Sử dụng phép dời hình để chứng minh hai hình bằng nhau trong mặt phẳng và không gian

Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Hoài Thơng K34CN To¸n TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TỐN ************** PHẠM HỒI THƯƠNG SỬ DỤNG PHÉP DỜI HÌNH ĐỂ CHỨNG MINH HAI HÌNH BẰNG NHAU TRONG MẶT P KHƠNG GIAN KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Hình học HÀ NỘI – 2012 Khãa luËn tốt nghiệp Phạm Hoài Thơng K34CN TRNG I HC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA : TOÁN ************** PHẠM HỒI THƯƠNG SỬ DỤNG PHÉP DỜI HÌNH ĐỂ CHỨNG MINH HAI HÌNH BẰNG NHAU TRONG MẶT PHẲNG VÀ KHƠNG GIAN KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học NGUYỄN VĂN VẠN HÀ NỘI – 2012 LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Văn Vạn thầy cô giáo khoa Tốn hướng dẫn, bảo tận tình, giúp đỡ em hồn thành khố luận Do kinh nghiệm thân hạn chế nên khố luận nhiều khiếm khuyết Em mong nhận góp ý thầy bạn đọc để em có hướng phát triển sửa chữa cho khố luận hoàn thiện Hà Nội, ngày 14 tháng năm 2012 Sinh viên Phạm Hoài Thương LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan kết đạt khoá luận hồn tồn thân tự tìm tòi nghiên cứu hướng dẫn thầy Nguyễn Văn Vạn, khơng trùng với đề tài Nếu trùng, em xin chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày 14 tháng năm 2012 Sinh viên Phạm Hoài Thương MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Lời cam đoan Phần Mở đầu Phần Nội dung Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1.Phép dời hình mặt phẳng 1.2.Phép dời hình khơng gian 10 1.3.Hai hình 12 1.4.Điều kiện xác định phép dời hình 18 1.5.Dạng tắc phép dời hình 18 Chương Sử dụng phép dời hình để chứng ming hai hình mặt phẳng không gian 24 2.1.Phương pháp chung 24 2.2.Chứng minh hai hình mặt phẳng .24 2.2.1.Chỉ tồn phép dời hình 24 2.2.2 Chỉ cụ thể phép dời hình 26 2.3.Chứng minh hai hình không gian 33 2.3.1.Chỉ tồn phép dời hình khơng gian 33 2.3.2.Chỉ cụ thể phép dời hình khơng gian 35 2.3.3 Một số tập khác 39 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phép dời hình nội dung khó học sinh trung học Các tài liệu tham khảo phép dời hình chưa có nhiều Trong nhiều tốn giải cách đơn giản nhờ sử dụng phép dời hình Sách giáo khoa đề cập đến khái niệm hai hình mặt phẳng khơng gian Để giải tốn chứng minh hai hình phép dời hình cơng cụ hữu ích Tuy nhiên vấn đề sách giáo khoa chưa trình bày sâu Vì lí mà em định chọn nghiên cứu đề tài “ SỬ DỤNG PHÉP DỜI HÌNH ĐỂ CHỨNG MINH HAI HÌNH BẰNG NHAU TRONG MẶT PHẲNG VÀ KHƠNG GIAN” Hy vọng tài liệu tài liệu tham khảo có ích cho bạn đọc Mục đích nghiên cứu - Hệ thống tóm tắt kiến thức phép dời hình mặt phẳng khơng gian - Đưa ví dụ tập để minh hoạ cho phần ứng dụng phép dời hình để chứng minh hai hình Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Phép dời hình mặt phẳng khơng