Ứng dụng phương trình vi phân giải bài toán kinh tế

1 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hùng, người thầy hướng nghiên cứu, bảo tận tình, chu đáo, động viên giúp đỡ tơi q trình thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, thầy giáo, giáo Phòng Sau đại học, Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, bạn bè người thân tạo điều kiện, động viên, khuyến khích, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Hà Nội, tháng 11 năm 2013 Tác giả Trần Hoài Anh LỜI CAM ĐOAN Luận văn kết trình học tập, nghiên cứu thân bảo, dìu dắt thầy giáo, cô giáo, đặc biệt hướng dẫn nhiệt tình chu đáo TS Nguyễn Văn Hùng Trong nghiên cứu, kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng biết ơn Luận văn với đề tài “Ứng dụng phƣơng trình vi phân giải tốn kinh tế” khơng có trùng lặp Hà Nội, tháng 11 năm 2013 Tác giả Trần Hoài Anh MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục MỞ ĐẦU NỘI DUNG .6 Chƣơng 1: Phƣơng trình vi phân 1.1 Một số khái niệm phương trình vi phân 1.2 Phương trình vi phân cấp 1.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n .11 1.4 Hệ phương trình vi phân cấp 15 Chƣơng 2: Ứng dụng phƣơng trình vi phân giải toán kinh tế 18 2.1 Khái niệm phân tích cân động 18 2.2 Phân tích cân động giá thị trường 23 2.3 Mơ hình tăng trưởng Solow .28 2.4 Mơ hình tăng trưởng với kỳ vọng giá dự báo trước 34 Chƣơng 3: Ứng dụng hệ phƣơng trình vi phân giải tốn kinh tế 44 3.1 Mơ hình cân đối liên ngành động với cầu vượt mức 44 3.2 Mơ hình kinh tế vĩ mơ lạm phát thất nghiệp 46 3.3 Biểu đồ pha hai biến ứng dụng 56 KẾT LUẬN 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO 65 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Sự phát triển tốn học có bước thăng trầm thời điểm lịch sử, song kết mà đạt rực rỡ vào kỷ XX Tốn học cơng cụ hiệu giúp cho việc phát biểu, phân tích giải vấn đề kinh tế hoạt động kinh tế cách chặt chẽ, hợp lí, mang lại lợi ích thiết thực Việc biết cách mô tả vấn đề kinh tế dạng mơ hình tốn học thích hợp, vận dụng phương pháp tốn học để giải chúng, phân tích, giải kiểm nghiệm kết đạt cách logic yêu cầu cấp thiết chuyên gia làm việc lĩnh vực phân tích kinh tế Trong thập kỉ gần đây, nhiều giải Nobel kinh tế trao cho cơng trình có vận dụng cách mạnh mẽ lí thuyết phương pháp tốn học phương trình vi phân, phương trình sai phân, lí thuyết xác suất thống kê, … Như vậy, nghiên cứu lý thuyết phương trình vi phân ứng dụng vào giải toán kinh tế vấn đề nhà kinh tế quan tâm Xuất phát từ nhận thức với giúp đỡ, hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Văn Hùng em chọn đề tài: “ỨNG DỤNG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN GIẢI BÀI TỐN KINH TẾ” để thực luận văn tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm nghiên cứu, trình bày phương trình vi phân ứng dụng vào giải toán kinh tế Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu trên, nhiệm vụ nghiên cứu luận văn là: - Phương trình vi phân - Ứng dụng phương trình vi phân hệ phương trình vi phân giải tốn kinh tế Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức sở cần thiết, kết ứng dụng phương trình vi phân vào giải toán kinh tế - Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, báo ngồi nước liên quan đến ứng dụng phương trình vi phân vào giải toán kinh tế Phƣơng pháp nghiên cứu - Thu thập tài liệu báo viết phương trình vi phân ứng dụng - Phân tích, tổng hợp kiến thức - Tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn Nhƣ̃ ng đó ng gó p củ a lṇ văn Trình bày cách có hệ thống ứng dụng phương trình vi phân giải tốn kinh tế Hơn nữa, kết thu mở rộng cho môṭ lĩnh vực khác số số CHƢƠNG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN 1.1 Một số khái niệm phƣơng trình vi phân 1.1.1 Phƣơng trình vi phân thƣờng Định nghĩa 1.1 Phương trình vi phân thường phương trình có dạng  F x,y,y ,y , y (n)  0, n 2 đó F hàm xác định miền khơng gian gồ m biế n đôc̣ lâ x y hàm biến độc lập , đạo hàm cấp p̣ đến cấp n Nếu từ phương trình ta tim ̀ đươc̣ biể u diêñ củ a đaọ hàm cấp cao nhấ ̀ giải đố i y(n) qua các biến cò n laị thì ta nó i phương trinh t vớ i hoă ta co n ̀ c̣ goị y(n) là phương trình daṇ g chính tắ c , tức phương trình có dạng (n) y f x,y,y , ,y  (n1) 1.1.2 Cấp phƣơng trình vi phân Cấp phương trình vi phân cấp cao đạo hàm xuất phương trình Ví dụ: d y dx 1.1.3 Nghiệm 2 dy   y  phương trình vi phân cấp     dx  Nghiệm phương trình vi phân thường hàm y  y(x) khả vi n lần khoảng (a,b) thỏa mãn phương trình cho , tứ c là F x,y(x),y(x), ,y (n1) (x)  0, với x thuộc khoảng (a,b) 1.2.Phƣơng trình vi phân cấp 1.2.1 Định nghĩa Phương trình vi phân cấp có dạng tổng qt F x,y,y   , (1.1) hàm F xác định miền D   - Nếu miền D , từ phương trình (1.1) ta giải y  : y  f  x,y , (1.2) ta phương trình vi phân cấp giải đạo hàm - Hàm y   x  xác định khả vi khoảng I  a,b  gọi nghiệm phương trình (1.1) nếu:   a, x, x  ,  x   D   với x  I ; b, F x, x  ,  x   I - Ta viết phương trình vi phân giải đạo hàm dạng đối xứng: M  x,y dx  N x,ydy  1.2.2 Một số phƣơng trình vi phân cấp i) Phương trình với biến số phân li Phương trình vi phân cấp dạng M ydy  N x dx  (1.3) gọi phương trình với biến số phân li (hay gọi phương trình tách biến) Cách giải: Các hàm M  y ,N x  giả thiết liên tục khoảng Khi chuyển vế số hạng thứ hai lấy tích phân hai vế (1.3) ta  M ydy   N x dx Công thức cho ta nghiệm tổng quát phương trình (1.3) ii) Phương trình vi phân tuyến tính cấp Phương trình vi phân tuyến tính cấp có dạng y   p x  y  q x  , p x ,q x  (1.4) hàm xác định khoảng a,b đó, y  y t  hàm cần tìm để phương trình thỏa mãn Nếu q x   0, ta có phương trình vi phân tuyến tính y   p x  y  Nếu (1.5) q x   0, ta gọi (1.4) phương trình vi phân tuyến tính khơng * Phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số số: y  ay  b (1.6) Cách giải: - Xét phương trình tương ứng y  ay  dy  ay    dx dy y  ln y  ax  c  yc   adx  Ae ax - Tìm nghiệm riêng (1.6) y  b / p a a  a  yp  bx ; - Nghiệm tổng qt phương trình (1.6) có dạng y  yp  yc Vậy y  Ae ax b   ax   y(0)  b  e  a a    b , với a  ; a y  A bx  y(0) bx , với a  * Phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số biến thiên: y   p x  y  q x  (1.7) Cách giải: - Xét phương trình tuyến tính tương ứng y   p x  y  dy  y  p(x)dx  ln y  yc   p(x)dx C1  Ce  p(x )dx - Sử dụng phương pháp biến thiên số Lagrange Coi C hàm theo biến x , ta tìm nghiệm phương trình (1.7) dạng  px dx y  C x  e  (1.8) Thay vào phương trình (1.7) ta C   x e  px dx  q x  , suy C x    q x e  px