Sử dụng phép dời hình để chứng minh hai hình bằng nhau trong mặt phẳng và không gian

Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Hoài Thương K34CN Toán TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON ************** PHM HOI THNG S DNG PHẫP DI HèNH CHNG MINH HAI HèNH BNG NHAU TRONG MT PHNG V KHễNG GIAN KHO LUN TT NGHIP I HC Chuyờn ngnh: Hỡnh hc H NI 2012 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Hoài Thương K34CN Toán TRNG I HC S PHM H NI KHOA : TON ************** PHM HOI THNG S DNG PHẫP DI HèNH CHNG MINH HAI HèNH BNG NHAU TRONG MT PHNG V KHễNG GIAN KHO LUN TT NGHIP I HC Chuyờn ngnh: Hỡnh hc Ngi hng dn khoa hc NGUYN VN VN H NI 2012 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Hoài Thương K34CN Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Hoài Thương K34CN Toán LI CM N Em xin chõn thnh cm n thy Nguyn Vn Vn cựng cỏc thy cụ giỏo khoa Toỏn ó hng dn, ch bo tn tỡnh, giỳp em hon thnh khoỏ lun Do kinh nghim bn thõn cũn hn ch nờn khoỏ lun cú th cũn nhiu khim khuyt Em rt mong nhn c s gúp ý ca thy cụ v bn c em cú hng phỏt trin v sa cha cho khoỏ lun hon thin hn H Ni, ngy 14 thỏng nm 2012 Sinh viờn Phm Hoi Thng Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Hoài Thương K34CN Toán LI CAM OAN Em xin cam oan nhng kt qu t c khoỏ lun hon ton bn thõn t tỡm tũi nghiờn cu di s hng dn ca thy Nguyn Vn Vn, khụng trựng vi bt kỡ ti no Nu trựng, em xin chu mi trỏch nhim H Ni, ngy 14 thỏng nm 2012 Sinh viờn Phm Hoi Thng Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Hoài Thương K34CN Toán MC LC Trang Li cm n Li cam oan Phn M u Phn Ni dung Chng Kin thc chun b 1.1.Phộp di hỡnh mt phng .8 1.2.Phộp di hỡnh khụng gian 10 1.3.Hai hỡnh bng 12 1.4.iu kin xỏc nh phộp di hỡnh 18 1.5.Dng chớnh tc ca phộp di hỡnh 18 Chng S dng phộp di hỡnh chng ming hai hỡnh bng mt phng v khụng gian 24 2.1.Phng phỏp chung 24 2.2.Chng minh hai hỡnh bng mt phng 24 2.2.1.Ch s tn ti phộp di hỡnh 24 2.2.2.Ch c c th mt phộp di hỡnh 26 2.3.Chng minh hai hỡnh bng khụng gian 33 2.3.1.Ch s tn ti phộp di hỡnh khụng gian 33 2.3.2.Ch c th mt phộp di hỡnh khụng gian 35 2.3.3.Mt s bi khỏc 39 Kt lun 44 Ti liu tham kho 45 10 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Hoài Thương K34CN Toán PHN M U Lý chn ti Phộp di hỡnh l mt ni dung khú i vi hc sinh trung hc Cỏc ti liu tham kho v phộp di hỡnh cng cha cú nhiu Trong ú nhiu bi toỏn cú th gii c mt cỏch n gin nh s dng phộp di hỡnh Sỏch giỏo khoa mi cng cp n khỏi nim hai hỡnh bng mt phng v khụng gian gii quyt bi toỏn chng minh hai hỡnh bng thỡ phộp di hỡnh l mt cụng c hu ớch Tuy nhiờn ny sỏch giỏo khoa cha trỡnh by sõu Vỡ nhng lớ trờn m em quyt nh chn v nghiờn cu ti S DNG PHẫP DI HèNH CHNG MINH HAI HèNH BNG NHAU TRONG MT PHNG V KHễNG GIAN Hy vng rng ti liu ny s l mt ti liu tham kho cú ớch cho bn c Mc ớch nghiờn cu - H thng túm tt