các bài toán biên phí tuyến xuất hiện trong khoa học ứng dụng( vật lý. hóa học, cơ học, kỹ thuật...) rất phong phú và đa dạng. đây là nguồn đề tài mà rất nhiều nhà toán học từ trước đến nay quan tâm nghiên cứu
1 PHẦN MỞ ĐẦU Các bài toán biên phi tuyến xuất hiện trong Khoa học ứng dụng ( Vật lý, Hóa học, Cơ học, Kỹ thuật,…) rất phong phú và đa dạng. Đây là nguồn đề tài mà rất nhiều nhà Toán học từ trước đến nay quan tâm nghiên cứu. Hiện nay các công cụ của Giải tích hàm phi tuyến đã xâm nhập vào từng bài toán biên phi tuyến cụ thể ở một mức độ nào đó. Tổng quát, chúng ta không có một phương pháp toán học chung để giải quyết cho mọi bài toán biên phi tuyến. Các yếu tố phi tuyến xuất hiện trong bài toán có ảnh hưởng không nhỏ đến việc chọn lựa các phương pháp toán học để giải quyết. Do đó các bài toán biên phi tuyến ở trên cũng chưa giải hoặc chỉ giải được một phần tương ứng với số hạng phi tuyến cụ thể nào đó. Bởi vậy, tôi cho rằng đề tài nghiên cứu ở đây là cần thiết, có ý nghóa lý luận và thực tiển. Trong luận án nầy chúng tôi muốn sử dụng các phương pháp của Giải tích hàm phi tuyến như: phương pháp Galerkin, phương pháp compact và đơn điệu, phương pháp xấp xỉ tuyến tính liên hệ với các đònh lý điểm bất đọâng, phương pháp khai triển tiệm cận… nhằm khảo sát một số bài toán biên có liên quan đến các vấn đề trong Khoa học ứng dụng. Chẳng hạn như các phương trình sóng phi tuyến liên kết với các loại điều kiện biên khác nhau xuất hiện trong các bài toán mô tả dao độâng của một vật đàn hồi với các ràng buộc phi tuyến ở bề mặt và tại biên, hoặc mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn nhớt tựa trên một nền đàn nhớt. Trong luận án nầy chúng tôi trình bày 3 nội dung tương ứng với 3 bài toán và sẽ được phân bố theo 3 chương chính. Sau đây là phần giới thiệu lần lượt 3 bài toán nói trên. 2 Bài toán thứ nhất đề cập đến phương trình sóng phi tuyến ở một dạng tương đối tổng quát: ),,,,,( txxxtt uuutxfuu =− ,0),1,0( Ttx <<=Ω∈ (0.1) liên kết với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất ⎩ ⎨ ⎧ =+ =− ),(),1(),1( ),(),0(),0( 11 00 tgtuhtu tgtuhtu x x (0.2) và điều kiện đầu ),( ~ )0,(),( ~ )0,( 10 xuxuxuxu t == (0.3) Bài toán nầy có nhiều ý nghóa trong Cơ học, Vật lý học, đã được đề cập nhiều trong các công trình nghiên cứu của nhiều tác giả từ trước đến nay và trong các tài liệu tham khảo trong đó. (xem [1, 2, 8, 9, 11-13, 16, 19, 21, 25, 32, 37, 41, D2]). Phương trình (0.1) với số hạng phi tuyến ),,,,( tx uuutxf có các dạng khác nhau và các dạng điều kiện biên khác nhau đã được khảo sát ở nhiều khía cạnh khác nhau bởi nhiều tác giả. Chẳng hạn, chúng tôi có thể nêu ra như sau: Ficken và Fleishman [16] đã thiết lập kết quả tồn tại, duy nhất và ổn đònh nghiệm của phương trình ,2 3 21 buuuuu txxtt +=−+− εαα 0> ε là tham số bé. (0.4) Rabinowitz [41] đã chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình ),,,,,(2 1 txtxxtt uuutxfuuu εα =+− (0.5) 0> ε là tham số bé và f là hàm tuần hoàn theo thời gian. Trong [8], Caughey và Ellison đã hợp nhất các trường hợp trước đó để bàn về tồn tại, duy nhất và