phần mở đâu luận án sử dụng phương pháp xấp xỉ galerkin vào 1 số bài toán biên phi tuyến

phần mở đầu luận án sử dụng phương pháp xấp xỉ galerkin vào 1 số bài toán biên phi tuyến

PHẦN MỞ ĐẦU Các bài toán biên phi tuyến xuất hiện trong Khoa học ứng dụng ( Vật lý, Hóa học, Cơ học, Kỹ thuật,…) rất phong phú và đa dạng Đây là nguồn đề tài mà rất nhiều nhà Toán học từ trước đến nay quan tâm nghiên cứu Hiện nay các công cụ của Giải tích hàm phi tuyến đã xâm nhập vào từng bài toán biên phi tuyến cụ thể ở một mức độ nào đó Tổng quát, chúng ta không có một phương pháp toán học chung để giải quyết cho mọi bài toán biên phi tuyến Các yếu tố phi tuyến xuất hiện trong bài toán có ảnh hưởng không nhỏ đến việc chọn lựa các phương pháp toán học để giải quyết Do đó các bài toán biên phi tuyến ở trên cũng chưa giải hoặc chỉ giải được một phần tương ứng với số hạng phi tuyến cụ thể nào đó Bởi vậy, tôi cho rằng đề tài nghiên cứu ở đây là cần thiết, có ý nghĩa lý luận và thực tiển

Trong luận án nầy chúng tôi muốn sử dụng các phương pháp của Giải tích hàm phi tuyến như: phương pháp Galerkin, phương pháp compact và đơn điệu, phương pháp xấp xỉ tuyến tính liên hệ với các định lý điểm bất đọâng, phương pháp khai triển tiệm cận… nhằm khảo sát một số bài toán biên có liên quan đến các vấn đề trong Khoa học ứng dụng Chẳng hạn như các phương trình sóng phi tuyến liên kết với các loại điều kiện biên khác nhau xuất hiện trong các bài toán mô tả dao độâng của một vật đàn hồi với các ràng buộc phi tuyến ở bề mặt và tại biên, hoặc mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn nhớt tựa trên một nền đàn nhớt

Trong luận án nầy chúng tôi trình bày 3 nội dung tương ứng với 3 bài toán và sẽ được phân bố theo 3 chương chính Sau đây là phần giới thiệu lần lượt 3 bài toán nói trên

Bài toán thứ nhất đề cập đến phương trình sóng phi tuyến ở một dạng

tương đối tổng quát:

), , , , ,

xx

u − = x∈Ω=(0,1),0<t<T, (0.1) liên kết với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất

⎩

⎨

⎧

= +

=

−

), ( ) , 1 ( ) , 1 (

), ( ) , 0 ( ) , 0 (

1 1

0 0

t g t u h t u

t g t u h t u x

và điều kiện đầu

), (

~ ) 0 , ( ), (

~ ) 0 , (x u0 x u x u1 x

u = t = (0.3) Bài toán nầy có nhiều ý nghĩa trong Cơ học, Vật lý học, đã được đề cập

nhiều trong các công trình nghiên cứu của nhiều tác giả từ trước đến nay và trong

các tài liệu tham khảo trong đó (xem [1, 2, 8, 9, 11-13, 16, 19, 21, 25, 32, 37, 41,

D2]) Phương trình (0.1) với số hạng phi tuyến f(x,t,u,u x,u t) có các dạng khác

nhau và các dạng điều kiện biên khác nhau đã được khảo sát ở nhiều khía cạnh

khác nhau bởi nhiều tác giả Chẳng hạn, chúng tôi có thể nêu ra như sau:

Ficken và Fleishman [16] đã thiết lập kết quả tồn tại, duy nhất và ổn định

nghiệm của phương trình

2

u

u tt − xx + α t −α =ε + ε > 0 là tham số bé (0.4)

Rabinowitz [41] đã chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương

trình

0

>

ε là tham số bé và f là hàm tuần hoàn theo thời gian

Trong [8], Caughey và Ellison đã hợp nhất các trường hợp trước đó để bàn về tồn

tại, duy nhất và ổn định tiệm cận của các nghiệm cổ điển cho một lớp các hệ

động lực liên tục phi tuyến

Alain P.N Định [11] và Ortiz, Alain P.N Định [37] đã nghiên cứu sự tồn

tại và dáng điệu tiệm cận khi ε → 0 của nghiệm yếu bài toán (0.1), (0.3) liên kết với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất

, 0 ) , 1 ( ) , 0 ( t =u t =

trong đó số hạng phi tuyến có dạng

Bằng sự tổng quát hóa của [11, 37], trong [12] đã xét bài toán (0.1), (0.3), (0.6) với số hạng phi tuyến có dạng

).

