Sử dụng phép dời hình để chứng minh hai hình bằng nhau trong mặt phẳng và không gian

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA : TOÁN ************** PHẠM HOÀI THƯƠNG SỬ DỤNG PHÉP DỜI HÌNH ĐỂ CHỨNG MINH HAI HÌNH BẰNG NHAU TRONG MẶT PHẲNG VÀ KHÔNG... Sử dụng phép dời hình để chứ

Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Hoài Th ơng – K34CN Toán

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA : TOÁN

**************

PHẠM HOÀI THƯƠNG

SỬ DỤNG PHÉP DỜI HÌNH ĐỂ CHỨNG MINH HAI HÌNH BẰNG NHAU TRONG MẶT PHẲNG VÀ KHÔNG

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Văn Vạn cùng các thầy cô giáo

trong khoa Toán đã hướng dẫn, chỉ bảo tận tình, giúp đỡ em hoàn thành khoáluận

Do kinh nghiệm bản thân còn hạn chế nên khoá luận có thể còn nhiềukhiếm khuyết Em rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và bạn đọc để em

có hướng phát triển và sửa chữa cho khoá luận hoàn thiện hơn

Hà Nội, ngày 14 tháng 5 năm 2012

Sinh viên Phạm Hoài Thương

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan những kết quả đạt được trong khoá luận hoàn toàn do

bản thân tự tìm tòi nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của thầy Nguyễn Văn Vạn,

không trùng với bất kì đề tài nào

Nếu trùng, em xin chịu mọi trách nhiệm

Hà Nội, ngày 14 tháng 5 năm 2012

Sinh viên Phạm Hoài Thương

Lời cảm ơn

Lời cam đoan

MỤC LỤC

Trang

Phần 1 Mở đầu 5

Phần 2 Nội dung 8

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 8

1.1 Phép dời hình trong mặt phẳng 8

1.2 Phép dời hình trong không gian 10

1.3 Hai hình bằng nhau 12

1.4.Điều kiện xác định phép dời hình 18

1.5.Dạng chính tắc của phép dời hình 18

Chương 2 Sử dụng phép dời hình để chứng ming hai hình bằng nhau trong mặt phẳng và không gian 24

2.1 Phương pháp chung 24

2.2.Chứng minh hai hình bằng nhau trong mặt phẳng 24

2.2.1.Chỉ ra sự tồn tại phép dời hình 24

2.2.2 Chỉ ra được cụ thể một phép dời hình 26

2.3.Chứng minh hai hình bằng nhau trong không gian 33

2.3.1.Chỉ ra sự tồn tại phép dời hình trong không gian 33

2.3.2.Chỉ ra cụ thể một phép dời hình trong không gian 35

2.3.3 Một số bài tập khác 39

Kết luận 44

Tài liệu tham khảo 45

6

PHẦN 1 MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Phép dời hình là một nội dung khó đối với học sinh trung học Các tàiliệu tham khảo về phép dời hình cũng chưa có nhiều Trong khi đó nhiều bàitoán có thể giải được một cách đơn giản nhờ sử dụng phép dời hình Sáchgiáo khoa mới cũng đề cập đến khái niệm hai hình bằng nhau trong mặt phẳng

và không gian Để giải quyết bài toán chứng minh hai hình bằng nhau thìphép dời hình là một công cụ hữu ích Tuy nhiên vấn đề này trong sách giáokhoa chưa trình bày sâu Vì những lí do trên mà em quyết định chọn và

nghiên cứu đề tài “ SỬ DỤNG PHÉP DỜI HÌNH ĐỂ CHỨNG MINH HAI

HÌNH BẰNG NHAU TRONG MẶT PHẲNG VÀ KHÔNG GIAN” Hy

vọng rằng tài liệu này sẽ là một tài liệu tham khảo có ích cho bạn đọc

2 Mục đích nghiên cứu

- Hệ thống tóm tắt các kiến thức cơ bản về phép dời hình trong mặt phẳng

và trong không gian

- Đưa ra các ví dụ và bài tập để minh hoạ cho phần ứng dụng phép dời hình

để chứng minh hai hình bằng nhau

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Phép dời hình trong mặt phẳng và trong không gian

