Nghiên cứu phương trình sóng kirchhoff phi tuyến với điều kiện biên robin – neumann không thuần nhất

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HUỲNH THANH TOÀN NGHIÊN CỨU PHƯƠNG TRÌNH SÓNG KIRCHHOFF PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN – NEUMANN KHÔNG THUẦN NHẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành Toán giải tích Thành phố Hồ Chí Minh – năm 2010 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HUỲNH THANH TOÀN NGHIÊN CỨU PHƯƠNG TRÌNH SÓNG KIRCHHOFF PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN – NEUMANN KHÔNG THUẦN NHẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành Toán giải tích Mã số: 60.46.01 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. LÊ THỊ PHƯƠNG NGỌC Thành phố Hồ Chí Minh – năm 2010 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HUỲNH THANH TOÀN NGHIÊN CỨU PHƯƠNG TRÌNH SÓNG KIRCHHOFF PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN – NEUMANN KHÔNG THUẦN NHẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành Toán giải tích Thành phố Hồ Chí Minh – năm 2010 2 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN …………………………………………………………… …… 1 MỤC LỤC……………………………………………………………………… 2 Chương 0. TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN…………………………… …… 3 Chương I. CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ…………………………………… 6 1.1. Các ký hiệu và không gian hàm…………………………………… 6 1.2. Một số công cụ thường sử dụng……………………………………. 6 Chương II. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM………………………. 9 2.1. Giới thiệu………………………………………………………… 9 2.2. Thuật giải xấp xỉ tuyến tính……………………………………… 11 2.3. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm…………………………… 22 Chương III. NGHIÊN C ỨU KHAI TRIỂN TIỆM CẬN NGHIỆM YẾU CỦA BÀI TOÁN NHIỄU THEO THAM SỐ BÉ…………………………………… 33 Chương IV. MINH HỌA BẰNG MỘT BÀI TOÁN CỤ THỂ……………… 55 KẾT LUẬN………………………………………………………………………. 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………………. 58 1 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Cô hướng dẫn, TS Lê Thị Phương Ngọc, người đã tận tình hướng dẫn và động viên tôi vượt qua mọi khó khăn để hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy, TS Nguyễn Thành Long và Thầy, TS Trần Minh Thuyết đã truyền đạt cho tôi những kiến thức vô cùng quý báu trong suốt thời gian tôi học tập và tham dự các buổi seminar do Thầy chủ trì. Tôi xin trân trọng c ảm ơn Quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã đọc cẩn thận luận văn của tôi và cho nhiều nhận xét quý báu để luận văn được hoàn chỉnh hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn Quý Thầy Cô trong và ngoài khoa Toán – Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt thời gian học tập. Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đạ i học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa học và làm các thủ tục bảo vệ luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Khoa Khoa học Cơ bản Đại học Y Dược Tp. Hồ Chí Minh đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi về mặt công tác để tôi hoàn thành luận văn. Tôi xin cảm ơn các anh chị trong nhóm seminar do Thầy Nguyễn Thành Long hướng dẫn và các bạn lớp Cao h ọc Toán giải tích K17 đã đóng góp, động viên giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi học tập và làm luận văn. Tôi cũng không quên gửi lời biết ơn đến gia đình tôi, những người đã luôn ủng hộ tôi trong những lúc khó khăn nhất. Tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo của Quý Thầy Cô và những đóng góp quý báu của các bạn đồng nghiệp. Xin chân thành cảm ơn. Học viên Cao học Huỳnh Thanh Toàn 2 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN …………………………………………………………… …… 1 MỤC LỤC……………………………………………………………………… 2 Chương 0. TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN…………………………… …… 3 Chương I. CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ…………………………………… 6 1.1. Các ký hiệu và không gian hàm…………………………………… 6 1.2. Một số công cụ thường sử dụng……………………………………. 6 Chương II. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM………………………. 9 2.1. Giới thiệu………………………………………………………… 9 2.2. Thuật giải xấp xỉ tuyến tính……………………………………… 11 2.3. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm…………………………… 22 Chương III. NGHIÊN C ỨU KHAI TRIỂN TIỆM CẬN NGHIỆM YẾU CỦA BÀI TOÁN NHIỄU THEO THAM SỐ BÉ…………………………………… 33 Chương IV. MINH HỌA BẰNG MỘT BÀI TOÁN CỤ THỂ……………… 55 KẾT LUẬN………………………………………………………………………. 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………………. 58 3 Chương 0 TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN Trong luận văn này, chúng tôi xét bài toán giá trị biên và ban đầu cho phương trình sóng phi tuyến () () () () 22 ,, , , 0 1,0 , tt x xx x uutufxtuut x tTμ− =<<<< (0.1) ( ) () ( ) ( ) 0, , 1, 1, 0, xx utgtut utη=+= (0.2) ( ) () ( ) () 01 ,0 , ,0 , t ux u x u x u x==  (0.3) trong đó 0η ≥ là một hằng số, 01 ,,,,uugfμ  là các hàm cho trước thoả điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau. Trong phương trình (0.1), các số hạng phi tuyến () () 2 x utμ , () () 2 ,, , x f xtu u t là các hàm phụ thuộc vào tích phân () () 1 2 2 0 , xx ut uxtdx= ∫ . (0.4) Phương trình (0.1) có nguồn gốc từ phương trình mô tả dao động phi tuyến của một dây đàn hồi (Kirchhoff [4]) () 2 0 0 ,,0,0, 2 L tt xx Eh u hu P y t dy u x L t T Ly ρ ⎛⎞ ∂ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ =+ << << ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∂ ⎟ ⎝⎠ ∫ ở đây, u là độ võng, ρ là khối lượng riêng, h là thiết diện, L là chiều dài sợi dây ở trạng thái ban đầu, E là môđun Young và 0 P là lực căng ở trạng thái ban đầu. Trong [2], Carrier thiết lập phương trình dưới dạng () 2 01 0 ,, L tt xx uPPuytdyu ⎛⎞ ⎟ ⎜ ⎟ =+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝⎠ ∫ 4 với 01 ,PP là hằng số. Bài toán (0.1) – (0.4) có nhiều ý nghĩa trong vật lý và cơ học và được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu trong thời gian gần đây. Phương trình (0.1) với các dạng khác nhau của μ và f và các điều kiện biên khác nhau đã được khảo sát bởi nhiều tác giả, chẳng hạn: Trong [8], Nguyễn Thành Long, Trần Ngọc Diễm đã khảo sát