Ứng dụng phép biến hình để giải bài toán quỹ tích

Trường đại học sư phạm hà nội Khoa toán ****o0o**** đinh thị len ứng dụng phép biến hình để giải tốn quỹ tích Khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành : Hình học Người hướng dẫn khoa học T.S nguyễn tâm Hà nội - 2008 -1- Trường đại học sư phạm hà nội Khoa toán ****o0o**** đinh thị len ứng dụng phép biến hình để giải tốn quỹ tích Khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành : Hình học Người hướng dẫn khoa học T.S Nguyễn Năng Tâm Hà nội – 2008 Lời cảm ơn Khố luận trình bày việc sử dụng phép biến hình để giải tốn quỹ tích Ngồi việc làm rõ tính ưu việt phép biến hình, khố luận cố gắng khai thác, mở rộng số tốn Để hồn thành khố luận em xin chân thành cảm ơn thầy giáo tổ Hình học, đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Năng Tâm tạo điều kiện, giúp đỡ em trình nghiên cứu Tuy có nhiều cố gắng, song lực thân có hạn điều kiện tài liệu thời gian hạn chế nên khố luận chắn nhiều thiếu sót Em mong nhận bảo thầy cô bạn để khố luận em hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2008 Sinh viên Đinh Thị Len Lời cam đoan Em xin cam đoan khố luận hồn thành cố gắng, nỗ lực tìm hiểu nghiên cứu thân giúp đỡ nhiệt tình thầy giáo tổ Hình học, đặc biệt giúp đỡ thầy Nguyễn Năng Tâm Các kết khố luận khơng trùng với kết tác giả khác kết chân thực Hà Nội, tháng năm 2008 Sinh viên Đinh Thị Len Mục lục Nội dung Trang Lời cảm ơn Lời cam đoan Mở đầu Chương Hệ thống kiến thức 1.1 Phép biến hình 1.2 Mặt phẳng định hướng, góc định hướng 1.3 Phép dời hình mặt phẳng 1.4 Một số phép biến hình đặc biệt 1.5 Bài tốn quỹ tích Chương ứng dụng phép biến hình để giải tốn quỹ tích 2.1 Giải tốn quỹ tích nhờ phép biến hình 2.2 Phép đối xứng tâm với toán quỹ tích 2.3 Phép đối xứng trục với tốn quỹ tích 13 2.4 Phép tịnh tiến với tốn quỹ tích 17 2.5 Phép quay với tốn quỹ tích 23 2.6 Phép vị tự với tốn quỹ tích 29 2.7 Phép đồng dạng với tốn quỹ tích 36 Kết luận 42 Bài tập luyện tập 43 Tài liệu tham khảo 48 Mở đầu Lý chọn đề tài Trong nhà trường phổ thơng, hình học mơn học khó học sinh Bởi hình học có tính chặt chẽ, tính logíc tính trừu tượng cao mơn học khác tốn học Các phép biến hình sơ cấp phần quan trọng hình học cơng cụ hữu ích tốn hình học phẳng Tính ưu việt phép biến hình mặt phẳng thể rõ ta vận dụng để giải tốn dựng hình, quỹ tích, chứng minh tính tốn Tuy nhiên, việc giải tốn hình học phép biến hình khơng phải dễ dàng, thực tế phần khó giáo viên học sinh Trong khn khổ khố luận tốt nghiệp, em trình bày kiến thức phép biến hình ứng dụng để giải tốn quỹ tích Đó lý em chọn đề tài : “ứng dụng phép biến hình để giải tốn quỹ tích” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Nghiên cứu kiến thức phép biến hình việc giải tốn quỹ tích 2.2 Xây dựng hệ thống ví dụ minh hoạ tập luyện tập thể phương pháp sử dụng phép biến hình vào giải tốn quỹ tích Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Kiến thức phép biến hình mặt phẳng 3.2 Phạm vi nghiên cứu Các tốn quỹ tích mặt phẳng giải phép biến hình Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu SGK, sách tham khảo, tài liệu có