số Các nghiên cứu năm 1950, gần thời với đời qui hoạch tuyến tính Mục tiêu luận văn tìm hiểu trình bày nội dung tốn qui hoạch tuyến tính tốn vận tải với hàm mục tiêu phụ thuộc tuyến tính vào tham số, tính chất hàm giá trị tối ưu tốn, phương pháp giải toán với khoảng giá trị khác tham số, tìm ví dụ số minh hoạ cho thuật tốn giải qui hoạch tuyến tính tham số toán vận tải tham số ứng dụng phương pháp qui hoạch tuyến tính tham số tìm nghiệm tối ưu Pareto (các điểm hữu hiệu) tốn qui hoạch tuyến tính hai mục tiêu Nội dung luận văn viết thành ba chương: Chương "Bài tốn qui hoạch tuyến tính tham số" giới thiệu tóm tắt tốn qui hoạch tuyến tính phương pháp đơn hình giải qui hoạch tuyến tính Sau tập trung giới thiệu tốn qui hoạch tuyến tính tham số với hệ số mục tiêu phụ thuộc tuyến tính vào tham số trình bày thuật tốn đơn hình tham số tìm lời giải tối ưu cho toán với tham số λ ∈ R λ ∈ t, t , t t cho trước Hàm giá trị tối ưu ϕ(λ) hàm lõm liên tục, tuyến tính khúc (đối với toán min) hàm lồi liên tục, tuyến tính khúc (đối với tốn max) Chương "Bài tốn qui hoạch tuyến tính hai mục tiêu" giới thiệu vắn tắt khái niệm tối ưu Pareto tốn qui hoạch tuyến tính với nhiều hàm mục tiêu trình bày ứng dụng thuật tốn đơn hình tham số vào tìm tập điểm hữu hiệu (tức lời giải tối ưu Pareto) toán tuyến tính hai mục tiêu Thuật tốn tham số cho phép tìm tất điểm hữu hiệu, tập tạo nên đường tối ưu Pareto toán Chương "Bài tốn vận tải tham số" trình bày kết toán vận tải tham số, với tham số có mặt hàm mục tiêu tốn Nêu thuật tốn vị tìm lời giải sở tối ưu khoảng tham số khác nêu ví dụ số cho thấy hàm giá trị tối ưu hai toán hàm lõm liên tục, tuyến tính khúc Do thời gian kiến thức hạn chế nên chắn luận văn cịn có thiếu sót định, kính mong q thầy bạn đóng góp ý kiến để tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn sau Nhân dịp tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy cô giáo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học -Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam, giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Đặc biệt tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn GS -TS Trần Vũ Thiệu tận tình giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng 09 năm 2014 Người thực Nguyễn Thành Kiên Chương BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH Chương đề cập tới tốn qui hoạch tuyến tính với hàm mục tiêu phụ thuộc tham số Phần đầu nhắc lại kiến thức sở qui hoạch tuyến tính phương pháp đơn hình Tiếp trình bày nội dung tốn qui hoạch tham số giới thiệu thuật toán giải toán, dựa kỹ thuật tính tốn phương pháp đơn hình Cuối chương nêu ví dụ số minh họa cho thuật toán giải qui hoạch tham số Nội dung chương dựa chủ yếu vào tài liệu [1] - [4] 1.1 1.1.1 QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH Bài tốn qui hoạch tuyến tính tắc Qui hoạch tuyến tính tốn tìm cực tiểu (hay cực đại) hàm tuyến tính với biến số thỏa mãn ràng buộc đẳng thức hay bất đẳng thức tuyến tính Bài tốn qui hoạch tuyến tính đưa dạng tắc sau: cT x : Ax = b, x ≥ , (1.1) A ∈ Rm×n , b ∈ Rm , c ∈ Rn x ≥ có nghĩa x ∈ Rn+ Ta giả thiết m n rank (A) = m, nghĩa ràng buộc thừa số đẳng thức Ta nhắc lại số định nghĩa: Hàm f (x) = cT x gọi hàm mục tiêu (objective function) Tập D = {x ∈ Rn : Ax = b, x 0} gọi miền ràng buộc (constraint set) tốn Như biết giải tích lồi, D xác định tập lồi đa diện (polyhedron) D có đỉnh Véctơ x ∈ D, tức Ax = b, x ≥ 0, gọi lời giải chấp nhận (feasible solution) Lời giải chấp nhận đạt giá trị nhỏ hàm mục tiêu cT x gọi lời giải tối ưu (optimal solution) Một điểm x0 ∈ D gọi điểm cực biên (extreme point) hay đỉnh (vertex) tập lồi đa diện D khơng có đoạn thẳng x1 , x2 ⊂ D mà x1 = x2 x0 = λx1 + (1 − λ)x2 với < λ < Một lời giải toán (1.1) mà điểm cực biên D gọi lời giải sở (basic solution) Định lý sau nêu đặc trưng cho lời giải sở toán tắc Định lý 1.1([2], Định lý 3.4) Ký hiệu A1 , A2 , , An cột ma trận A Một lời giải chấp nhận x ¯ ∈ D toán (1.1) lời giải sở tập véctơ {Aj : x ¯j > 0} độc lập tuyến tính Định lý sau cho biết toán qui hoạch tuyến tính có lời giải tối ưu Định lý 1.2([2], Định lý 3.2) D = ∅ hàm mục tiêu cT x bị chặn D tốn (1.1) chắn có lời giải tối ưu Định lý sau khẳng định lời giải tối ưu đạt đỉnh D Định lý 1.3([2], Định lý 3.6) Qui hoạch tuyến tính tắc có lời giải tối ưu có lời giải sở tối ưu 1.1.2 Phương pháp đơn hình Phương pháp đơn hình G B Dantzig đề xuất năm 1947 phương pháp quen thuộc hiệu để giải dạng tốn qui hoạch tuyến tính Hơn nữa, phương pháp đơn hình cịn cải biên, mở rộng để giải nhiều tốn khác như: qui hoạch tồn phương, qui hoạch phân tuyến tính, tốn bù tuyến tính, qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu, Phương pháp đơn hình có nhiều biến thể khác tùy theo đặc điểm tốn cần giải: đơn hình gốc, đơn hình đối ngẫu, đơn hình gốc - đối ngẫu, đơn hình cải biên, Trong mục ta trình bày phương pháp đơn hình dạng gốc giải qui hoạch tuyến tính tắc Xét tốn qui hoạch tuyến tính (1.1) Hàm mục tiêu f (x) = cT x tuyến tính nên f(x) bị chặn miền ràng buộc D = {x ∈ Rn : Ax = b, x 0} theo Định lý 1.2 1.3, f (x) = cT x đạt cực tiểu điểm cực biên D Vậy cần tìm điểm cực tiểu tập điểm cực biên miền ràng buộc D, tức tập lời giải sở Ta lời giải sở Cho x ¯ lời giải sở (cách tìm mơ tả sau), ứng với sở B Ở sở B hiểu tập số với tính chất: a) B ⊂ {1, , n} , |B| = m (B gồm m số); b) B ⊇ {j : x ¯j > 0}, tức x¯j = với j ∈ / B; c) Hệ véctơ {Aj : j ∈ B} độc lập tuyến tính Đặt N = {1, , n} \B Biến xj , j ∈ B , gọi biến sở (basic variable), biến xj , j ∈ N , gọi biến sở hay biến phi sở (nonbasic variable) Ta