[1] D.T.T. Binh, A.P.N. Dinh, N.T. Long, Linear recursive schemes associated with the nonlinear wave equation involving Bessel’s operator, Math. Comp. Modelling, 34 (5-6) (2001) 541 – 556. [2] G.F. Carrier (1945), “On the nonlinear vibrations problem of elastic string”, Quart. J. Appl. Math. 3, pp. 157-165. [3] Y. Ebihara, L.A. Medeiros, M.M. Minranda, Local solutions for a nonlinear degenerate hyperbolic equation, Nonlinear Anal. 10 (1986) 27 – 40. [4] M. Hosoya, Y. Yamada, On some nonlinear wave equation I: Local existence and regularity of solutions, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sect. IA, Math. 38 (1991) 225 – 238. [5] N.T. Long, et al., On the nonlinear vibrations equation with a coefficient containing an integral, Comp. Maths. Math. Phys. 33 (9) (1993) 1171 – 1178. [6] N.T. Long, T.M. Thuyet, On the existence, uniqueness of solution of the nonlinear vibrations equation, Demonstratio Math. 32 (4) (1999) 749-758. [7] N.T. Long, A.P.N. Dinh, D.T.T. Binh, Mixed problem for some semilinear wave equation involving Bessel’s operator, Demonstratio Math. 32 (1) (1999) 77 – 94. [8] N.T. Long, A.P.N. Dinh, T.N. Diem, Linear recursive schemes and asymptotic expansion associated with the Kirchhoff-Carrier operator, J. Math. Anal. Appl. 267 (1) (2002) 116 – 134. [9] N. T. Long, On the nonlinear wave equation associated with the mixed homogeneous conditions, J. Math. Anal. Appl. 274 (1) (2002) 102 – 123. [10] N. T. Long, L. T. P. Ngoc, On a nonlinear Kirchhoff-Carrier wave equation in the unit membrane: The quadratic convergence and asymptotic expansion of solutions, Demonstratio Math. 40 (2) (2007) 365 – 392. [11] N.T. Long, L.T.P. Ngoc, On nonlinear boundary value problems for nonlinear wave equations, Vietnam J. Math. 37 (2 – 3) (2009) 141 – 178.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN TUẤN DUY PHƯƠNG TRÌNH SÓNG KIRCHHOFF PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET TRONG KHÔNG GIAN SOBOLEV CÓ TRỌNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌ C THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM 2010 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN TUẤN DUY PHƯƠNG TRÌNH SÓNG KIRCHHOFF PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET TRONG KHÔNG GIAN SOBOLEV CÓ TRỌNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60. 46. 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: TS. LÊ THỊ PHƯƠNG NGỌC Cao đẳng Sư phạm Nha Trang TP. HỒ CHÍ MINH – NĂM 2010 LUẬN VĂN ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP. HỒ CHÍ MINH Người hướng dẫn: TS. Lê Thị Phương Ngọc Cao đẳng Sư Phạm Nha Trang. Người nhận xét 1: TS. Trần Minh Thuyết Đại học Kinh tế TP. HCM. Người nhận xét 2: TS. Trịnh Anh Ngọc Đại học Khoa học Tự nhiên TP. HCM. Học viên Cao học: Nguyễn Tuấn Duy Đại học Tài chính – Marketting Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận án tại Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh vào lúc… giờ…, ngày…, tháng 12, năm 2010. Có thể tìm hiểu luận văn tại Phòng Sau Đại học, Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh. TP. HỒ CHÍ MINH – NĂM 2010 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi trân trọng kính gửi đến cô hướng dẫn, TS. Lê Thị Phương Ngọc lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất. Cô