cỏc kin thc c bn v phộp di hỡnh mt phng v khụng gian - a cỏc vớ d v bi minh ho cho phn ng dng phộp di hỡnh chng minh hai hỡnh bng i tng, phm vi nghiờn cu - Phộp di hỡnh mt phng v khụng gian - Hai hỡnh bng mt phng v khụng gian Nhim v nghiờn cu - Nờu phng phỏp chung s dng phộp di hỡnh chng minh hai hỡnh bng mt phng v khụng gian - a c cỏc vớ d v bi minh Phng phỏp nghiờn cu 11 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Hoài Thương K34CN Toán Phõn tớch cỏc ti liu cú liờn quan, tng kt kinh nghim bn thõn, tham kho ý kin ca thy cụ, bn bố Cu trỳc lun Lun bao gm ni dung chớnh l: Chng Kin thc chun b Chng S dng phộp di hỡnh chng minh hai hỡnh bng mt phng v khụng gian 12 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Hoài Thương K34CN Toán PHN NI DUNG CHNG KIN THC CHUN B 1.1.Phộp di hỡnh mt phng 1.1.1.nh ngha phộp bin hỡnh mt phng Phộp bin hỡnh mt phng l mt quy tc vi mi im M thuc mt phng, xỏc nh c nht mt im M thuc mt phng ú im M gi l nh ca im M qua phộp bin hỡnh ú Kớ hiu: Phộp bin hỡnh F M F ( M ) hay F : M M 1.1.2.nh ngha v tớnh cht phộp di hỡnh * nh ngha: Phộp di hỡnh mt phng l phộp bin hỡnh khụng lm thay i khong cỏch gia hai im bt kỡ mt phng, tc l nu phộp bin hỡnh F bin hai im M , N tng ng thnh hai im M , N thỡ M N MN * Tớnh cht: Phộp di hỡnh mt phng: + Bin ba im thng hng thnh ba im thng hng v khụng lm thay i th t ba im ú + Bin ng thng thnh ng thng + Bin tia thnh tia + Bin on thng thnh on thng bng nú + Bin tam giỏc thnh tam giỏc bng nú + Bin ng trũn thnh ng trũn cú cựng bỏn kớnh + Bin gúc thnh gúc bng nú 13 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Hoài Thương K34CN Toán 1.1.3.Cỏc phộp di hỡnh mt phng * Phộp tnh tin nh ngha: Phộp tnh tin theo vect u l phộp bin hỡnh bin im M thnh im M cho MM ' u Kớ hiu: T u u c gi l vect tnh tin Tớnh cht: Cú mi tớnh cht ca phộp di hỡnh * Phộp i xng trc nh ngha: Phộp i xng qua ng thng d l phộp bin hỡnh bin im M thnh im M i xng M qua d Kớ hiu: d : M M hay d( M ) = M Tớnh cht: Cú mi tớnh cht ca phộp di hỡnh Trc i xng ca mt hỡnh: ng thng d c gi l trc i xng ca hỡnh (H) nu phộp i xng trc d bin hỡnh (H) thnh chớnh nú * Phộp i xng tõm nh ngha: Phộp i xng tõm O l phộp bin hỡnh bin im M thnh im M i xng M qua O , tc l OM OM ' Kớ hiu: O : M M hay O( M ) = M Tớnh cht: Cú mi tớnh cht ca phộp di hỡnh * Phộp quay nh ngha: 14 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Hoài Thương K34CN Toán M M N N M AB M DA N DC N CB MN M N , MN M N M MN PQ nờn M N song song hoc trựng vi PQ v M N PQ Vy MN PQ 2.2.1.3.Bi ngh Bi Cho hỡnh ch nht ABCD Gi E , F , H , I ln lt l trung im ca AB, CD, BC , EF Chng minh rng: AEI FCH Bi Cho hỡnh thang vuụng ABCD vuụng ti A v D , AB AD a , DC 2a Gi H l trung im ca DC Chng minh ABD BHC Bi Cho ABC , ng cao AH , phõn giỏc AD , O l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc a) Chng minh rng