phân hoạch A = (AB , AN ), AB = {Aj : j ∈ B} ma trận vng khơng thối hóa, lập nên bới m véctơ cột Aj A với số j ∈ B AN = {Aj : j ∈ N } ma trận lập nên n - m véctơ Aj lại A với số j ∈ N Tương tự, ta viết c = (cB , cN ) với cB cN véctơ gồm thành phần cj c với j ∈ B j ∈ N tương ứng Cách viết x = (xB , xN ) có ý nghĩa tương tự Để cho tiện, ta gọi AB sở Aj , j ∈ B , véctơ sở, Aj , j ∈ N , véctơ sở hay véctơ phi sở Tương ứng với sở B, phương trình Ax = b trở thành AB xB + AN xN = b Từ xB = A−1 ¯B = A−1 B (b − AN xN ) (nói riêng x B b ), suy công thức biểu diễn biến sở theo biến sở xB = x¯B − A−1 B AN xN Do T cT x = cTB xB + cTN xN = cTB x¯B − cTB A−1 B AN xN + cN xN hay T cT x = cTB x¯B − (cTB A−1 B AN − cN )xN T Vì thế, ∆N = cTB A−1 B AN − cN ) (1.2) x¯ tối ưu Cịn ∆N có thành phần dương, chẳng hạn ∆k > với số k ∈ N đó, cơng thức (1.2) cho thấy tăng xk làm giảm cT x, nghĩa đưa k vào B thay cho phần tử thích hợp B ta có sở B’ chấp nhận tốt (hay khơng kém) Đó ý tưởng phương pháp đơn hình để giải qui hoạch tuyến tính tắc Để đơn giản, giả sử B = 1, , m Nếu ma trận A−1 B AN = [Zik , i ∈ B, k ∈ N ] ∆k = ci zik − ck cơng thức (1.2) viết i∈B lại thành cT x = cT x¯ − ci zik − ck )xk = cT x¯ − ( k∈N i∈B ∆k xk k∈N Công thức cho thấy (với tốn tìm cực tiểu) Tiêu chuẩn tối ưu: x ¯ lời giải tối ưu ci zik − ck ∆k = ∀k ∈ N i∈B • Dấu hiệu nhận biết tốn có trị tối ưu vơ cực (−∞ với toán min, +∞ với toán max): ∃k ∈ N với ∆k > (bài toán min) hay ∆k < (bài toán max), zik ∀i ∈ B • Qui tắc "Hình chữ nhật" tính truy hồi hệ số zik bảng đơn hình: Giả sử biến xs , s ∈ N , đưa vào sở thay cho biến thứ r B Khi z ik = zik, − (zrk /zrs )zis , i = r zrk /zrs , i = r , i = 1, , m, k = 0, 1, , n Bảng 2.5 x4 B4 tối ưu P (λ) với t4 = 2/3 λ t5 = 8/9 Do t5 = −∆26 /(∆16 − ∆26 ) nên đưa x6 vào sở ta lời giải x5 = (12, 2, 0, 0, 6, 0)T với sở B5 = {5, 6, 1} x5 tối ưu P (λ) với t5 = 8/9 λ t6 = Bảng 2.6 x5 B5 tối ưu P (λ) với t5 = 8/9 Từ Bảng 2.6 ta thấy ∆1k − ∆2k λ t6 = với k = 1, 2, , Vì thế, lời giải x5 sở B5 lời giải sở tối ưu toán (2.3) với tham số λ thuộc khoảng t5 = 8/9 8/9 λ < +∞ Nói riêng với λ < Lời giải tối ưu toán qui hoạch tham số (2.3) toàn khoảng tham số < λ < ghi lại bảng Hàm giá trị tối ưu ϕ(λ) tính dựa vào Bằng 2.1 - 2.6: ϕ(λ) = ∆10 + ∆20 × λ 31 Các véctơ mục tiêu tương ứng: y = Cx0 = (0, 0)T , y = Cx1 = (240, −30)T , y = Cx2 = (590, −310)T , y3 = Cx3 = (680, −400)T , y = Cx4 = (740, −520)T , y = Cx5 = (750, −600)T Hình 2.1 Đa giác Y = {y ∈ R2 : y = Cx, x ∈ D} Thuật tốn đơn hình tham số cho phép tìm tất lời giải tối ưu Pareto (điểm hữu hiệu) cho tốn qui hoạch tuyến tính hai mục tiêu Các lời giải tối ưu lập nên gọi đường tối ưu Pareto (Pareto-optimal path) Đường tối ưu Pareto bao gồm dãy liên tiếp đỉnh hữu hiệu D (lời giải sở tối ưu) kề với cạnh