Ứng dụng phương trình vi phân giải bài toán kinh tế

Việc biết cách mô tả các vấn đề kinh tế dưới dạng mô hình toán học thích hợp, vận dụng các phương pháp toán học để giải quyết chúng, phân tích, chú giải cũng như kiểm nghiệm các kết quả

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hùng, người thầy đã chỉ ra hướng nghiên cứu, chỉ bảo tận tình, chu đáo, động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình thực hiện luận văn

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, các thầy giáo, cô giáo Phòng Sau đại học, Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, bạn

bè và người thân đã tạo điều kiện, động viên, khuyến khích, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 11 năm 2013

Tác giả

Trần Hoài Anh

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn này là kết quả của quá trình học tập, nghiên cứu của bản thân dưới sự chỉ bảo, dìu dắt của các thầy giáo, cô giáo, đặc biệt là sự hướng dẫn nhiệt tình và chu đáo của TS Nguyễn Văn Hùng

Trong khi nghiên cứu, tôi đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn

Luận văn với đề tài “Ứng dụng phương trình vi phân giải bài toán kinh tế” không có sự trùng lặp

Hà Nội, tháng 11 năm 2013

Tác giả

Trần Hoài Anh

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn 1

Lời cam đoan 2

Mục lục 3

MỞ ĐẦU 4

NỘI DUNG 6

Chương 1: Phương trình vi phân 6

1.1 Một số khái niệm về phương trình vi phân 6

1.2 Phương trình vi phân cấp 1 7

1.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n 11

1.4 Hệ phương trình vi phân cấp 1 15

Chương 2: Ứng dụng phương trình vi phân giải bài toán kinh tế 18

2.1 Khái niệm phân tích cân bằng động 18

2.2 Phân tích cân bằng động đối với giá cả thị trường 23

2.3 Mô hình tăng trưởng Solow 28

2.4 Mô hình tăng trưởng với kỳ vọng giá được dự báo trước 34

Chương 3: Ứng dụng hệ phương trình vi phân giải bài toán kinh tế 44 3.1 Mô hình cân đối liên ngành động với cầu vượt mức 44

3.2 Mô hình kinh tế vĩ mô về lạm phát và thất nghiệp 46

3.3 Biểu đồ pha hai biến và ứng dụng 56

KẾT LUẬN 64

TÀI LIỆU THAM KHẢO 65

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Sự phát triển của toán học tuy có những bước thăng trầm ở từng thời

điểm lịch sử, song những kết quả mà nó đạt được rực rỡ nhất là vào thế kỷ

XX Toán học là một công cụ hết sức hiệu quả giúp cho việc phát biểu, phân tích và giải quyết các vấn đề kinh tế trong các hoạt động kinh tế một cách chặt chẽ, hợp lí, mang lại các lợi ích thiết thực Việc biết cách mô tả các vấn

đề kinh tế dưới dạng mô hình toán học thích hợp, vận dụng các phương pháp toán học để giải quyết chúng, phân tích, chú giải cũng như kiểm nghiệm các kết quả đạt được một cách logic luôn là một yêu cầu cấp thiết đối với các chuyên gia làm việc trong lĩnh vực phân tích kinh tế Trong các thập kỉ gần đây, nhiều giải Nobel kinh tế được trao cho các công trình có vận dụng một cách mạnh mẽ các lí thuyết và phương pháp toán học như phương trình vi phân, phương trình sai phân, lí thuyết xác suất thống kê, … Như vậy, nghiên cứu lý thuyết về phương trình vi phân và ứng dụng nó vào giải bài toán kinh

tế là một vấn đề được các nhà kinh tế luôn quan tâm

Xuất phát từ nhận thức trên cùng với sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình

của TS Nguyễn Văn Hùng em chọn đề tài: “ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN KINH TẾ” để thực hiện luận văn tốt nghiệp của

mình

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày về phương trình vi phân và ứng dụng vào giải bài toán kinh tế

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Với mục đích nghiên cứu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là:

- Phương trình vi phân

- Ứng dụng phương trình vi phân và hệ phương trình vi phân giải các bài toán kinh tế

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về ứng dụng của phương trình vi phân vào giải bài toán kinh tế

- Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên

quan đến ứng dụng phương trình vi phân vào giải bài toán kinh tế

5 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập tài liệu và các bài báo viết về phương trình vi phân và các ứng dụng của nó

- Phân tích, tổng hợp kiến thức

- Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn

6 Như ̃ng đóng góp của luâ ̣n văn

Trình bày một cách có hệ thống về ứng dụng phương trình vi phân giải bài toán kinh tế Hơn nữa, kết quả thu được có thể mở rộng cho mô ̣t số một số

lĩnh vực khác

CHƯƠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

1.1 Một số khái niệm về phương trình vi phân

( )n , , , , (n 1)

y  f x y y y 

1.1.2 Cấp của phương trình vi phân

Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm xuất hiện trong phương trình