liên quan đến nội dung Chương : Hệ thống kiến thức 1.1 Phép biến hình 1.1.1 Định nghĩa Phép biến hình mặt phẳng song ánh từ mặt phẳng vào 1.1.2 Phép biến hình đảo ngược -1 Cho phép biến hình f : E2 → E2 Khi ánh xạ ngược f f song ánh từ E2 vào E2 nên phép biến hình mặt phẳng Ta gọi phép biến hình phép biến hình đảo ngược phép biến hình f ( phép nghịch đảo phép biến hình f ) 1.1.3 Phép biến hình tích Cho f g hai phép biến hình mặt phẳng, dễ thấy ánh xạ tích f g song ánh mặt phẳng vào mặt phẳng nên tích phép biến hình mặt phẳng Ta nói phép biến hình phép biến hình tích f g Kí hiệu: g  f 1.1.4 Phép biến hình đối hợp Cho phép biến hình f : E2 → E2 gọi phép biến -1 hình đối hợp f = id hay f = f E2 1.1.5 Phép biến hình đối Nếu phép biến hình f biến hình H thành hình G thỏa mãn điều kiện : tạo ảnh − f ( M′) điểm M′ thuộc hình G gồm có điểm M hình F ta gọi phép biến hình đối Như ứng với điểm M hình F ta có điểm M′ hình G mà thơi ngược lại, ứng với điểm M′ hình G ta có điểm M hình F mà 1.1.6 Các phần tử bất biến phép biến hình Cho phép biến hình f : E2 → E2, với điểm M ∈E2 mà f(M) =M điểm M gọi điểm bất động (điểm kép) phép biến hình f Hình H gọi hình bất biến phép biến hình f E2 f(H)=H Hình H gọi hình bất động (cố định) f E2 với điểm M ∈H mà f(M)=M 1.2 Mặt phẳng định hướng, góc định hướng 1.2.1 Mặt phẳng định hướng Xung quanh điểm mặt phẳng có hai chiều quay: chiều quay theo chiều kim đồng hồ chiều ngược lại Nếu chọn hai chiều quay chiều dương chiều ngược lại gọi chiều âm ta bảo mặt phẳng định hướng Thông thường người ta chọn chiều quay ngược với chiều kim đồng hồ làm chiều dương 1.2.2 Góc định hướng hai đường thẳng Trong mặt phẳng P định hướng, xét hai đường thẳng a b cắt O Người ta gọi góc định hướng hai đường thẳng a b lấy theo thứ tự góc mà đường thẳng phải quay theo chiều xác định để đến trùng với vị trí đường thẳng b Góc định hướng kí hiệu (a,b), a cạnh đầu, b cạnh cuối góc Số đo góc dương âm tuỳ theo chiều quay a xung quanh O đến trùng với b theo chiều dương hay âm mặt phẳng Do (a,b)= α (b,a)=- α Góc định hướng hai đường thẳng a,b xác định sai khác góc kπ radian, (a,b)= α + kπ( α tính radian) Kí hiệu (a,b)= α ( mod π ) Mặt khác, ta có E chạy đường thẳng CD nên I chạy ảnh đường thẳng CD qua phép đồng dạng Z(A, ,- 45o) Suy tập hợp trung điểm I đoạn thẳng EF ảnh đường thẳng CD qua phép đồng dạng Z(A, ,- 45o) Nhận xét : Khi E ≡ D F ≡ B · I ≡ O, O tâm hình vng ABCD Khi E ≡ C I ≡ B Do I chạy đường thẳng OB Vậy tập hợp trung điểm I đoạn thẳng EF đường thẳng BD Ví dụ Cho đường thẳng d điểm A cố định không thuộc d Với điểm B∈d , ta dựng tam giác vuông cân = 1v )  ABC ( B Tìm tập hợp điểm C B thay đổi Lời giải Tam giác ABC vuông cân B nên ta có 45o Xét phép quay QA : B → o   B AC = A CB = 45 B′A với B′ ∈AC d 45o B’ Khi ta có AB = AB′ mà AC = 2AB · AC = phép vị tự 2AB suy có ′ d C 45o d B VA : B′ → C Do tập hợp B′ đường thẳng d′ , ảnh đường thẳng d phép d′′ A d′ quay o Q 45A , phép vị tự VA : B′ → C, B’ 45 o C tập hợp C đường thẳng o 45 - 46 - B d′′ ảnh đường thẳng d′ phép vị tự nói Vậy tập hợp điểm C hai đường thẳng, ảnh đường thẳng d qua phép đồng dạng