D nối liền đỉnh Với Ví dụ 2.2 tốn tuyến tính hai mục tiêu, đường tối ưu Pareto (ký hiệu P) R3 bao gồm tập 32 cạnh sau miền chấp nhận D P = {[(0, 0, 0) , (0, 0, 3)] ∪ [(0, 0, 3) , (7, 0, 3)] ∪ [(7, 0, 3) , (8, 4, 0)] ∪ ∪ [(8, 4, 0) , (12, 2, 0)] ∪ [(12, 2, 0) , (15, 0, 0)]} Ta nêu thêm ví dụ nhỏ tốn Ví dụ 2.3 Xét tốn tuyến tính hai mục tiêu x1 x2 với điều kiện xj 1, j = 1, 2, Tập điểm hữu hiệu {x ∈ R3 : x1 = x2 = 0, x3 1} (xem Hình 2.2) Hình 2.2 Ví dụ 2.3 Tóm lại, chương giới thiệu vắn tắt khái niệm tối ưu Pareto tốn qui hoạch tuyến tính với nhiều hàm mục tiêu trình bày ứng dụng thuật tốn đơn hình tham số vào tìm tập điểm hữu hiệu (tức lời giải tối ưu Pareto) tốn tuyến tính hai mục tiêu Thuật tốn cho phép tìm tất điểm hữu hiệu, tập tạo nên đường tối ưu Pareto tốn 33 Chương BÀI TỐN VẬN TẢI THAM SỐ Chương đề cập tới toán vận tải phụ thuộc tham số hàm mục tiêu, trình bày thuật tốn vị tham số giải toán vận tải với hệ số mục tiêu phụ thuộc tuyến tính vào tham số nêu ví dụ tốn vận tải với cước phí vận chuyển phụ thuộc tham số Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1], [2] [4] 3.1 VẬN TẢI VỚI MỤC TIÊU PHỤ THUỘC THAM SỐ Xét toán vận tải phụ thuộc tham số t m n (cij + t.dij )xij → f (t) = V(t) có dạng: i=1 j=1 n xij = , i = 1, m, (3.1) xij = bj , j = 1, n, (3.2) j=1 m i=1 xij cij điều kiện: với i = 1, , m, j = 1, n, 0, dij , > 0, bj > số cho trước thỏa mãn m n = i=1 bj (cân cung cầu) j=1 34 (3.3) Bài toán V(t) với điều kiện (3.3) toán vận tải cân cung cầu với hệ số mục tiêu phụ thuộc tham số, gọi tắt toán vận tải tham số Tham số t hàm mục tiêu biến thiên đoạn [0, tmax ], tmax > số dương cho trước (có thể tmax = +∞) Trong tốn này, cước phí vận chuyển đơn vị hàng từ trạm phát i tới trạm thu j không qui định trước mà thay đổi, phụ thuộc vào tham số t theo hàm tuyến tính cij + t.dij (t 0) Ta đưa vào ký hiệu: A = (aij )(m+n)×(m.n) - ma trận hệ số biến vế trái ràng buộc (3.1) - (3.2) b = (a1 , , am , b1 , , bn )T - véctơ vế phải ràng buộc (độc lập với tham số t), c = (c11 , c12 , , c1n , c21 , c22 , , c2n , , cm1 , cm2 , , cmn )T , d = (d11 , d12 , , d1n , d21 , d22 , , d2n , , dm1 , dm2 , , dmn )T - véctơ hệ số mục tiêu x = (x11 , x12 , , x1n , x21 , x22 , , x2n , , xm1 , xm2 , , xmn )T - véctơ biến Khi đó, tốn V(t) viết gọn lại tốn qui hoạch tuyến tính tham số (xem (1.3)): (c + td)T x : Ax = b, x Vì thế, dùng phương pháp xử lý toán qui hoạch tham số P(t) để giải toán vận tải tham số V(t) Theo lý thuyết qui hoạch tuyến tính tham số giá trị tối ưu f(t) toán V(t) hàm lõm liên tục, tuyến tính khúc theo t tồn số hữu hạn giá trị tham số t: t0 = < t1 < < tq < tq+1 = +∞ cho f(t) tuyến tính t ∈ [tk , tk+1 ] (0 k q) Đồng thời, với k ∈ {0, 2, , q} tồn tập ô Gk , gồm m + n - ô không tạo nên chu trình, sở tối ưu toán V(t) với