Xấp xỉ galerkin đối với phương trình parabolic tuyến tính với điều kiện biên robinson

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI - NGUYỄN THU PHƯƠNG XẤP XỈ GALERKIN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBINSON Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học:TS NGUYỄN THÀNH ANH Hà Nội, 2016 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2, nơi mà tác giả hoàn thành chương trình cao học giảng dạy nhiệt tình tâm huyết Thầy, Cô Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thành Anh, người Thầy trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, người giúp đỡ chia sẻ với tác giả suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2016 Nguyễn Thu Phương LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn kết nghiêm cứu riêng hướng dẫn TS Nguyễn Thành Anh Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học với trân trọng biết ơn Các kết trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2016 Nguyễn Thu Phương MỤC LỤC Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Sobolev 1.2 Một số bất đẳng thức 10 Xấp xỉ Galerkin phương trình parabolic tuyến tính với điều kiện biên Robinson 12 2.1 Phát biểu toán 12 2.2 Đánh giá sai số xấp xỉ Galerkin nửa rời rạc 14 2.3 2.2.1 Xây dựng nghiệm xấp xỉ 14 2.2.2 Ước lượng sai số chuẩn L2 16 2.2.3 Ước lượng sai số chuẩn H 20 Rời rạc hóa thời gian 22 2.3.1 Bước thời gian cách 23 2.3.2 Bước thời gian thay đổi 28 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Các toán biên ban đầu phương trình parabolic mô hình toán học nhiều ứng dụng thực tế khác Giải số toán thường dùng phương pháp phần tử hữu hạn không gian Trong khuôn khổ đề tài luận văn quan tâm đến giải số toán biên ban đầu phương trình parabolic tuyến tính với điều kiện biên không thứ ba (điều kiện biên Robinson) Bởi vậy, hướng dẫn TS Nguyễn Thành Anh, chọn đề tài: “ Xấp xỉ Galerkin phương trình Parabolic tuyến tính với điều kiện biên Robinson” Luận văn hoàn thành dựa báo [4]:"Galerkin Approximations for the Linear Parabolic Equation with the Third Boundary Condition" tác giả I Faragó, S Korotov, P Neittaanmaki, công bố năm 2003 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu hội tụ, ước lượng sai số dãy nghiệm xấp xỉ Galerkin toán biên ban đầu phương trình parabolic tuyến tính với điều kiện biên Robinson Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu hội tụ, ước lượng sai số không gian L2 , H dãy nghiệm xấp xỉ Galerkin - Ước lượng sai số nghiệm xấp xỉ rời rạc theo thời gian Đối tượng phạm vi nghiên cứu Bài toán biên ban đầu phương trình Parabolic với điều kiện biên Robinson miền bị chặn Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu tham khảo theo phương pháp: Hệ thống lại kiến thức có liên quan, phân tích, tổng hợp Dự kiến đóng góp Luận văn đóng góp mặt khoa học CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Sobolev Cho Ω miền Rd (d = 1, 2, 3) ∞ C ∞ (Ω) ={ u : Ω → R khả vi vô hạn } = ∩ C k (Ω) k=0 Cc∞ (Ω) kí hiệu hàm C ∞ (Ω) với giá compact Lp (Ω) = { u : Ω → R | u độ đo Lebesgue, u 1/ p p , p ≥ |u| dx u Lp (Ω) = Lp (Ω) < ∞ }, Ω Llloc (Ω) = { u : Ω → R| u ∈ Ll (Ω ) , ∀Ω ⊂⊂ Ω } Cho trước đa số α, kí hiệu ∂ |α| u (x) α1 αn D u (x) = α1 αn = ∂x1 ∂xn u ∂x1 ∂xn α Không gian Sobolev lớp không gian dùng nhiều trình nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng Để đến định nghĩa lớp không gian này, trước tiên phải tìm hiểu khái niệm "đạo hàm yếu" Giả sử u hàm khả vi Khi với "hàm thử" φ ∈ Cc∞ (Ω), sử dụng công thức tích phân phần ta thu đẳng thức sau du dφ φ dx = − u dx Ω dxj Ω dxj Lặp lại trình |α| lần, tương tự ta có Dα uφ dx = (−1)|α| uDα φ dx Ω Ω với đa số α Chúng ta có định nghĩa đạo hàm yếu sau: Định nghĩa 1.1.1 Với hàm u ∈ L1loc (Ω), ta nói v đạo hàm yếu u ứng với biến xj , ký hiệu v = Dj u, v ∈ L1loc (Ω) vφ dx = − Ω u Ω dφ dx dxj với φ ∈ Cc∞ (Ω) Bằng cách quy nạp, định nghĩa đạo hàm yếu cấp cao sau: Định nghĩa 1.1.2 Nếu u, v ∈ L1loc (Ω) v gọi đạo hàm yếu cấp α u, viết v = Dα u, vφ dx = (−1)|α| Ω uDα φ dx Ω với φ ∈ Cc∞ (Ω) Dựa vào tính chất khả tích đạo hàm yếu, ta đưa định nghĩa không gian Sobolev Định nghĩa 1.1.3 Không gian Sobolev định nghĩa W r,p (Ω) = u : Dα u ∈ Lp (Ω), với ≤ |α| ≤ r , với chuẩn u W r,p   =  0≤|α|≤r Dα u 1/p  p Lp (Ω)  Không gian Sobolev W r,p (Ω) định nghĩa không gian Banach khả ly Tương tự không gian L2 (Ω), không gian Sobolev W r,p (Ω), trường hợp p = dùng nhiều nghiên cứu Vì lý đó, sau nghiên cứu chủ yếu không gian W r,2 (Ω) sở L2 (Ω) Vì không gian đặc biệt dùng thường xuyên không gian Sobolev khác nên có ký hiệu riêng W r,2 (Ω) = H r (Ω) Người ta chọn ký hiệu H r (Ω) không gian Hilbert với tích vô hướng trang bị sau Dα uDα vdx < u, v >H r = 0≤|α|≤r Ω Khi đó, chuẩn u ∈ H r (Ω) tương ứng với tích vô hướng xác định sau 1/2  u r= Dα u   L2 (Ω) 0≤|α|≤r Chúng giới thiệu nửa chuẩn  |u|r =  1/2 |Dm v|2 dx |m|=r Ω ∞ Định nghĩa 1.1.4 Ta kí hiệu Wr,p (Ω) bao đóng Cc (Ω) Wr,p (Ω) ∞ Do đó, u ∈ Wr,p (Ω) tồn hàm um ∈ Cc (Ω) cho um → u Wr,p (Ω) r,p α Ta nói Wr,p (Ω) gồm hàm u ∈ W (Ω) cho "D u = ∂u" với |α| r − Chú ý: Ta viết H0r (Ω) = Wr,2 (Ω) H −1 (Ω) không gian đối ngẫu H01 (Ω) Định nghĩa 1.1.5 Giả sử X không gian Banach Không gian Lp (0, T ; X) bao gồm tất hàm đo u : [0, T ] → X với u Lp (0,T ;X) u (t) 1/p p X dt [...]... thỏa mãn với hầu khắp t bất đẳng thức tích phân t x(t) ≤ C1 x(s)ds + C2 0 với C1 , C2 là các hằng số không âm Khi đó x(t) ≤ C2 1 + C1 eC1 t với hầu khắp t, 0 ≤ t ≤ T 11 CHƯƠNG 2 XẤP XỈ GALERKIN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN ROBINSON 2.1 Phát biểu bài toán Giả sử Ω là một miền đa diện bị chặn trong Rd , d = 1, 2, , với biên ∂Ω, T > 0 Chúng ta xem xét các phương trình vi... j=1 (2.78) Kết quả là, đối với lược đồ Euler ngược chúng ta phải sử dụng τj nhỏ hơn trên những khoảng mà u (s) lớn 30 KẾT LUẬN Luận văn đã trình bày được những vấn đề chính sau: • Phát biểu bài toán (2.1) - (2.3) và xây dựng nghiệm xấp xỉ Galerkin cho phương trình Parabolic tuyến tính với điều kiện biên Robinson • Nhận được ước lượng sai số trong chuẩn L2 và H 1 của nghiệm xấp xỉ Galerkin nửa rời rạc... dương của A Từ (2.4) chúng ta có |a(u, v)| ≤ C3 u 2.2 1 v 1 (2.10) Đánh giá sai số của xấp xỉ Galerkin nửa rời rạc Trong phần này chúng tôi phân tích tốc