qua phộp i xng trc AD thỡ tia AH bin thnh tia AO v ú BAH OAC b) Tia phõn giỏc AD ct ng trũn ( ABC ) ti E , trờn AB ly im F cho AF AC Chng minh rng ng trũn ( ABC ) bng ng trũn ( AEF ) Bi Gi s H l trc tõm tam giỏc ABC Chng minh rng nu cỏc ng trũn (O1 , R1 ) , (O2 , R2 ) , (O3 , R3 ) ngoi tip cỏc tam giỏc BCH , CAH , ABH bng thỡ ABC O1O2O3 Bi Cho t giỏc ABCD cú AC BD Dng phớa ngoi t giỏc bn hỡnh vuụng ABEF , BCGH , CDIJ , DAKL 37 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Hoài Thương K34CN Toán Kớ hiu P1 , Q1 , R1 , S1 ln lt l giao ca bn ng thng CL, DF , AH , BJ ; P2 , Q2 , R2 , S2 ln lt l giao ca bn ng thng AI , BK , CE , DG Chng minh hai t giỏc PQ 1 R1S1 v P2Q2 R2 S bng 38 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Hoài Thương K34CN Toán 2.3.Chng minh hai hỡnh bng khụng gian 2.3.1.Ch s tn ti phộp di hỡnh khụng gian 2.3.1.1.Vớ d Vớ d 1.Cho tam giỏc ABC cõn ti A V hai phớa ca mt phng ( ABC ) ly cỏc im P , Q cho PAB PAC , QAB QAC ( P, A, Q khụng thng hng) Chng minh rng hai t din ABPQ v ACPQ bng Gii: A Q P B C PAB PAC (c.g.c) Cú phộp di hỡnh F : PAB PAC F : P P, A A, B C QAB QAC (c.g.c) Cú phộp di hỡnh F ' : QAB QAC F ' : Q Q, A A, B C Nh vy F ' F 39 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Hoài Thương K34CN Toán F : ABPQ ACPQ hai t din ny bng Vớ d 2.Chng minh rng hai hỡnh hp ch nht cú kớch thc bng thỡ bng Gii: P Q P B C N A Q D M B A N C M D Gi s hai hỡnh hp ch nht ABCD A ' B ' C ' D ' v MNPQ.M ' N ' P ' Q ' cú: AB MN , BC NP, BB ' NN ' Khi ú hai t din B ' ABC v N '.MNP cú cỏc cnh tng ng bng nờn chỳng bng Cú phộp di hỡnh F : B ' ABC N '.MNP F : B ' B ', B N , A M , C P F : ABC MNP BCB ' NPN ' F : D Q, C P Tng t F : A ' M ', D ' Q ' Do vy F : ABCD A ' B ' C ' D ' MNPQ.M ' N ' P ' Q ' Hai hỡnh ú bng 40 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Hoài Thương K34CN Toán 2.3.2.Ch c th mt phộp di hỡnh khụng gian 2.3.2.1.Phộp i xng qua ng thng Vớ d Cho lng tr ng ABC ABC ( AA BB CC ) cú ỏy l tam giỏc cõn ABC ( AB AC ) Gi O l giao im cỏc ng chộo ca t giỏc BCC B Vi mi im P trờn cnh BB , ly im Q trờn cnh CC cho BP C Q Chng minh hai t din OABP v OAC Q bng Gii: Gi I , M , N ln lt l trung im AA, BC , BC D thy BPC Q l hỡnh bỡnh hnh nờn PQ , BC ct ti trung im ca mi ng M O l trung im ca BC nờn O cng l trung im ca PQ Vỡ ABC ABC l lng tr ng nờn AA ( ABC ) AA AM D thy AMNA l hỡnh bỡnh hnh AMNA l hỡnh ch nht IO l ng trung bỡnh ca hỡnh ch nht AMNA nờn IO AA ti I A IO( A ) Ta cú ABC cõn ti A AM va l trung tuyn va l ng cao ca ABC hay AM BC Mt khỏc, AM MN (do AMNA l hỡnh ch nht), BC MN M Do ú AM ( BCC B) M AM IO nờn suy IO ( BCC B) (*) IO PQ ti trung im O ca PQ Q IO( P ) Cng t (*) suy IO BC ti trung im O ca BC C IO( B ) 41 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Hoài Thương K34CN Toán A B M C Q O P A B N C Xột IO: O O A A B C PQ IO : OABP