đã tận tình chỉ bảo giúp tôi nắm được từng bước nghiên cứu, giải đáp thắc mắc và đóng góp những ý kiến quí báu để tôi có thể vượt qua những khó khăn và hoàn thành luận văn này. Xin trân trọng cảm ơn thầy TS. Nguyễn Thành Long người đã dạy dỗ tôi những kiến thức quý báu trong suốt quá trình học tập, đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi được học tập trong một môi trường khoa học nghiêm túc. Tôi thành thật biết ơn thầy TS. Trần Minh Thuyết và Ths. Phạm Thanh Sơn đã đọc luận văn đóng góp chân tình và cho tôi những nhận xét bổ ích. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến quý Thầy Cô Khoa Toán – Tin học, trường Đ ại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và truyền đạt kiến thức cũng như kinh nghiệm quí báu cho tôi trong suốt thời gian học tập tại trường. Chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa cơ bản Trường Đại học Tài chính-Marketing đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành chương trình học cũng như các thủ tục bảo vệ luận văn tốt nghiệp. Xin cảm ơn các bạn lớp Cao học Giải tích khoá 18 và các anh chị trong nhóm Xeminar do Thầy Long tổ chức đã động viên và nhiệt tình giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn. Tôi cũng không quên gởi lời biết ơn đến gia đình tôi, những người đã luôn ủng hộ tôi trong những lúc khó khăn nhất. Tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo của các Thầy Cô và những đóng góp quí báu các bạn đồng nghiệp. Xin chân thành cảm ơn. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2010 Nguyễn Tuấn Duy 1 Mục lục Lời cảm ơn 1 Chương 1: Tổng quan bài toán 3 Chương 2 : Các không gian hàm và ký hiệu 7 Chương 3 : Định lý tồn tại duy nhất nghiệm 10 Chương 4 : Sự hội tụ cấp hai 25 Chương 5 : Khai triển tiệm cận của nghiệm theo tham số bé 43 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 2 Chương 1 Tổng quan bài toán Trong luận văn này chúng tôi xét bài toán sau 8 > > > > < > > > > : u tt ku r (t)k 2 0 u rr + 1 r u r = f(r; t; u; u r ); 0 < r < 1; 0 < t < T; lim r!0 + p ru r (r; t) < +1; u(1; t) = 0; u(r; 0) = eu 0 (r); u t (r; 0) = eu 1 (r); (1.1) trong đó các hàm số ; f; eu 0 ; eu 1 là cho trước, trong phương trình (1.1) 1 , số hạng Kirchhoff ku r (t)k 2 0 phụ thuộc vào tích phân ku r (t)k 2 0 = Z 1 0 ru 2 r (r; t)dr liên quan tới bài toán (1.1) là bài toán 8 > > < > > : v tt B 1 (jjrvjj 2 )v = f 1 (x; v); (x; t) 2 1 (0; T); v = 0; (x; t) 2 @ 1 (0; T); v(x; 0) = ev 0 (x); v t (x; 0) = ev 1 (x); x 2 1 ; (1.2) ở đây jjrvjj 2 = Z 1 jrv(x; t)j 2 dx = P N i=1 Z 1 v 2 x i (x; t)dx; trong đó 1 là một miền bị chặn trong R N với biên @ 1 đủ trơn v và là véctơ pháp tuyến đơn vị trên biên @ 1 hướng ra phía ngoài. Với N = 1 và 1 = (0; L) phương trình (1.2) 1 xuất phát từ bài toán mô tả dao động phi tuyến của một dây đàn hồi [6]. hv tt P 0 + Eh 2L Z L 0 j @v @y (y; t)j 2 )dy v xx = 0; 0 < x < L; 0 < t < T; ở đây v là độ võng, x là biến không gian, t là biến thời gian, là khối lượng riêng, h là thiết diện, L là chiều dài sợi dây ở lúc ban đầu, E là môđun Young và P 0 là lực căng lúc ban đầu. Trong [2], Carrier cũng đã thiết lập một bài toán có dạng v tt P 0 + P 1 Z L 0 jv 2 (y; t)jdy v xx = 0; 3 trong đó P 0 và P 1 là các hằng số. Trường hợp 1 là quả cầu