Ứng dụng phương pháp tham biến bé giải phương trình vi phân phi tuyến

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI NGUYN TH THANH NG DNG PHNG PHP THAM BIN Bẫ GII PHNG TRèNH VI PHN PHI TUYN Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: PGS. TS Khut Vn Ninh H NI - 2014 i LI CM N Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni di s hng dn ca thy giỏo PGS. TS. Khut Vn Ninh. S giỳp v hng dn tn tỡnh ca thy sut quỏ trỡnh thc hin lun ny ó giỳp tỏc gi trng thnh hn rt nhiu cỏch tip cn mt mi. Tỏc gi xin by t lũng bit n, lũng kớnh trng sõu sc nht i vi thy. Tỏc gi xin trõn trng cm n Ban giỏm hiu trng i hc S phm H Ni 2, phũng Sau i hc, cỏc thy cụ giỏo nh trng v cỏc thy cụ giỏo dy cao hc chuyờn ngnh Toỏn Gii tớch ó giỳp , to iu kin thun li cho tỏc gi sut quỏ trỡnh hc tp. Tỏc gi xin chõn thnh cm n S GD-T tnh Bc Ninh, Ban giỏm hiu, cỏc thy cụ giỏo, ng nghip trng THPT Nguyn Vn C cựng gia ỡnh, ngi thõn, bn bố ó giỳp , ng viờn v to iu kin thun li tỏc gi hon thnh khúa hc Thc s v hon thnh lun ny. H Ni, ngy 10 thỏng 11 nm 2014 Tỏc gi Nguyn Th Thanh ii LI CAM OAN Tụi xin cam oan lun l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi di s hng dn ca thy PGS.TS. Khut Vn Ninh. Trong nghiờn cu lun vn, tụi ó k tha thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n. H Ni, ngy 10 thỏng 11 nm 2014 Tỏc gi Nguyn Th Thanh Mc lc M u Mt s kin thc chun b 1.1. Khụng gian metric, nguyờn lý ỏnh x co . . . . . . . . . 1.1.1 Khụng gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Nguyờn lý ỏnh x co . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Khụng gian Banach, khụng gian Hilbert, khụng gian L(X,Y) 1.2.1 Khụng gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Khụng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Khụng gian L(X,Y) . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 k 1.3. Mt s khụng gian hm: Khụng gian Rk , C[a,b] , C[a,b] . . 11 1.3.1 Khụng gian Rk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2 Khụng gian C[a,b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.3 k Khụng gian C[a,b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4. Mt s khỏi nim v phng trỡnh vi phõn thng . . . . 13 1.5. Phng phỏp sai phõn, phng phỏp Euler . . . . . . . . 17 iii iv 1.5.1 Phng phỏp sai phõn . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.2 Phng phỏp Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5.3 Phng phỏp Euler ci biờn . . . . . . . . . . . . 22 1.6. Chui ly tha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.7. Phng phỏp Newton - Raphson . . . . . . . . . . . . . 