OAC Q Vy hai t din ny bng Vớ d Cho hỡnh lp phng ABCD ABC D Chng minh hai t din ABDA v BAC B bng Gii: Gi I , J ln lt l tõm hỡnh vuụng ABBA v CDDC Xột phộp i xng qua IJ IJ : A B B A D C A B 42 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Hoài Thương K34CN Toán IJ : ABDA BAC B Hai t din ABDA v BAC B bng A A I B B D D J C C 2.3.2.2.Phộp tnh tin Vớ d: Cho hai t din u ABCD v ABC D cú AB AB v cỏc mt phng ( ABC ) , ( ABC ) song song vi Chng minh rng hai t din ú bng Gii: Gi G, G ' ln lt l trng tõm ABC v A ' B ' C ' : ABC A B C Do ( ABC ) ( A ' B ' C ') nờn TGG 1 ' ( A1B1C1 ) ( ABC ) v G ' l trng tõm A1B1C1 ( A1B1C1 ) ( A ' B ' C ') Mt khỏc DG ( ABC ), D ' G ' ( A ' B ' C ') ( D ) D ' G ' v D G DG DG D1 TGG ' Khi ú D1 v D ' hoc trựng hoc i xng qua ( A ' B ' C ') Do vy t din ABCD , A ' B ' C ' D ' bng 43 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Hoài Thương K34CN Toán 2.3.2.3.Phộp i xng tõm Vớ d Cho hỡnh lp phng ABCD ABC D Chng minh hai hỡnh chúp A ABC D v C ABCD bng Gii: A B C D O A B C D Gi O l tõm hỡnh lp phng Xột phộp i xng qua tõm O Ta cú: O : A C A C B D C A D B O : A ABC D C .CDAB Vy hai hỡnh chúp ny bng 2.3.2.4.i xng qua mt phng Vớ d: Cho hỡnh lp phng ABCD ABC D Chng minh rng hai hỡnh lng tr ABC ABC v AAD.BBC bng Gii: 44 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Hoài Thương K34CN Toán A B C D A B D C Theo tớnh cht hỡnh lp phng ta cú: A ' B AB ', B ' C ' A ' B A ' B ( AB ' C ') ti trung im A ' B Tng t CD ' ( AB ' C ') ti trung im CD ' Xột phộp i xng qua mt phng ( AB ' C ') (ABC): A A, B A ', C D ' A ' B, B ' B ', C ' C ' (ABC): ABC A ' B ' C ' AA ' D '.BB ' C ' Hai hỡnh ú bng 2.3.3.Mt s bi khỏc Bi Chng minh hai t din u cú mt cnh chung thỡ bng Bi Cho hai hỡnh chúp S ABCD v S ABC D cú ỏy l hỡnh vuụng v nm hai mt phng khỏc Cỏc mt bờn ( SCD) v ( S C D) vuụng gúc vi ỏy tng ng v chỳng l cỏc tam giỏc u Chng minh rng hai hỡnh chúp S ABCD v S ABC D bng 45 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Hoài Thương K34CN Toán Bi Cho hỡnh lng tr ABC.PQR ( AP BQ CR ) Gi A, B, C ln lt l trung im ca BC , CA , AB ; P, Q, R ln lt l trung im ca QR, RP, PQ Chng minh rng hai ng thng BR v C Q ct ti O v hai hỡnh chúp O ABAC , O.PQPR bng Bi Chng minh rng hai hỡnh lp phng cú cnh bng thỡ bng Bi Chng minh rng nu hai hỡnh lng tr u cú chung mt cnh ỏy v cú di cnh bờn ca chỳng bng thỡ bng Bi Chng minh rng nu hai hỡnh chúp t giỏc u cú chung mt cnh ỏy v mt cnh bờn bng thỡ hai hỡnh chúp ú bng Bi Cho hỡnh lng tr ng ABC ABC ( AA BB CC ) Gi M , N , M , N ln lt l trung im ca AB , AC , AB , AC Chng minh rng hai hỡnh chúp ct AMN ABC v AM N ABC bng Bi Cho t din ABCD cú AB CD , AC BD , AD BC Gi A , B ln lt l chõn cỏc ng vuụng gúc h t A , B xung CD ; C , D ln lt l chõn cỏc ng vuụng gúc h t C , D xung AB Chng ming rng AC BD , AD BC Bi Cho t din ABCD cú AB CD , AC BD , AD