Phương pháp lặp song song giải một số bài toán biên dựa trên chia miền

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC –––––––––––––––––– LƢƠNG TRIỀU DUY PHƢƠNG PHÁP LẶP SONG SONG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN DỰA TRÊN CHIA MIỀN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS VŨ VINH QUANG Thái Nguyên - 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI NÓI ĐẦU Chƣơng 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ XỬ LÝ SONG SONG VÀ GIẢI SỐ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 1.1 Các kiến thức lý thuyết xử lý song song 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Đánh giá chương trình song song 1.1.3 Thuật toán song song 1.1.4 Các cách tiếp cận thiết kế 1.1.5 Phân tích đánh giá thuật toán song song 1.2 Các kiến thức giải số phương trình đạo hàm riêng 11 1.2.1 Phương pháp sai phân 11 1.2.2 Thuật toán thu gọn khối lượng tính toán 14 1.3 Giới thiệu thư viện TK2004 24 1.3.1 Bài toán biên Diricchlet 24 1.3.2 Bài toán biên hỗn hợp 26 Chƣơng 2: PHƢƠNG PHÁP LẶP SONG SONG DỰA TRÊN TƢ TƢỞNG CHIA MIỀN 29 2.1 Cơ sở phương pháp chia miền 29 2.2 Một số thuật toán chia miền 30 2.2.1 Thuật toán chia miền Patrick le Talle 30 2.2.2 Thuật chia miền J.R.Rice, E.A Vavalis, Daopi Yang 32 2.2.3 Thuật toán chia miền Saito – Fujita 34 2.3 Các sơ đồ lặp song song dựa chia miền 36 2.3.1 Phương pháp lặp chẵn lẻ QD1 36 2.3.2 Phương pháp song song QD2 43 i 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.4 Mô hình toán biên gián đoạn 47 2.4.1 Phương pháp lặp 48 2.4.2 Phương pháp lặp chẵn lẻ QD3 51 PHẦN KẾT LUẬN 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO 56 ii 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1: u *(x, y )  e x log(y  5)  sin y log(x  6) 40 Bảng 2: u *(x, y )  x  ye x  y  xey 41 Bảng 3: u *(x, y)  sin x sin y 42 Bảng 4: u *(x, y )  e x log(y  5)  sin y log(x  6) 46 Bảng 5: u *(x, y )  x  ye x  y  xey 46 Bảng 6: Kết thực nghiệm ví dụ 49 Bảng 7: Kết thực nghiệm ví dụ 50 iii 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn DANH MỤC CÁC HÌNH Hình 29 Hình 36 Hình 3: Đồ thị nghiệm xấp xỉ 40 Hình 4: Đồ thị nghiệm xấp xỉ 41 Hình 5: Đồ thị nghiệm xấp xỉ 42 Hình 43 Hình 7: Đồ thị nghiệm xấp xỉ ví dụ 49 Hình 8: Đồ thị nghiệm xấp xỉ ví dụ 50 iv 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành trường Đại học khoa học- Đại học Thái Nguyên hướng dẫn TS Vũ Vinh Quang Qua tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến thầy Vũ Vinh Quang, người đưa đề tài tận tình hướng dẫn suất trình nghiên cứu Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái nguyên tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè lớp Cao học K4C động viên giúp đỡ tác giả suốt trình học tập làm luận văn Tác giả 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NÓI ĐẦU Trong trường hợp tổng quát, việc tìm nghiệm lớp toán biên mà chủ yếu phương trình elliptic cấp hai trường hợp điều kiện biên hỗn hợp hỗn hợp mạnh không thực Việc nghiên cứu giải gần toán biên mà tiêu biểu toán biểu diễn phương trình cấp hai lĩnh vực quan tâm nhà toán học Trong nhiều năm qua có nhiều công trình nghiên cứu lĩnh vực này, mục đích phương pháp đưa toán vi phân toán sai phân để tìm nghiệm xấp xỉ thông qua thuật toán giải hệ phương trình đại số Tuy nhiên toán biên elliptic với điều kiện biên phức tạp hàm nghiệm đạo hàm nghiệm gián đoạn miền xét phương pháp truyền thống gặp khó khăn Để giải toán trường hợp phương pháp biết đến phương pháp lặp với độ phức tạp tính toán thấp tư tưởng phương pháp chia miền dựa phương pháp này, hướng nghiên cứu phát triển nghiên cứu sơ đồ tính toán song song giải mô hình toán phức tạp Luận văn đặt vấn đề tìm hiểu số phương pháp lặp giải toán elliptic cấp hai tư tưởng thuật toán chia miền Trên sở thuật toán chia miền, luận văn đề xuất