độ của hội tụ đối với xấp xỉ nửa rời rạc của bài toán 2.2.1 Xây dựng nghiệm xấp xỉ Để cho {Th } là một họ các phép tam giác phân của Ω gồm các phần tử Ki với những tính chất tiêu chuẩn thông thường Chúng tôi giả sử có không gian con hữu hạn chiều của... vi phân từng phần dạng parabolic ∂u − div (Agrad u) + b.grad u + cu = f ∂t trong (0, T ) × Ω (2.1) với điều kiện biên không thuần nhất thứ ba αu + ν T Agrad u = g trên (0, T ) × ∂Ω (2.2) Ở đây, ν là véc tơ pháp tuyến đơn vị bên ngoài của Ω A = A(x) := (aij (x))di,j=1 , aij = aji với i, j = 1, 2, , d b = b(x) := (b1 (x), , bd (x)) c = c(x), với x ∈ Ω α = α(s) ≥ 0, s ∈ ∂Ω Điều kiện ban đầu đưa ra là... ∈Vh p (2.13) l (2.14) với v ∈ H p (Ω) , 1 ≤ p ≤ l Chúng tôi giả sử rằng không gian Vh thỏa mãn v − Ph v + h grad (v − Ph v) ≤ C5 hl v với v ∈ H l (Ω) Chú ý 2.2.2 Điều kiện (2.14) là điển hình cho không gian hữu hạn chiều, chúng ta tham khảo ví dụ ở [8],[11] cho việc lập các điều kiện khi nó đúng Chú ý 2.2.3 Với giả thiết rằng, nghiệm yếu u(x, t) của (2.1)−(2.3) thuộc H l (Ω) với bất kì hằng số t ∈... hệ thức (2.12) chúng tôi có thể xác định hàm số Ph u(t) thuộc Vh với bất kì hằng số t ∈ (0, T ) Vì hệ số của dạng song tuyến tính a (·, ·) không phụ thuộc vào t Chúng tôi thấy rằng dưới điều kiện (2.14) ước lượng sau đúng ∂ ∂ ∂ u (t) − Ph u (t) ≤ C6 hl u (t) ∂t ∂t ∂t l (2.15) Chúng tôi định nghĩa nghệm Galerkin nửa rời rạc của phương trình (2.1) như một hàm số uh ∈ H 1 ((0, T ), Vh ) thỏa mãn hệ thức... l ds tj−1 n ω1j τj j=1 tn l ≤ C36 h 0 u (s) l ds (2.76) Bây giờ, nhờ (2.64) và (2.65) kết hợp với (2.76) bất đẳng thức (2.75) suy ra (2.73) Rõ ràng, với cùng một cách thức chúng ta có thể chứng minh định lý tiếp theo Định lý 2.3.4 Đối với sai số của phương pháp rời rạc hoàn toàn Galerkin (với θ ∈ (0.5, 1]) với bước thời gian biến đổi, ước lượng sau đúng n U − u (tn ) ≤ C37 h l tn 1 + u (tn ) l + u (0)... xác định dương a(v, v) ≥ C2 v với mọi v ∈ H 1 (Ω), C2 là hằng số dương 13 2 1 (2.9) Chú ý 2.1.1 Chúng ta chú ý rằng,thông thường dạng song tuyến tính bất đối xứng a(·, ·) không thể đáp ứng điều kiện (2.9) Tuy nhiên,chúng ta có thể chỉ ra rằng nó thỏa mãn, chẳng hạn, trong trường hợp B 2 < 4C0 β , ở đây B 2 := d bi i=1 2 L∞ (Ω) , β := ess inf x c(x) và C0 là hằng số từ điều kiện xác định dương của A Từ... sử dụng (2.53) chúng ta có thể tóm tắt các kết quả như sau Định lý 2.3.1 Đối với sai số toàn cục của phương pháp rời rạc hoàn toàn Crank-Nicolson -Galerkin, ước lượng sau đúng U n − u (tn ) ≤ C23 l uh (0) − u (0) + h tn u (0) l + u (tn ) l + tn + C24 τ 2 0 u (s) l ds ( u (s) + Lu (s) ) ds 0 (2.66) 26 Chú ý 2.3.2 Nếu uh (0) là xấp xỉ phù hợp của u(0), khi đó (2.66) trở thành ước lượng n tn l U − u (tn... Bất đẳng thức Cauchy với ab ≤ a2 + b2 , ( > 0) 4 • Bất đẳng thức Young 1 1 Cho 1 < p, q < ∞, + = 1 Khi đó p q ap bq ab ≤ + , (a, b > 0) p q • Bất đẳng thức Young với ab ≤ ap + C( )bq , (a, b, > 0) q với C( ) = ( p)− p q −1 10 • Bất đẳng thức H¨older 1 1 Giả sử 1 < p, q < ∞, + = 1 Khi đó nếu u ∈ Lp (Ω), v ∈ Lq (Ω) thì p q |uv|dx ≤ u · v Lp (Ω) Lq (Ω) Ω • Bất đẳng thức nội suy đối với chuẩn Lp 1 θ 1−θ