Nghiệm lặp của phương trình phi tuyến với toán tử accretive mạnh trong không gian banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  DƯƠNG VĂN SÁNG NGHIỆM LẶP CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN VỚI TỐN TỬ ACCRETIVE MẠNH TRONG KHƠNG GIAN BANACH Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ THU THỦY Thái Ngun - 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ LỜI CẢM ƠN Luận văn hồn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Ngun hướng dẫn tận tình Tiến sĩ Nguyễn Thị Thu Thủy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tận tâm nhiệt tình Cơ suốt q trình tác giả thực luận văn Trong q trình học tập làm luận văn, từ giảng Giáo sư, Phó Giáo sư cơng tác Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ Thơng tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Việt Nam, Thầy Cơ Đại học Thái Ngun, tác giả trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu cơng tác thân Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới Thầy Cơ Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học Quan hệ quốc tế, Khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Ngun quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Cuối tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị cơng tác đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tơi học tập nghiên cứu Tác giả Dương Văn Sáng Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Bảng ký hiệu Mở đầu Phương trình phi tuyến với tốn tử accretive 1.1 1.2 Tốn tử accretive, tốn tử khơng giãn Bài tốn điểm bất động 1.3 1.4 Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động Phương trình tốn tử accretive 16 Phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến với tốn tử accretive mạnh 18 2.1 Sự hội tụ trường hợp tốn tử accretive mạnh liên tục Lipschitz 18 2.2 Sự hội tụ trường hợp tốn tử accretive mạnh liên tục 24 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Bảng ký hiệu X X∗ φ x := y ∀x ∃x I A∗ D(A) F ix(T ) xn → x Khơng gian Banach thực Khơng gian liên hợp X Tập rỗng x định nghĩa y Với x Tồn x Tốn tử đơn vị Tốn tử liên hợp tốn tử A Miền xác định tốn tử A Tập điểm bất động tốn tử T Dãy {xn } hội tụ mạnh tới x Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động có ứng dụng nhiều lĩnh vực tốn học tốn tối ưu, bất đẳng thức biến phân, tốn chấp nhận lồi, tốn cân Cho X khơng gian Banach thực, C tập X , T : C → X tốn tử phi tuyến Phương pháp xấp xỉ nghiệm x∗ phương trình T x = x hướng nghiên cứu quan trọng nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm Điểm x∗ thỏa mãn T x∗ = x∗ gọi điểm bất động tốn tử T Trong nhiều trường hợp quan trọng, việc tìm nghiệm phương trình tốn tử đưa tốn tìm điểm bất động tốn tử thích hợp Chẳng hạn nghiệm phương trình tốn tử Ax = f , A : X → X tốn tử phi tuyến, f phần tử thuộc X , điểm bất động tốn tử S xác định Sx = Ax + x − f với x ∈ X Nếu T tốn tử khơng giãn A := I − T tốn tử accretive, I tốn tử đơn vị X Do tốn tìm điểm bất động tốn tử khơng giãn đưa tốn giải phương trình tốn tử accretive Mục đích đề tài luận văn nhằm nghiên cứu phương pháp lặp Mann phương pháp lặp Ishikawa giải phương trình tốn tử accretive khơng gian Banach Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương giới thiệu số kiến thức tốn tử accretive đơn trị, tốn tử khơng giãn, tốn điểm bất động phương trình tốn tử accretive Phần cuối chương giới thiệu số dãy lặp cổ điển xấp xỉ điểm bất động, dãy lặp Mann dãy lặp Ishikawa Chúng tơi giới thiệu lịch sử dãy lặp sở mở rộng Deiling, Chidume, Liu, Zhou, Osilike Ding (xem [6], [2], [8], [12], [10], [4], [5]) Trong chương 2, chúng tơi trình bày số phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến với tốn tử accretive mạnh khơng gian Banach Sự hội tụ dãy lặp kiểu Mann Ishikawa chứng minh chi tiết Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ trường hợp tốn tử accretive mạnh đơn trị, liên tục Lipschiz liên tục Đóng góp chúng tơi luận văn đọc, dịch, tổng hợp kiến thức tài liệu [1]-[12] Tồn phần chứng minh định lý chương chúng tơi làm rõ từ kết nghiên cứu có [1], khơng chứng minh tường minh tài liệu Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Chương Phương trình phi tuyến với tốn tử accretive Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm kết tốn tử accretive, tốn điểm bất động, phương trình tốn tử số phương pháp lặp kinh điển tìm điểm bất động tốn tử khơng gian Banach Các kết chương tham khảo tài liệu [1]-[12] 1.1 Tốn tử accretive, tốn tử khơng giãn Cho X khơng gian Banach thực, X ∗ khơng gian liên hợp X x∗ , x ký hiệu giá trị x∗ ∈ X ∗ x ∈ X Ký hiệu 2X họ tập khác rỗng X Cho A tốn tử với miền xác định D(A) miền giá trị R(A) ∗ Định nghĩa 1.1 Tốn tử J : X → 2X (nói chung đa trị) gọi tốn tử đối ngẫu chuẩn tắc X J(x) = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x = x x∗ , x∗ = x } Trong trường hợp đơn trị ta ký hiệu j Tính đơn trị tốn tử đối ngẫu chuẩn tắc khơng gian Banach X cho mệnh đề sau Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Mệnh đề 1.2 Giả sử X khơng gian Banach Khi đó, i) J(x) tập lồi, J(λx) = λJ(x), với λ > 0; ii) J tốn tử đơn trị X ∗ khơng gian lồi chặt Trong trường hợp X khơng gian Hilbert J ≡ I -tốn tử đơn vị X Một bất đẳng thức đơn giản thơng dụng thường dùng để thiết lập mối quan hệ tốn tử đối ngẫu chuẩn tắc J chuẩn khơng gian Banach bất đẳng thức Petryshyn [11] Định nghĩa 1.3 Cho X khơng gian Banach thực, J : X → 2X ∗ tốn tử đối ngẫu X Khi x+y ≤ x + y, j(x + y) (1.1) với x, y ∈ X j(x + y) ∈ J(x + y) Bất đẳng thức (1.1) gọi bất đẳng thức Petryshyn Định nghĩa 1.4 Tốn tử đơn trị A : X → X gọi i) accretive Ax − Ay, J(x − y) ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A); ii) accretive chặt dấu bất đẳng thức đạt x = y; iii) accretive tồn hàm tăng γ(t), t ≥ 0, γ(0) = 0, cho Ax − Ay, J(x − y) ≥ γ( x − y ), ∀x, y ∈ D(A); iv) k -accretive mạnh γ(t) = kt2 , k > số; v) m-accretive R(I + λA) = X , ∀λ > Định nghĩa 1.5 Tốn tử T : X → X gọi liên tục Lipschitz tồn số L > thỏa mãn T x − T y ≤ L x − y , ∀x, y ∈ D(T ) Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ (1.2) Số L gọi số Lipschitz T Nếu L < T tốn tử co L = T tốn tử khơng giãn, nghĩa |T x − T y ≤ x − y , ∀x, y ∈ D(T ) (1.3) Tính chất accretive khơng giãn tốn tử T có mối liên hệ sau Cho X khơng gian Banach C tập X Khi T : C → X tốn tử khơng giãn A := I − T tốn tử accretive Hơn nữa, C trùng với X A := I − T tốn tử m-accretive Định nghĩa 1.6 Cho T : D(T ) ⊂ X → X