Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (NCKH)

Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (NCKH)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (NCKH)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (NCKH)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (NCKH)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (NCKH)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (NCKH)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (NCKH)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (NCKH)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (NCKH)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (NCKH)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (NCKH)Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phi tuyến (NCKH)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ & QTKD

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC

PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN ĐIỆU GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN

Mã số: ĐH2015-TN08-09

Chủ nhiệm đề tài: ThS NGÔ THỊ KIM QUY

THÁI NGUYÊN, NĂM 2018

s

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ & QTKD

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC

PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN ĐIỆU GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN

Mã số: ĐH2015-TN08-09

Xác nhận của cơ quan chủ trì đề tài Chủ nhiệm đề tài

ThS Ngô Thị Kim Quy

THÁI NGUYÊN, NĂM 2018

DANH SÁCH CÁC THÀNH VIÊN THAM GIA ĐỀ TÀI

ĐƠN VỊ PHỐI HỢP CHÍNH

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Một số kiến thức bổ trợ 8

1.1 Phương pháp lặp đơn điệu sử dụng nguyên lý cực đại đối với một số phương trình eliptic 8

1.2 Phương pháp sai phân hữu hạn và nguyên lý cực đại đối với phương trình sai phân 12

1.2.1 Dạng chính tắc của phương trình sai phân 13

1.2.2 Nguyên lý cực đại 16

1.3 Một số định lý điểm bất động 18

1.3.1 Định lý điểm bất động Banach 18

1.3.2 Định lý điểm bất động Brouwer 19

1.3.3 Định lý điểm bất động Schauder 20

1.3.4 Nhận xét 21

1.4 Hàm Green đối với một số bài toán 22

Chương 2 Phương pháp lặp giải một số bài toán biên phi tuyến đối với phương trình vi phân thường cấp bốn 25

2.1 Phương pháp lặp mức liên tục giải một số bài toán biên đối với phương trình vi phân thường cấp bốn 26

2.2 Nghiên cứu sự hội tụ và tính đơn điệu của lời giải số bài toán biên đối với phương trình vi phân thường cấp bốn 40

Chương 3 Phương pháp lặp giải một số bài toán biên phi tuyến đối với phương trình đạo hàm riêng cấp bốn 49

3.1 Phương pháp lặp mức liên tục giải một số bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng cấp bốn 50

3.1.2 Bài toán phi tuyến đối với phương trình đạo hàm riêng 58

Danh sách hình vẽ

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

1 Thông tin chung

Tên đề tài: Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán biên phituyến

Mã số: ĐH2015–TN08–09

Chủ nhiệm đề tài: ThS Ngô Thị Kim Quy

Tổ chức chủ trì: Trường Đại học Kinh tế và QTKD - Đại học Thái NguyênThời gian thực hiện: 24 tháng (từ tháng 9/2015 đến tháng 9/2017)

2 Mục tiêu

Mục tiêu của đề tài là sử dụng phương pháp lặp đơn điệu hoặc kết hợp nó vớicác phương pháp khác để thiết lập định tính và đặc biệt là phương pháp giải sốmột số bài toán đối với phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàmriêng cấp bốn phát sinh từ các lĩnh vực cơ học, vật lý

3 Tính mới và sáng tạo

Trong đề tài chúng tôi đưa ra phương pháp khác khi nghiên cứu tính giải được

và phương pháp lặp giải bài toán biên phi tuyến, trong đó, thiết lập được sựtồn tại duy nhất nghiệm và một số tính chất đối với nghiệm của các bài toándưới các điều kiện dễ kiểm tra; đề xuất phương pháp lặp giải bài toán và chứngminh sự hội tụ của phương pháp; đưa ra một số ví dụ minh họa cho khả năngứng dụng của các kết quả lý thuyết

4 Kết quả nghiên cứu

- Nghiên cứu phương pháp lặp giải một số phương trình vi phân thường phituyến và phương trình đạo hàm riêng cấp bốn

- Thiết lập được sự tồn tại duy nhất nghiệm và xây dựng phương pháp số hữuhiệu giải một số bài toán biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấpbốn Các điều kiện đặt ra để đảm bảo sự tồn tại, duy nhất nghiệm và sự hội tụcủa phương pháp số dễ kiểm tra Các kết quả thu được có khả năng ứng dụng

trong tính toán dầm đàn hồi trên nền đàn hồi dưới tác động của tải trọng phituyến với các điều kiện phức tạp tại hai đầu mút.