phương trình (0.1) với 1μ ≡ , (,, , , ) xt f fxtuu u= , điều kiện biên ( ) ( ) ( ) 0 0, 0, 1, xx uthutut− = ( ) 1 1, 0hu t− = , và nghiên cứu khai triển tiệm cận nghiệm yếu u ε đến cấp 2 theo ε với ()() 1 ,, , , ,, , , xt xt f f xtuu u f xtuu uε=+ . Khi 0 f = , () 2 x uμμ= với điều kiện biên hỗn hợp hay Cauchy cũng được nghiên cứu bởi nghiều tác giả: Ebihara, Mederios, Minranda [3]. Trong [10], Nguyễn Thành Long, Bùi Tiến Dũng đã khảo sát (0.1) với () 2 x uμμ= , () 2 ,, , , , xt x ffxtuuuu= với điều kiện biên ( ) ( ) 0 0, 0, x uthut− = () 1, 0,ut= và nghiên cứu khai triển tiệm cận nghiệm yếu u ε đến cấp 1N + theo ε với ()() 1 ,, , , ,, , , xt xt f f xtuu u f xtuu uε=+ , () () 22 1 xx uuμμ εμ=+ . Trong [7], Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, Trần Ngọc Diễm đã khảo sát (0.1) với () ( ) 2 0 x bbutμ =+ , điều kiện biên Dirichlet thuần nhất và nghiên cứu khai triển tiệm cận nghiệm yếu u ε đến cấp 2 theo ε với ()() 1 ,, , , ,, , , xt xt f f xtuu u f xtuu uε=+ , () () () () 22 01xx bbut butμε=+ + . Trong [11], Nguyễn Thành Long, Bùi Tiến Dũng đã khảo sát phương trình (0.1) với () 2 , x Bt uμ = , () 2 ,, , , , xt x ffxtuuuu= , điều kiện biên () 0, x ut− ( ) ( ) 00 0,hu t g t= , ( ) () 1 1,ut gt= , và nghiên cứu khai triển tiệm cận nghiệm yếu u ε đến cấp 3 theo ε với ()() 22 1 ,, , , , ,, , , , xt x xt x ffxtuuuu fxtuuuuε=+ , () () 2 , x bt u tμ = () () 2 1 +, x btu tε . [...]... Phương Ngọc, Nguyễn Thành Long đã ( nghiên cứu (0.1) với μ = μ t, u 2 , ux 2 ), f = f (x , t, u ) cùng điều kiện biên ux (0, t ) − h0u (0, t ) = 0 , ux (1, t ) − h1u (1, t ) = 0 Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (0.1) – (0.3), chứng minh được dựa vào phương pháp xấp xỉ Galerkin cùng với kỹ thuật hội tụ yếu và về tính compact Sau đó, chúng tôi nghiên. .. số, μ, u 0, u1, g, f là các hàm cho trước thoả điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau ( Trong phương trình (2.1), các số hạng phi tuyến μ ux (t ) ( f x , t, u, ux (t ) 2 ) 2 là các hàm phụ thuộc vào tích phân ux (t ) = 2 ) , 1 ∫ ux (x, t )dx 2 0 Ta đưa bài toán (2.1) – (2.3) về bài toán có điều kiện biên thuần nhất như sau Với x ∈ [0,1] và t ≥ 0 , ta đặt Φ (x , t ) = − 1 g (t ) (x − 1)2 , 2 (2.4) v (x , t )... chúng tôi trình bày một số kết quả về lý thuyết phổ Ta thành lập các giả thiết sau: Cho V và H là hai không gian Hilbert thỏa các điều kiện: (i) Phép nhúng từ V H là compact, (ii) V trù mật trong H (1.3) (1.4) Cho a : V ×V → R là dạng song tuyến tính đối xứng, liên tục và bức (1.5) Chi tiết hơn, ta gọi a là: 8 (j) Dạng song tuyến tính, nếu u a (u, v ) tuyến tính trên V với mọi v ∈ V a (u, v ) tuyến tính... tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (0.1) – (0.4) Chương 3, chúng tôi nghiên cứu khai triển tiệm cận nghiệm yếu của bài toán (Pε ) theo tham số bé ε Chương 4, chúng tôi cho một ví dụ cụ thể để minh họa về khai triển tiệm cận nghiệm yếu của bài toán (Pε ) Kế đến là phần kết luận và sau cùng là danh mục tài liệu tham khảo 6 Chương I CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ 1.1 Các