27 . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.8. a thc ni suy Lagrange ng dng phng phỏp tham bin gii mt s phng trỡnh vi phõn phi tuyn 30 2.1. Phng phỏp tham bin liờn tc . . . . . . . . . . . . 30 2.1.1 Hm tru tng gii tớch v chui Taylor . . . . . 2.1.2 Phng phỏp tham bin trng hp n 30 gin nht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.3 Phng phỏp tham bin liờn tc . . . . . . . . 34 2.1.4 Vớ d v phng phỏp tham bin liờn tc . . . 37 2.2. Phng phỏp thỏc trin theo tham s . . . . . . . . . . . 39 2.2.1 Phng phỏp thỏc trin theo tham s . . . . . . . 2.2.2 Vớ d v ng dng phng phỏp thỏc trin theo 39 tham s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3. Phng phỏp tham bin ri rc . . . . . . . . . . . . 49 ng dng phn mm Maple gii s mt s phng trỡnh vi phõn phi tuyn 53 v 3.1. Vớ d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2. Vớ d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Kt lun 69 Ti liu tham kho 70 BNG K HIU Lun s dng nhng kớ hiu vi ý ngha xỏc nh bng di õy: C Tp s phc C[a;b] Tp tt c cỏc hm s thc liờn tc trờn [a, b] Cn[a;b] Tp tt c cỏc hm s xỏc nh v cú o hm liờn tc n cp n trờn [a, b] N Tp s t nhiờn N Tp s t nhiờn khỏc khụng R Tp s thc Rk Khụng gian vect thc k chiu L (X, Y ) Khụng gian cỏc toỏn t tuyn tớnh liờn tc t X vo Y ỉ . Tp hp rng Chun M U 1. Lý chn ti Phng phỏp tham bin l mt phng phỏp c ng dng nhiu gii phng trỡnh. Phng phỏp tham bin ó c xut cụng trỡnh ca Schauder gii phng trỡnh o hm riờng elliptic vo gia th k XIX. Sau ú nú c ỏp dng nhiu cụng trỡnh ca cỏc nh toỏn hc Liờn Xụ vo vic gii phng trỡnh toỏn t. c bit nú giỳp cho vic gii xp x phng trỡnh toỏn t. Vi mong mun tỡm hiu sõu hn v phng phỏp tham bin v ng dng vo gii phng trỡnh vi phõn phi tuyn, nh s giỳp , hng dn tn tỡnh ca thy giỏo PGS.TS. Khut Vn Ninh, nờn tụi ó chn nghiờn cu ti: "ng dng phng phỏp tham bin gii mt s phng trỡnh vi phõn phi tuyn" 2. Mc ớch nghiờn cu Lun trỡnh by phng phỏp tham bin liờn tc, phng phỏp thỏc trin theo tham s v phng phỏp tham bin ri rc gii phng trỡnh toỏn t. Lun cng trỡnh by ng dng ca phng phỏp núi trờn vo gii phng trỡnh tớch phõn, phng trỡnh vi phõn phi tuyn v gii s trờn mỏy tớnh bng phn mm Maple. 3. Nhim v nghiờn cu - Trỡnh by c s lý thuyt ca phng phỏp tham bin nờu trờn. - Nghiờn cu phng phỏp tham bin bộ. - Nờu ng dng ca tng phng phỏp tham bin vo gii mt s phng trỡnh toỏn t vi phõn phi tuyn c th, phng trỡnh toỏn t tớch phõn. - Gii s mt s phng trỡnh vi phõn c th. 4. i tng v phm vi nghiờn cu - Phng phỏp tham bin liờn tc. - Phng phỏp thỏc trin theo tham s. - Phng phỏp tham bin ri rc. - Mt s ng dng vo gii mt s phng trỡnh vi phõn phi tuyn c th. 5. Phng phỏp nghiờn cu - Su tm, nghiờn cu cỏc ti liu liờn quan. - Vn dng mt s phng phỏp phõn tớch, tng hp, cỏc phng phỏp ca Gii tớch c in, Phng trỡnh vi phõn, Gii tớch hm, Gii tớch s v lp trỡnh cho mỏy tớnh. 6. úng gúp mi ca lun - Trỡnh by phng phỏp tham bin liờn tc, phng phỏp tham bin ri rc, phng phỏp thỏc trin theo tham s. - ng dng cỏc phng phỏp núi trờn vo gii phng trỡnh toỏn t vi phõn, phng trỡnh toỏn t tớch phõn. - Lp trỡnh trờn Maple gii mt s phng trỡnh vi phõn phi tuyn c th. 56 > expr3 := 800 u31 + 800 u21 V0 ; > V1 := expand(expr3); > V1 := int(V1 , x); > V1 := int(V1 , x); > expr3 := u1 + .V1 ; > u2 := expand(expr3); u2 := 0.3655880899x+1.785714286x8 4.591836737x7 +4.770408163x6 2.057215744x5 +0.5x2 +21.59863946x10 3.826530612x9 +479.2729591x16 406.7055394x15 + 194.2700157x14 54.69976455x13 + 38.54691227x12 42.53909356x11 + 637.3978165x18 432.9633641x17 + 133.6908988x24 465.4423883x23 + 1060.164326x22 1639.941692x21 + 1728.400242x20 1226.240027x19 22.77696794x25 + 1.752074457x26 > subs(x = 0.5, u2 ); 0.07624228940 * = 1/4 > u0 := 0.5 x (x 1); u0 := 0.5x(x 1) > V0 := 1.785714286x8 7.142857143x7 + 10x6 5x5 + 0.3571428571x; V0 := 1.785714286x8 7.142857143x7 + 10x6 5x5 + 0.3571428571x > expr1 := u0 + V0 ; > u1 := expand(expr1); u1 := 0.4464285714285714x8 1.785714285714286x7 + 2.5x6 1.25x5 + 0.5x2 0.4107142857142857x 57 > expr3 := 800 u31 + 800 u21 V0 ; > V1 := expand(expr3); > V1 := int(V1 , x; > V1 := int(V1 , x); > expr3 := u1 + V1 ; > u2 := expand(expr3); u2 := 0.4099363423x+.8928571429x8 2.933673469x7 +3.453443878x6 1.490980321x5 +.5x2 +68.87755103x16 61.77113703x15 +32.01040030x14 11.55931123x13 + 10.50170068x10 + 66.26027035x22 102.4963557x21 52.64661670x17 2.750318878x9 + 12.16031258x12 15.96458389x11 + 8.355681173x24 29.09014928x23 + 108.2610265x20 79.00011513x19 + 50.15399018x18 1.423560496x25 + 0.1095046536x26 > expr5 := 800 u32 + 800 u22 V1 ; > V2 := expand(expr5); > V2 := int(V2 , x); > V2 := int(V2 , x); > expr7 := u2 + V2 ; > u3 := expand(expr7); u3 := 0.3848246043x+1.339285714x8 4.392175096x7 +5.121165636x6 2.172025445x5 +.5x2 +262.0100093x16 205.9256207x15 +94.10949758x14 30.47499984x13 + 21.85401438x10 + 1946.768191x22 1655.429829x21 247.3926752x17 5.497372708x9 + 29.33424260x12 35.38459825x11 + 6030.926969x24 3314.410409x23 + 1386.288931x20 828.7995429x19 + 373.7674652x18 > expr9 := 800 u33 + 800 u23 V2 ; > V3 := expand(expr9); 58 > V3 := int(V3 , x); > V3 := int(V3 , x); > expr11 := u3 + V3 ; > u4 := expand(expr11); u4 := 