gian - Hai hình mặt phẳng không gian Nhiệm vụ nghiên cứu - Nêu phương pháp chung sử dụng phép dời hình để chứng minh hai hình mặt phẳng không gian - Đưa ví dụ tập minh họa Phương pháp nghiên cứu Phân tích tài liệu có liên quan, tổng kết kinh nghiệm thân, tham khảo ý kiến thầy cô, bạn bè Cấu trúc luận văn Luận văn bao gồm nội dung là: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Sử dụng phép dời hình để chứng minh hai hình mặt phẳng không gian PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.Phép dời hình mặt phẳng 1.1.1 Định nghĩa phép biến hình mặt phẳng Phép biến hình mặt phẳng quy tắc để với điểm M thuộc mặt phẳng, xác định điểm M ′ thuộc mặt phẳng Điểm M ′ gọi ảnh điểm M qua phép biến hình Kí hiệu: Phép biến hình F M ′ = F (M ) F:M M′ hay 1.1.2.Định nghĩa tính chất phép dời hình * Định nghĩa: Phép dời hình mặt phẳng phép biến hình khơng làm thay đổi khoảng cách hai điểm mặt phẳng, tức phép biến hình F biến hai điểm M , N tương ứng thành hai điểm M ′ , N ′ M ′N ′ = MN * Tính chất: Phép dời hình mặt phẳng: + Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng khơng làm thay đổi thứ tự ba điểm + Biến đường thẳng thành đường thẳng + Biến tia thành tia + Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng + Biến tam giác thành tam giác + Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính + Biến góc thành góc 1.1.3.Các phép dời hình mặt phẳng * Phép tịnh tiến • Định nghĩa:  Phép tịnh tiến theo vectơ u phép biến hình biến điểm M thành điểm   M ′ MM ' = u cho Kí hiệu: T u  u gọi vectơ tịnh tiến • Tính chất: Có tính chất phép dời hình * Phép đối xứng trục • Định nghĩa: Phép đối xứng qua đường thẳng d phép biến hình biến điểm M thành điểm M ′ đối xứng M qua d Kí hiệu: Đd : M  M ′ hay Đd( M ) = M ′ • Tính chất: Có tính chất phép dời hình • Trục đối xứng hình: Đường thẳng d gọi trục đối xứng hình (H) phép đối xứng trục d biến hình (H) thành * Phép đối xứng tâm • Định nghĩa: Phép đối xứng tâm O phép biến hình biến điểm M thành điểm M ′    đối xứng M ′ qua O , tức OM + OM ' = Kí hiệu: ĐO : M  M ′ hay ĐO( M ) = M ′ • Tính chất: Có tính chất phép dời hình * Phép quay • Định nghĩa: AM ′B′) ⊥ (BCC Mà AM □ IO ⇒ IO ⊥ PQ nên suy IO ⊥ (BCC′B′) (*) trung điểm O PQ ⇒ Q = ĐIO( P ) Cũng từ (*) suy IO ⊥ BC′ trung điểm O BC ′ ⇒ C′ = ĐIO( B ) A B M C Q O P A’ B’ N C’ Xét ĐIO: O  O A  A′ B  C′ PQ ⇒ ĐIO : OABP  OA′C′Q Vậy hai tứ diện Ví dụ Cho hình lập phương ABD′A′ B′A′C′B ABCD.A′B′C′D′ Chứng minh hai tứ diện Giải: Gọi I , J tâm hình vng ABB′A′ CDD′C′ Xét phép đối xứng qua IJ ĐIJ : A  B′ B  A′ D  C′ A′  B ⇒ ĐIJ : ABD′A′  B′A′C′B ⇒ Hai tứ diện ABD′A′ B′A′C′B A A’ I B B’ D D’ J C C’ 2.3.2.2.Phép tịnh tiến Ví dụ: Cho hai tứ diện ABCD A′B′C′D′ có AB = A′B′ phẳng ( ABC) , ( A′B′C′) song song với Chứng minh hai tứ diện Giải: Gọi G, G ' trọng tâm ∆ABC Do ( ABC) □( A' B 'C ') nên ∆A' B 'C ' T : ∆ABC  ∆A1 B1C1 GG ⇒ ( A1B1C1 ) □ ( ABC) G ' trọng tâm ∆A1B1C1 ⇒ ( A1B1C1 ) ⊂ ( A' B 'C ') Mặt khác mặt DG ⊥ ( ABC), D 'G ' ⊥ ( A' B 'C ') ⇒ = T D1 GG ' ∈ D1G′ = DG = D′G′ DG ( ) ' ' Khi D D ' trùng đối xứng qua ( A' B 'C ') Do tứ diện ABCD , A' B 'C ' D ' 2.3.2.3.Phép đối xứng tâm ′ ′ ′ ′ Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A B C D Chứng minh hai hình chóp A.A′B′C′D′ C′.ABCD Giải: A B C D O A’ B’ C’ D’ Gọi O tâm hình lập phương Xét phép đối xứng qua tâm O Ta có: ĐO : A  C ′ A′  C B′  D C′  A D′  B ⇒A.A′B′C′D′  C′.CDAB ĐO : Vậy hai hình chóp 2.3.2.4.Đối xứng qua mặt phẳng Ví dụ: Cho hình lập phương lăng trụ Giải: ABCD.A′B′C′D′ Chứng minh hai hình ABC.A′B′C′ AA′D′.BB′C′ A B C D A’ B’ D’ C’ Theo tính chất hình lập phương ta có: A' B ⊥ AB ', B 'C ' ⊥ A' B ⇒ A' B ⊥ ( AB 'C ') trung điểm A' B Tương tự CD ' ⊥ ( AB 'C ') trung điểm CD ' Xét phép đối xứng qua mặt phẳng ( AB 'C ') Đ(AB’C’): A  A, B  A', C  D ' A'  B, B '  B ', C '  C ' ⇒ ABC.A' B 'C '  AA' D '.BB 'C ' Đ(AB’C’): ⇒ Hai hình 2.3.3.Một số tập khác Bài Chứng minh hai tứ diện có cạnh chung Bài Cho hai hình chóp S.ABCD S′.A′B′C′D′ có đáy hình vng nằm hai mặt phẳng khác Các mặt bên (SCD) (S′C′D′) vng góc với đáy tương ứng chúng tam giác Chứng minh hai hình chóp S.ABCD S′.A′B′C′D′ Bài Cho hình lăng trụ ABC.PQR ( AP □ BQ □CR ) Gọi A′, B′,C′ trung điểm BC , CA , AB P′,Q′, R′ trung điểm ; QR, RP, PQ Chứng minh hai đường thẳng B′R′ C′Q′ cắt O hai hình chóp O.A′B′AC , O.P′Q′PR′ Bài Chứng minh hai hình lập phương có cạnh Bài Chứng minh hai hình lăng trụ có chung cạnh đáy có độ dài cạnh bên chúng Bài Chứng minh hai hình chóp tứ giác có chung cạnh đáy cạnh bên hai hình chóp Bài Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ ( AA′ □ BB′ □CC′) Gọi M , N , M ′, N ′ trung điểm AB , AC , A′B′ , A′C′ Chứng minh hai hình chóp cụt AMN.A′B′C′ A′M ′N ′.ABC Bài Cho tứ diện ABCD có AB = CD , AC = BD , AD = BC Gọi A′ , B′ chân đường vng góc hạ từ A , B xuống CD ; C ′ , D′ chân đường vng góc hạ từ C , D xuống AB Chứng ming A′C′ = B′D′ , A′D′ = B′C ′ Bài Cho tứ diện ABCD có AB = CD , AC = BD , AD = BC Gọi M , N trung điểm AB , CD Chứng minh hai tứ diện ADNM BCNM Hướng dẫn giải: Bài A D N M C B N’ M’ A’ D’ P Q B’ C’ P’ Q’ Giả sử ABCD.A′B′C′D′ MNPQ.M ′N ′P′Q′ hai hình lập phương có cạnh a Hai tứ diện ABDA′ MNQM ′ có cạnh tương ứng nên nhau, tức có phép dời hình F biến điểm A, B, D, A′ thành M , N , Q, M ′ Vì F phép dời hình nên F biến hình vng thành hình vng Do F : C  P, B′  N′, D′  Q′,C′  P′ Như F : ABCD.A′B′C ′D′  MNPQ.M ′N ′P′Q′ Vậy hai hình lập phương cho Bài A’ N’ M’ C’ B’ N A C M B Gọi (α ) mặt phẳng trung trực cạnh AA', BB ', CC ' ⇒ ∆A' B 'C ' đối xứng qua mặt phẳng (α ) ∆ABC Do M , M ', N , N ' trung điểm AB, A' B ', AC, A'C nên (α ' ) mặt phẳng trung trực MM ', NN ' Xét phép đối xứng qua mp (α ) Đ( α