ký hiệu và không. .. (t ), w → f (t ), w trong L∞ (0,T ) yếu * (2.109) Lấy giới hạn trong (2.23) – (2.25) khi m → +∞ , từ (2.100) – (2.103), (2.107) – (2.109) chúng ta thu được rằng tồn tại v ∈ W (M ,T ) thỏa phương trình v (t ), w + μ ( ∇v (t ) + ∇Φ (t ) 2 )a (v (t ), w ) = = f (x , t, v, ∇v (t ) + ∇Φ (t ) 2 ), w , ∀w ∈ H 1, (2.110) và thỏa điều kiện đầu v (0) = v0, v (0) = v1 (2.111) Mặt khác, từ (2.103), (2.110) ta có... thiết (H1) – H(4) đúng, khi đó tồn tại các hằng số M > 0 và T > 0 sao cho với v0 = 0 cho trước, tồn tại một dãy quy nạp tuyến tính {vm } ⊂ W1 (M ,T ) được xác định bởi (2.23) – (2.25) Chứng minh định lý 2.1 Bước 1 Xấp xỉ Galerkin Gọi {w j } là cơ sở trực chuẩn của L2 , trực giao trong H 1 như trong bổ đề 2.2 Đặt (k vm ) (t ) k (k = ∑ cmj) (t )w j , (2.27) j =1 (k trong đó cmj) (t ) thoả hệ phương trình. .. trình vi phân tuyến tính sau (k (k vm ) (t ), w j + μm (t )a (vm ) (t ), w j ) = Fm (t ), w j , 1 ≤ j ≤ k, (k (k vm ) (0) = v0k , vm ) (0) = v1k , (2.28) (2.29) với k (k v0k = ∑ αmj)w j → v0 mạnh trong H 2 , (2.30) j =1 k (k v1k = ∑ βmj)w j → v1 mạnh trong H 1 (2.31) j =1 Bổ đề 2.4 Giả sử (H1) – (H4) đúng, khi đó với các hằng số M > 0 , (k T ∈ (0,T *] cố định, hệ (2.27) – (2.29) có nghiệm duy nhất vm )... (2.74) – (2.78), (2.80), và qua giới hạn trong (2.80) (2.28) – (2.29) khi k → +∞ , ta có vm thỏa (2.23) – (2.25) trong L2 (0,T ) yếu Ta lại có từ (2.22), (2.23), (2.77) rằng vm = μm (t ) Δvm + Fm ∈ L∞ (0,T ; L2 ) , hay vm ∈ W1 (M ,T ) Vậy định lý 2.1 được chứng minh ■ 2.3 Sự tồn tại duy nhất nghiệm Định lý 2.2 Giả sử (H1) – (H4) đúng, khi đó tồn tại các hằng số M > 0 và T > 0 sao cho bài toán (2.9) – (2.11)... (x , t, v, z ) = f (x , t, v + Φ, z ) − Φtt + μ (z ) Φxx , (2.6) v0 (x ) = u 0 (x ) − Φ (x , 0), v1 (x ) = u1 (x ) − Φt (x , 0), (2.7) cùng với điều kiện tương thích g (0) = ux (0, 0) = u 0x (0) (2.8) Khi đó bài toán (2.1) – (2.3) tương đương với bài toán giá trị biên ban đầu sau 10 ( vtt − μ vx (t ) + Φx (t ) 2 )v xx ( = f x , t, v, vx (t ) + Φx (t ) 2 ), 0 < x < 1, 0 < t < T , (2.9) vx (0, t ) = vx... hệ (2.33) theo dạng phương trình điểm bất động c (t ) = H [c ](t ), (2.34) trong đó ( ) c (t ) = c1 (t ), c2 (t ), , ck (t ) , (2.35) ( ) H [c ](t ) = H 1 [c ](t ), H 2 [c ](t ), , H k [c ](t ) (2.36) Xét X = C ([0,T ], Rk ) là không gian Banach với chuẩn được định nghĩa như sau: c = sup c (t ) 1 , X 0≤t ≤T k c (t ) 1 = ∑ c j (t ) (2.37) j =1 Ta có H : X → X Ta nghiệm lại rằng với số tự nhiên n 0 . KHOA HỌC TỰ NHIÊN HUỲNH THANH TOÀN NGHIÊN CỨU PHƯƠNG TRÌNH SÓNG KIRCHHOFF PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN – NEUMANN KHÔNG THUẦN NHẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên. Minh – năm 2010 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HUỲNH THANH TOÀN NGHIÊN CỨU PHƯƠNG TRÌNH SÓNG KIRCHHOFF PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN. Minh – năm 2010 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HUỲNH THANH TOÀN NGHIÊN CỨU PHƯƠNG TRÌNH SÓNG KIRCHHOFF PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBIN