Về nghiệm xấp xỉ cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - - - - - -  - - - - - - NGUYỄN THỊ NGỌC VỀ NGHIỆM XẤP XỈ CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NỬA TUYẾN TÍNH NGƯỢC THỜI GIAN ĐỀ CƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - - - - - -  - - - - - - NGUYỄN THỊ NGỌC VỀ NGHIỆM XẤP XỈ CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NỬA TUYẾN TÍNH NGƯỢC THỜI GIAN CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH MÃ SỐ: 60.46.01.02 ĐỀ CƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN ĐỨC Nghệ An - 2014 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Chương 1. Một số kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . 5 1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 Chương 2. Chỉnh hoá phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1 Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 2.2 Bất đẳng thức Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3 Phương pháp chỉnh hóa và các đánh giá sai số . . . . . . . . . . .18 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 1 LỜI NÓI ĐẦU Nhiều bài toán thực tế của khoa học, công nghệ dẫn ta đến bài toán ngược và bài toán đặt không chỉnh. Chính vì vậy lĩnh vực này được rất nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Điểm mấu chốt làm cho bài toán này khó giải quyết hơn so với những bài toán khác là ở chỗ những bài toán này thường đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard. Một sai số nhỏ trong dữ kiện đo đạc cũng có thể dẫn đến một sai lệch lớn về nghiệm của bài toán. Chính vì vậy nên chúng ta không thể tìm được nghiệm chính xác của bài toán mà chỉ có thể tìm được các nghiệm xấp xỉ của bài toán thông qua các phương pháp chỉnh hóa. Cho tới nay, đã có rất nhiều phương pháp chỉnh hóa được đề xuất cho các bài toán ngược song hầu hết dành cho các bài toán tuyến tính, rất ít kết quả về bài toán phi tuyến. Để tập dượt nghiên cứu cũng như để làm phong phú thêm các tài liệu về bài toán ngược, trên cơ sở bài báo "An approximate solution for nonlinear backward parabolic equations" của các tác giả Phan Thanh Nam đăng trên tạp chí Journal of Mathematical Analysis and Applications năm 2010, chúng tôi lựa chọn đề tài cho Luận văn của mình là : "Về nghiệm xấp xỉ cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian" dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo TS. Nguyễn Văn Đức. Mục đích chính của luận văn nhằm tìm hiểu việc chỉnh hóa phương trình  u t + Au = f(t, u(t)), 0 < t < T u(T ) = g (1) 2 với A là toán tử không bị chặn, tự liện hợp, xác định dương trong một khoảng không gian Hilbbert H , f là hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiện Lipschitz và g là dữ kiện xấp xỉ. Với mục đích đó luận văn này được chia thành 2 chương: Chương 1: Trình bày về các không gian Banach, không gian Hilbert, lý thuyết chuỗi trong không gian Banach Chương 2: Trình bày chứng minh phương trình parapolic nửa tuyến tính ngược thời gian là bài toán đặt không chỉnh, trình bày chứng minh bất đẳng thức Gronwall, trình bày phương pháp chỉnh hóa và các đánh giá sai số. Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Nguyễn Văn Đức. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến Thầy. Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán học và cảm ơn các thầy, cô giáo trong bộ môn Giải tích, khoa Toán học đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập và hoàn thành đề cương, luận văn này. Cuối cùng, tác giả cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớp Cao học 20 Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy, cô giáo và các bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn. Nghệ An,tháng 6 năm 2014 Tác giả Nguyễn Thị Ngọc 3 CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ Chương này trình bày một số kiến thức làm cơ sở cho việc trình bày Chương 2. Các kiến thức trong chương này được chúng tôi tham khảo trong tài liệu [2]. 1.1 Không gian Banach Cho X là không gian tuyến tính thực. 1.1.1 Định nghĩa. Ánh xạ . : X → R được gọi là chuẩn nếu (i) u  0, ∀u ∈ X; (ii) u = 0 ⇔ u = 0; (iii) λu = |λ|u, ∀u ∈ X, λ ∈ R; (iv) u + v  u + v, ∀u, v ∈ X. Không gian tuyến tính trang bị chuẩn được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn. Không gian Banach X là không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ. 1.1.2 Định lý. Ánh xạ chuẩn x → |x là một hàm liên tục đều từ X vào R. 1.1.3 Định lý. Giả sử X là một không gian định chuẩn. Khi đó ánh xạ (x, y) → x + y từ X × X vào X và (λ, x) → λx từ K ×X vào X là liên tục. 1.1.4 Định lý. Giả sử X là không gian định chuẩn. Khi đó với mọi a ∈ X, ánh xạ x → a + x là phép đồng phôi đẳng cự (tức là bảo toàn 4 khoảng cách) từ X lên X, và với mọi λ ∈ K, λ = 0 ánh xạ x → λx là phép đồng phôi đều từ X lên X. 1.1.5 Định nghĩa. Một tập con A của một không gian định chuẩn X được gọi là toàn vẹn nếu tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của A trù mật trong X. Ta nói rằng dãy {a n } ⊂ X là toàn vẹn nếu tập tất cả các phần tử của dãy là toàn vẹn. 1.2 Không gian Hilbert Cho H là không gian tuyến tính thực. 1.2.1 Định nghĩa. 1. Ánh xạ ·, · : H × H → R được gọi là tích vô hướng nếu (i) u, v = v, u, ∀u, v ∈ H; (ii) ánh xạ u → u, v là tuyến tính với mọi v ∈ H; (iii) u, u  0; (iv) u, u = 0 ⇔ u = 0. Không gian Hilbert là một không gian Banach với chuẩn được sinh ra bởi một tích vô hướng. 2. Hai phần tử u, v ∈ H là trực giao nếu u, v = 0. Khi đó ta ký hiệu u ⊥ v. 1.2.2 Định nghĩa. Một hệ trực giao trong không gian Hilbert H là một tập con A các vectơ khác 0 của H sao cho hai vectơ khác nhau bất kì của A đều trực giao với nhau. 1.2.3 Định nghĩa. Giả sử M là một tập con của không gian Hilbert H. Vectơ x ∈ H được gọi là trực giao với M nếu x ⊥ y với mọi y ∈ M, trong trường hợp này ta kí hiệu x ⊥ M. Nếu N là tập con của E sao cho x ⊥ M với mọi x ∈ N thì N gọi là trực giao với M và kí hiệu là N ⊥ M. Rõ ràng N ⊥ M thì M ⊥ N. 5 Ta kí hiệu M ⊥ = {x ∈ H : x ⊥ M} và gọi nó là phần bù trực giao của M. 1.2.4 Bổ đề. Một hệ trực giao trong không gian Hilbert là độc lập tuyến tính. Chứng