Ví dụ:

3 2

y dx

Nghiệm của phương trình vi phân thường là hàm y y x( ) khả vi n

lần trên khoảng ( , )a b nào đó thỏa mãn phương trình đã cho , tức là

 , ( ), ( ), , (n 1)( ) 0

F x y x y x y  x  ,

với mọi x thuộc khoảng ( , )a b

trong đó hàm F xác định trong miền D   3

- Nếu trong miền D , từ phương trình (1.1) ta có thể giải được y :

 ,

y  f x y , (1.2) thì ta được phương trình vi phân cấp 1 đã giải ra đối với đạo hàm

- Hàm y  x xác định và khả vi trên khoảng I  a b, được gọi là nghiệm của phương trình (1.1) nếu:

Cách giải:

Các hàm M y N x   , được giả thiết liên tục trên các khoảng nào đó

Khi đó chuyển vế số hạng thứ hai và lấy tích phân hai vế của (1.3) ta được

M y dy   N x dx

Công thức này cho ta nghiệm tổng quát của phương trình (1.3)

ii) Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng

   

y p x y q x , (1.4) trong đó p x q x   , là các hàm xác định trên khoảng  a b, nào đó, y y t 

là hàm cần tìm để phương trình được thỏa mãn

Nếu q x   0, ta có phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất

  0

y p x y  (1.5) Nếu q x   0, ta gọi (1.4) là phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất

* Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng số:

y ay  (1.6) b Cách giải:

- Xét phương trình thuần nhất tương ứng

y Ce

- Sử dụng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange

Coi C là một hàm theo biến x, ta sẽ tìm nghiệm của phương trình (1.7) dưới dạng

iii) Phương trình Bernoulli

Phương trình Bernoulli là phương trình có dạng

1 

z   y y  Thay biểu thức của z và z  vào (1.10) ta được

1    1   

Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 đối với z Giải phương trình này ta tìm được nghiệm z z x( ) Từ đó suy ra nghiệm của phương trình (1.9) là

  Có thể chứng minh điều ngược

lại cũng đúng Vậy phương trình (1.11) là phương trình vi phân toàn phần khi

và chỉ khi điều kiện sau được thỏa mãn:

1.3.2 Cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính

Ta gọi hệ gồm nnghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.15) là hệ nghiệm cơ bản của phương trình đó

Nếu y y1, , ,2 y m là các nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.15), thì nghiệm tổng quát của phương trình đó



trong đó c c1, , ,2 c m là các hằng số tùy ý

Giả sử y là một nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính

không thuần nhất (1.14) và y y1, , ,2 y n là một hệ nghiệm cơ bản của phương trình thuần nhất (1.15) tương ứng với phương trình (1.14) Khi đó , nghiệm tổng quát của phương trình (1.14) là

1.3.3 Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp n với hệ số hằng số

Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng số là phương

Ta tìm nghiê ̣m riêng của phương trình (1.16) dưới dạng

x

y e  , trong đó hằng số  được xác định sao cho y là nghiệm của phương trình

Từ đó cho thấy , nếu  là một nghiệm của phương trình (1.17) thì y e  x

là một nghiệm của phương trình (1.16)

Phương trình (1.17) được gọi là phương trình đặc trưng của phương

trình (1.16) Đa thức P  n( ) gọi là đa thức đặc trưng của phương trình (1.16)

Như vâ ̣y , hê ̣ nghiê ̣m cơ bản của phương trình (1.16) được xây dựng

trên cơ sở các nghiê ̣m của phương trình đă ̣c trưng (1.17) Xét các trường hợp

sau:

i) Phương trình (1.17) có m nghiệm thực khác nhau:  1, , ,2  m Khi

trong đó p p0, , ,1 p n1 là các hằng số, ( )f x liên tục trên khoảng ( , ) a b nào đó

Để nhận được nghiệm tổng quát của phương trình (1.18), ta lấy một

nghiệm riêng của phương trình này cộng với nghiệm tổng quát của phương

trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng Ta xét một số trường hợp f x( )

có dạng đặc biệt như sau:

i) f x( )e P x  x k( ), trong đó P x k( ) là một đa thức bậc k của x

+ Nếu  không là nghiệm của phương trình đặc trưng, thì ta có thể tìm nghiệm riêng của phương trình (1.18) dưới dạng

( )

x k

y e Q x  ; + Nếu  là nghiệm bội m của phương trình đặc trưng, thì ta có thể tìm nghiệm riêng của phương trình (1.18) dưới dạng