0.3774094430x+1.362148061x8 4.405103819x7 +5.121165636x6 2.172025445x5 +0.5x2 +262.1080400x16 205.9619005x15 +94.14979187x14 30.53170593x13 + 21.85773462x10 + 1947.518347x22 1655.923162x21 247.5819451x17 5.512623316x9 + 29.37563278x12 35.39709228x11 + 0.01041666667x4 0.01603435852x3 +6031.808657x24 3315.228309x23 + 1386.534831x20 > subs(x = 0.5, u4 ); 0.08305267562 Tng t ta cú nghim s vi cỏc khỏc nhau. Kt qu c th hin bng di õy. u0 = u(1/2, )|=0 -0,1250000 = +0.0047433033 = 1/2 -0.07624228940 = 1/4 -0.08305267562 Nghim chớnh xỏc -0.0832054839 Bng 3.1 Quy trỡnh tỡm nghim chớnh xỏc Nghim chớnh xỏc ca bi toỏn c hiu l nghim ca h phng trỡnh sai phõn. Ta s ỏp dng phng phỏp Newton - Raphson gii 59 xp x h phng trỡnh sai phõn phi tuyn thu c. p dng phng phỏp sai phõn, ta cú um+1 2um + um1 = h2 + 800u3m , (3.1.5) m = 0, 1, , 5; h = 0, 2, Khi ú ta cú h u0 = u5 = 0. u2 2u1 32u21 = 0.04 u3 2u2 32u2 + u1 = 0.04 u4 2u3 32u23 + u2 = 0.04 2u 32u2 + u = 0.04 4 p dng phng phỏp Newton - Raphson. t 32u21 0.04 u 2u1 u3 2u2 32u22 + u1 0.04 f (U ) = u4 2u3 32u23 + u2 0.04 2u4 32u24 + u3 0.04 (0) Trong ú U = (u1 , u2 , u3 , u4 )T , chn u1 (0) = u2 (0) = u3 (0) = u4 = 0.2, U (0) = (0.2, 0.2, 0.2, 0.2)T . Vi cỏc kớ hiu nờu trờn h phng trỡnh 3.4.5 cú dng f (U ) = . > f (U (0) ) := matrix(4, 1, [0.496, 0.296, 0.296, 0.496]); 96u21 0 96u22 J(U ) = 96u23 0 96u24 > J(U (0) ) := matrix(4, 4, [5.84, 1, 0, 0, 1, 5.84, 1, 0, 0, 1, 5.84, 1, 0, 0, 1, 5.84]) Ta cú th tớnh nh thc v ma trn nghch o nh phn mm Maple 60 nh sau: 5.84 J0 = 5.84 5.84 5.84 > det(J0); 1061.875151 > F := inverse(J0); > F := J (U (0) ); 0.1765713 0.03117655 J (U (0) ) = 0.00549971 0.00094173 0.03117655 0.0054997049 0.00094173 0.18207103 0.032118277 0.005499705 0.03211828 0.18207103 0.031176546 0.00549970 0.031176546 0.17657133 Ta tớnh nghim U (1) nh sau: U (1) = U (0) J (U (0) )f (U (0) ) > U (0) := matrix(4, 1, [0.2, 0.2, 0.2, 0.2]); > T := multiply(F 0, f (U (0) )); > U (1) := evalm(U (0) T 0); U (1) 0.1010973534 0.1184085441 = 0.1184085441 0.1010973534 Bng cỏch tng t ta cú bng sau 61 (0) ui (1) (2) (3) (4) (5) ui ui ui ui ui 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.1010974 0.021280479 -0.061768359 -0.05743821 -0.057268316 0.2 0.1184085 0.037310918 -0.086838835 -0.08083174 -0.080546732 0.2 0.1184085 0.037310918 -0.086838835 -0.08083174 -0.080546732 0.2 0.1010974 0.021280479 -0.061768359 -0.05743821 -0.057268316 i Bng 3.2 p dng tip a thc ni suy Lagrange vi mc x 0.2 0.4 0.6 0.8 u -0.057268316 -0.080546732 -0.080546732 -0.057268316 Bng 3.3 x (x 0.4) (x 0.6) (x 0.8) (x 