minh. Giả sử A là một hệ trực giao và  n i=1 α i a i = 0 là một tổ hợp tuyến tính bất kì các phần tử của A. Với mỗi j = 1, , n ta có 0 =   α i a i , a j  =  α i a i , a j  = α j a j  2 . Vì a j  > 0 nên α j = 0 với j = 1, , n. Từ đó A độc lập tuyến tính. 1.2.5 Bổ đề. Nếu M là một tập con tùy ý của không gian Hilbert H thì M ⊥ là một không gian con đóng của E. Chứng minh. Giả sử x, y ∈ M ⊥ , α, β ∈ K. Với mọi a ∈ M ta có αx + βy|a = α x, a+β y, a = 0, vì vậy αx+βy ∈ M ⊥ và M ⊥ là không gian vectơ con của E. Để chứng minh M ⊥ đóng, ta lấy tùy ý dãy x n ⊂ M ⊥ , x n → x ∈ E. Với mọi a ∈ M do tính liên tục của tích vô hướng ta có x n , a → x, a. Bởi vì x n , a = 0 với mọi n nên x, a = 0 và x ∈ M ⊥ . Vậy M ⊥ đóng. 1.2.6 Định lý. Giả sử F là một không gian Hilbert con của không gian Hilbert H. Khi đó với mọi x ∈ H tồn tại duy nhất y ∈ F (gọi là hình chiếu trực giao của x trên F ) sao cho x − y = d(x, F ) = inf y∈F x − y. Chứng minh. Đặt α = d(x, F ). Lấy dãy x n ∈ F sao cho x − y → α. Ta sẽ chứng minh y n là dãy Cauchy. Theo đẳng thức bình hành, áp dụng cho cặp vectơ x − y m và x − y n ta có y m − y n  2 + 2x − (y m + y n ) 2 = 2(x − y m  2 + x − y n  2 ), từ đó y m − y n  2 = 2(x −y m  2 + x − y n  2 ) − 4     x − 1 2 (y m − y n )     2 . Bởi vì 1 2 (y m + y n ) ∈ F nên     x − 1 2 (y m + y n )     2 ≥ α 2 . Với mọi ε > 0 tồn tại n 0 sao cho x − y n  2 ≤ α 2 + ε với mọi n ≥ n 0 . Do đó với mọi m, n ≥ n 0 ta có y m − y n  2 ≤ 2(α 2 + ε + α 2 + ε) −4α 2 = 4ε. 6 Vậy {y n } là dãy Cauchy trong F . Do F đầy đủ nên y n → y ∈ F và x − y = d(x, F ). Để chứng minh tính duy nhất của y ta giả sử y  cũng có tính chất trên. Theo đẳng thức bình hành   y − y    2 = 4α 2 − 4     x − 1 2 (y − y  )     2 . Vì 1 2 (y + y  ) ∈ F nên từ đó suy ra   y − y    2 ≤ 0 tức là y = y  . Điểm y hình chiếu trực giao của x trên không gian con F thường được kí hiệu là P F (x). Do tính duy nhất của y nên ta có ánh xạ P F : H → F , ánh xạ này gọi là phép chiếu trực giao H lên không gian con Hilbert F . 1.2.7 Định lý. Giả sử F là không gian con Hilbert của không gian Hilbert H. Khi đó H = F ⊕ F ⊥ và phép chiếu trực giao P F : H → F là ánh xạ tuyến tính, liên tục. Chứng minh. Lấy tùy ý x ∈ H, x = 0. Đặt y = P F (x). Ta có x − y = d(x, F ) = α. Ta sẽ chứng minh z = x −y ∈ F ⊥ . Với mọi v ∈ F và λ ∈ K ta có y − λv ∈ F . Do đó : α 2 ≤ x − (y − λv) 2 = z + λv 2 = z + λv, z + λv = z 2 + λ z, v + λz, v + |λ| 2 v 2 . Vì z = α nên với mọi λ ∈ K : λ z, v + λz, v + |λ| 2 v 2 ≥ 0. Lấy λ = t z, v thì với mọi t ∈ K ta có : t|z, v| 2 (2 + t v 2 ) ≥ 0. Đến đây ta kết luận được z, v = 0 vì nếu z, v = 0 thì bất đẳng thức cuối cùng không thể xảy ra khi t ∈  − 2 v 2 , 0  . Bởi vì z, v = 0 với mọi v ∈ F nên z ∈ F ⊥ . Như vậy với mọi x ∈ H ta đều có x = y + (x − y) = y + z ∈ F + F ⊥ . Chú ý rằng F ∩ F ⊥ = 0 nên H là tổng trực tiếp đại số của F và F ⊥ . Bởi vì P F chính là phép chiếu H lên F trong tổng trực tiếp đại số, do đó P F là ánh xạ tuyến tính. Để hoàn thành chứng minh chỉ còn phải chỉ 7 ra P F liên tục. Bởi vì P F (x) ⊥ (x − P F (x)) nên theo định lí Pythagore x 2 = P F (x) 2 + x −P F (x) 2 . Từ đó P F (x) ≤ x và vì vậy P F liên tục và có P F  ≤ 1. 