( )

m x

k

y x e Q x  , trong đó Q x k( ) là một đa thức bậc k của x

ii) ( )f x e  x P x( )cos x Q x( )sin x , trong đó ( ), ( )P x Q x là

( ) m x ( )cos ( )sin

y x x e  R x  x S x  x, trong đó ( )R x và ( ) S x là những đa thức có bậc bằng bậc lớn nhất của các đa

thức ( )P x và ( ) Q x

1.4 Hệ phương trình vi phân cấp một

1.4.1 Định nghĩa

Hệ y1 1( ), ,x y n  n( )x khả vi trên khoảng ( , )a b gọi là nghiệm của hệ phương trình nếu:

i) x, ( ), ,1 x  n( )x G;  x ( , ).a b

ii)  i( )x  f x i , ( ), ,1 x  n( ) ;x  i 1, ;n  x ( , ).a b

1.4.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một

Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một có dạng

trong đó p x i j ij ; , 1,n liên tục trên khoảng ( , )a b

Nếu ( )f x i 0;i 1,n, thì (1.20) được gọi là hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một thuần nhất

Nếu ( )f x i 0;i 1,n, thì (1.20) được gọi là hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một không thuần nhất

Nếu p x i j ij ; , 1,n là hằng số, thì (1.20) được gọi là hệ phương trình

vi phân tuyến tính cấp một vớihệ số hằng số

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

GIẢI BÀI TOÁN KINH TẾ

2.1 Khái niệm phân tích cân bằng động

2.1.1 Một số định nghĩa

Các biến kinh tế thường nhận các giá trị khác nhau tùy vào thời điểm

cụ thể được xem xét Chẳng hạn, giá cả của một mặt hàng nào đó có tính biến động theo thời gian, tức là giá cả là một hàm của thời gian: P P t( ) Thuật ngữ “kinh tế động” dùng để chỉ lĩnh vực phân tích kinh tế mà trong đó mục tiêu là tìm ra và nghiên cứu các quỹ đạo thời gian của các biến kinh tế, nhằm xác định xem các biến có hội tụ đến một mức giá trị (cân bằng) nhất định không sau một khoảng thời gian đủ dài (thường được ký hiệu là t  ) Trong việc phân tích kinh tế động, mức giá trị cân bằng của biến kinh tế không nhất thiết được coi là luôn đạt tới được, mà chỉ có thể đạt tới được với một số điều kiện nhất định Phân tích cân bằng động là một lĩnh vực quan trọng của phân tích kinh tế động nhằm tìm ra các điều kiện đó

Một cách tổng quát hơn, có thể nghiên cứu sự hội tụ của quỹ đạo thời gian của biến kinh tế tới một quỹ đạo cân bằng, chẳng hạn quỹ đạo thời gian ( )

x t của biến kinh tế x tiệm cận dần tới một quỹ đạo cân bằng x * ( )t có tính

tối ưu theo một nghĩa nào đó Trong khuôn khổ của luận văn này, chúng ta sẽ chỉ đề cập tới trường hợp khi * ( )x t  x const Lúc này ta nói x là mức cân bằng liên thời (cân bằng theo thời gian) có tính dừng của biến kinh tế được xem xét Nếu với một số điều kiện nhất định ( )x t hội tụ tới x thì ta nói

x là mức cân bằng liên thời ổn định động và có tính dừng, hay x t( ) có tính

ổn định động

Trong phân tích cân bằng động, yếu tố thời gian hay thời điểm là rất quan trọng Chính vì vậy, các biến kinh tế được phân chia làm hai loại:

- Biến liên tục là hàm số phụ thuộc vào t biến thiên một cách liên tục

- Biến rời rạc là hàm số phụ thuộc vào t biến thiên một cách rời rạc

0 1 2, , ,

t t t t

Trên hình 2.1, biến giá cả P t của một đơn vị hàng hóa là biến liên tục,

tại mỗi thời điểm t , giá của một đơn vị hàng hóa là P t  Sau một thời gian

đủ dài, giá P t sẽ ổn định tới mức giá cân bằng P Cần chú ý rằng, trong trường hợp đang xét quỹ đạo thời gian P t  (còn được gọi là đường biến động giá cả) có tính dao động xung quanh mức giá cân bằng P Trong một số trường hợp khác, đường biến động giá cả có thể không có tính dao động mà tiệm cận tới P từ dưới lên hoặc từ trên xuống

Để thực hiện phân tích cân bằng động, ta có thể sử dụng các công cụ của toán học như: phép tính tích phân, phương trình vi phân, phương trình sai phân, …