5 Sản phẩm

5.1 Sản phẩm khoa học

01 bài báo quốc tế ISI, 03 bài báo khoa học trong nước

1 Dang Quang A, Ngo Thị Kim Quy (2017), "Existence results and iterativemethod for solving the cantilever beam equation with fully nolinear term", Non-linear Analysis: Real World Applications, 36 , pp 56-68

2 Ngô Thị Kim Quy, Nguyễn Thị Thu Hường, Phạm Thị Linh (2015), "Sai số

và sự hội tụ của phương pháp đơn điệu đối với các bài toán giá trị biên ellipticnửa tuyến tính cấp bốn", Tạp chí Khoa học và Công nghệ - ĐH Thái Nguyên,Tập 143, số 13/3, tr 93-97

3 Ngô Thị Kim Quy, Nguyễn Thị Thu Hường (2015), "Phương pháp nghiệmtrên và nghiệm dưới giải bài toán giá trị biên bốn điểm cấp bốn", Tạp chí Khoahọc và Công nghệ - ĐH Thái Nguyên, Tập 144, số 14, tr 187-191

4 Ngô Thị Kim Quy, Nguyễn Thị Thu Hường, Đồng Thị Hồng Ngọc, HoàngThanh Hải (2016), "Sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán giá trị biên phituyến cấp 4”, Tạp chí Khoa học và Công nghệ - ĐH Thái Nguyên, Tập 159, số

+ Tên luận văn: “Tính giải được của một hệ phương trình cặp tích phân Fourier”,bảo vệ năm 2016 Học viên cao học: Lê Thị Tuyết Nhung Giáo viên hướng dẫn:

TS Nguyễn Thị Ngân – Trường Đại học Sư phạm – ĐH Thái Nguyên

01 đề tài sinh viên nghiên cứu khoa học

Tên đề tài “Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic”

Sinh viên: Ngô Mai Anh

Giáo viên Hướng dẫn: TS Nguyễn Thị Ngân

Bảo vệ năm 2016, Xếp loại: Xuất sắc

6 Phương thức chuyển giao, địa chỉ ứng dụng, tác động và lợi íchmang lại của kết quả nghiên cứu

- Đề tài nghiên cứu phương pháp lặp giải một số bài toán phát sinh từ cơ học

và vật lý

- Kết quả nghiên cứu có thể được ứng dụng trong giảng dạy và nghiên cứu khoahọc cho sinh viên ngành Toán

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS

1 General infomations

Project title: Monotone iterative method for solving some nonlinear boundaryvalue problems

Code number: ĐH2015–TN08–09

Coordinator: Ngo Thi Kim Quy

Implementing institution: TN-University of Economics and Business tion

Administa-Duration: from 9/2015 to 9/2017

2 Objective(s)

The objectives of the project are the development of efficient methods for ing some problems for the fourth order elliptic problems arising from mechanics,physics and other fields of science and technology These problems include: Theproblems for the biharmonic equations in bounded domains and the boundaryvalue problems for nonlinear fourth order differential equations

solv-3 Creativeness and innovativeness

In this project, we propose a novel method for investigating the solvability anditerative method for nonlinear boundary value problems

5 Products

- Scientific producst: 04 articles published scientific journals

- Training products: 01 master thesis, 01 research project of undergraduate dents

stu-5.1 Scienctific products

1 Dang Quang A, Ngo Thị Kim Quy (2017), "Existence results and iterativemethod for solving the cantilever beam equation with fully nolinear term", Non-linear Analysis: Real World Applications, 36 , pp 56-68

2 Ngo Thi Kim Quy, Nguyen Thi Thu Huong, Pham Thi Linh (2015), ror and convergence of a monotone method for fourth-order semilinear ellipticboundary value problems", Journal of Science and Technology - Thai nguyenUniversity, 143(13/3), pp 93-97

"Er-3 Ngo Thi Kim Quy, Nguyen Thi Thu Huong (2015), "The method of upper andlower solutions for fourth-order four-point boundary value problems", Journal

of Science and Technology - Thai nguyen University, 144(14), pp 187-191

4 Ngo Thi Kim Quy, Nguyen Thi Thu Huong, Dong Thi Hong Ngoc, HoangThanh Hai (2016), "Existence and uniqueness of solutions of fourth order nonlin-ear boundary value problems", Journal of Science and Technology - Thai nguyenUniversity, 159(14), pp 197-200

5.2 Training results

02 master thesis, 01 research project of undergraduate students

6 Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits

of the study findings

- The project study iterative method for solving some problems arising frommechanics and physics

- The project can be applied in teaching and scientific research at universities,colleges, vocational school training in mathematics

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Nhiều bài toán trong vật lý, cơ học và một số lĩnh vực khác thông qua môhình hóa toán học dẫn đến việc giải các bài toán biên đối với phương trình viphân (thường và đạo hàm riêng) cùng với các điều kiện biên Dirichlet, điều kiệnbiên Neumann, điều kiện biên Robin hay điều kiện biên hỗn hợp Trong nhữngnăm gần đây, người ta quan tâm rất nhiều đến các bài toán biên phi tuyến (phituyến trong phương trình, phi tuyến trong điều kiện biên hoặc cả hai) do nhucầu phát triển của các lĩnh vực vật lý, cơ học, sinh học, Một trong các phươngpháp khá phổ biến nghiên cứu định tính (sự tồn tại, duy nhất) của nghiệm làphương pháp sử dụng các định lý điểm bất động và phương pháp đơn điệu.Các bài toán giá trị biên đối với phương trình phi tuyến cấp bốn với các điềukiện biên khác nhau đã được nghiên cứu trong một số bài báo trong những nămgần đây Sự tồn tại nghiệm của các bài toán này được thiết lập nhờ sử dụng lýthuyết bậc Leray-Schauder [38] hoặc Định lý điểm bất động Schauder trên cơ sở

sử dụng phương pháp đơn điệu với nghiệm dưới và nghiệm trên [16], [18], [19],[33] hoặc giải tích Fourier (Fourier analysis) [25] Trong tất cả các bài báo nêutrên, công cụ cơ bản để nghiên cứu tính đơn điệu của các dãy hàm và sự hội tụcủa chúng là nguyên lý cực đại thích hợp cho từng loại bài toán Ở đây cần phảinói rằng nguyên lý cực đại đối với các phương trình tuyến tính đơn giản với cácđiều kiện biên cơ bản đã có trong cuốn sách chuyên khảo nổi tiếng [39], song đối

với các bài toán phức tạp hơn cần có nguyên lý cực đại phù hợp Trong các bàibáo này, điều kiện về tính bị chặn của hàm vế phải hoặc về bậc tăng trưởng của

nó tại vô cùng là không thể thiếu được

Khác với cách tiếp cận của các tác giả khác trong các bài báo nêu trên cũngnhư cách tiếp cận đối với các phương trình vi phân cấp bốn phi tuyến trong[13], [30], chúng tôi đưa bài toán ban đầu về phương trình toán tử đối với hàm

vế phải ϕ = f Xét trong miền bị chặn xác định, chúng tôi chứng minh đượctoán tử đối với ϕ dưới một số điều kiện dễ kiểm tra của hàm f trong miền bịchặn được chỉ ra là toán tử co Theo nguyên lý ánh xạ co, ta chỉ ra bài toán banđầu có duy nhất nghiệm và sự hội tụ của phương pháp lặp tìm nghiệm xấp xỉ.Tính dương của nghiệm và tính đơn điệu của dãy lặp cũng được chỉ ra Các ví

dụ được đưa ra, trong đó nghiệm chính xác của bài toán đã biết hoặc chưa biết

để minh họa cho các kết quả lý thuyết thu được

Với phương trình đạo hàm riêng, xét bài toán

với ∂/∂ν là ký hiệu đạo hàm theo hướng pháp tuyến ngoài trên ∂Ω.

Trong [44, 45, 46, 47], tác giả Wang đã sử dụng phương pháp đơn điệu vớinghiệm trên, nghiệm dưới chỉ ra sự tồn tại nghiệm của bài toán Tác giả cũngnghiên cứu sự hội tụ của phương pháp đơn điệu, đánh giá sai số và phân tíchtính ổn định của phương pháp lặp đưa ra

Với trường hợp đơn giản hơn, xét bài toán

2008, An và Liu [14] đã thiết lập sự tồn tại nghiệm không tầm thường của bàitoán với c < λ1. Năm 2014, trong bài báo [22], Hu và Wang thêm vào một sốgiả thiết, tác giả nghiên cứu sự tồn tại nghiệm không tầm thường của bài toánnếu 0 < l < Λ1, Λ1 < l <= ∞ hoặc l = Λ1. Gần đây, kết quả thú vị về sựtồn tại nghiệm đổi dấu cũng như tính dương và âm của nghiệm của bài toán đãthu được trong [27]

Cần nhấn mạnh rằng các kết quả tồn tại nghiệm của bài toán trong cả haitrường hợpc = 0và c 6= 0đã được thiết lập bởi phương pháp biến phân Nhữngkết quả này có tính chất lý thuyết thuần túy và không có các ví dụ về sự tồntại nghiệm