đơn vị mở trong R N và các hàm v; f; ~v 0 ; ~v 1 phụ thuộc vào x thông qua r với r = jxj = P N i=1 x 2 i , ta đặt: v(x; t) = u(jxj; t); f 1 (x; t) = f(jxj; t); ~v 0 = ~u 0 (jxj); ~v 1 = ~u 1 (jxj); thì B 1 (jjrvjj 2 )v = B( Z 1 0 u 2 r (r; t)r dr)(u rr + r u r ); = N 1; ở đây B() = B 1 (!) với ! N diện tích mặt cầu đơn vị trong R N : Khi đó (1.2) viết lại như sau 8 > > < > > : u tt B( Z 1 0 u 2 r (r; t)r dr)(u rr + r u r ) = f(r; u); 0 < r < 1; 0 < t < T; u(1; t) = 0; 0 < t < T; u(r; 0) = eu 0 (r); u t (r; 0) = eu 1 (r); 0 < r < 1: (1.3) Với N = 2, (1.1) 1 là phương trình sóng phi tuyến hai chiều mô tả dao động của màng đơn vị = f(x; y) : x 2 + y 2 < 1g. Trong quá trình dao động, bề mặt của màng và sức căng tại các điểm khác nhau trên đó thay đổi theo thời gian. Điều kiện biên (1:1) 2 tại r = 1 mô tả đường biên của màng tròn được giữ cố định. Điều kiện biên (1:1) 2 tại r = 0 hiển nhiên sẽ được thỏa mãn nếu u là một nghiệm cổ điển của bài toán, chẳng hạn như u 2 C 1 ( [0; T]) \ C 2 ( (0; T)): Điều kiện này thường được sử dụng trong sự liên hệ với các không gian Sobolev có trọng r [1, 7, 10]: Trường hợp phương trình (1.3) 1 không chứa số hạng r u r thì (1.3) 1 có dạng u tt B( Z 1 0 ru 2 r (r; t)dr)u rr = f(r; u): (1.4) Khi f = 0 bài toán Cauchy hay bài toán hỗn hợp (1.4) đã được nhiều tác giả nghiên cứu; xem [2, 4] và các tài liệu tham khảo được nêu trong đó. Tổng quan các kết quả thuộc về lĩnh vực Toán học của mô hình Kirchhoff có thể được tìm thấy trong các tài liệu [12, 13]. Hosoya và Yamada [4] đã nghiên cứu bài toán (1:4) (1:3) 3;4 với f = f(u) = juj u; trong đó > 0, 0 là các hằng số cho trước. Trong [5, 6], các tác giả Long, Thuyết cũng đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình u tt + 2 u B(jjrujj 2 )u + "ju t j 1 u t = F (x; t); x 2 ; t > 0; ở đây > 0; " > 0; 0 < < 1, là tập mở và bị chặn trong R 3 : 4 Trường hợp có thành phần 1 r u r xuất hiện trong phương trình (1:1) 1 ta phải khử bỏ hệ số 1 r bằng cách sử dụng các không gian Sobo lev có trọng thích hợp [1, 7, 10]. Luận văn được trình bày theo các chương mục sau: Chương 1: Phần mở đầu tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn, chỉ ra các kết quả đã có trước đó. Chương 2: Trình bày một số kết quả chuẩn bị bao gồm việc nhắc lại một số không gian Sobolev có trọng, một số kết quả về các phép nhúng compact giữa các không gian hàm. Chương 3: Khảo sát bài toán xấp xỉ tuyến tính cho bài toán (1.1) nghiên cứu về sự hội tụ của thuật giải, sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu của bài toán (1.1). Chương 4: Khảo sát thuật giải lặp cấp hai và tìm lại kết quả tồn tại của nghiệm yếu của bài toán (1) với f = f(r; t; u) kết quả này là sử mở rộng của [18] khi thay f(r; u) = f(r; t; u). Chương 5: Xét bài toán nhiễu sau đây: (P 1 ) 8 > > > > < > > > > : u tt 0 + 1 ku r (t)k 2 0 u rr + 1 r u r = f(r; t; u); 0 < r < 1; 0 < t < T; lim r!0 + p ru r (r; t) < +1; u(1; t) = 0; u(r; 0) = eu 0 (r); u t (r; 0) = eu 1 (r); (1.5) trong đó 0 là một hằng số cố định cho trước, và 1 là một tham số bé. a/ Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu của bài toán (1.5) khi 1 ! 