2.1.2 Một số ứng dụng của phép tính tích phân và phương trình vi phân

Bài toán 1

Cho dH 1/2

t dt



 và H 0 100

Trong đó: H t  là dân số tại thời điểm t

H 0 là dân số tại thời điểm t 0

Hãy xác định quĩ đạo thời gian của biến dân số H t 

Tìm chi phí toàn phần phụ thuộc vào mức sản phẩm đầu ra

Trong đó: MC là hàm chi phí biên

FC là chi phí cố định

C= C(Q) là chi phí toàn phần

S=S(Y) là hàm tiết kiệm

Cho biết điều kiện ban đầu S=0 và Y=81

Co dãn điểm là sự co dãn tại một điểm trên đường cầu Áp dụng

phương pháp tính co dãn điểm khi có sự thay đổi vô cùng nhỏ lượng cầu và

các yếu tố ảnh hưởng ta có hệ số co dãn của cầu thị trường một sản phẩm được xác định bởi:

E d dQ p

dp Q

 hay dQ E d dp

Trong đó Q: là cầu thị trường của sản phẩm

p: là giá bán trên thị trường

E : là hằng số được gọi là hệ số co dãn của cầu theo giá d

Ta nhận thấy phương trình trên là phương trình vi phân biến số phân ly, giải bằng cách tích phân 2 vế ta được:

Vậy cầu của sản phẩm A là: 2

2.2 Phân tích cân bằng động đối với giá cả thị trường

2.2.1 Phát biểu mô hình cân bằng động

Xét mô hình kinh tế thị trường vi mô với một mặt hàng cho bởi hệ phương trình sau:

Để nghiên cứu vấn đề này, cần xác lập được quỹ đạo thời gian của giá cả (có thể hiểu đây là đồ thị của hàm giá cả ( )P t ) Do giá cả của mặt hàng luôn

được điều chỉnh tỉ lệ thuận với thặng dư của cầu so với cung, chúng ta có mối quan hệ sau:

P

P  j(  P    P)

Pj( )P  j()

Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một hệ số hằng Theo công thức

đã biết ở chương 1, nghiệm tổng quát có dạng

2.2.2 Khảo sát tính ổn định động của mức giá cân bằng

P được gọi là mức cân bằng liên thời của giá cả Mức cân bằng này được gọi là ổn định động do ( )P t hội tụ tới P khi t   Ngoài ra, do

const

p

P P  , mức cân bằng liên thời được gọi là mức cân bằng dừng

(0)

P P được gọi là sai số ban đầu, P t( )P là sai số giữa ( )P t và

P tại thời điểm t

d s

a) Cho Q d Q s, ta có

dP

P dt

2.3 Mô hình tăng trưởng Solow

2.3.1 Phát biểu mô hình tăng trưởng Solow

Chúng ta xét hàm sản xuất phụ thuộc cả vào K và L :

 được gọi là tỉ số vốn – lao động

Biến số kbiểu thị hàm lượng vốn tính bình quân cho một đơn vị lao động Trong mô hình tăng trưởng Solow, ta cũng giả thiết các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

+ K dK sQ,

dt

   tức là một tỷ lệ cố định của Q được sử dụng cho tái đầu tư với s là hệ số thể hiện khuynh hướng tiết kiệm biên (s được coi là hằng số dương, s 1)

chính là tốc độ tăng trưởng của lao động)

Từ các giả thiết trên có thể rút ra phương trình vi phân sau

( )

s k  k k

   

2.3.2 Phân tích định tính trên biểu đồ pha

Để sử dụng biểu đồ pha phân tích định tính đường kk t , ta vẽ đường

yk và đường y s  k trong cùng hệ tọa độ (hình 2.4)

Sau đó vẽ biểu đồ pha của k  s  k k (hình 2.5)

Trên hình (2.5), do độ dốc của biểu đồ pha tại klà hữu hạn âm nên k chính là mức cân bằng liên thời có tính dừng và tính ổn định động Qũy đạo thời gian của k k t , vì vậy có dạng như hình (2.6)

t o r t h e s u m m a

Phân tích tính ổn định vững của nghiệm k k t 

Từ các phân tích trên về mô hình tăng trưởng Slow có thể rút ra một số kết luận sau:

L ổn định ở mức kconst) Các trạng thái như vậy,

mà trong đó các biến kinh tế có tốc độ tăng trưởng như nhau, được gọi là trạng thái vững Điều này luôn được đảm bảo trong mô hình Slow

+ Ngoài ra, xét phương trình Q L  k Tại t  , do k k nên có thể coi

các biến kinh tế K L Q, , đều có tốc độ tăng trưởng  khi t đủ lớn

khi t đủ lớn mô hình kinh tế Slow tiến đến trạng thái vững