tốn tử (i) Tốn tử T gọi giả co với x, y ∈ D(T ), tồn j(x − y) ∈ J(x − y) cho T x − T y, j(x − y) ≤ x − y (1.4) (ii) Tốn tử T gọi giả co mạnh với x, y ∈ D(T ) tồn j(x − y) ∈ J(x − y) số l ∈ (0, 1) cho T x − T y, j(x − y) ≤ l x − y (1.5) (iii) Tốn tử T gọi giả co chặt với x, y ∈ D(T ), tồn số k > j(x − y) ∈ J(x − y) cho T x − T y, j(x − y) ≤ x − y − k (Ix − Iy) − (T x − T y) , (1.6) I tốn tử đồng X Chú ý rằng, bất đẳng thức (1.6) viết dạng (I − T )x − (I − T )y, j(x − y) ≥ k (I − T )x − (I − T )y (1.7) Trong khơng gian Hilbert, bất đẳng thức (1.6) (1.7) tương đương Tx − Ty ≤ x−y + λ (I − T )x − (I − T )y , (1.8) với x, y ∈ D(T ) λ = − k < Khi λ = bất đẳng thức (1.8) có dạng T x − T y ≤ x − y , ∀x, y ∈ D(T ) Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ (1.9) 1.2 Bài tốn điểm bất động Định nghĩa 1.7 Phần tử x ∈ D(T ) khơng gian Banach X gọi điểm bất động tốn tử T x = T x Ký hiệu tập điểm bất động tốn tử T F ix(T ) Chú ý tập điểm bất động tốn tử khơng giãn T khơng gian Banach lồi chặt X khác rỗng tập lồi đóng Bài tốn điểm bất động phát biểu sau: Cho C tập lồi khơng gian Banach X , T : C → X tốn tử Hãy tìm phần tử x∗ ∈ C cho T x∗ = x∗ (1.10) Việc tìm nghiệm tốn điểm bất động (1.10) tương đương với việc giải phương trình tốn tử T x − x = (1.11) Định lý 1.8 (Định lý điểm bất động Banach) Cho (X, d) khơng gian metric đầy đủ T : X → X tốn tử co Khi T có điểm bất động X với x0 ∈ X dãy lặp {T n x0 } hội tụ đến điểm bất động Định lý điểm bất động Banach đưa luận án Banach vào năm 1992, sử dụng để thiết lập tồn nghiệm phương trình tích phân Kể từ đó, đơn giản hữu dụng, trở thành cơng cụ phổ biến việc giải vấn đề tồn nhiều ngành tốn học giải tích Chú ý rằng, tốn tử khơng giãn T : X → X có điểm bất động khơng dãy {xn } xác định xn+1 = T xn với n = 0, 1, 2, khơng hội tụ tới điểm bất động T Ví dụ, cho T : R → R xác định T x = − x Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Tác động với j(xn+1 ) ∈ J(xn+1 ) đẳng thức (2.2) ta thu xn+1 − x∗ ≤ (1 − αn ) xn − x∗ , j (xn+1 − x∗ ) + αn Sxn+1 − x∗ , j (xn+1 − x∗ ) − αn Sxn+1 − Syn , j (xn+1 − x∗ ) ≤ (1 − αn ) xn − x∗ (2.4) xn+1 − x∗ + αn Sxn+1 − Sx∗ , j (xn+1 − x∗ ) + αn Sxn+1 − Syn xn+1 − x∗ Dễ thấy tồn j(xn+1 − x∗ ) ∈ J(xn+1 − x∗ ) cho Sxn+1 − Sx∗ , j (xn+1 − x∗ ) ≤ (1 − k) xn+1 − x∗ (2.5) Ta thay (2.3) (2.5) vào (2.4) để nhận xn+1 − x∗ ≤ (1 − αn ) xn − x∗ xn+1 − x∗ + (1 − k) αn xn+1 − x∗ + Kn αn xn − x∗ (2.6) xn+1 − x∗ Ở đây, ta giả thiết xn+1 − x∗ > 0, nên từ (2.6) suy ra: xn+1 − x∗ ≤ (1 − αn ) xn − x∗ + (1 − k) αn xn+1 − x∗ + Kn αn xn − x ∗ (2.7) Từ điều kiện i) ii) định lý ta có Kn ≤ k − r với n ≥ 0, nên từ (2.7) ta suy − αn + K n αn xn − x∗ − (1 − k) αn r ≤ 1− αn x n − x ∗ − (1 − k) αn xn+1 − x∗ ≤ ≤ (1 − rαn ) xn − x∗   n   ≤ exp −r αj xn − x∗ → 0, n → ∞   j=0 20 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ (2.8) Hệ 2.2 Cho X , T , S , {αn } Định lý 2.1 Khi dãy lặp Mann {xn } xác định x0 ∈ X xn+1 = (1 − αn )xn + αn Sxn , n ≥ hội tụ mạnh đến nghiệm phương trình T x = f Chứng minh Cho βn = với n ≥ Định lý 2.1 ta nhận điều cần chứng minh Hệ 2.3 Cho X , T , S , {αn } Định lý 2.1 Khi dãy lặp Picard {xn } x0 ∈ X xn+1 = (1 − λ)xn + λSxn , n ≥ hội tụ mạnh đến nghiệm phương trình