0 + : b/ Nghiên cứu khai triển tiệm cận của nghiệm yếu của bài toán nhiễu (1.5) theo một tham số bé 1 , có nghĩa là, có thể xấp xỉ nghiệm u bởi một đa thức theo 1 : u(r; t) N X n=0 U n (r; t) n 1 ; theo nghĩa cần phải chỉ ra các hàm U n (r; t); n = 0; 1; ::; N và thiết lập đánh giá u N X n=0 U n n 1 C N N+1 1 ; 5 theo một chuẩn jj:jj nào đó, với tham số 1 > 0 đủ bé, các hằng số C N độc lập với 1 : 6 Chương 2 Các không gian hàm và kí hiệu Đặt = (0; 1). Ta bỏ qua định nghĩa các không gian hàm thông dụng C m (), L p (); H m (): Với mỗi hàm v 2 C 0 (); ta định nghĩa kvk 0 = Z 1 0 rv 2 (r)dr 1 2 và V 0 là đầy đủ hóa của không gian C 0 () đối với jj:jj 0 : Tương tự, với mỗi hàm v 2 C 1 () ta định nghĩa kvk 1 = (jjvjj 2 0 + jjv r jj 2 0 ) 1=2 và V 1 là đầy đủ hoá của C 1 () đối với chuẩn jj:jj 1 . Ta chú ý rằng cá c chuẩn jj:jj 0 và jj:jj 1 có thể được định nghĩa lần lượt từ các tích vô hướng hu; vi = Z 1 0 ru(r)v(r)dr và hu; vi + hu 0 ; v 0 i: Dễ dàng chứng minh được rằng V 0 và V 1 là các không gian Hilbert với các tích vô hướng tương ứng như trên. Mặt khác, V 1 được nhúng liên tục và nằm trù mật trong V 0 : Đồng nhất V 0 với V 0 0 (đối ngẫu của V 0 ), ta có V 1 ,! V 0 V 0 0 ,! V 0 1 : Ta cũng dùng ký hiệu h; i để chỉ cặp tích đối ngẫu giữa V 1 và V 0 1 : Ta có các bổ đề sau: Bổ đề 2.1. Tồn tại hai hằng số dương K 1 và K 2 sao cho với mọi v 2 C 1 (); ta có: (i)jjv r jj 2 0 + v 2 (1) jjvjj 2 0 ; (ii)jv(1)j K 1 jjvjj 1 ; (iii) p rv(r) K 2 jjvjj 1 ; 8r 2 : Đặt e V 1 = fv 2 V 1 : v(1) = 0g; khi đó ta chứng minh được rằng e V 1 là một không gian con đóng của V 1 nên nó cũng là một không gian Hilbert đối với cùng một tích vô hướng trên V 1 : Mặt khác ta cũng có: Bổ đề 2.2. (i) Phép nhúng e V 1 ,! V 0 là compact. (ii) Trên e V 1 ; hai chuẩn v 7! jjv r jj 0 ; v 7! jjvjj 1 là hai chuẩn tương đương. Chứng minh bổ đề 2.2 được suy ra từ bổ đề 2:1(i). Trong luận văn này chúng tôi sử dụng chuẩn trên e V 1 là v 7! jjv r jj 0 : 7 [...]... : L 2 Chứng minh bổ đề 2.6 có thể tìm thấy trong [1] e Bổ đề 2.7 Với mọi u 2 V1 và v 2 V0 ; ta có: 1 hu2 ; jvji p jjur jj2 jjvjj0 : 0 2 Với một không gian Banach X ta sẽ ký hiệu chuẩn trên là jj:jjX và X0 là đối ngẫu của X Ký hiệu Lp (0; T ; X); 1 p 1 là không gian Banach gồm tất cả các hàm đo được u : (0; T ) ! X; sao cho jjujjLp (0;T ;X) = Z 0 1=p T jju(t)jjp dt X < 1; với 1 p < 1; và jjujjL1 (0;T... thể tìm thấy trong [19: trang 87, định lý 7.7] 2 Đặt V2 là không gian đầy đủ hóa của C0 ([0; 1]) = fv 2 C 2 ([0; 1]) : v(1) = 0g với chuẩn là: 1 kvk2 = kvr k2 + kAvk2 2 : (2.2) 0 0 V2 cũng là không gian Hilbert đối với tích vô hướng: hur ; vr i + hAu; Avi : e Mặt khác ta cũng có thể định nghĩa V2 = fv 2 V1 : Av 2 V0 g: 8 (2.3) e Bổ đề 2.5 Các phép nhúng V2 ,! V1 ,! V0 là compact Bổ đề 2.6 Với mọi v 2... > u1k = > e : Với giả thiết um 1 (k) j wj j=1 k X (k) j wj j=1 ! u0 ; trong V2 mạnh, ~ (3.8) e ! u1 ; trong V1 mạnh ~ thỏa (3.3), ta có bổ đề sau Bổ đề 3.2 Giả sử (H1 ) (H3 ) đúng Khi đó với các hằng số M > 0; T > 0 cố (k) định, hệ phương trình (3.7)-(3.8) có nghiệm duy nhất um (t) trên đoạn 0 t T: Chứng minh bổ đề 3.2 Hệ phương trình (3.7)-(3.8) được viết lại dưới dạng ( (k) (k) cmj (t) = • j k; j... cho với e e e e u0 0; tồn tại dãy quy nạp tuyến tính fum g W1 (M; T ) xác định bởi (4.2) và (4.3) Chứng minh Định lý 4.1 Ta chia làm các bước sau Bước 1: Xấp xỉ Galerkin wj ~ e Giả sử wj = f p g là cơ sở trong V1 : Dùng