1) (0.2) (0.2 0.4) (0.2 0.6) (0.2 0.8) (0.2 1) x (x 0.2) (x 0.6) (x 0.8) (x 1) 0.08054673235 (0.4 0) (0.4 0.2) (0.4 0.6) (0.4 0.8) (0.4 1) x (x 0.4) (x 0.2) (x 0.8) (x 1) 0.08054673235 (0.6 0) (0.6 0.4) (0.6 0.2) (0.6 0.8) (0.6 1) x (x 0.4) (x 0.2) (x 0.6) (x 1) 0.05726831598 (0.8 0) (0.8 0.4) (0.8 0.2) (0.8 0.6) (0.8 1) u (x) = 0.05726831596 u (x) = 0.27894487x4 0.55788975x3 + 0.68150303x2 0.402558154x. > subs(x = 0.5, u (x)); 0.0832054839 th > plot([u0, u1, u2, u4, u (x)], x = 1, color = [gray, blue, green, black, red]); 62 Hỡnh 3.1 giỏ tr hm u nhng xp x khỏc - u0 ; u( = 1); u( = 0.5); u( = 0.25); - nghim chớnh xỏc Hỡnh 3.1 63 3.2. Vớ d Xột phng trỡnh y y = x2 , y(0) = y(1) = 0. Ta xột phng trỡnh cha tham bin : y .y = x2 , y(0) = y(1) = 0. p dng phng phỏp tham bin bộ. Vi = 0. Ta cú xp x ban u y0 = x2 , y0 (0) = y0 (1) = 0, suy y0 := 0.0833333333333333x(x3 1) v V0 = y02 , V0 (0) = V0 (1) = 0, suy V0 := 0.00007716049382x1 0.0003306878307x7 + 0.0005787037038x4 0.0003251763669x v cỏc hm Vk tỡm c t phng trỡnh sau: Vk = yk2 + 2.k yk Vk1 . S dng phn mm maple * = > y1 := y0 + .V0 ; y1 := 0.0833333333333333x(x3 1) + 0.00007716049382x10 0.0003306878307x7 + 0.0005787037038x4 0.0003251763669x > subs(x = 0.5, y1 ); y1 := 0.03658726068 64 * = 1/2 > y1 := y0 + .V0 y1 := 0.08362268518x4 0.08349592151x + 0.00003858024691x10 0.0001653439154x7 > expr1 := y12 + y1 V0 ; > expr2:=expand(expr1); > V1 := expr2; > V1 := int(int(V1 , x), x); > y2 := y1 + V1 ; Nghim gii tớch y2 := 0.08391429851x4 0.08365962686x + 0.00007800481453x10 0.0003324846040x7 + 0.2710224527.107 x16 0.02189083728.106 x13 + 0.4832582637.1011 x22 0.5595622000.1010 x19 > subs(x = 0.5, y2 ); y2 = 0.03658769116 * = 1/4 Tng t trờn ta cú nghim y4 := 0.08376905972x4 0.08357805469x + 0.00005850473872x10 0.0002493655532x7 + 0.2042749211.107 x16 0.1645831389.106 x13 + 0.4927974675.1011 x22 0.5779474288.1010 x19 + 0.8006195225.1015 x28 0.1238484387.1013 x25 + 65 0.9323843295.1019 x34 0.1788539657.1017 x31 + 0.6560826345.1023 x40 0.1503397625.1021 x37 + 0.2203526469.1027 x46 0.5848842773.1026 x43 > subs(x = 0.5, y4 ); y4 = 0.03655535218 Tỡm nghim chớnh xỏc Cng nh vớ d trờn ta gii h phng trỡnh sai phõn phi tuyn bng phng phỏp Newton - Raphson. p dng phng phỏp sai phõn, ta cú ym+1 2ym + ym1 = h2 x2 + ym , (3.1.6) m = 0, 1, , 5; h = 0, 2, y0 = y5 = Chia [0, 1] thnh phn bng vi cỏc im chia x0 = 0, x1 = 0.2, x2 = 0.4, x3 = 0.6, x4 = 0.8, x5 = 1, y2 2y1 0.08y12 = 0.04.x21 y3 2y2 0.08y + y1 = 0.04.x2 2 Khi ú ta cú h y4 2y3 0.08y32 + y2 = 0.04.x23 2y 0.08y + y = 0.04.x2 4 p dng