T x = f Định lý 2.4 Cho X khơng gian Banach thực T : X → X tốn tử accretive mạnh liên tục Lipschitz, {αn } {βn } dãy số thực [0; 1] thỏa mãn điều kiện sau: i) αn ≤ k , ii) βn ≤ k(1 − k) , , n ≥ 0, (2 + k)(1 − k) 2L∗ [1 + L∗ (1 + L∗ )] k(1 − k) , n ≥ 0, 2L∗ (1 + L∗ ) ∞ αn = ∞ iii) n=0 Tốn tử S : X → X xác định Sx = f + x − T x với x ∈ X f ∈ X Khi dãy lặp Ishikawa    x0 ∈ X (2.9) xn+1 = (1 − αn )xn + αn Syn , n ≥   yn = (1 − βn )xn + βn Sxn , n ≥ hội tụ mạnh đến nghiệm x∗ phương trình T x = f Hơn 21 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ta có đánh giá xn+1 − x∗ ≤ k   exp −k  n αj   T x0 − f , n ≥  j=0 Chứng minh Vì T : X → X tốn tử accretive mạnh liên tục Lipschitz nên theo Bổ đề 1.24 S : X → X tốn tử giả co mạnh liên tục Lipschitz với số Lipschitz L∗ = + L Rõ ràng rằng, x∗ nghiệm phương trình T x = f x∗ điểm bất động S Mà theo Định lý 1.11 S có điểm bất động X , nên phương trình T x = f có nghiệm X Bây ta chứng minh dãy lặp Ishikawa {xn } xác định (2.9) hội tụ mạnh tới nghiệm x∗ phương trình T x = f , tức điểm bất động x∗ S Thật vậy, S giả co mạnh nên tồn j(x − y) ∈ J(x − y) thỏa mãn: Sx − Sy, j (x − y) ≤ (1 − k) x − y , ∀x, y ∈ X (2.10) Đặt Ln = L∗ [1 + L∗ (1 + L∗ )]αn + L∗ (1 + L∗ )βn Sử dụng Định lý 1.1 (2.10) ta có: xn+1 − x∗ = (1 − αn ) (xn − x∗ ) + αn (Syn − x∗ ) ≤ (1 − αn )2 xn − x∗ 2 + 2αn Syn − x∗ , j (xn+1 − x∗ ) ≤ (1 − αn )2 xn − x∗ + 2αn Syn − Sxn+1 , j (xn+1 − x∗ ) + 2αn Sxn+1 − Sx∗ , j (xn+1 − x∗ ) ≤ (1 − αn )2 xn − x∗ + 2αn Syn − Sxn+1 xn+1 − x∗ + 2αn (1 − k) xn+1 − x∗ 22 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ (2.11) Từ (2.9), ta có Syn − Sxn+1 ≤ L∗ yn − xn+1 = L∗ (αn − βn )(xn − x∗ ) + αn (x∗ − Syn ) + βn (Sxn − x∗ ) ≤ L∗ (αn + βn ) xn − x∗ (2.12) + αn L∗ yn − x∗ + βn L∗ xn − x∗ ≤ L∗ αn [1 + L∗ (1 + L∗ )] xn − x∗ + βn (1 + L∗ ) = Ln xn − x∗ Thay (2.12) vào (2.11) ta nhận xn+1 − x∗ ≤ (1 − αn )2 xn − x∗ + 2αn L∗ xn − x∗ xn+1 − x∗ + 2αn (1 − k) xn+1 − x∗ ≤ (1 − αn )2 + αn Ln xn − x∗ (2.13) + [2αn (1 − k) + αn Ln ] xn+1 − x∗ Sử dụng điều kiện i) ii) định lý ta có xn+1 − x∗ ≤ [1 − αn (2 + k)] xn − x∗ + [αn (1 − k) (2 + k)] xn+1 − x∗ , (2.14) suy xn+1 − x∗ − αn (2 + k) xn − x∗ − αn (1 − k) (2 + k) k (2 + k) αn = 1− xn − x∗ − αn (1 − k) (2 + k) ≤ (1 − kαn ) xn − x∗ ≤ n ≤ exp −k αj x0 − x∗ → 0, n → ∞, j=0 23 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ∞ αn = ∞ Do vậy, ta có xn → x∗ n → ∞ Hơn nữa: n=0 xn+1 − x∗ ≤ k   exp −k  n αj   x0 − T x0 , ∀n ≥  j=0 Hệ 2.5 Cho X , T , S , {αn } Định lý 2.4 Khi dãy lặp Mann {xn } xác định sau: x0 ∈ X xn+1 = (1 − αn )xn + αn Sxn , n ≥ hội tụ mạnh đến nghiệm x∗ phương trình T x = f Hơn nữa, ta có đánh giá xn+1 − x∗ ≤ k   exp −k  n αj j=0   T x0 − f , n ≥  Chứng minh Kết luận hệ suy trực tiếp từ việc chứng minh Định lý 2.4 cho βn = với n ≥ 2.2 Sự hội tụ trường hợp tốn tử accretive mạnh liên tục Trước hết ta nhắc lại định nghĩa chuẩn khả vi Gâteaux Ký hiệu SX := {x ∈ X : x = 1} mặt cầu đơn vị X Định nghĩa 2.6 Khơng gian Banach X gọi i) có chuẩn khả vi Gâteaux (hoặc khơng gian trơn) giới hạn lim t→0 x + ty − x t tồn với x, y ∈ SX 24 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ii) có chuẩn khả vi Gâteaux giới hạn đạt với x ∈ SX Mệnh đề 2.7 