phương pháp xấp xỉ Faedo-Galerkin j để xây dựng nghiệm xấp xỉ của (4.2) và (4.3) dưới dạng u(k) (t) = m k X (k) cmj (t)wj ; j=1 (k) trong đó cmj (t) thỏa mãn hệ phương trình vi phân phi. .. Giả sử (H 1 ) và (H 4 ) (H5 ) đúng Khi đó, với các hằng số (k) M > 0 ; T > 0 , hệ phương trình (4.4) và (4.5) có nghiêm duy nhất um (t) trên k [0; Tm ] [0; T ]: Chứng minh: Hệ phương trình (4.4) và (4.5) được viết lại dưới dạng D E 8 (k) (k) (k) < c(k) (t) = •mj j k; j m (t)cmj (t) + Fm (t); wj ; 1 (4.6) : (k) (k) (k) (k) cmj (0) = j ; cmj (0) = j : _ Hệ phương trình này đươc viết lại dưới dạng (k) (k)... cơ sở trong V1 : Dùng phương pháp xấp xỉ Faedo-Galerkin j để xây dựng nghiệm xấp xỉ của (3.4)-(3.5) dưới dạng u(k) (t) m = k X (k) cmj (t)wj ; (3.6) j=1 (k) với cmj (t) thỏa mãn hệ phương trình vi phân tuyến tính sau: 8 D E < u(k) (t); wj + •m : (k) (k) m (t)a(um (t); wj ) (k) um (0) = u0k ; um (0) = u1k ; e _ e 11 = hFm (t); wj i ; 1 j k; (3.7) ở đây 8 k X > > u = > e0k > < > > > u1k = > e : Với giả... tương ứng với các giá trị riêng j sao cho ~ Hơn nữa Au (i) 0 < 1 :: j " +1 khi j ! +1; e (ii) a(wj ; v) = (j hwj ;) ; 8v 2 V1 ; 8j 2 N: ~ ~ vi w ~ e pj cũng là cơ sở trực chuẩn Hilbert của không gian V1 Hơn nữa, hệ j tương ứng với tích vô hướng a(u; v): Mặt khác hàm wj cũng thỏa mãn bài toán giá trị biên: ~ 8 ~ ~ < Awj = j wj trong , p ~ ~ : lim rwjr (r) < +1; wj (1) = 0: r!0+ Chứng minh bổ đề 2.4 có thể... nhất nghiệm yếu u 2 W1 (M; T ): 17 ii) Mặt khác dãy quy nạp tuyến tính fum g xác định bởi (3.4)-(3.5) hội tụ mạnh về nghiệm yếu u của bài toán (3.1) trong không gian e W1 (T ) = fv 2 L1 (0; T ; V1 ) : v 2 L1 (0; T ; V0 )g: _ Hơn nữa ta có ước lượng sau: jjum ở đây ujjL1 (0;T ;V1 ) + jjum _ e kT = 2T (K0 M 2 + ujjL1 (0;T ;V0 ) _ p s 2K1 ) với e0 = minf1; b 0 C0 g M k m ; 8m 1 kT T 1; e 1 C3 exp( T )... jj2 1 (T ) : W e0 e0 b b kT jjvm 1 jjW1 (T ) ; 8m 1; (3.44) (3.45) trong đó kT = 2T (K0 M 2 + p s 2K1 ) Suy ra jjum+p um jjW1 (T ) e 1 C3 exp( T ) < 1; với T đủ bé e0 b 2e0 b m kT jju1 1 kT u0 jjW1 (T ) M k m ; 8m; p: 1 kT T (3.46) (3.47) Vậy fum g là dãy Cauchy trong không gian Banach W1 (T ) nên tồn tại u 2 W1 (T ) sao cho um ! u mạnh trong W1 (T ): (3.48) Ta chú ý thêm rằng fum g 2 W1 (M; T ): Khi... W1 (T ): (3.48) Ta chú ý thêm rằng fum g 2 W1 (M; T ): Khi đó tồn tại một dãy con fumj g của dãy fum g sao cho 8 > umj ! u yếu trong L1 (0; T ; V2 ); > < e (3.49) u _ ! u yếu trong L1 (0; T ; V1 ); _ > mj > : umj ! u yếu trong L2 (0; T ; V0 ); • • e với u 2 W (M; T ): Ta có với mọi w 2 V1 : j m (t)Aum (t) (jjru(t)jj2 )Au(t); w j 0 = j m (t)Aum (t) (jjru(t)jj2 )Au(t); w j m (t)Au(t) + m (t)Au(t) 0 = . NGUYỄN TUẤN DUY PHƯƠNG TRÌNH SÓNG KIRCHHOFF PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET TRONG KHÔNG GIAN SOBOLEV CÓ TRỌNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN. HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN TUẤN DUY PHƯƠNG TRÌNH SÓNG KIRCHHOFF PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET TRONG KHÔNG GIAN SOBOLEV CÓ TRỌNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 (0; T)): Điều kiện này thường được sử dụng trong sự liên hệ với các không gian Sobolev có trọng r [1, 7, 10]: Trường hợp phương trình (1.3) 1 không chứa số hạng r u r thì (1.3) 1 có dạng u tt