BC Gi M , N ln lt l trung im ca AB , CD Chng minh rng hai t din ADNM v BCNM bng 46 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Hoài Thương K34CN Toán Hng dn gii: Bi A D N M C B N M A D P Q B C P Q Gi s ABCD ABC D v MNPQ.M N PQ l hai hỡnh lp phng cú cnh u bng a Hai t din ABDA v MNQM cú cỏc cnh tng ng bng nờn bng nhau, tc l cú phộp di hỡnh F bin cỏc im A, B, D, A ln lt thnh M , N , Q, M Vỡ F l phộp di hỡnh nờn F bin hỡnh vuụng thnh hỡnh vuụng Do ú F : C P, B N , D Q, C P Nh vy F : ABCD ABC D MNPQ.M N PQ Vy hai hỡnh lp phng ó cho bng Bi 47 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Hoài Thương K34CN Toán A N M C B N A C M B Gi ( ) l mt phng trung trc ca cỏc cnh AA ', BB ', CC ' ABC v A ' B ' C ' i xng qua mt phng ( ) Do M , M ', N , N ' ln lt l trung im AB, A ' B ', AC , A ' C ' nờn ( ) cng l mt phng trung trc ca MM ', NN ' Xột phộp i xng qua mp ( ) ( ) : A A, M M , N N A A, B B, C C ( ) : AMN ABC AM N ABC Hai hỡnh ú bng Bi Gi M , N ln lt l trung im ca AB, CD + Nu C M thỡ D M , A B N PCM + Nu C M thỡ D M , A N , B N MN AB, MN CD ABC BAD (c.c.c), CC , DD l ng cao tng ng 48 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Hoài Thương K34CN Toán CC DD CC B DDC (cnh huyn, cnh gúc vuụng) BC AD MC MD Tng t NA NB Xột phộp i qua MN MN : A B, C D AC BD B A, D C BC AD Bi ANB cõn ti N MN AB CMD cõn ti M MN CD Suy ra: MN : A B, D C ADNM BCNM ADNM BCNM A M D B N C 49 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Hoài Thương K34CN Toán KT LUN Phộp di hỡnh l mt mi v khú i vi hc sinh ph thụng c bit l vic s dng phộp di hỡnh vo gii toỏn cha c thụng dng v cũn gp nhiu khú khn S dng phộp di hỡnh chng minh hai hỡnh bng giỳp chỳng ta gii bi toỏn mt cỏch n gin hn Tuy nhiờn, dng thnh tho ta cn nm c cỏc kin thc liờn quan ti phộp di hỡnh v cn phi s dng thng xuyờn rốn luyn gii toỏn tớch lu thờm kinh nghim, hỡnh thnh k nng, k xo Do kinh nghim bn thõn cũn hn ch nờn lun cú th cũn nhiu khim khuyt Em rt mong nhn c nhng ý kin úng gúp chõn tỡnh nht t thy cụ v bn c em cú hng phỏt trin v sa cha cho ti ngy cng hon thin hn Mt ln na em xin gi li cm n sõu sc ti thy Nguyn Vn Vn cựng cỏc thy cụ giỏo t hỡnh ó giỳp em hon thnh khoỏ lun tt nghip 50 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Hoài Thương K34CN Toán TI LIU THAM KHO [1] Bựi Vn bỡnh (1993), Giỏo trỡnh Hỡnh hc s cp 2, Trng i hc s phm H Ni 2, H Ni [2] Bựi Vn Bỡnh (1993), Bi hỡnh hc s cp, Trng i hc s phm H Ni 2, H Ni [3] Vn Nh Cng (ch biờn), Phm Khc Ban, Lờ Huy Hựng, T Mõn (2008), Bi Hỡnh hc nõng cao 12, NXB Giỏo dc [4] Vn Nh Cng (ch biờn), Phm Khc Ban, T Mõn (2009), Bi Hỡnh hc nõng cao 11, NXB Giỏo dc [5] Lờ Hng c (2008), Gii toỏn hỡnh hc 11, NXB H Ni [6] Thanh Sn (2008), Phộp bin hỡnh khụng gian, NXB Giỏo dc [7] on Qunh (tng ch biờn), Vn Nh Cng (ch biờn), Phm Khc Ban, T Mõn (2010), Hỡnh hc nõng cao 11, NXB Giỏo dc Vit Nam [8] on Qunh (tng ch biờn), Vn Nh Cng (ch biờn), Phm Khc Ban, Lờ Huy Hựng, T Mõn (2011), Hỡnh hc nõng cao 12, NXB Giỏo dc Vit Nam 51 [...]