- Hai hình bằng nhau trong mặt phẳng và trong không gian

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nêu phương pháp chung khi sử dụng phép dời hình để chứng minh hai hình bằng nhau trong mặt phẳng và trong không gian

- Đưa ra được các ví dụ và bài tập minh họa

5 Phương pháp nghiên cứu

Phân tích các tài liệu có liên quan, tổng kết kinh nghiệm bản thân, thamkhảo ý kiến của thầy cô, bạn bè.

6 Cấu trúc luận văn

Luận văn bao gồm nội dung chính là:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Sử dụng phép dời hình để chứng minh hai hình bằng nhau trong mặt phẳng và trong không gian

PHẦN 2 NỘI DUNG CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1.Phép dời hình trong mặt phẳng

1.1.1 Định nghĩa phép biến hình trong mặt phẳng

Phép biến hình trong mặt phẳng là một quy tắc để với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng, xác định được duy nhất một điểm M ′ thuộc mặt phẳng đó

Điểm M ′ gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình đó.

+ Biến đường thẳng thành đường thẳng

+ Biến tia thành tia

+ Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó

+ Biến tam giác thành tam giác bằng nó

+ Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

+ Biến góc thành góc bằng nó

u được gọi là vectơ tịnh tiến.

•Tính chất: Có mọi tính chất của phép dời hình

Trong mặt phẳng cho một điểm O cố định và góc lượng giác ϕ

không đổi Phép biến hình biến điểm O thành chính nó và biến mỗi điểm

•Tính chất: Phép quay có mọi tính chất của phép dời hình

1.2.Phép dời hình trong không gian

1.2.1.Định nghĩa phép biến hình trong không gian

Phép biến hình trong không gian là một quy tắc để với mỗi điểm M trong không gian xác định được duy nhất một điểm M ′ trong không gian

Điểm M ′ được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình đó.

Kí hiệu: phép biến hình F , M ′ = F (M )

1.2.2.Phép dời hình trong không gian

* Định nghĩa:

Một phép biến hình F trong không gian được gọi là phép dời hình nếu

nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì trong không gian Tức là, nếu

phép dời hình F biến hai điểm M , N tương ứng thành hai điểm M , N thì

M ′N′ = MN

* Tính chất:

Phép dời hình trong không gian:

+ Biến đường thẳng thành đường thẳng.

+ Biến mặt phẳng thành mặt phẳng.

+ Biến tia thành tia.

+ Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thayđổi thứ tự ba điểm đó

+ Biến góc thành góc bằng nó

ϕ

+ Biến bốn điểm đồng phẳng thành bốn điểm đồng phẳng.

+ Biến mặt cầu thành mặt cầu có cùng bán kính

1.2.3.Các phép dời hình trong không gian

u được gọi là vectơ tịnh tiến

•Tính chất: Phép tịnh tiến có mọi tính chất của phép dời hình

Hơn nữa, nếu T : M  M ′

Phép đối xứng tâm O là phép biến hình biến điểm M thành điểm M ′

sao cho O là trung điểm của MM ′

Cho đường thẳng d trong không gian, phép đối xứng qua đường thẳng d

là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc d thành chính nó và biến mỗi điểm M không thuộc d thành điểm M ′ sao cho trong mặt phẳng ( M , d), d là đường trung trực của MM ′

Kí hiệu: Đd

•Tính chất: Có mọi tính chất của phép dời hình

•Phép đối xứng qua đường thẳng d biến hình (H) thành chính nó thì d gọi làtrục đối xứng của hình (H)

* Phép đối xứng qua mặt phẳng

•Định nghĩa:

Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc

mặt phẳng (P) thành chính nó và biến mỗi điểm M không thuộc (P) thành điểm M ′ sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của MM ′

Kí hiệu: Đ(P)

•Tính chất: Có mọi tính chất của phép dời hình

•Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành chính nó thì mặt phẳng (P) gọi là mặt phẳng đối xứng của hình (H)

1.3.Hai hình bằng nhau

1.3.1 Định nghĩa hai hình bằng nhau

Hai hình được gọi là bằng nhau trong mặt phẳng (không gian) nếu có phép dời hình trong mặt phẳng (không gian) biến hình này thành hình kia.

1.3.2.Định lý 1 (trong mặt phẳng)

Nếu ABC và A′B′C′ là hai tam giác bằng nhau thì có duy nhất phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A′B′C′ .

Chứng minh:

Ta xác định F như sau: Với mỗi điểm M trong mặt phẳng ta có 

A′, B′,C′.

Ta chứng minh phép dời hình F là duy nhất Thật vậy:

B′,C′ nằm trên đường trung trực của

* Từ định nghĩa hai hình bằng nhau ta suy ra:

Nếu hình (H 1 ) bằng hình (H 2 ), hình (H 2 ) bằng hình (H 3 ) thì hình (H 1 ) bằng hình (H 3 ).

Thật vậy:

Vì (H1) = (H2) nên có phép dời hình F1 biến (H1) thành (H2)

(H2) = (H3) nên có phép dời hình F2 biến (H2) thành (H3)

Thực hiện liên tiếp hai phép dời hình trên ta được phép dời hình biến(H1) thành (H3)

Do vậy (H1) = (H3)

Chẳng hạn trên hình vẽ, hình (H1) bằng hình (H2) vì có phép tịnh tiếnbiến (H1) thành (H2); hình (H2) bằng hình (H3) vì có phép đối xứng trục biến(H2) thành (H3) Vậy hai hình (H1) và (H3) bằng nhau

1.3.3.Định lý 2 (trong không gian)

Trong không gian hai tứ diện ABCD và A′B′C′D′ bằng nhau nếu chúng

có các cạnh tương ứng bằng nhau.

Chứng minh: Ta xét các trường hợp sau

+ Trường hợp 1: Hai hình tứ diện đó có ba cặp đỉnh tương ứng

trùng nhau Chẳng hạn A ≡ A′ , B ≡ B′ , C ≡ C′ , D ≠ D′

AD’

Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng CC′ thì (P) đi qua A

và B (vì A , B cùng cách đều hai điểm C , C′).

có ba đỉnh tương ứng trùng nhau nên theo trường hợp 1, chúng bằng nhau

+ Trường hợp 3: hai tứ diện đó có một cặp đỉnh tương ứng trùng nhau,

Như vậy hai tứ diện ABCD và A′B′C′D′ bằng nhau.

+ Trường hợp 4: hai tứ diện đó không có cặp đỉnh tương ứng nào trùng nhau

h A′, B′,C′, D′ .

Định lý này được chứng minh tương tự như trong định lý 1 trong mặtphẳng.

1.4.Điều kiện xác định phép dời hình

1.4.1 Trong mặt phẳng, phép dời hình được xác định bởi hai tam giác bằng nhau.

1.4.2 Trong không gian, phép dời hình được xác định bởi hai tứ diện bằng nhau.

* Trường hợp 1: A, A′ phân biệt.

C2 ≡

C′

thì ta có F = Đv.Đu Ngược lại ta

có A′ , B′ nằm trên trung trực t của C2C′ Xét Đt ta sẽ đi tới F = Đt.Đv.Đu.

+Giả sử

F = Đv.Đu

C1 ≡ C′ Khiđó

A′,C′ nằm trên trung trực v của B1B′ và ta có

Làm tương tự như trường hợp 1 đối với cặp B , B′ ta sẽ có F là tích của

không quá 2 phép đối xứng trục

1.5.2.Định lý

Mọi phép dời hình trong mặt phẳng khác phép đồng nhất đều có thể biểu diễn dưới dạng một phép quay hoặc một phép tịnh tiến.

Chứng minh:

Giả sử F là phép dời hình trong mặt phẳng Rõ ràng F được biểu diễn thành tích hai phép đối xứng trục do F khác phép đồng nhất.

Cụ thể F = Đv.Đu với u ≠ v

+ Nếu u

□v thì F là phép tịnh tiến Thật vậy, lấy hai điểm A, B lần lượt

tịnh tiến theo vectơ 2 AB

+ Nếu u,v cắt nhau tại O thì F là phép quay Thật vậy, lấy A∈u ,

Với mọi điểm M ≠ O , giả sử

M1

B

K

M2

Và (OM ,OM 2 ) = (OM ,OM1) + (OM1,OM 2 )

= 2(OH ,OM1) + 2(OM1,OK )

Chứng minh:

Giả sử F là phép dời hình trong không gian Lấy điểm A trong không gian Đặt F ( A′) = A′ Xét phép tịnh tiến T = T ta có:

AA′

Do A bất kỳ và do F không là phép tịnh tiến nên AA′

không đổi cho phép ta khẳng định số cách phân tích là vô số

Vậy cả 2 trường hợp F đều là tích giao hoán của phép quay và phép tịnh

Ta chứng minh tính duy nhất như sau:

Giả sử F có hai cách phân tích theo kiểu trên.

0

CHƯƠNG 2 SỬ DỤNG PHÉP DỜI HÌNH ĐỂ CHỨNG

MINH HAI HÌNH BẰNG NHAU TRONG MẶT PHẲNG VÀ KHÔNG GIAN2.1.Phương pháp chung

Để chứng minh hai hình (H1), (H2) bằng nhau trong mặt phẳng (khônggian):

+ Cách 1: chỉ ra được tồn tại phép dời hình trong mặt phẳng (không gian)biến hình này thành hình kia

+ Cách 2: tìm được phép dời hình biến (H1) thành (H2’) mà (H2’) bằng(H2)

2.2.Chứng minh hai hình bằng nhau trong mặt phẳng

2.2.1.Chỉ ra sự tồn tại phép dời hình

2.2.1.1.Ví dụ

Ví

dụ 1 Chứng minh rằng hai tam giác vuông bằng nhau nếu có các cạnh

huyền bằng nhau và đường cao ứng với cạnh huyền bằng nhau

Giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A và tam giác A′B′C′ vuông tại A′ , có

BC = B′C′ và hai đường cao AH = A′H ′ .

C’

Dễ thấy F biến đoạn thẳng BC thành đoạn thẳng B′C′

Do vậy hai tam giác đã cho bằng nhau

Ví

dụ 2 Chứng minh rằng nếu ba trung tuyến của tam giác ABC lần lượt là

ba trung tuyến của tam giác A′B′C′ thì hai tam giác đó bằng nhau.

Lấy D , D′ sao cho BGCD và B′G′C′D′ là hình bình hành Dễ thấy ∆GCD = ∆G′C′D′ (c.c.c)

dụ 2 Chứng minh rằng hai tứ giác lồi có các cặp cạnh tương ứng bằng

nhau và một cặp đường chéo tương ứng bằng nhau thì bằng nhau

Như vậy Q A' : B′  B′

C′  C′α

A’C

Bài 1 Cho hình thang ABCD vuông tại A , D và hình thang

A′B′C′D′ vuông tại A′ , D′ Chứng minh rằng hai hình thang đó

bằng nhau nếu AB = A′B′, BC = B′C′,CD = C′D′

Bài 2 Chứng minh rằng hai tam giác bằng nhau nếu có các đường tròn

nội tiếp bằng nhau, một cặp đường tròn bàng tiếp bằng nhau, đồng thờikhoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn bàng tiếp bằngnhau

Q 



Bài 3 Đa giác lồi n cạnh là n-giác đều nếu tất cả các cạnh của nó bằng

nhau và tất cả các góc của nó bằng nhau

Chứng minh rằng: hai n-giác đều bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cạnhbằng nhau

Bài 4 Cho hình (H1) gồm ba đường tròn (O1, r1 ), (O2 , r2 ), (O3 , r3 ) đôi một

tiếp xúc ngoài với nhau và hình (H2) gồm ba đường tròn lần lượt là

Bài 5 Cho hình vuông ABCD , đường thẳng d cắt AB, CD lần lượt tại

M , N ; đường thẳng d′ vuông góc với d

AD, BC lần lượt tại P, Q

+ Nếu AB > CD , ta chứng minh tương tự như trường hợp trên.

r) và (I , R) thành cặp tiếp tuyến chung ngoài A′B′, A′C′ (hoặc thành

A′C′, A′B′) của hai đường tròn (O′,

r)

phải biến thành tiếp tuyến chung B′C′ .

và (I ′, R) , còn tiếp tuyến chung BC

Như vậy hai tam giác đó bằng nhau

Bài 3.

Gọi O , O′ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đó thì

Bài 1 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E, F, H , I lần lượt là trung điểm

Bài 2 Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D , AB = AD

= a ,

Bài 3 Cho ∆ABC , đường cao AH , phân giác AD , O là tâm đường

tròn ngoại tiếp tam giác

a) Chứng minh rằng qua phép đối xứng trục AD thì tia AH biến thành tia

b) Tia phân giác AD cắt đường tròn ( ABC)

tại E , trên AB lấy điểm F sao cho AF = AC Chứng minh rằng đường tròn (

(O3 , R3 ) ngoại tiếp các

bằng nhau

O3

Bài 5 Cho tứ giác ABCD có AC ⊥ BD Dựng ra phía ngoài tứ giác

bốn hình vuông ABEF , BCGH , CDIJ , DAKL

lần lượt là giao của bốn đường thẳng

AI , BK , CE, DG Chứng minh hai tứ

2.3.Chứng minh hai hình bằng nhau trong không gian

2.3.1.Chỉ ra sự tồn tại phép dời hình trong không gian

⇒ F ' : Q  Q, A  A, B  C

Như vậy F ' = F

F : ABPQ  ACPQ ⇒ hai tứ diện này bằng nhau.

⇒ Hai hình đó bằng nhau.

53

2.3.2.Chỉ ra cụ thể một phép dời hình trong không gian

2.3.2.1.Phép đối xứng qua đường thẳng

Ví

dụ 1 Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ ( AA′ □ BB′ □CC′) có đáy là tam giác

cân ABC ( AB = AC ) Gọi O là giao điểm các đường chéo của tứ

giác

BCC′B′ Với mỗi điểm P trên cạnh BB′, lấy điểm Q trên cạnh CC′ sao cho

BP = C′Q Chứng minh hai tứ diện OABP và

của mỗi đường

là hình bình hành nên PQ , BC′ cắt nhau tại trung điểm

Mà O là trung điểm của BC′ nên O cũng là trung điểm của PQ

Vì ABC.A′B′C′ là lăng trụ đứng nên AA′ ⊥ ( ABC)

Do đó

Q

O

NC’

song song với nhau Chứng minh rằng hai tứ diện đó

Giải: Gọi G, G ' lần lượt là trọng tâm

D ' hoặc trùng nhau hoặc đối xứng qua ( A' B 'C ')

Do vậy 2 tứ diện ABCD ,

A' B 'C ' D ' bằng nhau.

1

tại trung điểm A' B

Tương tự CD ' ⊥ ( AB 'C ') tại trung điểm CD '

2.3.3.Một số bài tập khác

Bài 1 Chứng minh hai tứ diện đều có một cạnh chung thì bằng nhau Bài 2 Cho hai hình chóp

S.ABCD và S′.A′B′C′D′ có đáy là hình vuông

và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau Các mặt bên (SCD)

và (S′C′D′)vuông góc với đáy tương ứng và chúng là các tam giác đều Chứng minh rằnghai hình chóp

S.ABCD và S′.A′B′C′D′ bằng nhau