phng phỏp Newton - Raphson y2 2y1 0.08y12 0.04.x21 y3 2y2 0.08y22 + y1 0.04.x22 f (y) = y4 2y3 0.08y32 + y2 0.04.x23 2y4 0.08y42 + y3 0.04.x24 66 > with(linalg); > u0:=matrix(4,1,[0.2,0.2,0.2,0.2]); > f(u0):=matrix(4,1,[-0.2032,-0.008,-0.016,-0.0272]); > J(u0):=matrix(4,4,[-2.016,1,0,0,1,-2.016,1,0,0,1,-2.016,1,0,0,1,-2.016]); > det(J(u0)); > F0:= inverse(J(u0)); > T0:=multiply(F0,f(u0)); > u1:=evalm(u0-T0); 0.0254415717 0.0512902088 y1 = 0.0827594890 0.1283529212 Bng cỏch tng t, da vo phn mm Maple ta cú bng sau: (0) yi (1) (2) (3) yi yi yi 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.0254415717 -0.015416333 -0.01606249156 0.2 0.05129020885 -0.02928993419 -0.03051467967 0.2 0.082759489 -0.0369889457 -0.03852968195 0.2 0.1283529212 -0.0308068176 -0.03208539773 i Bng 3.4 Tng t vớ d trờn ta cng ỏp dng tip a thc ni suy Lagrange ta cú nghim y = 0.000924268x5 + 0.08505735x4 0.00058450x3 0.003225654x2 67 0.0803229273x > subs(x = 0.5, y ); 0.03575373865 Tng t ta cú kt qu nghim s ti cỏc khỏc th hin bng di õy. y0 = y(1/2, )|=0 -0.03645833333 = -0.03658726068 = 1/2 -0.03658769116 = 1/4 -0.03655535218 Nghim chớnh xỏc -0.03575373865 Bng 3.5 th >plot([y0, y1, y2, y4, y ], x = 1, color = [blue, orange, green, black, red]); Hỡnh 3.2 giỏ tr hm y nhng xp x khỏc - y0 ; y( = 1); y( = 0.5); y( = 0.25); - nghim chớnh xỏc 68 Hỡnh 3.2 69 KT LUN Trong lun ny tụi ó trỡnh by mt s phng phỏp gii phng trỡnh toỏn t. ú l phng phỏp tham bin liờn tc, phng phỏp tham bin ri rc v phng phỏp thỏc trin theo tham s. í tng ca cỏc phng phỏp ny l nhỳng phng trỡnh toỏn t ang xột vo mt h phng trỡnh toỏn t vi mt tham s. Xut phỏt t mt phng trỡnh cú nghim bng cỏch thỏc trin liờn tc theo tham s ta c phng trỡnh toỏn t ng vi tham bin khỏc cng cú nghim, s ú cú phng trỡnh toỏn t ang xột. Lun ó trỡnh by c ba phng phỏp núi trờn nờn vớ d ng dng phng phỏp tham bin liờn tc vo gii mt phng trỡnh tớch phõn, phng phỏp ri rc tham bin gii phng trỡnh vi phõn, phng phỏp thỏc trin theo tham s gii phng trỡnh vi phõn. Riờng phng phỏp tham bin ri rc tỏc gi ó nờu hai vớ d v gii s trờn mỏy tớnh bng phn mm Maple. Vi kh nng v thi gian cú hn, chc chn lun khụng trỏnh nhng thiu sút. Kớnh mong quý thy cụ v cỏc bn gúp ý lun c hon thin hn. Tụi xin chõn thnh cm n ! Ti liu tham kho [A] Ti liu ting Vit [1] Phm K Anh (2005), Gii tớch s, NXB. i hc quc gia H Ni. [2] Phan Huy in (2002),Tớnh toỏn, Lp trỡnh v ging dy toỏn hc trờn maple, NXB. Khoa hc v K thut H Ni. [3] Nguyn Th Hon, Phm Phu (2009), C s phng trỡnh vi phõn v lý thuyt n nh, NXB. Giỏo dc. [4] Nguyn Minh Chng, Ya.D.Mamedov, Khut