ổn đònh tiệm cận của các nghiệm cổ điển cho một lớp các hệ động lực liên tục phi tuyến. Alain P.N. Đònh [11] và Ortiz, Alain P.N. Đònh [37] đã nghiên cứu sự tồn 3 tại và dáng điệu tiệm cận khi 0→ ε của nghiệm yếu bài toán (0.1), (0.3) liên kết với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất ,0),1(),0( == tutu (0.6) trong đó số hạng phi tuyến có dạng ).,( 1 utff ε = (0.7) Bằng sự tổng quát hóa của [11, 37], trong [12] đã xét bài toán (0.1), (0.3), (0.6) với số hạng phi tuyến có dạng ).,,( 1 t uutff ε = (0.8) Nếu )),0[( 2 1 IRCf N ×∞∈ thỏa 0)0,0,( 1 =tf ,0≥∀t các tác giả trong [12] đã thu được một khai triển tiệm cận của nghiệm bài toán (0.1), (0.3), (0.6), (0.7) đến cấp 1+N theo , ε với ε đủ nhỏ. Kết quả nầy đã nới rộng kết quả từ phương trình vi phân thường sang phương trình đạo hàm riêng (xem[6]). Đối với bài toán giá trò biên và ban đầu (0.1)-(0.3), cũng được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu ở nhiều dạng khác nhau tương ứng với các dạng của số hạng phi tuyến ),,,,( tx uuutxf . Thậm chí điều kiện biên (0.2) có thể được thay thế bởi các dạng điều kiện biên khác phức tạp hơn. Chẳng hạn, chúng tôi có thể kể ra một số trường hợp như sau: Trong [2], Đ.Đ. Áng, Alain P.N. Đònh đã nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất nghiệm toàn cục của bài toán (0.1), (0.3) tương ứng với ,)( 1 ttt uuuff − −== α ,10 << α (0.9) và điều kiện biên .0),1(),(),0( 0 == tutgtu x (0.10) Bài toán (0.1), (0.3), (0.9), (0.10) mô tả chuyển động của một thanh đàn hồi nhớt. Trong [21], N.T. Long, Alain P.N. Đònh đã nới rộng nghiên cứu [2] bằng cách xét bài toán (0.1), (0.3) tương ứng với 4 ),,( t uuff = (0.11) và điều kiện biên ),(),0(),0( 00 tgtuhtu x =− ,0),1( =tu (0.12) mà (0.9) là một trường hợp riêng. Alain P.N. Đònh, N.T. Long trong [13], bằng cách xét bài toán (0.1), (0.3) với và điều kiện biên phi tuyến ),()),0((),0( 0 tgtuHtu x =− ,0),1( =tu (0.13) tương ứng với f có dạng (0.9) hoặc (0.11). Bài toán (0.1), (0.3), (0.11) cũng đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả khác nhau tương ứng với nhiều loại điều kiện biên khác nhau có ý nghóa cơ học nhất đònh, chẳng hạn như Trong [1], N.T. An và N.Đ. Triều và trong [23] N.T. Long, Alain P.N. Dinh đã xét bài toán (0.1), (0.3) với ),( t uuff = liên kết với điều kiện biên ,0),1(),(),0( == tutPtu x (0.14) trong đó ẩn hàm ),( txu và giá trò biên chưa biết )(tP thỏa bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường như sau ),,0()()( 0 2// tuhtPtP tt =+ ω ,0 Tt << (0.15) ,)0(,)0( 1 / 0 PPPP == (0.16) trong đó 10 ,,0,0 PPh ≥> ω là các hằng số cho trước.[1, 23]. Trong [1] đã nghiên cứu một trường hợp đặc biệt của bài toán (0.1), (0.3), (0.14)-(0.16) với 0 ~~ 010 === Puu và ,),( tt uKuuuf λ += (0.17) trong đó λ ,K là các hằng số cho trước. Trong trường hợp nầy bài toán (0.1), (0.3), 5 (0.14) -(0.17) là mô hình toán học mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn nhớt tuyến tính tựa trên một nền cứng [1]. Chú ý rằng từ (0.15), (0.16), )(tP được biểu diễn theo ),0(,,,, 10 tuhPP tt ω và sau đó tích phân từng phần, khi