A  A′, M  M ′, N  N ′ ) : A′  A, B′  B, C′  C ⇒ AMN.A′B′C ′  A′M ′N ′.ABC Đ( α ) : ⇒ Hai hình Bài Gọi M , N trung điểm AB, CD + Nếu C′ ≡ D′ ≡ M , M A′ ≡ B′ ≡ N ⇒ ĐPCM + Nếu C′ ≠ D′ ≠ M , A′ ≠ N , B′ ≠ N M MN ⊥ AB, MN ⊥ CD ∆ABC = ∆BAD (c.c.c), CC′, DD′ đường cao tương ứng ⇒ CC ′ = DD′ (cạnh huyền, cạnh góc vng) ∆CC′B = ∆DD′C ⇒ BC′ = AD′ ⇒ MC′ = MD′ Tương tự NA′ = NB ′ Xét phép đối qua MN ĐMN : A′  B′, C′  D′ ⇒ A′C′ = B′D′ B′  A′, D′  C′ ⇒ B′C′ = A′D′ Bài ∆A cân N NB ⇒ MN ⊥ AB ∆C MD cân M ⇒ MN ⊥ CD A  B, D  C Suy ra: ĐMN : ⇒ ADNM  BCNM ⇒ ADNM = BCNM A M D B N C KẾT LUẬN Phép dời hình vấn đề khó học sinh phổ thơng Đặc biệt việc sử dụng phép dời hình vào giải tốn chưa thơng dụng gặp nhiều khó khăn Sử dụng phép dời hình để chứng minh hai hình giúp giải toán cách đơn giản Tuy nhiên, để vận dụng thành thạo ta cần nắm kiến thức liên quan tới phép dời hình cần phải sử dụng thường xun rèn luyện giải tốn để tích luỹ thêm kinh nghiệm, hình thành kĩ năng, kĩ xảo Do kinh nghiệm thân hạn chế nên luận văn nhiều khiếm khuyết Em mong nhận ý kiến đóng góp chân tình từ thầy bạn đọc để em có hướng phát triển sửa chữa cho đề tài ngày hoàn thiện Một lần em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Văn Vạn thầy giáo tổ hình giúp đỡ em hồn thành khố luận tốt nghiệp 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bùi Văn bình (1993), Giáo trình Hình học sơ cấp tập 2, Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, Hà Nội [2] Bùi Văn Bình (1993), Bài tập hình học sơ cấp, Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, Hà Nội [3] Văn Như Cương (chủ biên), Phạm Khắc Ban, Lê Huy Hùng, Tạ Mân (2008), Bài tập Hình học nâng cao 12, NXB Giáo dục [4] Văn Như Cương (chủ biên), Phạm Khắc Ban, Tạ Mân (2009), Bài tập Hình học nâng cao 11, NXB Giáo dục [5] Lê Hồng Đức (2008), Giải tốn hình học 11, NXB Hà Nội [6] Đỗ Thanh Sơn (2008), Phép biến hình khơng gian, NXB Giáo dục [7] Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Văn Như Cương (chủ biên), Phạm Khắc Ban, Tạ Mân (2010), Hình học nâng cao 11, NXB Giáo dục Việt Nam [8] Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Văn Như Cương (chủ biên), Phạm Khắc Ban, Lê Huy Hùng, Tạ Mân (2011), Hình học nâng cao 12, NXB Giáo dục Việt Nam ... dời hình mặt phẳng khơng gian - Đưa ví dụ tập để minh hoạ cho phần ứng dụng phép dời hình để chứng minh hai hình Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Phép dời hình mặt phẳng khơng gian - Hai hình mặt. .. Chương Sử dụng phép dời hình để chứng minh hai hình mặt phẳng khơng gian PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 .Phép dời hình mặt phẳng 1.1.1 Định nghĩa phép biến hình mặt phẳng Phép biến hình. .. Chương Sử dụng phép dời hình để chứng ming hai hình mặt phẳng không gian 24 2.1.Phương pháp chung 24 2.2 .Chứng minh hai hình mặt phẳng .24 2.2.1.Chỉ tồn phép dời hình