việc xây dựng số sơ đồ tính toán song song Luận văn cấu trúc gồm chương Chƣơng 1: Đưa kiến thức lý thuyết tính toán song song, phương pháp sai phân thuật toán thu gọn khối lượng tính toán hệ thống thư viện TK2004 giải số toán biên elliptic Chƣơng 2: Trình bày tóm tắt sở phương pháp chia miền Trên sơ phương pháp biết, luận văn đưa số sơ đồ tính toán song song 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn dựa tư tưởng chia miền giải toán biên elliptic cấp hai Tiến hành đánh giá độ phức tạp thuật toán, cài đặt thử nghiệm máy tính điện tử để kiểm tra hội tụ sơ đồ Các kết thực nghiệm luận văn cài đặt ngôn ngữ Matlab máy tính PC 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ XỬ LÝ SONG SONG VÀ GIẢI SỐ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Trong chương này, luận văn trình bày số kiến thức lý thuyết xử lý song song, phương pháp sai phân thư viện TK2004 Đây kiến thức quan trọng sử dụng chương sau luận văn Các kiến thức tham khảo từ tài liệu [1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11] 1.1 Các kiến thức lý thuyết xử lý song song 1.1.1 Định nghĩa: Xử lý song song trình xử lý gồm nhiều tiến trình kích hoạt đồng thời tham gia giải vấn đề, nói chung thực đa xử lý Hiện vấn đề xử lý song song thực hóa nhờ ưu điểm vượt trội Hiện giá thành phần cứng (CPU) giảm mạnh, tạo điều kiện để xây dựng hệ thống có nhiều BXL với giá thành hợp lý Sự phát triển công nghệ mạch tích hợp VLSI cho phép tạo hệ phức hợp có hàng triệu transistor chip Tốc độ xử lý BXL theo kiểu Von Neumann dần tiến tới giới hạn, cải tiến thêm dẫn tới đòi hỏi phải thực xử lý song song Một mục đích xử lý song song nghiên cứu xây dựng thuật toán thích hợp để cài đặt máy tính song song, nghĩa phát triển thuật toán song song Câu hỏi tự nhiên đánh giá thuật toán song song gọi thích hợp cho xử lý song song? Đối với thuật toán thống cách đánh giá dựa vào 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn thời gian thực thuật toán, không gian nhớ khả lập trình, v.v Đánh giá thuật toán song song phức tạp nhiều, tiêu chuẩn phải bổ sung thêm tham số số BXL, khả nhớ cục bộ, sơ đồ truyền thông, giao thức đồng hoá, v.v Để cài đặt thuật toán song song máy tính song song phải sử dụng ngôn ngữ lập trình song song Nhiều ngôn ngữ lập trình song song sử dụng như: Fortran 90, nCUBE C, Occam, C-Linda, PVM với C/C++, CDC 6600, v.v 1.1.2 Đánh giá chƣơng trình song song Sau đưa sở phương pháp đánh giá độ phức tạp thuật toán song song Thời gian thực song song Để đánh giá độ phức tạp tính toán thuật toán song song, số bước tính toán cần đánh giá thời gian truyền thông tiến trình Trong hệ thống truyền thông, thời gian truyền thông phải xem thời gian thực thuật toán Thời gian thực song song, ký hiệu gồm hai phần tcomp tcomm = tcomp + tcomm đó, tcomp thời gian tính toán tcomm - thời gian truyền thông liệu Thời gian tính toán tcomp xác định giống thuật toán Khi có nhiều tiến trình tiến trình thực đồng thời tính thời gian thực tiến trình phức tạp (thực lâu nhất) Trong phân tích độ phức tạp tính toán, giả thiết rằng, tất xử lý giống thao tác tốc độ Đối với cụm máy tính không điều không đảm bảo vậy, việc đánh giá thời gian tính toán hệ phức tạp 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... 2: PHƢƠNG PHÁP LẶP SONG SONG DỰA TRÊN TƢ TƢỞNG CHIA MIỀN 29 2.1 Cơ sở phương pháp chia miền 29 2.2 Một số thuật toán chia miền 30 2.2.1 Thuật toán chia miền Patrick le... đoạn miền xét phương pháp truyền thống gặp khó khăn Để giải toán trường hợp phương pháp biết đến phương pháp lặp với độ phức tạp tính toán thấp tư tưởng phương pháp chia miền dựa phương pháp. .. sơ đồ tính toán song song giải mô hình toán phức tạp Luận văn đặt vấn đề tìm hiểu số phương pháp lặp giải toán elliptic cấp hai tư tưởng thuật toán chia miền Trên sở thuật toán chia miền, luận