1.2.8 Định nghĩa. Một hệ trực giao A được gọi là hệ trực chuẩn nếu x = 1 với mọi x ∈ A. Nếu A là hệ trực giao thì hệ B =  1 x x : x ∈ A  là hệ trực chuẩn. Hệ B gọi là trực chuẩn hóa của hệ A. Nếu hệ A toàn vẹn thì hệ B toàn vẹn. Một hệ trực chuẩn toàn vẹn của không gian Hilbert H được gọi là hệ trực chuẩn đầy đủ hay là một cơ sở trực chuẩn của H. 1.2.9 Bổ đề. Giả sử {e i } là một dãy trực chuẩn trong không gian Hilbert H. Khi đó a) ∞  i=1 |x, e i | 2 ≤ x 2 với mọi x ∈ H (Bất đẳng thức Bessel) b) Với mọi (λ i ) ∈ l 2 chuỗi ∞  i=1 λ i e i hội tụ trong H. Chứng minh. a) Đặt x, e i  = c i . Với mọi n ∈ N ta có : 0 ≤      x − n  i=1 c i e i      2 =  x − n  i=1 c i e i , x − n  j=1 c j e j  = x, x − n  i=1 c i x, e i  − n  j=1 c j x, e j  + n  i=1 c i c i = x 2 − n  i=1 |c i | 2 . Vì vậy n  i=1 |x, e i | 2 ≤ x 2 . Do n tùy ý nên ta có bất đẳng thức Bessel. b) Vì không gian H đầy đủ nên ta chỉ cần chứng minh dãy các tổng riêng s n = n  i=1 λ i e i thỏa mãn tiêu chuẩn Cauchy. Vì chuỗi ∞  i=1 |λ i | 2 hội tụ 8 [...]... Cho H là không gian Hilbert với tích vô hướng (.|.) i) Nếu A : H → H là toán tử tuyến tính bị chặn, toán tử liên hợp của nó là A∗ : H → H thỏa mãn (Ax|y) = (x|A∗ y), ∀x, y ∈ H ii) Nếu A∗ = A thì A được gọi là toán tử tự liên hợp 11 CHƯƠNG 2 CHỈNH HÓA PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NỬA TUYẾN TÍNH NGƯỢC THỜI GIAN Chương này trình bày kết quả chỉnh hóa cũng như các đánh giá sai số của phương pháp cho phương trình. .. dựng một nghiệm chỉnh hóa cho bài toán (2.1) Giả sử rằng bài toán (2.1) có một nghiệm chính xác u0 thỏa mãn điều kiện (2.4) Nếu β T thì Bổ đề 2.3.2, phần (i) cho phép chúng ta xấp xỉ u0 (t) với mọi t > 0 Tuy nhiên trong trường hợp tổng quát β > 0 có thể nhỏ và Bổ đề 2.3.2, phần (iii) cung cấp một sự xấp xỉ với t > T − β Phương pháp trình bày ở đây được mô tả như sau: Đầu tiên, chúng ta tính toán nghiệm. .. cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian trong bài báo [5] 2.1 Giới thiệu bài toán Cho H là không gian Hilbert thực hoặc phức với tích vô hướng ·, · và chuẩn Giả sử A : D(A) → H là toán tử dương, tự liên hợp, không bị chặn và ánh xạ f : [0, T ] × H → H Xét bài toán tìm hàm u : [0, T ] → H thỏa mãn ut + Au = f (t, u(t)), 0 < t < T u(T ) = g (2.1) với dữ kiện g ∈ H đã cho với sai số... chỉnh hóa cho bài toán này là cần thiết Mặc dù có rất nhiều kết quả về việc chỉnh hóa dành cho bài toán thuần nhất (nghĩa là bài toán (2.1) với f ≡ 0) bằng cách sử dụng các phương pháp khác nhau như phương pháp tựa đảo (quasi-reversibility method) của Lattes và Lions, phương pháp Tikhonov, phương pháp dựa trên khai triển hàm riêng của Gajewski and Zacharias, phương pháp biên không địa phương, phương pháp... nhỏ nhất lớn hơn kn−1 sao cho akn không là tổ hợp tuyến tính của ak1 , , akn−1 Ta nhận được dãy {akn } gồm các phần tử độc lập tuyến tính trong E Vì tổ hợp tuyến tính của các phần tử