Cho X khơng gian Banach Khi đó, X có chuẩn khả vi Gâteaux tốn tử đối ngẫu chuẩn tắc J đơn trị chuẩn X khả vi Gâteaux tốn tử đối ngẫu chuẩn tắc J liên tục ∗ yếu tập bị chặn X Bổ đề 2.8 Cho {an }, {bn } {cn } dãy số thực khơng âm thỏa mãn an+1 ≤ (1 − tn )an + bn + cn , n ≥ n0 n0 số ngun dương {tn } dãy số đoan [0; 1] cho n → ∞ ∞ n=1 tn = ∞, bn = ◦(tn ) ∞ n=1 cn < ∞ Khi an → Định lý 2.9 Cho X khơng gian Banach thực T : X → X tốn tử accretive mạnh liên tục với miền giá trị R(I − T ) bị chặn, {αn } {βn } dãy thực (0; 1) thỏa mãn điều kiện sau: i) αn → 0, βn → n → ∞, ∞ αn = ∞ ii) n=0 Định nghĩa tốn tử Sx = f + x − T x với x ∈ X f ∈ X Khi dãy lặp Ishikawa {xn } xác định bởi:    x0 ∈ X (2.15) xn+1 = (1 − αn )xn + αn Syn , n ≥   yn = (1 − βn )xn + βn Sxn , n ≥ hội tụ mạnh đến nghiệm phương trình T x = f Chứng minh Đặt K = co {S(X) ∪ {x0 }} Khi K tập bị chặn lồi đóng khác rỗng X Hơn nữa, theo Bổ đề 1.24 S : K → K tốn tử giả co mạnh liên tục Theo Định lý 1.11 S có điểm bất động X , kí hiệu x∗ Ta chứng minh 25 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ dãy lặp Ishikawa {xn } xác định (2.15) hội tụ đến điểm bất động x∗ S Thật vậy, {xn }, {Sxn } {Syn } dãy bị chặn K , nên ta có: yn − xn+1 = (αn − βn ) xn + βn Sxn − αn Syn → 0, n → ∞ Từ tính liên tục S suy Sxn+1 − Syn → 0, n → ∞ Điều kéo theo − αn xn − x∗ + ◦(αn ) − (1 − k) αn k = 1− αn xn − x∗ + ◦(αn ) k − (1 − k) αn xn+1 − x∗ ≤ (2.16) ≤ (1 − kαn ) xn − x∗ + ◦(αn ), với n đủ lớn Áp dụng Bổ đề 2.8 suy xn → x∗ n → ∞ Hơn x∗ điểm bất động S nghiệm phương trình T x = f, nên ta có điều phải chứng minh Hệ 2.10 Cho X , T , S , {αn } Định lý 2.9 Khi dãy lặp Mann {xn } xác định sau: x0 ∈ X xn+1 = (1 − αn )xn + αn Sxn , n ≥ hội tụ mạnh đến nghiệm x∗ phương trình T x = f Chứng minh Từ Định lý 2.9 với βn = với n ≥ ta có kết cần chứng minh Định lý 2.11 Cho X khơng gian Banach thực T : X → X tốn tử m-accretive liên tục với miền giá trị R(T ) bị chặn, {αn } {βn } dãy thực (0; 1) thỏa mãn điều kiện sau: i) αn → 0, βn → n → ∞, ∞ αn = ∞ ii) n=0 26 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Định nghĩa tốn tử Q : X → X với Qx = f − T x, ∀x ∈ X f ∈ X phần tử cố định Khi dãy lặp Ishikawa {xn } xác định bởi:    x0 ∈ X (2.17) xn+1 = (1 − αn )xn + αn Qyn , n ≥   yn = (1 − βn )xn + βn Qxn , n ≥ hội tụ mạnh đến nghiệm phương trình x + T x = f Chứng minh Vì T : X → X tốn tử m-accretive nên thấy phương trình x + T x = f có nghiệm x∗ Q có điểm bất động x∗ Đặt K = co {Q(X) ∪ {x0 }} Khi đó, K tập lồi đóng khác rỗng bị chặn X Hơn Q : K → K tốn tử giả co mạnh liên tục nên tồn số k = t−1 t ∈ (0; 1) thỏa mãn: Qx − Qy, j(x − y) ≤ (1 − k) x − y , ∀x, y ∈ K (2.18) Đặt en = j (xn+1 − x∗ ) − j (yn − x∗ ) Khi đó, en → n → ∞ Hiển nhiên {xn }, {Qxn } {Qyn } nằm tập bị chặn K n → ∞ thì: (xn+1 − x∗ ) − (yn − x∗ ) = (βn − αn ) xn + αn Qyn − βn Qxn → Dựa vào tính liên tục j tập bị chặn X , ta có en → n → ∞ Chú ý rằng: xn+1 − x∗ = (1 − αn ) (xn − x∗ ) + αn (Qyn − Qx∗ ) Bằng việc tác động j(xn+1 − x∗ ) lên hai vế đẳng thức ta thu 27 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ được: xn+1 − x∗ ≤ (1 − αn ) xn − x∗ , j (xn+1 − x∗ ) + αn Qyn − Qx∗ , j (xn+1 − x∗ ) ≤ (1 − αn ) xn − x∗ xn+1 − x∗ + αn Qyn − Qx∗ , j (xn+1 − x∗ ) − j (yn − x∗ ) (2.19) + αn Qyn − Qx∗ , j (yn − x∗ ) ≤ (1 − αn ) xn − x∗ xn+1 − x∗ + (1 − k) αn yn − x∗ + ◦ (αn ) Chú ý rằng: yn − x∗ ≤ xn − x∗ + M βn yn − x∗ ≤ xn − x∗ + M βn (2.20) Vì vậy, (2.20) vào (2.19) ta thu được: xn+1 − x∗ ≤ (1 − αn ) xn − x∗ xn+1 − x∗ + (1 − k) αn xn − x∗ + ◦ (αn ) − αn ≤ xn − x∗ + xn+1 − x∗ 2 + (1 − k) αn xn − x∗ + ◦ (αn ) (2.21) Từ (2.21) ta có: xn+1 − x∗ ≤ 1− kαn 1+αn xn − x∗ ≤ (1 − kαn ) xn − x∗ 2 + ◦ (αn ) (2.22) + ◦ (αn ) Do xn → x∗ n → ∞ Ta nhận điều cần chứng minh Hệ 2.12 Cho X , T , Q, {αn } Định lý 2.11 Khi dãy lặp Mann {xn } xác định sau: x0 ∈ X xn+1 = (1 − αn )xn + αn Qxn , n ≥ hội tụ mạnh đến nghiệm x∗ phương trình x + T x = f 28 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Chứng minh Từ Định lý 2.11 với βn = với n ≥ ta có kết cần chứng minh Hệ 2.13 Cho X khơng gian Banach thực T : X → X tốn tử accretive liên tục với miền giá trị bị chặn R(T ) Cho {αn } dãy thực (0; 1) thỏa mãn: i) αn → ∞ n → ∞, ∞ αn = ∞ ii) n=0 Tốn tử Q : X → X xác định Qx = f − T x, ∀x ∈ X , f ∈ X phần tử cố định Khi dãy lặp Mann {xn } xác định sau: x0 ∈ X xn+1 = (1 − αn ) xn + αn Qxn , n ≥ hội tụ mạnh tới nghiệm x∗ phương trình x + T x = f Một số kết khơng gian Banach trơn trình bày hệ Trước hết ta nhắc lại khái niệm khơng gian Banach trơn Ký hiệu mặt cầu đơn vị khơng gian Banach X SX , với SX = {x ∈ X : ||x|| = 1} Định nghĩa 2.14 Khơng gian Banach X gọi trơn với x ∈ SX tồn fx ∈ X ∗ cho x, fx = ||x|| ||x|| = Định nghĩa 2.15 Mơ đun trơn khơng gian Banach X hàm số xác định ρX (τ ) = sup{2−1 (||x + y|| + ||x − y||) − : ||x|| = 1, ||y|| = τ } Định nghĩa 2.16 Khơng gian Banach X gọi trơn ρX (τ ) = τ →0 τ Hệ 2.17 Cho X khơng gian Banach thực trơn T : X → X tốn tử accretive mạnh với miền giá trị bị chặn R(I −T ) Giả sử phương trình T x = f có nghiệm x∗ Cho {αn } dãy thực (0; 1) thỏa mãn: lim 29 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ i) αn → ∞ n → ∞, ∞ αn = ∞ ii) n=0 Tốn tử G : X → X xác định Gx = f + x − T x, ∀x ∈ X Khi dãy lặp Mann {xn } xác định sau: x0 ∈ X xn+1 = (1 − αn ) xn + αn Gxn , n ≥ hội tụ mạnh tới nghiệm x∗ phương trình x + T x = f Hệ 2.18 Cho X khơng gian Banach thực trơn T : X → X tốn tử m-accretive với miền giá trị bị chặn R(T ) Cho {αn } dãy thực (0; 1) thỏa mãn: i) αn → ∞ n → ∞, ∞ αn = ∞ ii) n=0 Tốn tử B : X → X xác định Bx = f − T x, ∀x ∈ X , f ∈ X phần tử cố định Khi dãy lặp Mann {xn } xác định sau: x0 ∈ X xn+1 = (1 − αn ) xn + αn Bxn , n ≥ hội tụ mạnh tới nghiệm x∗ phương trình x + T x = f Hệ 2.19 Cho X khơng gian Banach thực trơn T : X → X tốn tử accretive nửa liên tục với miền giá trị bị chặn R(T ) Cho {αn } dãy thực (0; 1) thỏa mãn: i) αn → ∞ n → ∞, ∞ αn = ∞ ii) n=0 Tốn tử Z : X → X xác định Zx = f − T x, ∀x ∈ X , f ∈ X phần tử cố định Khi dãy lặp Mann {xn } xác định 30 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ sau: x0 ∈ X xn+1 = (1 − αn ) xn + αn Zxn , n≥0 hội tụ mạnh tới nghiệm phương trình x + T x = f 31 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ KẾT LUẬN Đề tài luận văn nghiên cứu lịch sử dãy lặp Mann Ishikawa xấp xỉ nghiệm cho tốn điểm bất động tốn tử, tốn giải phương tình tốn tử phi tuyến với tốn tử accretive đơn trị khơng gian Banach Đồng