đó )(tP có dạng ,),0()(),0()()( 0 00 ∫ −−+= t dssustktuhtgtP (0.18) trong đó ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = −+−= .sin)( , sin ))0( ~ (cos))0( ~ ()( 0 1010000 thtk t uhPtuhPtg ωω ω ω ω (0.19) Bằng cách khử bớt một ẩn hàm )(tP thì điều kiện biên (0.2) có dạng ,),0()(),0()(),0( 0 00 ∫ −−+= t x dssustktuhtgtu .0),1( = tu (0.20) Trong [5], Bergounioux, N.T. Long, Alain P. N. Đònh đã xét bài toán (0.1), (0.3), (0.17) liên kết với điều kiện biên ,),0()()(),0(),0( 0 00 ∫ −−+= t x dssustktgtuhtu (0.21) ,0),1(),1(),1( 11 =++ tutuhtu tx λ (0.22) trong đó 101 ,,,, hhK λλ là các hằng số không âm. Trong trường hợp nầy, bài toán mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn nhớt tựa trên một nền đàn nhớt với ràng buộc đàn hồi tuyến tính tại bề mặt, các ràng buộc liên kết với một lực cản ma sát nhớt. Trong [9], N.T. Long, T.N. Diễm, đã xét bài toán (0.1)-(0.3) với ,0)()( 10 == tgtg (0.23) và ).),0[]1,0([ 31 IRCf ×+∞×∈ Trong trường hợp nầy, chúng tôi sử dụng một sơ đồ xấp xỉ tuyến tính, kết hợp với phương pháp Galerkin và compact để thiết lập 6 nghiệm yếu của bài toán (0.1) - (0.3), (0.23). Nếu số hạng phi tuyến ),,,,( tx uuutxf trong vế phải của (0.1) được thay bởi ),,,,,(),,,,(),,,,( 10 txtxtx uuutxfuuutxfuuutxf ε += (0.24) với ),),0[]1,0([ 32 0 IRCf ×+∞×∈ )),0[]1,0([ 31 1 IRCf ×+∞×∈ thì chúng tôi thu được trong [9] một khai triển tiệm cận của nghiệm yếu ε u của bài toán (0.1)-(0.3), (0.23), (0.24) đến cấp 2 theo ε như sau: ),( 2 10 εε ε Ouuu ++= với ε đủ nhỏ, theo nghóa , 2 );,0( 10 );,0( 10 21 εεε εε Cuuuuuu LTLHTL ≤−−+−− ∞∞ &&& (0.25) với C là hằng số độc lập với . ε Kết quả nầy đã được công bố trong [9]. Kết quả [9] cũng được nới rộng cho bài toán (0.1)-(0.3) cho trường hợp ,0 0 ≡ / g .0 1 ≡ / g Nếu với ),),0[]1,0([ 31 0 IRCf N ×+∞×∈ + ),),0[]1,0([ 3 1 IRCf N ×+∞×∈ thì chúng tôi thu được một khai triển tiệm cận của nghiệm yếu ε u của bài toán (0.1) - (0.3), (0.24) đến cấp 1+N theo ε như sau: ),( 1 0 + = += ∑ N N i i i Ouu εε ε với ε đủ nhỏ, (0.26) theo nghóa , 1 );,0( 0 );,0( 0 21 + == ≤−+− ∞∞ ∑∑ N LTL N i i i HTL N i i i Cuuuu εεε εε && (0.27) với C là hằng số độc lập với . ε Kết quả nầy đã được công bố trong [D2]. Bài toán thứ hai mà chúng tôi muốn đề cập là bài toán (0.1), (0.3), (0.21), (0.22) với ,),( 22 ttt uuuuKuuf −− += βα λ (0.28) trong đó ,2,2 ≥≥ βα λ ,K là các hằng số không âm cho trước. Trong trường hợp 7 nầy bài toán (0.1), (0.3), (0.21), (0.22), (0.28) là mô hình toán học mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt phi tuyến tựa trên một nền đàn hồi nhớt[1]. Chúng tôi cũng thu được sự tồn tại nghiệm toàn cục của bài toán. Kết quả nầy đã mở rộng kết quả của Bergounioux, N.T. Long, Alain P. N. Đònh [5] với trường hợp .2== βα Mặt khác, nếu ,2== βα chúng tôi cũng thu được tính trơn của nghiệm tùy thuộc vào tính trơn của dữ kiện cũng được khảo sát. Phần cuối của chương nầy chúng tôi chứng minh nghiệm ),( Pu của bài toán (0.1), (0.3), (0.21), (0.22), (0.28) với ,2== βα có được một khai triển tiệm cận cấp 1+N theo theo hai tham số λ ,K như sau: ( ) , 1 22 , 21 21 21 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++= + ≤+ ∑ N N KOKuu λλ γγ γγ γγ (0.29) ( ) , 1 22 , 21 21 21 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++= + ≤+ ∑ N N KOKPP λλ γγ γγ γγ (0.30) theo nghóa ( ) , ),1(),1( 1 22 1 ),0( , );,0( , );,0( , 2 21 21 21 2 21 21 21 1 21 21 21 + ≤+ ≤+≤+ +≤ ⋅−⋅+ −+− ∑ ∑∑ ∞∞ N TL N LTL N HTL N KC Kuu KuuKuu λ λ λλ γγ γγ γγ γγ γγ γγ γγ γγ γγ && && (0.31) và ( ) , 1 22 2 ]),0([ , 21 21 21 + ≤+ +≤− ∞ ∑ N TC N KCKPP λλ γγ γγ γγ (0.32) với 21 , CC là hằng số độc lập với λ ,K . Kết quả thu được ở đây cũng đã mở rộng và chứa đựng các kết quả trong [1, 2, 5, 25] như là trường hợp riêng. Kết quả nầy đã được công bố trong [D3]. 8 Bài toán thứ ba mà chúng tôi muốn đề cập là phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff-Carrier ),,,,,()( 2 ttt uuutxfuuBu ∇=Δ∇− ,0, Ttx <<Ω∈ (0.33) 0=u trên ,Ω∂ (0.34) ),( ~ )0,( 0 xuxu = ),( ~ )0,( 1 xuxu t = (0.35) trong đó, số hạng phi tuyến )( 2 uB ∇ là một hàm phụ thuộc vào tích phân ∫ ∑ ∫ Ω = Ω ∂ ∂ =∇=∇ .),(),()( 1 2 22 N i i dxtx x u dxtxutu (0.36) Phương trình (0.33) được tổng quát hoá từ phương trình mô tả dao động phi tuyến của một dây đàn hồi ,),( 2 0 2 0 xx L tt udyty y u L Eh Puh ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ += ∫ ρ ,0,0 TtLx <<<< (0.37) ở đây u là độ võng, ρ khối lượng riêng, h là thiết diện, L là chiều dài sợi dây ở trạng thái ban đầu, E là môđun Young và 0 P lực căng lúc ban đầu. Xem[18, Kirchhoff]. Về nguồn gốc của phương trình (0.37), chúng tôi đã tìm được một bài báo đã công bố năm 1876 của Kirchhoff [18] thì đúng là Kirchhoff đã thiết lập phương trình mô tả dao động phi tuyến của một dây đàn hồi có dạng (0.37). Trong khi đó chúng tôi cũng tìm được một bài báo [7] đã công bố năm 1945 của Carrier [7] thì phương trình không phải thuộc dạng (0.37), mà là dạng ,),( 0 2 10 xx L tt udytyuPPu ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ += ∫ ,0,0 TtLx <<<< (0.38) trong đó 10 , PP là các hằng số dương. Tuy vậy trong nhiều tài liệu sau nầy[15, 17, 27, 34, 44, D1] vẫn gọi (0.37) là phương trình sóng chứa toán tử Carrier hoặc ghép tên chung và gọi là phương trình sóng chứa toán tử Kirchhoff-Carrier. 9 Khi ,0= f bài toán Cauchy hay hỗn hợp cho phương trình (0.33) đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả; chẳng hạn như: + Ebihara, Medeiros và Miranda[15]; + Pohozaev[38]; + Yamada[44]; + Medeiros [34] đã nghiên cứu bài toán (0.33) - (0.35) với , 2 buf −= trong đó b là hằng số dương cho trước, Ω là một tập mở bò chận của , 3 IR và các tài liệu tham khảo ở đó. Gần đây một bài báo tổng quan các kết quả về khía cạnh toán học liên quan đến mô hình Kirchhoff có thể tìm thấy trong [35, 36] bởi L.A. Medeiros, J. Limaco, S.B. Menezes, và [43] bởi T.N. Rabello, M.C.C. Vieira, C.L. Frota, L.A. Medeiros. + Hosoya và Yamada[17] đã xét (0.33) với ,)( uuuff α δ −== trong đó ,0> δ 0≥ α là các hằng số dương cho trước; + Dmitriyeva[10] nghiên cứu bài toán hai chiều ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ == Ω∂= ∂ ∂ = <<×∈ =+Δ∇−Δ+ ∑ = ),( ~ )0,(),( ~ )0,( ,0 ,0),,0(),0( ),,( 10 