Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (tt)

Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (tt)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (tt)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (tt)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (tt)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (tt)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (tt)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (tt)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (tt)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (tt)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (tt)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (tt)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (tt)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ & QTKD

BÁO CÁO TÓM TẮT

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC

PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN ĐIỆU GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN

Mã số: ĐH2015-TN08-09

Chủ nhiệm đề tài: ThS NGÔ THỊ KIM QUY

THÁI NGUYÊN, NĂM 2018

s

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ & QTKD

BÁO CÁO TÓM TẮT

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC

PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN ĐIỆU GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN

Mã số: ĐH2015-TN08-09

Xác nhận của cơ quan chủ trì đề tài Chủ nhiệm đề tài

ThS Ngô Thị Kim Quy

THÁI NGUYÊN, NĂM 2018

DANH SÁCH CÁC THÀNH VIÊN THAM GIA ĐỀ TÀI

ĐƠN VỊ PHỐI HỢP CHÍNH

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Một số kiến thức bổ trợ 4

1.1 Phương pháp lặp đơn điệu sử dụng nguyên lý cực đại đối với một số phương trình eliptic 4

1.2 Phương pháp sai phân hữu hạn và nguyên lý cực đại đối với phương trình sai phân 4

1.3 Một số định lý điểm bất động 5

1.4 Hàm Green đối với một số bài toán 5

Chương 2 Phương pháp lặp giải một số bài toán biên phi tuyến đối với phương trình vi phân thường cấp bốn 6

2.1 Phương pháp lặp mức liên tục giải một số bài toán biên đối với phương trình vi phân thường cấp bốn 6

2.2 Nghiên cứu sự hội tụ và tính đơn điệu của lời giải số 9

Chương 3 Phương pháp lặp giải một số bài toán biên phi tuyến đối với phương trình đạo hàm riêng cấp bốn 10

3.1 Phương pháp lặp mức liên tục giải một số bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng cấp bốn 11

3.1.1 Bài toán tuyến tính đối với phương trình đạo hàm riêng 11

3.1.2 Bài toán phi tuyến đối với phương trình đạo hàm riêng 12

3.2 Nghiên cứu sự hội tụ của lời giải số 14

Kết luận chung 15

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

1 Thông tin chung

Tên đề tài: Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phituyến

Mã số: ĐH2015–TN08–09

Chủ nhiệm đề tài: ThS Ngô Thị Kim Quy

Tổ chức chủ trì: Trường Đại học Kinh tế và QTKD - Đại học Thái NguyênThời gian thực hiện: 24 tháng (từ tháng 9/2015 đến tháng 9/2017)

2 Mục tiêu

Mục tiêu của đề tài là sử dụng phương pháp lặp đơn điệu hoặc kết hợp nó vớicác phương pháp khác để thiết lập định tính và đặc biệt là phương pháp giải sốmột số bài toán đối với phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàmriêng cấp bốn phát sinh từ các lĩnh vực cơ học, vật lý

3 Tính mới và sáng tạo

Trong đề tài chúng tôi đưa ra phương pháp khác khi nghiên cứu tính giải được

và phương pháp lặp giải bài toán biên phi tuyến, trong đó, thiết lập được sựtồn tại duy nhất nghiệm và một số tính chất đối với nghiệm của các bài toándưới các điều kiện dễ kiểm tra; đề xuất phương pháp lặp giải bài toán và chứngminh sự hội tụ của phương pháp; đưa ra một số ví dụ minh họa cho khả năngứng dụng của các kết quả lý thuyết

4 Kết quả nghiên cứu

- Nghiên cứu phương pháp lặp giải một số phương trình vi phân thường phituyến và phương trình đạo hàm riêng cấp bốn

- Thiết lập được sự tồn tại duy nhất nghiệm và xây dựng phương pháp số hữuhiệu giải một số bài toán biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấpbốn Các điều kiện đặt ra để đảm bảo sự tồn tại, duy nhất nghiệm và sự hội tụcủa phương pháp số dễ kiểm tra Các kết quả thu được có khả năng ứng dụngtrong tính toán dầm đàn hồi trên nền đàn hồi dưới tác động của tải trọng phituyến với các điều kiện phức tạp tại hai đầu mút

5 Sản phẩm

5.1 Sản phẩm khoa học

01 bài báo quốc tế ISI, 03 bài báo khoa học trong nước

1 Dang Quang A, Ngo Thị Kim Quy (2017), "Existence results and iterativemethod for solving the cantilever beam equation with fully nolinear term", Non-linear Analysis: Real World Applications, 36 , pp 56-68