Ngoài phương pháp biến phân nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán giátrị biên phi tuyến còn có phương pháp hiệu quả khác thiết lập sự tồn tại và duy

nhất nghiệm Đó là phương pháp nghiệm trên, nghiệm dưới Phương pháp này

đã được sử dụng với bài toán giá trị biên elliptic cấp bốn trong [36] Trong bàibáo này, xét bài toán

về cặp bài toán của u và v = −a∆u sau đó áp dụng xấp xỉ sai phân cho cặpbài toán này Một số sơ đồ lặp đơn điệu như Picard, Gauss-Seidel và lặp Jacobiđều hội tụ đơn điệu tới nghiệm duy nhất của hệ các phương trình sai phân đượcđưa ra Kỹ thuật đơn điệu này được phát triển hơn trong các bài báo của Wang[44, 45, 46, 47], trong đó có một số ví dụ minh họa cho hiệu quả của sơ đồ lặp.Khác với các phương pháp trên, trong bài báo [9], tác giả Đặng Quang Áđưa bài toán về phương trình toán tử đối với hàm vế phải và chứng minh toán

tử có tính chất co Điều này đảm bảo sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bàitoán và sự hội tụ của phương pháp lặp đề xuất Phương pháp lặp này đưa bàitoán ban đầu về dãy các bài toán giá trị biên với phương trình Poisson mà cóthể dễ dàng giải bằng các thuật toán số hiệu quả sẵn có Tính ứng dụng củacách tiếp cận này và hiệu quả của phương pháp lặp được minh họa qua một số

ví dụ, trong đó chỉ ra lợi thế về tốc độ hội tụ của phương pháp tác giả đưa ra

so với các phương pháp gần đây của Wang trong [46], [47]

Mặc dù nhiều thành tựu quan trọng đã đạt được trong việc nghiên cứu vàtìm lời giải của các bài toán biên phi tuyến, song sự phát triển của các lĩnh vực

ứng dụng như cơ học, vật lý, luôn đặt ra các bài bài toán mới với sự phức tạptrong phương trình cũng như điều kiện biên Đây là hướng nghiên cứu thu hútđược sự quan tâm chú ý của các nhà Toán học trên thế giới Chính vì thế, đềtài đặt mục đích sử dụng phương pháp đơn điệu hoặc kết hợp nó với các phươngpháp khác để thiết lập định tính và đặc biệt là phương pháp giải số một số bàitoán đối với phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng cấp 4nảy sinh trong lý thuyết uốn của dầm (1 chiều) và bản (2 chiều) Đó là lí do vìsao chúng tôi chọn đề tài: "Phương pháp lặp đơn điệu giải một số bài toán

2 Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu của đề tài

Mục tiêu chung của đề tài là đưa ra phương pháp lặp đơn điệu giải một sốbài toán biên phi tuyến đối với phương trình vi phân thường và phương trìnhđạo hàm riêng cấp bốn Mục tiêu cụ thể như sau:

- Sử dụng phương pháp lặp đơn điệu hoặc kết hợp nó với các phương pháp khác

để thiết lập định tính và đặc biệt là phương pháp giải số một số bài toán đốivới phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng cấp bốn nảysinh trong lý thuyết uốn của dầm (1 chiều) và bản (2 chiều)

- Nghiên cứu phương pháp đơn điệu cho phương trình phi tuyến cấp 4 với một

số loại điều kiện biên tuyến tính hoặc phi tuyến - Mở rộng kết quả sang phươngtrình cấp 4 đạo hàm riêng - Nghiên cứu tương tự rời rạc của các bài toán đó vàcác phương pháp số hữu hiệu hiện thực hóa chúng

3 Đối tượng, phạm vi, phương pháp nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu một số bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân, phươngtrình đạo hàm riêng cấp bốn

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất nghiệm và phương pháp giải một sốbài toán biên phi tuyến đối với phương trình vi phân, phương trình đạo hàmriêng cấp bốn

3.3 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng cách tiếp cận đưa các bài toán biên phi tuyến về phương trình toán

tử đối với hàm vế phải, cùng với các công cụ của toán giải tích, giải tích hàm, lýthuyết phương trình vi phân, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và một

số tính chất đối với nghiệm của một số bài toán biên Các tính toán số minh họacho tính hữu hiệu của phương pháp đề xuất được thực hiện bằng ngôn ngữ lậptrình Matlab Sử dụng công cụ đại số tuyến tính và giải tích hàm nghiên cứu hệphương trình đại số được dẫn đến Thực hiện tính toán trên máy tính điện tử

để kiểm tra sự hội tụ của các thuật toán đã được nghiên cứu bằng lý thuyết vànghiên cứu bằng thực nghiệm những thuật toán chưa chứng minh được bằng lýthuyết

4 Cấu trúc của đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của đềtài gồm 2 chương:

Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị và kết quả bổ trợ bao gồm một

số kiến thức cơ bản về phương pháp đơn điệu, nguyên lý cực đại, phương phápsai phân, các định lý điểm bất động và cách tìm hàm Green Các kiến thức cơbản và kết quả thu được trong Chương 1 sẽ đóng vai trò rất quan trọng, làmnền tảng cho các kết quả sẽ được trình bày trong Chương 2 và Chương 3.Chương 2 trình bày phương pháp lặp giải một số bài toán biên phi tuyến đốivới phương trình vi phân thường cấp bốn

Chương 3 trình bày phương pháp lặp giải một số bài toán biên phi tuyến đốivới phương trình đạo hàm riêng cấp bốn.