Vn Ninh (1992), Gii xp x phng trỡnh toỏn t, NXB. Khoa hc v k thut H Ni. [5] Nguyn Ph Hy (2005), Gii tớch hm, NXB. Khoa hc v k thut H Ni. [6] Hong Ty (2005), Hm thc v gii tớch hm, NXB. i hc quc gia H Ni. [B] Ti liu ting Nga [7] ẽốỡồớồớốồ ỡồũợọ ỡởợóợ ùỡồũ ữốủởồớớợỡú ồứồớốỵ ọốụụồồớửốởỹớỷừ úõớồớốộ ợợọớốửỷớ ờớốóồ ẹợõồỡồỡồớớỷồ ùợỏởồỡỷ 70 ỡũồỡũốữồủờợộ ụốỗốờố ố 71 õỷữốủởốũồởỹớợộ ỡũồỡũốờố ỗọũồởỹõ ể ợủờõ [8] ềồớợóốớ ễúớờửốợớởỹớỷộ ớởốỗ ợủờõ úờ [...]... ta chia các phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi phân thường thành hai nhóm sau: 1) Các phương pháp giải tích – Đó là các phương pháp tìm nghiệm dưới dạng biểu thức giải tích 2) Các phương pháp số - Đó là các phương pháp tìm nghiệm dưới dạng bảng Chẳng hạn: phương pháp xấp xỉ liên tiếp 15 Xét bài toán Cauchy y = f (x, y) , y (x0 ) = y0 (1.4.7) Phương pháp xấp xỉ liên tiếp là phương pháp xây dựng... x(i) (t) i=0 a≤t≤b 13 1.4 Một số khái niệm về phương trình vi phân thường Phương trình vi phân thường cấp n là phương trình trong đó có chứa hàm số chưa xác định (đóng vai trò như ẩn hàm) và đạo hàm của hàm số đó: F x, y(x), y (x), , y (n) (x) = 0 (1.4.1) Cấp của phương trình là cấp của đạo hàm cấp cao nhất có mặt trong phương trình Xét phương trình vi phân cấp n khi đạo hàm cấp cao nhất y (n) biểu... sai phân hữu hạn:   L y = yi+1 − 2yi + yi−1 − q(x )y(x ) = f (x ); i = 1, 2, , n − 1  n i i i i h2   y0 = ya , yn = yb (1.5.3) Giải hệ phương trình tuyến tính (1.5.3) ta được các yi đó là giá trị gần đúng của nghiệm bài toán (1.5.1) tại các điểm x0 , x1 , , xn 18 Sai số nhận được sẽ là: M (b − a)2 2 Max |y(xi ) − yi | ≤ h a≤i≤b 96 Ví dụ 1.5.1 Giải gần đúng phương trình sau bằng phương pháp sai phân: ... dx (1.4.4) là tìm các hàm y1 , y2 , , yn thỏa mãn hệ phương trình (1.4.4) và thỏa mãn điều kiện ban đầu y1 (x0 ) = y10 , y2 (x0 ) = y20 , , yn (x0 ) = yn0 , (1.4.5) 14 trong đó y10 , y20 , , yn0 là những số đã biết Phương trình (1.4.2) có thể đưa về hệ n phương trình vi phân cấp một bằng cách đặt y1 = y , y2 = y , , yn−1 = y (n−1) , khi đó phương trình (1.4.2) có dạng   dy    dx = y1   dy  1... ban đầu (1.4.3) được vi t dưới dạng (1.4.5) Hàm số y = ϕ (x) được gọi là nghiệm của phương trình (1.4.2) nếu thay y = ϕ (x) , y = ϕ (x) , , y (n) = ϕ(n) (x) vào (1.4.2) thì ta được đồng nhất thức Hàm số y = ϕ (x, c) (c ∈ R) có đạo hàm riêng theo biến x đến cấp n được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.4.2) nếu: ∀ (x, y) ∈ D (D là miền xác định của phương trình) ta có thể giải ra đối với c, c... vào nghiệm chính xác y = e 4 ta thấy sai số của giá trị