2 Ngô Thị Kim Quy, Nguyễn Thị Thu Hường, Phạm Thị Linh (2015), "Sai số

và sự hội tụ của phương pháp đơn điệu đối với các bài toán giá trị biên ellipticnửa tuyến tính cấp bốn", Tạp chí Khoa học và Công nghệ - ĐH Thái Nguyên,Tập 143, số 13/3, tr 93-97

3 Ngô Thị Kim Quy, Nguyễn Thị Thu Hường (2015), "Phương pháp nghiệmtrên và nghiệm dưới giải bài toán giá trị biên bốn điểm cấp bốn", Tạp chí Khoahọc và Công nghệ - ĐH Thái Nguyên, Tập 144, số 14, tr 187-191

4 Ngô Thị Kim Quy, Nguyễn Thị Thu Hường, Đồng Thị Hồng Ngọc, HoàngThanh Hải (2016), "Sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán giá trị biên phituyến cấp 4”, Tạp chí Khoa học và Công nghệ - ĐH Thái Nguyên, Tập 159, số

+ Tên luận văn: “Tính giải được của một hệ phương trình cặp tích phân Fourier”,bảo vệ năm 2016 Học viên cao học: Lê Thị Tuyết Nhung Giáo viên hướng dẫn:

TS Nguyễn Thị Ngân – Trường Đại học Sư phạm – ĐH Thái Nguyên

01 đề tài sinh viên nghiên cứu khoa học

Tên đề tài “Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic”

Sinh viên: Ngô Mai Anh

Giáo viên Hướng dẫn: TS Nguyễn Thị Ngân

Bảo vệ năm 2016, Xếp loại: Xuất sắc

6 Phương thức chuyển giao, địa chỉ ứng dụng, tác động và lợi íchmang lại của kết quả nghiên cứu

- Đề tài nghiên cứu phương pháp lặp giải một số bài toán phát sinh từ cơ học

và vật lý

- Kết quả nghiên cứu có thể được ứng dụng trong giảng dạy và nghiên cứu khoahọc cho sinh viên ngành Toán

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS

1 General infomations

Project title: Monotone iterative method for solving some nonlinear boundaryvalue problems

Code number: ĐH2015–TN08–09

Coordinator: Ngo Thi Kim Quy

Implementing institution: TN-University of Economics and Business tion

Administa-Duration: from 9/2015 to 9/2017

2 Objective(s)

The objectives of the project are the development of efficient methods for ing some problems for the fourth order elliptic problems arising from mechanics,physics and other fields of science and technology These problems include: Theproblems for the biharmonic equations in bounded domains and the boundaryvalue problems for nonlinear fourth order differential equations

solv-3 Creativeness and innovativeness

In this project, we propose a novel method for investigating the solvability anditerative method for nonlinear boundary value problems

5 Products

- Scientific producst: 04 articles published scientific journals

- Training products: 01 master thesis, 01 research project of undergraduate dents.

stu-5.1 Scienctific products

1 Dang Quang A, Ngo Thị Kim Quy (2017), "Existence results and iterativemethod for solving the cantilever beam equation with fully nolinear term", Non-linear Analysis: Real World Applications, 36 , pp 56-68

2 Ngo Thi Kim Quy, Nguyen Thi Thu Huong, Pham Thi Linh (2015), ror and convergence of a monotone method for fourth-order semilinear ellipticboundary value problems", Journal of Science and Technology - Thai nguyenUniversity, 143(13/3), pp 93-97

"Er-3 Ngo Thi Kim Quy, Nguyen Thi Thu Huong (2015), "The method of upper andlower solutions for fourth-order four-point boundary value problems", Journal

of Science and Technology - Thai nguyen University, 144(14), pp 187-191

4 Ngo Thi Kim Quy, Nguyen Thi Thu Huong, Dong Thi Hong Ngoc, HoangThanh Hai (2016), "Existence and uniqueness of solutions of fourth order nonlin-ear boundary value problems", Journal of Science and Technology - Thai nguyenUniversity, 159(14), pp 197-200

5.2 Training results

02 master thesis, 01 research project of undergraduate students

6 Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits

of the study findings

- The project study iterative method for solving some problems arising frommechanics and physics

- The project can be applied in teaching and scientific research at universities,colleges, vocational school training in mathematics

