2 Ứng dụng phương phâp tham biến bĩ giải một số phương
2.1.3 Phương phâp tham biến bĩ liắn tục
Những lập luận trắn lă gợi ý trong việc nghiắn cứu trường hợp tổng quât sau đđy. Xĩt phương trình
Ở đđy A(λ) ∈ L(X, Y) xâc định với mọi λ, |λ| < ρ hoặc ta nói A(λ) lă hăm - toân tử. Giả sử A(λ) giải tắch tại λ = 0 vă toân tử A−1(0) tồn tại vă liắn tục, y(λ) lă hăm giải tắch tại λ = 0 với giâ trị trongY. Ẩn x nằm trong X.
Tắnh giải tắch của A(λ) vă y(λ) tại 0 có nghĩa lă chúng có thể khai triển thănh câc chuỗi lũy thừa sau đđy có bân kắnh hội tụ khâc không, tương ứng lă ρ0 vă ρ:
A(λ) = ∞ X k=0 Akλk, y(λ) = ∞ X k=0 ykλk. (2.3.2)
Do A(λ) giải tắch tại λ = 0, do đó tồn tại một số r > 0, sao cho trong hình tròn |λ| < r
[A(λ)−A(0)]A−1(0) < 1.
Khi đó, trong hình tròn |λ| < r hăm - toân tử A(λ) có toân tử nghịch đảo liắn tục vă do đó, phương trình (2.3.1) có nghiệm duy nhất
x(λ) =A−1(λ)y(λ);
trong đó x(λ) giải tắch tại điểm λ = 0 vă bân kắnh hội tụ của chuỗi lũy thừa lă min (ρ, r). Thật vậy, để xđy dựng x(λ) ta nắn sử dụng phương phâp tham biến bĩ. Ta sẽ tìm x(λ) dưới dạng
x(λ) =
∞
X
k=0
Thay (2.3.3) văo (2.3.1)vă sử dụng (2.3.2), ta có hệ phương trình sau đối với câc hệ số chưa xâc định x0, x1, x2, ...
A0x0 = y0, A0x1 + A1x0 = y1, A0x2 +A1x1 + A2x0 = y2, .... n P k=0 Akxn−k = yn, ... (2.3.4)
Ở đđy A0 = A−1(0) lă toân tử liắn tục. Giải hệ trắn ta có
x0 = A−01y0, x1 = A−01y1 −A−01A1A−01y0, .... (2.3.5) Ở đđy câc công thức khâ phức tạp, nhưng câch năy có thể tìm thấy nghiệm với độ chắnh xâc tùy ý.
Như trắn, bân kắnh hội tụ của chuỗi lũy thừa được sử dụng trong phương phâp tham biến bĩ lă R = min(ρ, r) vă R không phụ thuộc văo ρ0- bân kắnh hội tụ của chuỗi lũy thừa câc toân tử A(λ). Thực tế lă phương phâp tham biến bĩ được âp dụng như ta thấy dưới đđy cho cả trường hợp hăm - toân tử A(λ) lă không bị chặn.
Để đânh giâ bân kắnh hội tụ R của chuỗi (2.3.3), ta có thể sử dụng Bổ đề 1.1. Giả sử ta có câc đânh giâ
kynk ≤ M1αn, AnA0−1 ≤ M βn−1, n ≥ 1. Khi đó theo Bổ đề 1.1 ρ ≥ α−1. Hơn nữa
[A(λ)−A(0)]A−1(0)= ∞ P n=1 AnA−01λn ≤ ≤ M |λ| ∞ P n=1 (|λ|β)n−1 = M |λ| 1− |λ|β < 1,
nếu |λ| < 1/(M +β).
Cuối cùng ta có đânh giâ sau: R ≥ min
α−1,(M +β)−1
. (2.3.6)
Cho A(λ) = A0 +λA1 vă kynk ≤ M1αn, A1A−01 ≤ M, thì (2.3.6)
có thể thay bằng bất đẳng thức chắnh xâc hơn:
R ≥ min α−1, M−1.
Phương phâp tham biến bĩ đặc biệt có ắch trong những trường hợp tìm nghịch đảo của toân tử A(0) lă băi toân có lời giải dễ dăng hơn băi toân tìm nghịch đảo của toân tử A(λ).