Ứng dụng phương trình vi phân giải bài toán kinh tế

1 LỜI CẢM ƠN  S.    giáo Phòng Sau     Hà Nội, tháng 11 năm 2013 Tác giả Trần Hoài Anh 2 LỜI CAM ĐOAN   S.         “Ứng dụng phƣơng trình vi phân giải bài toán kinh tế”  Hà Nội, tháng 11 năm 2013 Tác giả Trần Hoài Anh 3 MỤC LỤC Trang  1  2  3 MỞ ĐẦU 4 NỘI DUNG 6 Chƣơng 1: Phƣơng trình vi phân 6  vi phân 6  7  11  15 Chƣơng 2: Ứng dụng phƣơng trình vi phân giải bài toán kinh tế 18  18 2. 23 ng Solow 28  34 Chƣơng 3: Ứng dụng hệ phƣơng trình vi phân giải bài toán kinh tế 44 3.1 44 3.2. Mô hình   46  56 KẾT LUẬN 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO 65 4 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài                          , .        “ỨNG DỤNG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN KINH TẾ    mình. 2. Mục đích nghiên cứu   3. Nhiệm vụ nghiên cứu  5 -  -  và h phng trình vi phân  các bài toán . 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu -   -    5. Phƣơng pháp nghiên cứu -    -  -  6. Nhƣ ̃ ng đo ́ ng go ́ p cu ̉ a luâ ̣ n văn    . ,     6 CHƢƠNG 1 PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN 1.1. Một số khái niệm về phƣơng trình vi phân 1.1.1. Phƣơng trình vi phân thƣờng Định nghĩa 1.1.    () , , , , 0 n F x y y y y    ,    F  2n       x  y  ,   n .  trên                 ()n y                ()n y                   ( ) ( 1) , , , , nn y f x y y y    . 1.1.2. Cấp của phƣơng trình vi phân    3 2 2 20 d y dy y dx dx               1.1.3. Nghiệm  vi phân   ()y y x  n  ( , )ab  ,       ( 1) , ( ), ( ), , ( ) 0 n F x y x y x y x    , 7  x  ( , )ab . 1.2. Phƣơng trình vi phân cấp 1 1.2.1. Định nghĩa     , , 0F x y y   , (1.1)  F   3 D   . -  D  y  :   ,y f x y   , (1.2)  v - Hàm   yx    ,I a b   a,       ,,x x x D    xI ; b,       , , 0F x x x   trên I . -       , , 0M x y dx N x y dy . 1.2.2. Một số phƣơng trình vi phân cấp 1 i) Phương trình với biến số phân li      0M y dy N x dx (1.3)  (  Cách giải: Các hàm     ,M y N x k 8       M y dy N x dx  .  ii) Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1      y p x y q x   , (1.4)      ,p x q x    ,ab    y y t     0qx     0y p x y   (1.5)    0qx  (1.4) là h v  *  y ay b   . (1.6) Cách giải: - Xét  0y ay   . dy dy ay adx dx y        ln ax c y ax c y Ae        . - Tìm  nghi riêng c (1.6) là / p y b a n 0a  ; p y bx n 0a  . - (1.6) có d 9 . pc y y y V (0) ax ax b b b y Ae y e a a a           , v 0a  ; (0)y A bx y bx    , v 0a  .  thiên:     y p x y q x   . (1.7) Cách giải: - Xét phng trình tuy tính thu nh tng    0.y p x y   () dy p x dx y    1 ln ( )y p x dx C     () . p x dx c y Ce    -  Coi C là    x , t     (1.7     p x dx y C x e    . (1.8) 7       p x dx C x e q x     , suy ra       p x dx C x q x e dx C    . Thay vào (1.87) là 10       p x dx p x dx y e q x e dx C         , C . iii) Phương trình Bernoulli Bernoulli là      y p x y q x y    ,    . (1.9) Cách giải:  0  hay 1  , thì (1.9) tr thành vi phân  tính c 1. +  0  và 1  , ta chia c hai 9) cho y      1 .y y p x y q x    (1.10)  1 zy   .    1z y y      . T z và z  vào (1.10) ta          11z p x z q x      . y là phng trình vi phân tuy tính c  v z . Gi phng trình này ta tìm  nghi ()z z x . T  suy ra nghi c phng trình (1.9) là 1/(1 ) ( ) .y z x      iv) Phương trình vi phân toàn phần vi phân c m     , , 0P x y dx Q x y dy (1.11)      ,U x y sao cho [...]... 