thời, luận văn trình bày số phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm phương trình phi tuyến với tốn tử accretive mạnh đơn trị, liên tục liên tục Lipschitz, chứng minh hội tụ mạnh dãy lặp tương ứng Hướng nghiên cứu đề tài nghiên cứu hội tụ mạnh dãy lặp kiểu Mann Ishikawa xấp xỉ nghiệm phương trình tốn tử accretive mạnh đa trị khơng gian Banach 32 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Tài liệu tham khảo [1] S -s Chang, Y J Cho and H Zhou, Iterative methods for nonlinear operator equations in Banach spaces , Nova Science Publishers, Inc, Huntington, New York, 2001 [2] C E Chidume, Iterative approximation of fixed points of Lipschitz strictly pseudo-contractive mappings, Proc Amer Math Soc., 9(2)(1987), 283-288 [3] C E Chidume, Proximation of fixed points of strongly pseudocontractive mappings, Proc Amer Math Soc., 120(2)(1994), 545-551 [4] C E Chidume and M O Osilike, Nonlinear accretive and pseudocontractive operator equations in Banach spaces, Nonlinear Anal TMA, 31(1998), 779-789 [5] X P Ding, Iterative process with errors to nonlinear φ-strongly accretive operator equations in arbitrary Banach spaces, Compt Math Appl., 33(1997), 75-82 [6] K Deimling, Zeros of accretive operators, Manuscripta Math 13(1974), 283-288 [7] S Ishhikawa, Fixed point by a new iteration method, Proc Amer Math Soc., 44(1974), 147-150 [8] L S Liu, Ishikawa and Mann iterative process with errors for nonlinear strongly accreive mappings in Banach spaces, J Math Anal Appl., 194(1995), 114-125 33 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ [9] W R Mann, Mean value methods in iteration, Proc Amer Math Soc , 1(1953), 506-510 [10] M O Osilike, Ishikawa and Mann iteration methods for nonlinear equations of the accretive type, J Math Anal Appl., 213(1997), 91105 [11] W V Petryshyn, A characterization of strict convexity of Banach spaces and other uses of dualyty mappings, J Funct Anal., 6(1970), 282-291 [12] H Y Zhou, Iterative solution of nonlinear equations involving strongly accretive operators without the Lipxchitz assumption, J Math Anal Appl., 213(1997), 296-307 34 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ [...]... lịch sử của dãy lặp Mann và Ishikawa xấp xỉ nghiệm cho bài tốn điểm bất động của một tốn tử, cũng là bài tốn giải phương tình tốn tử phi tuyến với tốn tử accretive đơn trị trong khơng gian Banach Đồng thời, luận văn trình bày một số phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm của phương trình phi tuyến với tốn tử accretive mạnh đơn trị, liên tục đều và liên tục Lipschitz, chứng minh sự hội tụ mạnh của các dãy lặp tương... chặt Trong chương 2 chúng tơi sẽ làm rõ mối liên hệ này trên cơ sở chứng minh sự hội tụ mạnh của các dãy lặp tương ứng 17 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ Chương 2 Phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến với tốn tử accretive mạnh Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu phương pháp giải phương trình phi tuyến trên cơ sở sự hội tụ của dãy lặp Mann và dãy lặp Ishikawa với tốn tử accretive. .. X là một tốn tử Khi đó, i) A là tốn tử accretive khi và chỉ khi I − A là tốn tử giả co; ii) A là tốn tử accretive mạnh khi