2 1 2 2 2 2 xuxuxuxu x u u Ttx txFuuuuu t i i i ttt trên ν ππ ελ (0.39) trong đó, ν là pháp tuyến đơn vò trên biên Ω∂ hướng ra ngoài, ),,cos( ii ox νν = ,6/ 22 h πλ = với ε ,h là các hằng số dương. Trong trường hợp nầy, bài toán mô tả dao động phi tuyến của một bản hình vuông có tải trọng tónh. + N.T. Long và các tác giả [22] đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán 10 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ == Ω∂= ∂ ∂ = ×Ω∈=+Δ∇−Δ+ − ),( ~ )0,(),( ~ )0,( ,,0 ),,0(),(),,()( 10 12 2 xuxuxuxu u u TtxtxFuuuuBuu t tttt trên ν ελ α (0.40) trong đó 10,0,0 <<>> αελ là các hằng số cho trước. + Bằng sự tổng quát hoá của [22], N.T. Long và T.M. Thuyết [24] đã nghiên cứu bài toán ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ == Ω∂= ∂ ∂ = ×Ω∈=+Δ∇−Δ+ ),( ~ )0,(),( ~ )0,( ,,0 ),,0(),(),,(),()( 10 2 2 xuxuxuxu u u TtxtxFuufuuBuu t ttt trên ν λ (0.41) Trong [D1], chúng tôi đã dùng phương pháp xấp xỉ tuyến tính để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ == == <<=Ω∈=− ),( ~ )0,(),( ~ )0,( ,0),1(),0( ,0),1,0(),,,,,()( 10 2 xuxuxuxu tutu TtxuuutxfuuBu t txxxxtt (0.42) trong đó ),1,0( ~ ),1,0( ~ 1 1 2 0 HuHu ∈∈ ,0),( 0 1 >≥∈ + bBIRCB ),),0[]1,0([ 30 IRCf ×∞×∈ thỏa điều kiện )),0[]1,0([,,, 30 IRC u f u f u f x f x ×∞×∈ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ & và một số điều kiện phụ. Điều nầy không cần phải giả thiết )),0[]1,0([ 31 IRCf ×∞×∈ như một số các công trình trước đó đã làm, chẳng hạn như [9, 12]. Sau đó, nếu ),(),( 1 1 2 0 ++ ∈∈ IRCBIRCB ,0,0 100 ≥>≥ BbB ),),0[]1,0[( 32 0 IRCf ×∞×∈ 1 1 Cf ∈ ),),0[]1,0([ 3 IR×∞× và một số điều kiện phụ cho ,, 10 ff chúng tôi thu được từ bài toán bò nhiễu [...]... Trong phần này, ta sẽ thiết lập một đònh lý tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (0.44) – (0.46) bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với phương pháp Galerkin và phương pháp compact yếu Các kết quả của phần nầy tổng quát hóa các kết quả trong [9,11, 12, 37] và đã được công bố trong [D2] Ta cũng lưu ý rằng phương pháp tuyến tính hoá được sử dụng ở đây không áp dụng được cho [13, 14, 21, 22]... này, bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với phương pháp Galerkin và phương pháp compact yếu, chúng tôi thu được đònh lý tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (0.56)–(0.59), sau đó, nếu B0 ∈ C 2 ( IR+ ), B1 ∈ C 1 ( IR+ ), B0 ≥ b0 > 0, B1 ≥ 0, f 0 ∈ C 2 ( [0,1] × [0, ∞) × IR 3 ), f1 ∈ C 1 ([0,1] × [0, ∞) × IR 3 ) và một số điều kiện phụ cho f 0 , f1 , chúng tôi thu được từ bài toán bò nhiễu... như (0.31), (0.32) Một phần kết quả chương nầy đã mở rộng kết quả trong [5] và được công bố trong [D3] Chương 4: Khảo sát phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff-Carrier 2 utt − B( ∇u )Δu = f ( x, t , u, ∇u, ut ), x ∈ Ω = (0,1), 0 < t < T , u (0, t ) = u (1, t ) = 0, ~ ~ u ( x,0) = u 0 ( x), u t ( x,0) = u1 ( x), 2 trong đó, B( ∇u ) là số hạng phi tuyến ở vế trái phụ thuộc vào tích phân (0.56)... toàn cục của bài toán cho trường hợp phi tuyến( α ≥ 2, β ≥ 2 ) Trong trường hợp α = β = 2, chúng tôi cũng thu