0; i  1, n , thì (1.20) được gọi là hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một không thuần nhất Nếu pij x ; i, j  1, n là hằng số, thì (1.20) được gọi là hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một với hệ số hằng số 18 CHƢƠNG 2 ỨNG DỤNG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN KINH TẾ 2.1 Khái niệm phân tích cân bằng động 2.1.1 Một số định nghĩa Các biến kinh tế thường nhận các giá trị khác nhau tùy... (1.14) gọi là phương trình vi phân tuyế n tính không thuần nhất Nếu pi (x ); i  0, , n  1 , là các hằng số , thì phương trình (1.14) đươ ̣c gọi là phương trình vi phân tuyến t ính với hệ số hằng số 1.3.2 Cấu trúc nghiệm của phƣơng trình vi phân tuyến tính Ta gọi hệ gồm n nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.15) là hệ nghiệm cơ bản của phương trình đó Nếu... có thể không có tính dao động mà tiệm cận tới P từ dưới lên hoặc từ trên xuống Để thực hiện phân tích cân bằng động, ta có thể sử dụng các công cụ của toán học như: phép tính tích phân, phương trình vi phân, phương trình sai phân, … 20 2.1.2 Một số ứng dụng của phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân Bài toán 1 dH  t 1/2 và H  0   100 dt Cho Trong đó: H  t  là dân số tại thời điểm t H ... của phương trình vi phân tuyế n tính thuầ n nhấ t (1.15), thì nghiệm tổng quát của phương trình đó có dạng m y   ck yk (x ) , k 1 trong đó c1, c2, , cm là các hằng số tùy ý  Giả sử y là một nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyế n tinh ́ không thuầ n nhấ t (1.14) và y1, y2, , yn là một hệ nghiệm cơ bản của phương trình thuầ n nhấ t (1.15) tương ứng với phương trình tổng quát của phương. .. tìm sẽ là U x, y   C 1.3 Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp n 1.3.1 Định nghĩa Phương trình vi phân tuyế n tinh cấ p n là phương trình có dạng ́ 12 y(n )  pn 1(x )y (n 1)   p1(x )y   p0(x )y  f (x ) , (1.14) trong đó p0(x ), p1(x ), , pn 1(x ) và f (x ) là các hàm liên tục trên khoảng (a,b) nào đó Nếu f (x )  0 , thì (1.14) gọi là phương trình vi phân tuyế n tinh thuần ́ nhất y(n...  P(t ) Thuật ngữ kinh tế động” dùng để chỉ lĩnh vực phân tích kinh tế mà trong đó mục tiêu là tìm ra và nghiên cứu các quỹ đạo thời gian của các biến kinh tế, nhằm xác định xem các biến có hội tụ đến một mức giá trị (cân bằng) nhất định không sau một khoảng thời gian đủ dài (thường được ký hiệu là t   ) Trong vi c phân tích kinh tế động, mức giá trị cân bằng của biến kinh tế không nhất thiết... tính của phương trình vi phân tuyế n tính thuầ n nhấ t (1.16) 1.3.4 Phƣơng trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp n với hệ số hằng số Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng số có dạng y(n )  pn 1y(n 1)    p1y   p0y  f (x ) , (1.18) trong đó p0, p1, , pn 1 là các hằng số, f (x ) liên tục trên khoảng (a,b) nào đó Để nhận được nghiệm tổng quát của phương trình. .. quát của phương trình (1.14) là (1.14) Khi đó , nghiệm 13 n  y(x )  y(x )   ckyk (x ) k 1 1.3.3 Phƣơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp n với hệ số hằng số Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng số là phương trình có dạng y(n )  pn 1y (n 1)   p1y   p0y  0 , (1.16) trong đó p0, p1, , pn 1 là các hằng số thực Ta tim nghiê ̣m riêng của phương trình (1.16) dưới... e 1 ,e 2x , ,e mx là các nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương trình vi phân tuyế n tinh ́ thuầ n nhấ t (1.16) ii) Phương trình (1.17) có nghiệm bội m , giả sử nghiệm đó là 1 Khi đó x x e 1 , xe 1 , , x m1e 1x là các nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương trình vi phân tuyế n tinh ́ thuầ n nhấ t (1.16) iii) Phương trình (1.17) có cặp nghiệm phức   i  bội m Khi đó e xcosx,... số co dãn của cầu theo giá Ta nhận thấy phương trình trên là phương trình vi phân biến số phân ly, giải bằng cách tích phân 2 vế ta được: ln Q  Ed ln p  ln c  ln Q  Ed ln p  ln p Ed c Q  p Ed  Q  cp Ed c Bài toán 4 Tìm hàm cầu của sản phẩm A: Q  f  p  , cho biết hệ số co dãn của cầu theo giá p là: 10 p  4 p 2 , thỏa mãn Q  1000 khi p  20 Ed  Q Giải Ta có: Ed  dQ p dQ dp  Ed  dp Q . phng trình vi phân tuy tính c m v  18 CHƢƠNG 2 ỨNG DỤNG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN KINH TẾ 2.1. Khái niệm phân.  11  15 Chƣơng 2: Ứng dụng phƣơng trình vi phân giải bài toán kinh tế 18  18 2..  34 Chƣơng 3: Ứng dụng hệ phƣơng trình vi phân giải bài toán kinh tế 44 3.1 44 3.2.