và chỉ khi I − A là tốn tử giả co mạnh, ở đây I là tốn tử đơn vị trong X Như vậy việc xấp xỉ nghiệm của phương trình phi tuyến với tốn tử accretive hoặc accretive mạnh được đưa về bài tốn điểm bất động của 16 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ tốn tử giả co hoặc... tụ mạnh đến nghiệm duy nhất của phương trình T x = f Chứng minh Cho βn = 0 với mọi n ≥ 0 trong Định lý 2.1 ta nhận được điều cần chứng minh Hệ quả 2.3 Cho X , T , S , {αn } như trong Định lý 2.1 Khi đó dãy lặp Picard {xn } x0 ∈ X xn+1 = (1 − λ)xn + λSxn , n ≥ 0 hội tụ mạnh đến nghiệm duy nhất của phương trình T x = f Định lý 2.4 Cho X là khơng gian Banach thực và T : X → X là tốn tử accretive mạnh. .. tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của phương trình T x = f Chứng minh Vì T : X → X là tốn tử accretive mạnh và liên tục Lipschitz nên theo Bổ đề 1.24 S : X → X là tốn tử giả co mạnh và liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz L∗ = 1 + L Rõ ràng rằng, x∗ là nghiệm của phương trình T x = f khi và chỉ khi x∗ là điểm bất động của S Mà theo Định lý 1.11 thì S có điểm bất động duy nhất trong X , nên phương trình. .. định của tốn tử accretive A : X → X Rõ ràng rằng x∗ là nghiệm của phương trình tốn tử (1.25) khi và chỉ khi x∗ là điểm bất động của tốn tử S được xác định bởi Sx = f − Ax + x (1.26) Định lý 1.11 khẳng định rằng nếu S là giả co chặt (hoặc giả co mạnh) thì tốn tử S có duy nhất điểm bất động, khi đó, phương trình tốn tử accretive (1.25) sẽ có duy nhất nghiệm Ta có mối liên hệ giữa tốn tử accretive và... với tốn tử accretive mạnh trong khơng gian Banach Các kết quả của chương này được tổng hợp và làm chi tiết hơn từ tài liệu [1] 2.1 Sự hội tụ trong trường hợp tốn tử accretive mạnh và liên tục Lipschitz Ký hiệu L ≥ 1 và k ∈ (0; 1) là hằng số Lipschitz và hằng số accretive mạnh của tốn tử T Đặt L∗ = 1 + L và r là bất kỳ, nhưng cố định trong 0; k 2 Định lý 2.1 Cho X là một khơng gian Banach thực bất kỳ... , n ≥ 0 (1.22) hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của phương trình T x = f Năm 1997, Ding [5] cũng đã chứng minh một kết quả sau, kết quả này tổng qt hóa kết quả đã đưa ra trong Osilike Định lý 1.22 Cho X là khơng gian Banach bất kì và T : X → X là tốn tử k -accretive mạnh và liên tục Lipschitz với miền xác định D(T ) và miền giá trị R(T ) Giả sử phương trình T x = f có nghiệm với bất kì f ∈ D(T ) Cho... khơng gian Banach trơn đều được trình bày trong các hệ quả dưới đây Trước hết ta nhắc lại khái niệm về khơng gian Banach trơn đều Ký hiệu mặt cầu đơn vị của khơng gian Banach X là SX , với SX = {x ∈ X : ||x|| = 1} Định nghĩa 2.14 Khơng gian Banach X được gọi là trơn nếu với mỗi x ∈ SX tồn tại duy nhất fx ∈ X ∗ sao cho x, fx = ||x|| và ||x|| = 1 Định nghĩa 2.15 Mơ đun trơn của khơng gian Banach X là... với x0 ∈ D(T ) nào đó, dãy lặp kiểu Ishikawa {xn } với sai số xác định bởi: xn+1 = (1 − αn ) xn + αn T yn + un , n ≥ 0 yn = (1 − βn ) xn + βn T xn + vn , n ≥ 0 (1.24) được chứa trong D(T ) Khi đó dãy {xn } hội tụ mạnh tới điểm bất động duy nhất của T 1.4 Phương trình tốn tử accretive Ta xét phương trình tốn tử Ax = f, (1.25) trên một tập con lồi đóng G ⊂ D(A) ⊆ X , trong đó D(A) là miền xác định của