Chương 1

Một số kiến thức bổ trợ

Chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị, kết quả bổ trợ cần thiếtcho các chương tiếp theo được tham khảo từ các tài liệu [35], [40], [43], [48]

cực đại đối với một số phương trình elipticMột trong các phương pháp khá phổ biến nghiên cứu định tính (sự tồn tại,duy nhất) của nghiệm và xây dựng nghiệm gần đúng của phương trình đạo hàmriêng là phương pháp đơn điệu Phương pháp đơn điệu sử dụng nghiệm trên vànghiệm dưới đối với bài toán biên phi tuyến đã thu hút sự chú ý của các nhànghiên cứu trong những năm gần đây Phương pháp này không chỉ đưa ra cáchchứng minh các định lý tồn tại mà còn dẫn đến các kết quả so sánh khác nhau,

đó là kĩ thuật hiệu quả để nghiên cứu các tính chất định tính của nghiệm Tínhđơn điệu của dãy lặp cũng hữu dụng khi nghiên cứu các nghiệm số của bài toángiá trị đầu và giá trị biên

Ý tưởng chung của phương pháp này là xuất phát từ hai hàm α và β tươngứng được gọi là nghiệm dưới (lower solution) và nghiệm trên (upper solution)của bài toán, người ta xây dựng nhờ quá trình lặp hai dãy hàm αk và βk hội tụđơn điệu từ hai phía tới các hàm u và u thỏa mãn điều kiện

Trong trường hợpu = u bài toán có nghiệm duy nhất trong dải< α, β >, nếukhác, bài toán có nghiệm cực trị dưới và nghiệm cực trị trên.

Công cụ cơ bản để nghiên cứu tính đơn điệu của các dãy hàm và sự hội tụcủa chúng là nguyên lý cực đại thích hợp cho từng loại bài toán Ở đây, cần phảinói rằng nguyên lý cực đại đối với các phương trình tuyến tính đơn giản với cácđiều kiện biên cơ bản đã có trong cuốn sách chuyên khảo nổi tiếng [39], song đốivới các bài toán phức tạp hơn cần có nguyên lý cực đại phù hợp

Trong xây dựng các dãy đơn điệu với bài toán giá trị biên phi tuyến sử dụngphương pháp nghiệm trên và dưới, yêu cầu cơ bản là dãy lặp phải được xác định

Sự tồn tại của dãy đơn điệu cho các phương trình elliptic dựa trên bài toán giátrị biên tuyến tính dạng

L là toán tử elliptic đều trong Ω, các hệ số của chúng và c thuộc Cα(Ω) L

là toán tử elliptic đều hiểu theo nghĩa ma trận aij(x) là đối xứng, xác địnhdương trongΩ Để đảm bảo tồn tại lớp nghiệm ta giả sử rằngΩ là lớp C2+α và

α0, β0 ∈ C1+α(∂Ω) với α0 = 0, β0 > 0 hoặc α0 > 0, β0 ≥ 0 trên ∂Ω

Sơ đồ lặp đơn điệu cho các bài toán giá trị biên elliptic dựa trên bổ đề về tínhdương suy ra từ nguyên lý cực đại sau

m0 tại một điểm trong Ω thì w ≡ m0 Hơn nữa, nếu x0 ∈ ∂Ω là điểm cực

Dựa trên kết quả của định lý trên ta suy ra bổ đề về tính dương, bổ đề nàyđóng vai trò cơ bản trong nghiên cứu bài toán giá trị biên elliptic phi tuyến

(1.4)

Để phát triển phương pháp đơn điệu, ta cần các khái niệm nghiệm trên vàdưới

Xét bài toán giá trị biên elliptic

các hàm u ∈ C(Ω) sao cho u ≤ u ≤b ue trong Ω.

Giả sử f thỏa mãn một phía điều kiện Lipshitz

Thêm hàm c(u) vào cả hai vế của phương trình trong (1.5) và đặt

Bổ đề sau chỉ ra hai dãy được hoàn toàn xác định



Bổ đề trên đòi hỏi c không đồng nhất bằng không khi β0 ≡ 0 Yêu cầu nàyđảm bảo với mỗi k bài toán tuyến tính (1.10) có nghiệm duy nhất Vì điều kiện(1.7) thỏa mãn với bất kì c ≥ c luôn có thể tìm được hàm không tầm thường c

trong (1.10) Bổ đề sau chỉ ra tính chất đơn điệu của dãy nghiệm trên và dưới

Bổ đề 1.3 [35] Giả sử các giả thiết trong Bổ đề 1.2 thỏa mãn Khi đócác dãy nghiệm trên và dưới có tính chất đơn điệu

tồn tại và thỏa mãn quan hệ u ≤ ub ≤ u ≤ ue trong Ω

Định lý sau chỉ ra giới hạn của nghiệm của bài toán (1.5)

< u,b eu > thì u ≤ u∗ ≤ u

Trong mối quan hệ u ≤ u∗ ≤ u, các hàm u và u thường được gọi là cácnghiệm cực đại và nghiệm cực tiểu của (1.5) Nghiệm cực đại và nghiệm cực tiểunày phụ thuộc vào cặp nghiệm trên, nghiệm dưới được xét

cực đại đối với phương trình sai phân

Một trong những phương pháp số phổ biến được sử dụng rộng rãi trong xấp

xỉ nghiệm của phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng là phươngpháp sai phân hữu hạn Các phương pháp sai phân hữu hạn tìm nghiệm xấp xỉcủa phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng tại các nút lưới bằngcách thay thế đạo hàm bằng các công thức sai phân Khi đó phương trình viphân và phương trình đạo hàm riêng được rời rạc thành hệ phương trình đại

số tuyến tính Trong chương này chúng tôi trình bày phương pháp sai phân chophương trình elliptic cấp hai Các đánh giá và phân tích được dựa trên nguyên

lý cực đại

Ta xây dựng lược đồ sai phân giải bài toán Dirichlet cho phương trìnhPoisson:

với điều kiện biên

trong đó x = (x1, x2, , xp), Ω là miền hữu hạn p chiều với biên Γ

Ta xây dựng lược đồ sai phân của toán tử Laplace trong mặt phẳng x = (x1, x2) :

Λu − ∆u = O(|h|2), |h|2 = h21 + h22.

Trong miền chữ nhật Ω = {0 ≤ x1 ≤ l1, 0 ≤ x2 ≤ l2}, xét lưới đều vớibước lưới h1, h2

Ký hiệu

ωh = {(x1, x2) : x1 = i1h1, x2 = i2h2, 1 ≤ i1 ≤ N1−1, 1 ≤ i2 ≤ N2−1},

Phân loại chi tiết các điểm trong

nút biên cách nó ít hơn một bước lưới cùng phương.

1 bước lưới

Xấp xỉ toán tử vi phân Lαu = ∂

2u

∂x2 α.

-Tại nút trong chặt

(+1 α )− 2u + u(−1 α )

h2 α

nếu u(+1α ) ∈ γh,α, trong đó h∗α là khoảng cách giữa x và x(+1α )

Lược đồ sai phân

Từ phương trình Λ∗y = Λ∗1y + Λ2y = −f tại điểm 0

Nguyên lý cực đại được trình bày tham khảo từ tài liệu [35] Xét bài toán

liên thông theo nghĩa ∀x ∈ ωh, x ∈ ωh, tồn tại hệ các lân cận {S0(x), x ∈ ωh}

sao cho có thể đi từ x tới x chỉ sử dụng các nút trong các lân cận này

Định lý 1.3 (Nguyên lý cực đại) Giả sử y(x) là hàm lưới cho trong ωh

1.3 Một số định lý điểm bất động

Cho ánh xạ T : A → B, mỗi nghiệm x của phương trình x = T x được gọi

là một điểm bất động của ánh xạ T Phương trình F (x) = 0, trong đó F làmột hàm thực, hoặc tổng quát hơn F là toán tử trong không gian Banach cóthể viết lại dưới dạng phương trình điểm bất động

Khi đó ta có các kết luận sau đây

a) Sự tồn tại và duy nhất nghiệm: Phương trình (1.24) có duy nhất nghiệm

b) Sự hội tụ của phương pháp lặp: với mọi xấp xỉ ban đầu x0 tùy ý trong

Định lý điểm bất động Banach có nhiều ý nghĩa quan trọng trong lý thuyếttoán học và ứng dụng Ý nghĩa quan trọng của định lý xuất phát từ thực tế làđịnh lý này bao gồm 8 yếu tố nền tảng quan trọng của lý thuyết và giải gầnđúng các phương trình phi tuyến, đó là:

(A) Sự tồn tại nghiệm

(B) Sự duy nhất nghiệm

(C) Đánh giá sai số tiên nghiệm

(D) Đánh giá sai số hậu nghiệm

(E) Đánh giá tốc độ hội tụ

(F) Sự ổn định của phương pháp xấp xỉ

Khác với định lý điểm bất động Banach, định lý điểm bất động Brouwerkhông chỉ ra tính duy nhất của điểm bất động cũng như phương pháp lặp xấp

xỉ liên tiếp Tuy nhiên các giả thiết của định lý Brouwer được nới lỏng hơn sovới định lý điểm bất động Banach Một hạn chế của định lý Brouwer là chỉ ápdụng được cho các ánh xạ liên tục trên không gian hữu hạn chiều Tuy nhiên khixét sự tồn tại nghiệm của các phương trình vi phân ta phải xét trên các khônggian hàm, đây là không gian Banach vô hạn chiều, vì thế không thể áp dụngđịnh lý Brouwer Đối với các toán tử trên không gian vô hạn chiều thì định lýSchauder - một phiên bản mở rộng của định lý Brouwer đặc biệt hiệu quả vàđược sử dụng phổ biến

Phần này trình bày một tổng quát của định lý điểm bất động Brouwer chocác toán tử compact trong không gian Banach vô hạn chiều, đó là định lý điểmbất động Schauder

Trước tiên, ta nhắc lại khái niệm Toán tử compact

được thỏa mãn

Các toán tử compact đóng vai trò quan trọng trong giải tích hàm phi tuyến.Thực tế có nhiều kết quả cho các toán tử liên tục trên RN được chuyển sangcác không gian Banach khi thay thế tính liên tục bằng compact

Ví dụ 1.1 Giả sử rằng ta có hàm liên tục

trong đó kxk = maxa≤s≤b và C([a, b],K) là không gian các ánh xạ liên tục

Một phiên bản thay thế cho định lý điểm bất động Schauder được phát biểunhư sau

Hệ quả 1.3 (Phiên bản khác của định lý điểm bất động Schauder) Cho

Định lý Schauder có nhiều ứng dụng quan trọng trong giải tích hàm và giảitích số như sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân với tham số bé, sự tồntại nghiệm của hệ phương trình tích phân và hệ phương trình tựa vi phân

- Định lý điểm bất động Banach, tổng quát của phương pháp xấp xỉ liên tiếp,nhất thiết sử dụng toán tử co k Định lý này có thể áp dụng cho các ánh xạkhả vi, hoặc tổng quát hơn là ánh xạ liên tục Lipschitz Định lý điểm bất độngBanach cho ta cả kết luận về sự duy nhất và xây dựng phương pháp tìm nghiệmxấp xỉ và là một công cụ lý thuyết chính tạo ra phương pháp lặp

- Định lý điểm bất động Brouwer xét trong không gian hữu hạn chiều, Định lý

điểm bất động Schauder là mở rộng của Định lý điểm bất động Brouwer trongkhông gian vô hạn chiều.

- Định lý điểm bất động Schauder đòi hỏi tính liên tục và tính compact củaánh xạ T trong không gian vô hạn chiều Định lý này không chỉ ra sự duy nhấtnghiệm và cũng không xây dựng được phương pháp tìm nghiệm

Hàm Green là công cụ quan trọng để chỉ ra sự tồn tại và duy nhất nghiệmcủa các bài toán giá trị biên

Xét bài toán

với các điều kiện biên

Ta có thể viết lại bài toán (1.30) dạng

với các điều kiện biên

Hàm Green G(x, t) được định nghĩa là nghiệm của

trong đó δ là hàm delta Dirac

Nghiệm của bài toán (1.30) có thể biểu diễn dạng

u(x) =

0G(x, t)g(t)dt

Hàm Green phải thỏa mãn các điều kiện

(i) Với mỗi x và t, G(x, t) phải thỏa mãn Gxxxx = 0 ngoại trừ khi x = t.(ii) G thỏa mãn các điều kiện biên G(0, t) = Gx(0, t) = G(a, t) =

Ta có các nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình (1.30) là 1, x, x2, x3