, , (

1 t u u t f

f ∈ N ∞ × thỏa f1(t, 0 , 0 ) = 0 ∀t≥ 0 , các tác giả trong [12] đã thu được một khai triển tiệm cận của nghiệm bài toán (0.1), (0.3), (0.6), (0.7) đến cấp 1

+

N theo ε, với ε đủ nhỏ Kết quả nầy đã nới rộng kết quả từ phương trình vi phân thường sang phương trình đạo hàm riêng (xem[6])

Đối với bài toán giá trị biên và ban đầu (0.1)-(0.3), cũng được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu ở nhiều dạng khác nhau tương ứng với các dạng của số hạng phi tuyến f(x,t,u,u x,u t) Thậm chí điều kiện biên (0.2) có thể được thay thế bởi các dạng điều kiện biên khác phức tạp hơn Chẳng hạn, chúng tôi có thể kể ra một số trường hợp như sau:

Trong [2], Đ.Đ Áng, Alain P.N Định đã nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất nghiệm toàn cục của bài toán (0.1), (0.3) tương ứng với

, )

(u t u t 1u t f

f = = − α− 0 <α< 1 , (0.9) và điều kiện biên

0 ) , 1 ( ), ( ) , 0 ( t = g0 t u t =

Bài toán (0.1), (0.3), (0.9), (0.10) mô tả chuyển động của một thanh đàn hồi nhớt

Trong [21], N.T Long, Alain P.N Định đã nới rộng nghiên cứu [2] bằng cách xét bài toán (0.1), (0.3) tương ứng với

), , (u u t f

và điều kiện biên

), ( ) , 0 ( ) , 0 ( t h0u t g0 t

mà (0.9) là một trường hợp riêng

Alain P.N Định, N.T Long trong [13], bằng cách xét bài toán (0.1), (0.3) với và điều kiện biên phi tuyến

), ( )) , 0 ( ( )

,

0

( t H u t g0 t

tương ứng với f có dạng (0.9) hoặc (0.11)

Bài toán (0.1), (0.3), (0.11) cũng đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả khác nhau tương ứng với nhiều loại điều kiện biên khác nhau có ý nghĩa cơ học nhất định, chẳng hạn như

Trong [1], N.T An và N.Đ Triều và trong [23] N.T Long, Alain P.N Dinh đã xét bài toán (0.1), (0.3) với f = f(u,u t) liên kết với điều kiện biên

, 0 ) , 1 ( ), ( ) , 0 ( t =P t u t =

trong đó ẩn hàm u ( t x, ) và giá trị biên chưa biết P (t) thỏa bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường như sau

), , 0 ( )

( )

//

t u h t P t

P +ω = tt 0<t<T, (0.15)

, ) 0 ( , ) 0

P

trong đó ω> 0 , h≥ 0 , P0, P1 là các hằng số cho trước.[1, 23]

Trong [1] đã nghiên cứu một trường hợp đặc biệt của bài toán (0.1), (0.3), (0.14)-(0.16) với ~u0 =u~1 =P0 = 0 và

, )

, (u u t Ku u t

trong đóK,λ là các hằng số cho trước Trong trường hợp nầy bài toán (0.1), (0.3),

(0.14) -(0.17) là mô hình toán học mô tả sự va chạm của một vật rắn và một

thanh đàn nhớt tuyến tính tựa trên một nền cứng [1]

Chú ý rằng từ (0.15), (0.16), P (t) được biểu diễn theo P0, P1,ω,h,u tt( 0 ,t) và

sau đó tích phân từng phần, khi đó P (t) có dạng

( ) ( ) ( 0 , ) ( ) ( 0 , ) ,

0 0

=

t

ds s u s t k t u h t g t

trong đó

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

− +

−

=

sin )