này chứa D, do đó dãy là toàn vẹn 10 1.2.12 Định lý Trong một không gian Hilbert H vô hạn chiều, các điều kiện sau đây là tương đương a) H là khả li ; b) H có một dãy toàn vẹn độc lập tuyến tính ; c) H có một cơ sở trực... Mặc dù tính duy nhất nghiệm được đảm bảo theo định lý duy nhất nghiệm ngược (xem [4]), bài toán (2.1) vẫn là một bài toán đặt không 12 chỉnh Một sai số nhỏ trong dữ kiện g có thể gây ra một lỗi lớn cho nghiệm tương ứng (nếu nghiệm của bài toán này tồn tại) Thật vậy, từ dạng biểu diễn quen thuộc của nghiệm ∞ u(t) = e (T −t)λn T e(s−t)λn φn , f (s, u(s)) ds φn , φn , g − t n=1 ta thấy rằng tính không... (Ω) t∈[0,T ] 32 Cp ε1/4 (ln(1/ε))p/2 KẾT LUẬN Kết quả đạt được trong Luận văn này là 1 Trình bày khái niệm không gian Banach và các tính chất cơ bản của nó 2 Trình bày khái niệm không gian Hilbert, phép chiếu trực giao, hệ trực giao, hệ trực chuẩn và các tính chất của nó 3 Trình bày về bất đẳng thức Gronwall 4 Trình bày chi tiết các kết quả trong bài báo [5] 5 Đưa ra nhận xét 2.3.4 6 Đề xuất và chứng... phương pháp chặt cụt Cụ thể hơn, chúng ta sẽ sử dụng bài toán đặt chỉnh sau ut + Au = PM f (t, u(t)), 0 u(t) = PM g, t < T, trong đó PM là phép chiếu trực giao lên không gian riêng span{φn |λn ≤ M }, nghĩa là φn , w φn với mọi w ∈ H PM w = λn M 14 (2.7) Như chúng ta sẽ thấy trong các phần sau, bài toán (2.7) là đặt chỉnh và nghiệm của nó là một nghiệm xấp xỉ địa phương (cụ thể với t > T − β ) tới nghiệm. .. , với mọi w1 , w2 ∈ PM (H) Tính đặt chỉnh của hệ phương trình phi tuyến nói trên kéo theo từ định lý Picard–Lindel¨f (xem [6]) o Chú ý rằng u là một nghiệm của bài toán (2.7) nếu và chỉ nếu (2.3) đúng với mọi n sao cho λn M và φn , u(t) = 0 nếu λn > M Một sự phân tích đơn giản chứng tỏ rằng bài toán (2.7) xấp xỉ bài toán (2.1) theo nghĩa nếu uj là nghiệm của bài toán (2.7) với (g, M ) = (gj , Mj )... trong không gian Hlbert H thì các điều kiện sau đây là tương đương : 9 a) Dãy {en } đầy đủ ; ∞ x, ei ei với mọi x ∈ H ; b) x = i=1 ∞ x, ei y, ei với mọi x, y ∈ H ; c) x, y = d) x 2 i=1 ∞ | x, ei |2 với mọi x ∈ H = i=1 Chứng minh Giả sử {an } là một dãy toàn vẹn, độc lập tuyến tính trong E Kí hiệu L là không gian các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của tập {an } Gọi D là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu . HÓA PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NỬA TUYẾN TÍNH NGƯỢC THỜI GIAN Chương này trình bày kết quả chỉnh hóa cũng như các đánh giá sai số của phương pháp cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian. Applications năm 2010, chúng tôi lựa chọn đề tài cho Luận văn của mình là : " ;Về nghiệm xấp xỉ cho phương trình parabolic nửa tuyến tính ngược thời gian& quot; dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy. TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - - - - - -  - - - - - - NGUYỄN THỊ NGỌC VỀ NGHIỆM XẤP XỈ CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NỬA TUYẾN TÍNH NGƯỢC THỜI GIAN ĐỀ CƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2014 BỘ GIÁO