(i) ở trên nếu

trong đó A1, A2, A3.A4 và B1, B2, B3, B4 là các hàm của t Biết hàm Green

Điều kiện liên tục (iii) cho ta phương trình

Chương 2

Phương pháp lặp giải một số bài

toán biên phi tuyến đối với phương trình vi phân thường cấp bốn

Các bài toán giá trị biên đối với phương trình phi tuyến cấp bốn với cácđiều kiện biên khác nhau đã được nghiên cứu trong một số bài báo trong nhữngnăm gần đây Sự tồn tại nghiệm của các bài toán này được thiết lập nhờ sửdụng lý thuyết bậc Leray-Schauder [38] hoặc Định lý điểm bất động Schaudertrên cơ sở sử dụng phương pháp đơn điệu với nghiệm dưới và nghiệm trên [16],[18], [19], [33] hoặc giải tích Fourier (Fourier analysis) [25] Trong các bài báonày điều kiện về tính bị chặn của hàm vế phải hoặc về bậc tăng trưởng của nótại vô cùng là không thể thiếu được

Nhận thấy các điều kiện trên là rất nặng nề và phức tạp cho sự tồn tạinghiệm Khác với cách tiếp cận của các tác giả khác trong các bài báo nêu trêncũng như cách tiếp cận đối với các phương trình vi phân cấp bốn phi tuyến trong[13, 30], chúng tôi đưa bài toán ban đầu về phương trình toán tử đối với hàm

vế phải ϕ = f Ý tưởng này bắt nguồn từ một bài báo trước đây của tác giảĐặng Quang Á [1], 2006 khi nghiên cứu bài toán Neumann đối với phương trìnhkiểu song điều hòa Xét trong miền bị chặn xác định, chúng tôi đã giải phóngđược các điều kiện hạn chế trong các bài báo trên Chúng tôi chứng minh đượctoán tử đối với ϕ dưới một số điều kiện dễ kiểm tra của hàm f trong miền bị

chặn được chỉ ra là toán tử co Theo nguyên lý ánh xạ co, ta chỉ ra bài toán banđầu có duy nhất nghiệm và sự hội tụ của phương pháp lặp tìm nghiệm xấp xỉ.Tính dương của nghiệm và tính đơn điệu của dãy lặp cũng được chỉ ra Chúngtôi đưa ra các ví dụ, trong đó nghiệm chính xác của bài toán đã biết hoặc chưabiết để minh họa cho các kết quả lý thuyết thu được.

toán biên đối với phương trình vi phân thường cấp bốn

Các định lý điểm bất động và phương pháp đơn điệu được sử dụng trongnghiên cứu định tính và phương pháp giải cho nhiều bài toán phi tuyến cấp bốnvới các điều kiện biên khác nhau

Xét bài toán giá trị biên đối với phương trình vi phân thường cấp bốn

giả thiết liên quan đến đạo hàm riêng của f theo u và v. Tiếp theo, năm 1997,

Ma và cộng sự [29] bằng phương pháp đơn điệu, khi biết trước nghiệm dưới vànghiệm trên đã xây dựng hai dãy hàm đơn điệu hội tụ tới các nghiệm cực trị củabài toán Ở đó các tác giả thu nhận được kết quả với giả thiết hàm f (x, u, v)

đơn điệu tăng theo biến uvà đơn điệu giảm theo biến v trong dải được xác địnhbởi nghiệm dưới và nghiệm trên Để chứng minh hiệu lực của phương pháp đơnđiệu với bài toán giá trị biên hai điểm (2.1), bài báo trình bày nguyên lý cựcđại đối với toán tử

L : F → C[0, 1]

định nghĩa bởi Lu = u(4), trong đó u ∈ F và

như sau

Nghiệm trện, nghiệm dưới của bài toán được định nghĩa như sau

toán (2.1) nếu thỏa mãn

bài toán (2.1).

Sau đó, vào năm 2004, khi nghiên cứu bài toán (2.1), Bai và cộng sự [15] độclập với Ma cũng xây dựng hai dãy hàm đơn điệu hội tụ tới các nghiệm cực trịcủa bài toán bằng cách xét phương trình tương đương

u(4)(x) − au00(x) + bu(x) = f (x, u(x), u00(x)) − au00(x) + bu(x),

trong đó a, b là các hằng số dương được chọn phù hợp Tác giả định nghĩanghiệm dưới, nghiệm trên của bài toán như sau:

trong đó α0 = α, β0 = β và toán tử T được định nghĩa như sau

T : C2[0, 1] −→ C4[0, 1]

T η = u

u là nghiệm của bài toán

u(4)(x) − au00(x) + bu(x) = f (x, η(x), η00(x)), η(0) = η(1) = 0,

Năm 2002, Ehme [18], xét bài toán giá trị biên cấp bốn với điều kiện biênphi tuyến

Bài toán (2.2)-(2.3) và (2.2)-(2.4) là tương đương

Cặp nghiệm trên-nghiệm dưới mạnh của bài toán được định nghĩa như sau