Mở đầu

1 Tính cấp thiết của đề tài

Nhiều bài toán trong vật lý, cơ học và một số lĩnh vực khác thông qua môhình hóa toán học dẫn đến việc giải các bài toán biên đối với phương trình viphân (thường và đạo hàm riêng) cùng với các điều kiện biên Dirichlet, điều kiệnbiên Neumann, điều kiện biên Robin hay điều kiện biên hỗn hợp Trong nhữngnăm gần đây, người ta quan tâm rất nhiều đến các bài toán biên phi tuyến donhu cầu phát triển của các lĩnh vực vật lý, cơ học, sinh học, Một trong cácphương pháp khá phổ biến nghiên cứu định tính của nghiệm là phương pháp sửdụng các định lý điểm bất động và phương pháp đơn điệu

Các bài toán giá trị biên đối với phương trình phi tuyến cấp bốn với các điềukiện biên khác nhau đã được nghiên cứu trong một số công trình trong nhữngnăm gần đây Sự tồn tại nghiệm của các bài toán này được thiết lập nhờ sửdụng lý thuyết bậc Leray-Schauder hoặc định lý điểm bất động Schauder trên

cơ sở sử dụng phương pháp đơn điệu với nghiệm dưới và nghiệm trên, hoặc giảitích Fourier Trong tất cả các công trình nêu trên công cụ cơ bản để nghiên cứutính đơn điệu của các dãy hàm và sự hội tụ của chúng là nguyên lý cực đại thíchhợp cho từng loại bài toán Trong các công trình này điều kiện về tính bị chặncủa hàm vế phải hoặc về bậc tăng trưởng của nó tại vô cùng là không thể thiếuđược

Khác với cách tiếp cận của các tác giả khác trong các bài báo nêu trên, chúngtôi đưa bài toán ban đầu về phương trình toán tử đối với hàm vế phải ϕ = f.Xét trong miền bị chặn xác định, chúng tôi chứng minh được toán tử đối với ϕ

dưới một số điều kiện dễ kiểm tra của hàm f trong miền bị chặn được chỉ ra là

toán tử co Theo nguyên lý ánh xạ co, ta chỉ ra bài toán ban đầu có duy nhấtnghiệm và sự hội tụ của phương pháp lặp tìm nghiệm xấp xỉ Tính dương củanghiệm và tính đơn điệu của dãy lặp cũng được chỉ ra Các ví dụ được đưa ra,trong đó nghiệm chính xác của bài toán đã biết hoặc chưa biết để minh họa chocác kết quả lý thuyết thu được Phương pháp này còn có thể áp dụng với một

số phương trình đạo hàm riêng

Mặc dù nhiều thành tựu quan trọng đã đạt được trong việc nghiên cứu vàtìm lời giải của các bài toán biên phi tuyến, song sự phát triển của các lĩnh vựcứng dụng như cơ học, vật lý, sinh học, luôn đặt ra các bài bài toán mới với

sự phức tạp trong phương trình cũng như điều kiện biên Chính vì thế mục đíchcủa đề tài là sử dụng phương pháp đơn điệu hoặc kết hợp nó với các phươngpháp khác chẳng hạn như phương pháp sử dụng các định lý điểm bất động đểthiết lập định tính và đặc biệt là phương pháp giải số một số bài toán đối vớiphương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng cấp 4 nảy sinhtrong lý thuyết uốn của dầm (1 chiều) và bản (2 chiều) Đó là lí do vì sao chúngtôi chọn đề tài: "Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến"

2 Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu của đề tài

Mục tiêu của đề tài là xây dựng phương pháp lặp đơn điệu giải một số bàitoán biên phi tuyến đối với phương trình vi phân thường và phương trình đạohàm riêng cấp bốn

3 Đối tượng, phạm vi, phương pháp nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu một số bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân, phươngtrình đạo hàm riêng cấp bốn

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất nghiệm và phương pháp giải một sốbài toán biên phi tuyến đối với phương trình vi phân, phương trình đạo hàmriêng cấp bốn

3.3 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng cách tiếp cận đưa các bài toán biên phi tuyến về phương trình toán

tử đối với hàm vế phải, cùng với các công cụ của toán giải tích, giải tích hàm, lýthuyết phương trình vi phân, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và một

số tính chất đối với nghiệm của một số bài toán biên Các tính toán số minhhọa cho tính hữu hiệu của phương pháp đề xuất được thực hiện bằng ngôn ngữlập trình Matlab

4 Cấu trúc của đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của đềtài gồm 3 chương:

Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị và kết quả bổ trợ bao gồm một

số kiến thức cơ bản về phương pháp đơn điệu, nguyên lý cực đại, các định lýđiểm bất động và cách tìm hàm Green Các kiến thức cơ bản và kết quả thuđược trong chương 1 sẽ đóng vai trò rất quan trọng, làm nền tảng cho các kếtquả sẽ được trình bày trong chương 2 và chương 3

Chương 2 trình bày phương pháp lặp giải một số bài toán biên phi tuyến đốivới phương trình vi phân thường cấp bốn

Chương 3 trình bày phương pháp lặp giải một số bài toán biên phi tuyến đốivới phương trình đạo hàm riêng cấp bốn

Chương 1

Một số kiến thức bổ trợ

với một số phương trình eliptic

Một trong các phương pháp khá phổ biến nghiên cứu định tính của nghiệm

và xây dựng nghiệm gần đúng của bài toán là phương pháp đơn điệu Phươngpháp đơn điệu sử dụng nghiệm trên và nghiệm dưới đối với bài toán biên phituyến đã thu hút sự chú ý của các nhà nghiên cứu trong những năm gần đây.Phương pháp này phổ biến vì nó không chỉ đưa ra cách chứng minh các định lýtồn tại mà còn dẫn đến các kết quả so sánh khác nhau, đó là kĩ thuật hiệu quả

để nghiên cứu các tính chất định tính của nghiệm

Ý tưởng chung của phương pháp này là xuất phát từ hai hàm α và β tươngứng được gọi là nghiệm dưới (lower solution) và nghiệm trên (upper solution)của bài toán, người ta xây dựng nhờ quá trình lặp hai dãy hàm αk và βk hội tụđơn điệu từ hai phía tới các hàm u và u thỏa mãn điều kiện

Trong trường hợp u = u bài toán có nghiệm duy nhất trong dải < α, β >, nếukhác, bài toán có nghiệm cực trị dưới và nghiệm cực trị trên

với phương trình sai phân

Một trong những phương pháp số phổ biến được sử dụng rộng rãi trong xấp

xỉ nghiệm của phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng là phươngpháp sai phân hữu hạn Các phương pháp sai phân hữu hạn tìm nghiệm xấp xỉ

của phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng tại các nút lưới bằngcách thay thế đạo hàm bằng các công thức sai phân Khi đó phương trình viphân và phương trình đạo hàm riêng được rời rạc thành hệ phương trình đại

số tuyến tính Trong chương này chúng tôi trình bày phương pháp sai phân chophương trình elliptic cấp hai Các đánh giá và phân tích được dựa trên nguyên

lý cực đại

Phần này trình bày ba định lý điểm bất động là nền tảng cơ bản được sửdụng phổ biến trong các bài toán ứng dụng là: Định lý điểm bất động Banach,định lý điểm bất động Brouwer, định lý điểm bất động Schauder

Hàm Green có ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu về bài toán giá trị biên.Đặc biệt, sự tồn tại và duy nhất nghiệm của lớp các bài toán giá trị biên cấpbốn được thiết lập Các kĩ thuật trong không gian Banach vẫn được sử dụng,nhưng sự tồn tại của hàm Green là công cụ chính chỉ ra sự tồn tại và duy nhấtnghiệm

Kết luận Chương 1

Chương 1 đã trình bày một số kiến thức cơ bản về phương pháp đơn điệu,nguyên lý cực đại, các định lý điểm bất động và cách tìm hàm Green đối vớimột số bài toán Đây sẽ là những kiến thức và kết quả rất quan trọng làm nềntảng cho các nghiên cứu sẽ được trình bày trong Chương 2 và Chương 3 của đềtài

lý thuyết bậc Leray-Schauder hoặc định lý điểm bất động Schauder trên cơ sở

sử dụng phương pháp đơn điệu với nghiệm dưới và nghiệm trên hoặc giải tíchFourier Trong các công trình này điều kiện về tính bị chặn của hàm vế phảihoặc về bậc tăng trưởng của nó tại vô cùng là không thể thiếu được Nhận thấycác điều kiện trên là rất nặng nề và phức tạp cho sự tồn tại nghiệm Khác vớicách tiếp cận của các tác giả khác, chúng tôi đưa bài toán ban đầu về phươngtrình toán tử đối với hàm vế phảiϕ = f Xét trong miền bị chặn xác định, chúngtôi đã giải phóng được các điều kiện hạn chế trong các bài báo trên

đối với phương trình vi phân thường cấp bốn

Các định lý điểm bất động và phương pháp đơn điệu được sử dụng trongnghiên cứu định tính và phương pháp giải cho nhiều bài toán phi tuyến cấp bốnvới các điều kiện biên khác nhau

Xét bài toán giá trị biên đối với phương trình vi phân thường cấp bốn