(

,

sin )) 0 (

~ (

cos )) 0 (

~ (

) (

0

1 0 1 0

0 0 0

t h

t k

t u

h P t u

h P t g

ω

ω

Bằng cách khử bớt một ẩn hàm P (t) thì điều kiện biên (0.2) có dạng

( 0 , ) ( ) ( 0 , ) ( ) ( 0 , ) ,

0 0

Trong [5], Bergounioux, N.T Long, Alain P N Định đã xét bài toán (0.1),

(0.3), (0.17) liên kết với điều kiện biên

( 0 , ) ( 0 , ) ( ) ( ) ( 0 , ) ,

0 0

u x( 1 ,t) +h1u( 1 ,t) +λ1u t( 1 ,t) = 0 , (0.22)

trong đó K,λ,λ1,h0,h1 là các hằng số không âm Trong trường hợp nầy, bài toán

mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn nhớt tựa trên một nền đàn

nhớt với ràng buộc đàn hồi tuyến tính tại bề mặt, các ràng buộc liên kết với một

lực cản ma sát nhớt

Trong [9], N.T Long, T.N Diễm, đã xét bài toán (0.1)-(0.3) với

, 0 ) ( )

và f ∈C1([ 0 , 1 ] × [ 0 , +∞ ) ×IR3). Trong trường hợp nầy, chúng tôi sử dụng một sơ đồ

xấp xỉ tuyến tính, kết hợp với phương pháp Galerkin và compact để thiết lập

nghiệm yếu của bài toán (0.1) - (0.3), (0.23) Nếu số hạng phi tuyến

)

,

,

,

,

(x t u u x u t

f trong vế phải của (0.1) được thay bởi

), , , , , ( ) , , , , ( ) , , , , (x t u u x u t f0 x t u u x u t f1 x t u u x u t

với 2 ([ 0 , 1 ] [ 0 , ) 3 ),

f ∈ × +∞ × thì chúng tôi thu được trong [9] một khai triển tiệm cận của nghiệm yếu uεcủa bài toán (0.1)-(0.3), (0.23), (0.24) đến cấp 2 theo ε như sau:

), ( 2 1

u = + + với ε đủ nhỏ, theo nghĩa

,

2 )

; , 0 ( 1 0 )

; , 0 ( 1

u − − L∞ T H + & − & − & L∞ T L ≤ (0.25) với C là hằng số độc lập với ε. Kết quả nầy đã được công bố trong [9]

Kết quả [9] cũng được nới rộng cho bài toán (0.1)-(0.3) cho trường hợp g0 ≡/ 0 ,

0

1 ≡/

g Nếu với 1([0,1] [0, ) 3),

f ∈ N+ × +∞ × ([ 0 , 1 ] [ 0 , ) 3 ),

tôi thu được một khai triển tiệm cận của nghiệm yếu uεcủa bài toán (0.1) - (0.3), (0.24) đến cấp N+ 1 theoε như sau:

), ( 1 0

+

=

+

i i i O u

theo nghĩa

,

1 )

; , 0 ( 0

)

; , 0 (

+

=

=

≤

− +

−

∞

L T L

N

i i i

H T L

N

i i

với C là hằng số độc lập với ε. Kết quả nầy đã được công bố trong [D2]

Bài toán thứ hai mà chúng tôi muốn đề cập là bài toán (0.1), (0.3), (0.21), (0.22) với

, )

, (u u t K u 2u u t 2u t

trong đó α ≥ 2 ,β ≥ 2 , K,λ là các hằng số không âm cho trước Trong trường hợp

nầy bài toán (0.1), (0.3), (0.21), (0.22), (0.28) là mô hình toán học mô tả sự va

chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt phi tuyến tựa trên một nền đàn

hồi nhớt[1] Chúng tôi cũng thu được sự tồn tại nghiệm toàn cục của bài toán

Kết quả nầy đã mở rộng kết quả của Bergounioux, N.T Long, Alain P N Định

[5] với trường hợp α =β =2 Mặt khác, nếu α= β =2, chúng tôi cũng thu được

tính trơn của nghiệm tùy thuộc vào tính trơn của dữ kiện cũng được khảo sát

Phần cuối của chương nầy chúng tôi chứng minh nghiệm( P u, ) của bài toán (0.1),

(0.3), (0.21), (0.22), (0.28) vớiα =β = 2 , có được một khai triển tiệm cận cấp

1

+

N theo theo hai tham số K,λ như sau:

1 2 1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

+

≤

N

K O K

u

γ γ γ γ

(0.29)

1 2 1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

+

≤

N

K O K

P

γ γ γ γ

(0.30) theo nghĩa

) , 1 ( )

, 1 (

1 2 2 1

) , 0 ( ,

)

; , 0 (

, )