dx dx C Thay vào (1.8) ta thu nghiệm tổng quát (1.7) giới x cho x0 , điểm nằm bên phải cho  0  x x0 Điều f x 0 Tương tự, điểm thỏa mãn (3.14) nằm phía x đường ranh giới  y y  cho y0 , điểm nằm phía cho y (do 0 g y 0 ) y  Với giả thiết hình 3.1, xuất phát từ điểm y x, mặt phẳng tọa độ Chẳng hạn từ điểm A thuộc phần II (hình 3.2) Do góc đạo hàm x0 y0 , điểm A có khuynh hướng chuyển động sang phải xuống phía “hội tụ” điểm E sau thời gian đủ dài t  Toàn quỹ đạo tạo nên chuyển động điểm A gọi đường dòng hay quỹ đạo pha biểu thị đường có mũi tên hướng vể điểm E hình 3.2 Phân tích cách tương tự ta thấy: xuất phát từ điểm khác nhau, đường dòng “hội tụ” E Như vậy, f x 0, f y 0, gx g y  mơ hình (3.14) ổn định động hội tụ  điểm cân liên thời E Hình 3.1 Các đường ranh giới Hình 3.2 Các đường quỹ đạo pha với nút ổn định E Trên hình 3.2, điểm E gọi nút ổn định Bằng phân tích tương tự, xem xét giả thiết khác dấu đạo hàm riêng f x , f y , gx , g y tới kết luận minh họa hình 3.3, 3.4,3.5,3.6 Trên hình điểm E gọi cách tương ứng nút không ổn định, nút yên ngựa, nút trung tâm nút tiêu điểm O O O Hình 3.3 Các đường quỹ đạo pha với nút không ổn định E Hình 3.4 Các đường quỹ đạo pha với nút yên ngựa E y’=0 y y - y’ = + E + – E x’ = + + - – O x Hình 3.5 Các đường quỹ đạo pha với nút trung tâm E x’ = O x Hình 3.6 Các đường quỹ đạo pha với nút tiêu điểm E Ví dụ Sau đây, với mục đích minh họa ứng dụng biểu đồ pha hai biến nghiên cứu mơ hình tương tác sách tiền tệ lạm phát: M s M d   M  h h  d , h 0    với điều kiện dt Ms   Ms   dp Trong (3.15) M d : mức cầu tiền tệ M s : mức cung tiền tệ Mơ hình tn theo giả thiết: tác động dư thừa mức cung tiền tệ so với mức cầu tiền tệ  M s  Md  làm tăng tốc độ lạm phát p không tác động đến mức giá P Do việc loại bỏ dư thừa thị trường tiền tệ làm cho tốc độ lạm phát ổn định, không làm cho giá ổn định Nếu giả thiết thêm mức cầu tiền tệ tỉ lệ với tổng sản phẩm M quốc dân tỉ lệ cầu- cung tiền tệ d viết sau: Ms M  d aPQ , a 0 Ms với Ms Lấy đạo hàm theo t hai vế, có: d dt  da dt  a Ms dM dt dP dt dQs dt    P Q p q m đó: p : tốc độ lạm phát q : tốc độ tăng trưởng (ngoại sinh) sản phẩm quốc dân m : tốc độ mở rộng qui mô cung tiền tệ Các phương trình (3.15) (3.16) dẫn tới hệ phương trình sau: (3.16) ph 1     p q m  (3.17) Do h 0 nên  p 10 0 Do 0 nên 0 p q m 0 Vậy đường ranh giới p0 0 đường sau: 1 (3.18) p m q Theo (3.17) ta có: p h 0   p 0 (3.19) Trường hợp 1: Giả sử m const Do đường ranh giới đường thẳng dấu đạo hàm riêng thu biểu thức (3.19) nên áp dụng phân tích tương tự hình 3.6, với p đóng vai trò x đóng vai trò y Do đường ranh 0 phân giới mặt phẳng thành hai phần trái phải với dấu – +, đường p phân 0 mặt phẳng thành hai phần với dấu – +, nên chiều mũi tên quỹ đạo pha ngược chiều kim đồng hồ Lúc điểm E có tọa độ p m  1 điểm nút trung tâm Trên hình 3.7 ta q thấy: thời gian thay đổi điểm p,  E (tại chạy vòng quanh E, tức điểm cân p0, 0) không xảy trừ kinh tế có xuất phát điểm E Trường hợp Giả sử m mp, với mp 0 p tăng nhà nước điều chỉnh để m giảm (đây quy tắc thông thường việc điều chỉnh mức cung tiền tệ) Lúc này, (3.17) trở thành:   ph 1  p q  m p    Do đó, đường ranh giới là: (3.20) p0  1 0 p (3.21) m pq Theo (3.20) ta có: p h 0    (3.22) 0 p Từ phương