được tính trơn của nghiệm tùy thuộc vào tính trơn của dữ kiện f , k , g , u 0 , u1 cũng được khảo sát Phần cuối của chương nầy chúng tôi vẫn với α = β = 2, chúng tôi chứng minh rằng nghiệm (u , P) của bài toán (0.51)- (0.55) có một khai triển tiệm cận đến cấp N + 1 theo theo hai tham số K , λ và... tôi trình bày một kết quả về lý thuyết phổ được áp dụng trong nhiều bài toán biên 17 Trước hết ta thiết lập các giả thiết sau: Cho V và H là hai không gian Hilbert thực thỏa các điều kiện (i) Phép nhúng V ↪ H là compact, (3) (ii) V trù mật trong H Cho a : V × V → IR là một dạng song tuyến tính đối xứng, liên tục trên V × V cưỡng bức trên V và (4) Chính xác hơn, ta gọi a là một dạng song tuyến tính:... khảo sát phương trình sóng phi tuyến thuộc dạng: u tt − u xx = f ( x, t , u , u x , u t ), x ∈ Ω = (0,1), 0 < t < T , (0.44) liên kết với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất u x (0, t ) − h0 u (0, t ) = g 0 (t ), u x (1, t ) + h1u (1, t ) = g1 (t ), và điều kiện đầu (0.45) 12 ~ ~ u ( x,0) = u 0 ( x), u t ( x,0) = u1 ( x), (0.46) với h0 , h1 là các hằng số không âm cho trước, số hạng phi tuyến f... trình của tác giả luận án và tài liệu tham khảo Phần mở đầu nhằm giới thiệu tổng quát về các bài toán trong luận án và nêu ra các kết quả trước đó, đồng thời giới thiệu tóm tắt nội dung chính trong các chương tiếp theo Chương 0 nhằm giới thiệu một số kết quả chuẩn bò, các ký hiệu và các không gian hàm thông dụng Một số kết quả về phép nhúng compact cũng được nhắc lại ở đây Ba chương chính của luận án bao... khai triển tiệm cận của nghiệm yếu bài toán (0.47)- (0.50) đến cấp N + 1 theo tham số bé ε như sau N uε = ∑ ε i u i + O(ε N +1 ) i =0 theo nghóa N uε − ∑ ε i u i i =0 N L∞ ( 0 ,T ; H 1 ) & & + uε − ∑ ε i u i i =0 ≤ Cε N +1 L∞ ( 0 ,T ; L2 ) Kết quả phần nầy đã mở rộng kết quả trong [6, 9,11, 12] và đã được công bố trong [D2] 13 Chương 3: Khảo sát phương trình sóng phi tuyến thuộc dạng: utt − u xx + F... ), ( x, t ), 2 ( x, t ), theo thứ tự ( x, t ), ∂x ∂t ∂t 2 ∂x 0.2 Một số công cụ thường sử dụng Cho ba không gian Banach B0 , B, B1 với B0 ⊂ B ⊂ B1 , B0 , B1 phản xạ (1) B0 ↪ B với phép nhúng compact (2) Ta đònh nghóa W = {v ∈ L p0 (0, T ; B0 ) : dv = v / ∈ L p1 (0, T ; B1 )}, dt trong đó 0 < T < ∞, 1 ≤ pi ≤ ∞ , i = 0,1 Trang bò trên W một chuẩn như sau: v = v W L p0 ( 0 ,T ; B0 ) + v/ L p1 ( 0 ,T ;... Toán- Tin học, Đại học Sư Phạm Tp HCM, 22/12/2000 - Hội Nghò Khoa học, Khoa Toán- Tin học, Đại học Sư Phạm Tp HCM, 21-22/ 12/2002 15 Chương 0 MỘT SỐ CÔNG CỤ CHUẨN BỊ 0.1 Các ký hiệu về không gian hàm Chúng ta bỏ qua đònh nghóa các không gian hàm thông dụng (xem [4]) và sử dụng các ký hiệu gọn lại như sau: W m, p = W m, p (Ω), W m, 2 = H m = H m (Ω) W 0, p = L p = L p (Ω), Ω = (0,1), m m H 0 = H 0 (Ω), C m . tôi muốn sử dụng các phương pháp của Giải tích hàm phi tuyến như: phương pháp Galerkin, phương pháp compact và đơn điệu, phương pháp xấp xỉ tuyến tính. thể ở một mức độ nào đó. Tổng quát, chúng ta không có một phương pháp toán học chung để giải quyết cho mọi bài toán biên phi tuyến. Các yếu tố phi tuyến