y5 bằng ε1 = 1, 4571 − 1, 2840 = 0, 1731 22 1.5.3 Phương pháp Euler cải biên Để có được phương pháp số giải (1.5.4), (1.5.5) với độ chính xác cao hơn phương pháp Euler, chúng ta cần xấp xỉ tích phân ở vế phải của (1.5.8) tốt hơn Từ (1.5.8) sử dụng công thức hình thang y (x + h) = y (x) + h [y (x) + y (x + h)] + 0 h3 2 y (x + h) = y (x) + h [f (x,... [0; 0, 4] ta có 3+1 4 5 n (x − x0 ) 3x ε3 = |y3 (x) − y (x)| ≤ M N = 1, 25.1 = x4 , (3 + 1)! 4! 96 5 Từ đó max |y3 (x) − y (x)| ≤ (0, 4)4 ≈ 0, 00133 96 h = min a, 17 1.5 Phương pháp sai phân, phương pháp Euler 1.5.1 Phương pháp sai phân Xét bài toán:   L[y] ≡ y − q(x)y = f (x),  y(a) = y , y(b) = y a (1.5.1) b Giả sử có đủ điều kiện để bài toán (1.5.1) tồn tại và duy nhất nghiệm Giả sử các hàm f... dưới dạng: y (n) = f x, y, y , , y (n−1) (1.4.2) Bài toán Cauchy đối với phương trình (1.4.2) là tìm hàm y = y(x) thỏa mãn phương trình (1.4.2) và điều kiện ban đầu (n−1) y (x0 ) = y0 , y (x0 ) = y0 , , y (n−1) (x0 ) = y0 (n−1) trong đó x0 , y0 , y0 , , y0 , (1.4.3) là những số cho trước Bài toán Cauchy đối với hệ phương trình vi phân thường   dy1 = f1 (x, y1 , y2 , , yn )   dx    dy2   = f2... thì Nếu thay 0 y (x + h) = y (x) + hf (x, y (x)) + 0 h2 Đặt x = xi , x + h = xi+1 thì |yi+1 − yi | = 0 h2 Ví dụ 1.5.2 Áp dụng phương pháp Euler tìm nghiệm gần đúng của phương trình: 1 y = xy, y(0) = 1, x ∈ [0, 1], h = 0, 2 2 Lời giải: Ta kí hiệu: ∆yi = hf (xi , yi ) Theo phương pháp Euler yi+1 = yi + ∆yi = yi + hf (xi , yi ) 1 Ta có: f (xi , yi ) = xi yi , h = xi+1 − xi , 2 1 ∆yi = hf (xi , yi ) =... (1.4.7) là giới hạn của dãy hàm yn (x) Trong lý thuyết phương trình vi phân thường đã chứng minh rằng: Nếu hàm f (x, y) thỏa mãn điều kiện Lípschitz theo biến y, |f (x, y1 ) − f (x, y2 )| ≤ N |y1 − y2 | , N = const, (1.4.9) (x, y) ∈ R2 | |x − x0 | ≤ a, |y − y0 | ≤ b , trong hình chữ nhật D, D = thì dãy hàm (yn (x)) hội tụ đều tới nghiệm y(x) của phương trình (1.4.7) trên đoạn [x, x + h], h > 0 là một số . của phương pháp tham biến bé nêu trên. - Nghiên cứu phương pháp tham biến bé. - Nêu ứng dụng của từng phương pháp tham biến bé vào giải một số phương trình toán tử vi phân phi tuyến cụ thể, phương. phương pháp tham biến bé liên tục, phương pháp tham biến bé rời rạc, phương pháp thác triển theo tham số. - Ứng dụng các phương pháp nói trên vào giải phương trình toán tử vi phân, phương trình. . . . . 29 2 Ứng dụng phương pháp tham biến bé giải một số phương trình vi phân phi tuyến 30 2.1. Phương pháp tham biến bé liên tục . . . . . . . . . . . . 30 2.1.1 Hàm trừu tượng giải tích và