trình thứ hai (3.21), tức đường 0 , có: dp mp mp   h 0 d d dp Theo định lí hàm ngược, đường 0 có d  0 Lúc này, với pdp đóng vai trò x (đường ranh giới p đường thẳng nằm ngang 0 1), với đóng vai trò y, áp dụng phân tích tương tự hình (3.6) Do đường ranh giới dấu – +, đường 0 phân mặt phẳng thành hai phần trái phải với p phân mặt phẳng thành hai phần 0 với dấu – +, nên chiều mũi tên quỹ đạo pha ngược chiều kim đồng hồ Lúc điểm E có tọa độ p m   q (do p mpq  p0 1 nút tiêu điểm ) m  q Trên hình (3.8) ta thấy: thời gian thay đổi điểm p,  quanh vào điểm E, tức điểm cân E (tại đạt sau thời gian đủ lớn chạy vòng p0  0) µ’= µ’= – + – + E – p’ = + E – + m–q p’= m(0) – q Hình 3.7 Hình 3.8 Chú ý: Để phân tích định lượng mơ hình (3.14), hệ (3.14) tuyến tính hóa cách áp dụng khai triển Taylor vi phân toàn phần cấp  điểm cân  E x, y Lúc ta có hệ phương trình tương đương sau đây: x  fx x,   y x    f x, f x, yy x, yy  yx  yg  x, y x g x, yy g x,  fy x  y x  gy  x y y (3.23) x x, yy Bằng cách phân tích nghiệm bù hệ (3.23) nhận thông qua giải hệ x  fy x  0 fx          y g   y  x, y y  0  g   (3.24) x Chúng ta khảo sát tính ổn định động nghiệm hệ (3.14) KẾT LUẬN Luận văn trinh ̀ baỳ vấn đề sau: Phát biểu số mơ hình cân động ứng dụng phương trình vi phân để phân tích mơ hình cân động Ứng dụng hệ phương trình vi phân vào phân tích số mơ hình kinh tế Với thời gian có hạn, chắn luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Kính mong q thầy bạn học đóng góp ý kiến để luận văn hồn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO A Tài liệu Tiếng Việt [1] Nguyễn Quang Dong, Ngô Văn Thứ, Hồng Đình Tuấn (2002), Giáo trình mơ hình toán kinh tế (dành cho sinh viên ngành kinh tế), NXB Giáo dục [2] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2007), Cơ sở phương trình vi phân lí thuyết ổn định, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Hải Thanh (2008), Các phương pháp tốn kinh tế (Giáo trình cho ngành Tin học Công nghệ thông tin), Trường Đại học Nông nghiệp Hà Nội [4] Lê Đình Thúy (2007), Tốn cao cấp cho nhà kinh tế, NXB Đại học Kinh tế quốc dân [5] Hồng Đình Tuấn (2003), Lí thuyết mơ hình tốn kinh tế (dành cho sinh viên ngành tốn kinh tế tốn tài chính), NXB Khoa học Kĩ thuật B Tài liệu Tiếng Anh [6] Alpha C Chiang, Kevin Wainwright (2005), Fundamental methods of mathematical economics, McGraw - Hill Book Company, New York [7] Michael W Klein (2002), Mathematical methods for economics, AddisonWesley Higher Education Group [8] Earl D Rainville, Phillip E Bedient, Richard E Bedient, Elementary differential equation, Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458 ... - Phương trình vi phân - Ứng dụng phương trình vi phân hệ phương trình vi phân giải toán kinh tế Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức sở cần thiết, kết ứng dụng phương. .. Phƣơng trình vi phân 1.1 Một số khái niệm phương trình vi phân 1.2 Phương trình vi phân cấp 1.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n .11 1.4 Hệ phương trình vi phân cấp... thiết, kết ứng dụng phương trình vi phân vào giải toán kinh tế - Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, báo nước liên quan đến ứng dụng phương trình vi phân vào giải toán kinh tế Phƣơng pháp nghiên cứu