tham số t ∈ [tk , tk+1 ] Các liệu toán V(t) ghi lại Bảng 3.1 35 Bảng 3.1 Dữ liệu toán vận tải tham số V(t) 3.2 THUẬT TỐN THẾ VỊ THAM SỐ Mặc dù tốn vận tải tham số V(t) thuộc lớp toán qui hoạch tuyến tính tham số P(t) xét Chương 1, V(t) có đặc điểm riêng nên ta khơng áp dụng trực tiếp phương pháp đơn hình tham số trình bày mà vận dụng biến thể để giải V(t), nhằm tìm sở tối ưu tương ứng với khoảng giá trị tham số khác Thuật toán giải V(t) dựa phương pháp vị quen thuộc giải toán vận tải dạng bảng Do V(t) ln có nghiệm với t nên thuật toán xảy Trường hợp Hơn nữa, toán V(t) với t t1 đơn giản Thuật toán gồm bước sau: Bước (Khởi sự) Xuất phát từ giá trị tham số t0 = Do có điều kiện (3.3) nên V (t0 ) có lời giải cực biên tối ưu Chẳng hạn, x0 = (x011 , x012 , , x0mn )T Tập ô sở tương ứng với x0 G0 = {(i, j) : x0ij > 0} Giả sử x0 không suy biến, nghĩa G0 gồm (m + n - 1) ô G0 khơng chứa chu trình Các biến phi sở x0ij = với (i, j) ∈ / G0 Khoảng tham số tối ưu x0 tìm Bước Bước Tính vị hàng ui vị cột vj tương ứng với x0 thỏa mãn hệ phương trình tam giác ui + vj = cij + t.dij với 36 (i, j) ∈ G0 Các vị ui vj hàm tuyến tính theo t có biểu diễn ui (t) = u1i + t.u2i , vj (t) = vj1 + t.vj2 , u1i + vj1 = cij , u2i + vj2 = dij với (i, j) ∈ G0 Từ ∆1ij = u1i + vj1 − cij = 0, ∆2ij = u2i + vj2 − dij = 0, ∀(i, j) ∈ G0 Do đó, với t có ∆ij (t) = ∆1ij + ∆2ij ≡ 0, ∀(i, j) ∈ G0 (3.4) / G0 , Bước Tính ước lượng ∆ij (t) = ∆1ij + t.∆2ij , (i, j) ∈ ∆1ij = u1i + vj1 − cij , ∆2ij = u2i + vj2 − dij ∀(i, j) ∈ / G0 Do x0 = x0ij m×n tối ưu tốn P (t0 ) nên ∆ij (t0 ) = ∆1ij + t0 ∆2ij 0, (i, j) ∈ / G0 (3.5) Từ hệ bất đẳng thức tuyến tính (phụ thuộc tham số t) ∆ij (t) = ∆1ij + t.∆2ij 0, (i, j) ∈ / G0 (3.6) tương thích (do hệ có nghiệm t = t0 theo (3.5)) • Nếu ∆2ij Do đó, x0 = t từ (3.6) cho thấy ∆ij (t) x0ij m×n với t t0 tối ưu P(t) với tham số t0 Quá trình giải kết thúc • Nếu trái lại (có ∆2ij > 0), tìm t1 cho ∆ij (t) = ∆1ij + t.∆2ij 0, (i, j) ∈ / G0 với t thuộc khoảng t0 x0ij t0 m×n t t t1 , x0 = tối ưu toán V(t) với tham số t thỏa mãn t1 Tính t1 theo công thức (tương tự (1.6)): −∆1ij t1 = ∆2ij > ∆ij Trong trường hợp có ∆2rs > nên t1 < +∞ Bước Tìm lời giải tối ưu x1 = x0 V (t1 ) 37 (3.7) a) Giả sử (r, s) ∈ / G0 ô đạt cực tiểu (3.7), tức t1 = −∆1rs /∆2rs = −∆1ij /∆2ij : ∆2ij > (Nếu có nhiều đạt ưu tiên chọn hàng nhỏ cột nhỏ hơn) Từ ∆rs (t1 ) = ∆1rs + t1 ∆2rs = b) Tìm chu trình C lập nên ô (r, s) với ô thuộc G0 c) Lần lượt chia ô thuộc C thành ô chẵn C1 ô lẻ C2 với qui ước ô (r, s) ∈ C1 d) Xây dựng lời giải sở x1 = {x1ij } với   xij + h (i, j) ∈ C1 xij = x0ij − h (i, j) ∈ C2  x0ij (i, j) ∈ /C h = min{x0ij : (i, j) ∈ C2 } = x0pq Nếu có nhiều ô (i, j) ∈ C2 với x0ij = h ta chọn ngẫu nhiên số để loại khỏi tập ô sở Đặt G1 = (G0 \ (p, q)) ∪ (r, s) Rõ ràng G1 khơng