; , 0 ( ,

2

2 1 2

1 2 1

2

2 1 2 1 2 1 1

2 1 2 1 2 1

+

≤ +

≤ +

≤ +

+

≤

⋅

−

⋅ +

− +

−

∑

∑

∑

∞

∞

N

T L N

L T L N

H T L N

K C

K u

u

K u u

K u u

λ

λ

λ λ

γ γ γ

γ γ γ

γ γ γ γ γ γ

γ γ γ γ γ

γ

&

&

&

&

và

2 ]) , 0 ([

1 2 1

+

≤ +

+

≤

−

∞

T C N

K C K

P

γ γ γ γ

(0.32)

với C1, C2 là hằng số độc lập với K,λ Kết quả thu được ở đây cũng đã mở rộng

và chứa đựng các kết quả trong [1, 2, 5, 25] như là trường hợp riêng Kết quả nầy

đã được công bố trong [D3]

Bài toán thứ ba mà chúng tôi muốn đề cập là phương trình sóng phi tuyến

chứa toán tử Kirchhoff-Carrier

), , , , , ( )

0

=

), (

~ ) 0 , (x u0 x

u = u t(x, 0 ) =u~1(x), (0.35) trong đó, số hạng phi tuyến B( ∇u 2) là một hàm phụ thuộc vào tích phân

∫∑

∫

Ω =

∂

=

∇

=

1

2 2

dx t x x

u dx

t x u t

Phương trình (0.33) được tổng quát hoá từ phương trình mô tả dao động phi

tuyến của một dây đàn hồi

2 0

2

L

y

u L

Eh P u

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

∂

∂ +

ρ 0 <x< L, 0 <t<T, (0.37)

ở đây u là độ võng,ρ khối lượng riêng, h là thiết diện, L là chiều dài sợi dây ở

trạng thái ban đầu, E là môđun Young và P0 lực căng lúc ban đầu Xem[18,

Kirchhoff]

Về nguồn gốc của phương trình (0.37), chúng tôi đã tìm được một bài báo

đã công bố năm 1876 của Kirchhoff [18] thì đúng là Kirchhoff đã thiết lập

phương trình mô tả dao động phi tuyến của một dây đàn hồi có dạng (0.37)

Trong khi đó chúng tôi cũng tìm được một bài báo [7] đã công bố năm 1945 của

Carrier [7] thì phương trình không phải thuộc dạng (0.37), mà là dạng

, )

, (

0

2 1

L

u =⎜⎜⎝⎛ + ∫ ⎟⎟⎠⎞ 0< x<L, 0<t<T, (0.38)

trong đó P0, P1 là các hằng số dương Tuy vậy trong nhiều tài liệu sau nầy[15, 17,

27, 34, 44, D1] vẫn gọi (0.37) là phương trình sóng chứa toán tử Carrier hoặc

ghép tên chung và gọi là phương trình sóng chứa toán tử Kirchhoff-Carrier

Khi f =0, bài toán Cauchy hay hỗn hợp cho phương trình (0.33) đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả; chẳng hạn như:

+ Ebihara, Medeiros và Miranda[15];

+ Pohozaev[38];

+ Yamada[44];

+ Medeiros [34] đã nghiên cứu bài toán (0.33) - (0.35) với 2 ,

bu

f = − trong đó b là hằng số dương cho trước, Ω là một tập mở bị chận của 3 ,

IR và các tài liệu tham khảo ở đó Gần đây một bài báo tổng quan các kết quả về khía cạnh toán học liên quan đến mô hình Kirchhoff có thể tìm thấy trong [35, 36] bởi L.A Medeiros, J Limaco, S.B Menezes, và [43] bởi T.N Rabello, M.C.C Vieira, C.L Frota, L.A Medeiros

+ Hosoya và Yamada[17] đã xét (0.33) với f = f(u) = −δ uαu, trong đó ,

0

>

δ α ≥ 0 là các hằng số dương cho trước;

+ Dmitriyeva[10] nghiên cứu bài toán hai chiều

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

=

=

Ω

∂

=

∂

∂

=

<

<

×

∈

= + Δ

∇

− Δ +

∑

=

), (

~ ) 0 , ( ), (

~ ) 0 , (

, 0

, 0

), , 0 ( ) , 0 (

), , (

1 0

2

2

2 2

x u x u x u x u

x

u u

T t x

t x F u u u u u

t i

i i

t tt

trên ν

π π

ε λ

trong đó, ν là pháp tuyến đơn vị trên biên ∂ Ω hướng ra ngoài, νi = cos(ν,ox i),

,

6

/

2

2

h

π

λ = với h,ε là các hằng số dương Trong trường hợp nầy, bài toán mô tả dao động phi tuyến của một bản hình vuông có tải trọng tĩnh