Z(A, ±45o ) V , Q = ±45 A o A Nhận xét : Thay đổi phần giả thiết kết luận tốn ta tốn có lời giải tương tự với toán cho “ Cho đường thẳng d điểm A cố định không thuộc d Với điểm B ∈d ta dựng tam giác ABC Tìm tập hợp trọng tâm G tam giác B thay đổi d.” Ta xét phép đồng dạng A d (A, 3, ±30 ) = V(A, 3).Q(A, ±30 ) biến điểm B thành trọng tâm G o o C G ABC Do đường thẳng d biến thành đường thẳng d′ qua G d Vậy tập hợp trọng tâm G B ABC hai đường thẳng, ảnh đường thẳng d qua phép đồng dạng nói Ví dụ Trong mặt phẳng định hướng,cho d đường thẳng cố định O điểm cố định không thuộc d, A điểm di động d   Dựng tam giác vuông cân OAA′ (tại A) cho ( OA,OA′ ) =π a Tìm tập hợp điểm A′ b Gọi G trọng tâm  OAA′ Tìm tập hợp điểm G Lời giải a Ta có ( = OA′ OA = nên xét   OA,OA′ ) phép đồng π A’ d′′ d dạng I G H’ A d′ G0 - 47 O H Z( O, 2, π ) : A → A′ Vậy tập hợp điểm A′ ảnh A qua phép đồng dạng nói Mặt khác tập hợp điểm A chạy d nên tập hợp điểm A′ π chạy đường thẳng d′ , ảnh d qua phép đồng dạng Z( O, 2, ) Cách dựng d′ : kẻ OH vng góc với d H Dựng OH H′ đồng dạng với  OAA′ Khi đường thẳng d′ vng góc với OH′ H′   b Điểm G trọng tâm  OAA′ nên ta có OG = OI , với I ′ trung điểm AA   tan α = không đổi Do Gọi α = (OA,OG) , ta có góc α khơng đổi OI Mặt khác OG mà cos α = =2 tan2  OA =OA =3cos α Do OG =5 OA , α) với α góc Suy G ảnh A qua phép đồng dạng Z(O, không đổi thoả mãn tan α = Vậy tập hợp điểm G đường thẳng d′′ , ảnh đường thẳng d qua phép đồng dạng Z(O, , α) Cách dựng d′′ : Tìm diểm Go trọng tâm OHH′ Đường thẳng d′′ vng góc - 69 - OGo Go - 70 - Kết luận Phép biến hình cơng cụ hữu ích tốn hình học phẳng Khố luận trình bày ứng dụng phép biến hình để giải tốn quỹ tích Khố luận gồm hai phần: Chương Hệ thống kiến thức Chương ứng dụng phép biến hình để giải tốn quỹ tích Trong q trình nghiên cứu em rút số kết luận sau: Khi sử dụng phép biến hình vào giải tốn quỹ tích cho ta lời giải rõ ràng, ngắn gọn tiết kiệm thời gian Bất lời giải toán quỹ tích phải có hai phần bắt buộc khơng thể thiếu (thuận đảo) Tuy nhiên việc chứng minh hai phần linh hoạt theo nhiều phương pháp khác Một phương pháp sử dụng phép biến hình Khi sử dụng phép biến hình vào giải tốn quỹ tích lúc hai phần tiến hành song song tính chất đối phép biến hình Đó ưu điểm đáng kể phép biến hình giải tốn quỹ tích Do kiến thức hạn chế với vốn kinh nghiệm ỏi thân, lại lần thực đề tài nghiên cứu khoa học nên khố luận em khơng tránh khỏi thiếu sót hạn chế Em mong nhận góp ý, bảo thầy tổ hình học bạn Bài tập luyện tập Bài Cho hình bình hành ABCD điểm M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, CD, AD, BC Giả sử O điểm cố định nằm hình bình hành khơng thuộc MN PQ Tìn tập hợp điểm X Y thuộc cạnh hình bình hành cho O trung điểm đoạn XY Bài Cho đường tròn (O) ba điểm A, B, C phân biệt Với điểm P thuộc đường tròn ta xác định P1 ảnh P phép đối xứng ZA, P2 ảnh P1 phép đối xứng ZB, P’ ảnh P2 phép đối xứng ZC Tìm tập hợp P’ P biến thiên đường tròn (O) Bài Cho hai điểm cố định A B Với đường thẳng x qua B ta dựng điểm A’ đối xứng với A qua x Tìm tập hợp A’ x quay quanh B Bài Cho tam giác cân ABC (AB=AC) có cạnh BC