chứa chu trình, x1 lời giải sở Định lý 3.1 x1 tối ưu toán V (t1 ) Chứng minh Theo cách tính ∆1ij , ∆2ij Bước theo (3.4) với t ta có ∆ij (t) = ∆1ij + ∆2ij ≡ với ∀(i, j) ∈ G0 Nói riêng ∆ij (t) = với ∀(i, j) ∈ G0 Theo cách xác định t1 , ∆ij (t) t với (i, j) ∈ / G0 t0 t1 Từ ∆ij (t1 ) với (i, j) ∈ / G0 Như vậy, x1 tập ô sở G1 = (G0 \ (p, q)) ∪ (r, s) tối ưu V (t1 ) 38 Bước Đặt x0 ← x1 G0 ← G1 Quay trở lại Bước Mút bên phải khoảng tham số tối ưu tập ô sở G1 xác định theo công thức tương tự (3.7) Quá trình tiếp tục tìm tia mà khoảng tối ưu sở cuối hàm mục tiêu không bị chặn tia Nếu phương án cực biên toán vận tải khơng suy biến sau số hữu hạn bước lặp thuật toán vị dừng cho lời giải sở tối ưu toán vận tải tham số V(t) với tập ô sở tương ứng Hiện tượng suy biến toán vận tải giống tốn qui hoạch tuyến tính, nghĩa lời giải sở có biến sở nhận giá trị Hiện tượng xảy hai trường hợp Một là, tìm phương án cực biên ban đầu ràng buộc cung (3.1) ràng buộc cầu (3.2) thỏa mãn đồng thời Hai là, có nhiều cách lựa chọn biến xpq để loại khỏi tập biến sở Dù trường hợp xảy có biến sở nhận giá trị Tuy nhiên, tượng suy biến tốn vận tải khơng gây khó khăn lớn Trên thực tế người ta chưa gặp toán vận tải xảy tượng xoay vòng (gặp lại lời giải sở trước đó) Vì thế, q trình giải tốn vận tải ta không cần bận tâm tới vấn đề 3.3 VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 3.1 Giải tốn vận tải V(t) với cước phí phụ thuộc tham số t ∈ [tmin = 0, tmax = 4] Dữ liệu toán cho Bảng 3.2 39 Bảng 3.2 Dữ liệu toán vận tải tham số Bước Xuất phát từ t0 = 0, giải toán V (t0 ) theo thuật toán vị Ta nhận lời giải tối ưu x0 ghi Bảng 3.3 Tập ô sở tương ứng G0 = {(1, 1) , (1, 2) , (2, 2) , (2, 3) , (2, 4) , (3, 4)}, gồm m + n - = ơ, khơng chu trình Bảng 3.3 x0 G0 tối ưu với t Bước Các vị u1i , vj1 u2i , vj2 ghi Bảng 3.3 Bước Tính ma trận ∆1 = (∆1ij = u1j + vj1 − cij ) ∆2 = (∆2ij = u2j + vj2 − dij ): ∆ = 0 −2 −1 −6 0 −7 −11 −6 40 , ∆ = 0 1 −3 0 Theo (3.7) tham số t1 = −∆114 /∆114 = Bước Đưa ô (1, 4) vào sở thực thao tác b) - d) ta lời giải sở x1 ghi Bảng 3.4, tương ứng với tập ô sở G1 = {(1, 1) , (1, 2) , (1, 4) , (2, 2) , (2, 3) , (3, 4)} (các có dấu "•") Bước Đặt x0 ← x1 , G0 ← G1 Quay lại Bước vòng lặp sau Bảng 3.4 x1 G1 tối ưu với t Bước Các vị u1i , vj1 u2i , vj2 ghi Bảng 3.4 Bước Tính ma trận ∆1 = (∆1ij = u1j + vj1 − cij ) ∆2 = (∆2ij = u2j + vj2 − dij ): ∆ = 0 −2 −6 0 −8 −12 −7 , ∆ = 0 −3 0 −1 Theo (3.7) tham số t2 = −∆113 /∆113 = Bước Đưa ô (1, 3) vào sở thực thao tác b) - d) ta lời giải sở x2 ghi Bảng 3.5, tương ứng với tập ô sở G2 = {(1, 1) , (1, 3) , (1, 4) , (2, 2) , (2, 3) , (3, 4)} (các có dấu "•") Bước Đặt x1 ← x2 , G1 ← G2 Quay lại Bước vòng lặp sau 41 Bảng 3.5 x2 G2 tối ưu với t Bước Các vị u1i , vj1 u2i , vj2 ghi Bảng 3.5 Bước Tính ma trận ∆1 = (∆1ij = u1j + vj1 − cij ) ∆2 = (∆2ij = u2j + vj2 − dij ): ∆1 = 0 −8 0 −1 −8 −10 −5 , ∆2 = −1 0 −2 0 2 Theo (3.7) tham số t3 = −∆131 /∆131 = Do t3 = tmax = nên dừng tính tốn Kết giải toán vận tải tham số V(t) ghi lại bảng sau Dáng điệu hàm giá trị tối ưu f(t) vẽ Hình 3.1 42 Hình 3.1 Hàm giá trị tối ưu f(t) lõm, tuyến tính khúc, t Tóm lại, chương trình bày tóm tắt kết tốn vận tải tham số, với tham số có mặt hàm mục tiêu toán Nêu vắn tắt thuật toán tìm lời giải sở tối ưu khoảng tham số khác nêu ví dụ số cho thấy hàm giá trị tối ưu hai toán hàm lõm liên tục, tuyến tính khúc 43 Kết luận Luận văn đề cập tới tốn qui hoạch tuyến tính tốn vận tải với hàm mục tiêu phụ thuộc tham số Đây lớp tốn tham số điển hình thường phân tích, nghiên cứu qui hoạch tuyến tính Luận văn trình bày nội dung sau: Bài tốn qui hoạch tuyến tính với hệ số mục tiêu phụ thuộc tuyến tính vào tham số Phương pháp đơn hình tham số tìm nghiệm tối ưu toán với khoảng giá trị tham số khác Cách tiếp cận theo tối ưu Pareto cách tiếp cận theo trọng số tốn qui hoạch tuyến tính với nhiều hàm mục tiêu tuyến tính Ứng dụng thuật tốn đơn hình tham số tìm tất điểm hữu hiệu (nghiệm tối ưu Pareto) tốn qui hoạch tuyến tính với hai mục tiêu tuyến tính Bài tốn vận tải với hàm mục tiêu phụ thuộc tham số Thuật toán vị tham số tìm nghiệm tối ưu toán khoảng giá trị tham số khác Ví dụ minh hoạ thuật tốn vị tham số Có thể xem luận văn bước tìm hiểu ban đầu chủ đề qui hoạch tuyến tính toán vận tải với hàm mục tiêu phụ thuộc tham số ứng dụng tối ưu với hai hàm mục tiêu Tác giả hy vọng có dịp tìm hiểu sâu thêm dạng qui hoạch tuyến tính khác lý thuyết phương pháp qui hoạch tham số 44 Tài liệu tham khảo [1] Bùi Thế Tâm, Trần Vũ Thiệu Các phương pháp tối ưu hoá, NXB Giao thông vận tải, 1998 [2] Trần Vũ Thiệu Giáo trình tối ưu tuyến tính, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2004 [3] G B Dantzig Linear Programming and Extensions Princeton University Press, Princeton, New Jersey 1963 [4] S I Gass Linear Programming: Methods and Applications 5th edi New York, 1985 [5] Ilan Adler and Renato D C Monteiro A Geometric View of Parametric Linear Programming., Algorithmica (1992) 8:161-176 45 ... tốn qui hoạch tham số điển hình, thường gặp Đó tốn qui hoạch tuyến tính với hệ số mục tiêu phụ thuộc tuyến tính vào tham số, gọi tắt qui hoạch tuyến tính tham số Qui hoạch tuyến tính tham số nghiên... Chương BÀI TỐN VẬN TẢI THAM SỐ Chương đề cập tới toán vận tải phụ thuộc tham số hàm mục tiêu, trình bày thuật toán vị tham số giải toán vận tải với hệ số mục tiêu phụ thuộc tuyến tính vào tham số. .. tham số Có nhiều dạng tốn phụ thuộc tham số Chẳng hạn, với toán qui hoạch tuyến tính, hệ số mục tiêu hay hệ số vế phải hệ ràng buộc hai phụ thuộc tham số Cũng hệ số biến toán phụ thuộc tham số