+ N.T Long và các tác giả [22] đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

=

=

Ω

∂

=

∂

∂

=

× Ω

∈

= +

Δ

∇

− Δ

), (

~ ) 0 , ( ), (

~ )

0

,

(

, ,

0

), , 0 ( ) , ( ), , ( )

(

1 0

1 2

2

x u x u x u x

u

u

u

T t

x t x F u u u u B u u

t

t t tt

trên ν

ε

(0.40)

trong đó λ >0,ε >0,0<α<1 là các hằng số cho trước

+ Bằng sự tổng quát hoá của [22], N.T Long và T.M Thuyết [24] đã nghiên cứu bài toán

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

=

=

Ω

∂

=

∂

∂

=

× Ω

∈

= +

Δ

∇

− Δ +

), (

~ ) 0 , ( ), (

~ ) 0 , (

, ,

0

), , 0 ( ) , ( ), , ( ) , ( )

(

1 0

2 2

x u x u x u x u

u u

T t

x t x F u u f u u B u u

t

t tt

trên ν

λ

(0.41)

Trong [D1], chúng tôi đã dùng phương pháp xấp xỉ tuyến tính để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

=

<

<

= Ω

∈

=

−

), (

~ ) 0 , ( ), (

~ ) 0 , (

, 0 ) , 1 ( ) , 0 (

, 0

), 1 , 0 ( ),

, , , , ( )

(

1 0

2

x u x u x u x u

t u t u

T t x

u u u t x f u u B u

t

t x xx

x tt

(0.42)

trong đó ~ ( 0 , 1 ),~ 1 ( 0 , 1 ),

1

2

IR C

thỏa điều kiện , , , C0 ([ 0 , 1 ] [ 0 , ) IR3 )

u

f u

f u

f x

f

x

×

∞

×

∈

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

& và một số điều kiện phụ Điều nầy không cần phải giả thiết 1 ([ 0 , 1 ] [ 0 , ) 3 )

IR C

f ∈ × ∞ × như một số các công trình trước đó đã làm, chẳng hạn như [9, 12] Sau đó, nếu

), ( ),

1

2

), )

,

0

[

]

1

,

0

IR

×

∞

× và một số điều kiện phụ cho f0,f1, chúng tôi thu được từ bài toán bị nhiễu

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

=

=

=

=

<

<

= Ω

∈ +

= +

−

), (

~ ) 0 , ( ), (

~ ) 0 , (

, 0 ) , 1 ( ) , 0 (

, 0

), 1 , 0 ( ),

, , , , (

) , , , , ( ]

( ) ( [

1 0

1

0

2 1

2 0

x u x u x u x u

t u t u

T t x

u u u t x f

u u u t x f u u B u

B u

t

t x

t x xx

x x

tt

ε

ε

(0.43)

một nghiệm yếu uε( t x, ) có khai triển tiệm cận đến cấp 2 theo ε, với ε đủ nhỏ,

)

; , 0 ( 1 0 )

; , 0 ( 1

u

L T L H

T

−

− ∞ & & & ∞ với C là hằng số độc lập với ε. Kết quả nầy đã được công bố trong [D1] Mặt khác kết quả nầy cũng

được phát triển và quan tâm theo nhiều khía cạnh khác nhau, xem[27-30, 32, 33,

39, 40, 43]

Nội dung của luận án bao gồm phần mở đầu, chương bổ túc công cụ

(chương 0), 3 chương chính (chương 1-3), chương kết luận, cuối cùng là danh mục

các công trình của tác giả luận án và tài liệu tham khảo

Phần mở đầu nhằm giới thiệu tổng quát về các bài toán trong luận án và nêu ra

các kết quả trước đó, đồng thời giới thiệu tóm tắt nội dung chính trong các

chương tiếp theo

Chương 0 nhằm giới thiệu một số kết quả chuẩn bị, các ký hiệu và các không

gian hàm thông dụng Một số kết quả về phép nhúng compact cũng được nhắc lại

ở đây

Ba chương chính của luận án bao gồm

Chương 1: Chương này được chia làm hai phần chính

Phần 1: Trong phần này chúng tôi khảo sát phương trình sóng phi tuyến

thuộc dạng:

), , , , ,

xx

liên kết với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất

), ( ) , 0 ( ) , 0 ( t h0u t g0 t

và điều kiện đầu