... phng (P) gi l mt phng i xng ca hỡnh (H) 1.3 .Hai hỡnh bng nhau 1.3.1.nh ngha hai hỡnh bng nhau Hai hỡnh c gi l bng nhau trong mt phng (khụng gian) nu cú phộp di hỡnh trong mt phng (khụng gian) bin hỡnh ny thnh hỡnh kia 1.3.2.nh lý 1 (trong mt phng) Nu ABC v ABC l hai tam giỏc bng nhau thỡ cú duy nht phộp di hỡnh bin tam giỏc ABC thnh tam giỏc ABC Chng minh: 17 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Hoài... 1.3.4.nh lý 3 Trong khụng gian, cho hai t din bng nhau ABCD v ABC D , tn ti duy nht mt phộp di hỡnh trong khụng gian bin A, B, C , D ln lt thnh A, B, C , D 22 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Hoài Thương K34CN Toán nh lý ny c chng minh tng t nh trong nh lý 1 trong mt phng 1.4.iu kin xỏc nh phộp di hỡnh 1.4.1 .Trong mt phng, phộp di hỡnh c xỏc nh bi hai tam giỏc bng nhau 1.4.2 .Trong khụng gian, phộp... Chng minh hai t giỏc PQ 1 1 R1S1 v P2Q2 R2 S 2 bng nhau 38 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Hoài Thương K34CN Toán 2.3.Chng minh hai hỡnh bng nhau trong khụng gian 2.3.1.Ch ra s tn ti phộp di hỡnh trong khụng gian 2.3.1.1.Vớ d Vớ d 1.Cho tam giỏc ABC cõn ti A V hai phớa ca mt phng ( ABC ) ly cỏc im P , Q sao cho PAB PAC , QAB QAC ( P, A, Q khụng thng hng) Chng minh rng hai t din ABPQ v ACPQ bng nhau. .. nht mt im M trong khụng gian im M c gi l nh ca im M qua phộp bin hỡnh ú Kớ hiu: phộp bin hỡnh F , M F ( M ) 1.2.2.Phộp di hỡnh trong khụng gian * nh ngha: Mt phộp bin hỡnh F trong khụng gian c gi l phộp di hỡnh nu nú bo ton khong cỏch gia hai im bt kỡ trong khụng gian Tc l, nu phộp di hỡnh F bin hai im M , N tng ng thnh hai im M , N thỡ M N MN * Tớnh cht: Phộp di hỡnh trong khụng gian: + Bin... MN NM trong ú MN d , NM d Rừ rng trong cỏch biu din F T Q Q.T thỡ a NM Tng t, ta cú a NM a a T T Q Q Tớnh duy nht ca cỏch biu din c chng minh 28 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Hoài Thương K34CN Toán CHNG 2 S DNG PHẫP DI HèNH CHNG MINH HAI HèNH BNG NHAU TRONG MT PHNG V KHễNG GIAN 2.1.Phng phỏp chung chng minh hai hỡnh (H1), (H2) bng nhau trong mt phng (khụng gian) : +... (H3) Vy hai hỡnh (H1) v (H3) bng nhau (H1) (H2) 19 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Hoài Thương K34CN Toán (H3) 1.3.3.nh lý 2 (trong khụng gian) Trong khụng gian hai t din ABCD v ABC D bng nhau nu chỳng cú cỏc cnh tng ng bng nhau Chng minh: Ta xột cỏc trng hp sau + Trng hp 1: Hai hỡnh t din ú cú ba cp nh tng ng trựng nhau Chng hn A A , B B , C C , D D A D D B C Khi ú mi im A, B, C u cỏch u hai im... 1.4.2 .Trong khụng gian, phộp di hỡnh c xỏc nh bi hai t din bng nhau 1.5.Dng chớnh tc ca phộp di hỡnh 1.5.1.nh lý Mi phộp di hỡnh trong En (n=2,3) s c phõn tớch thnh tớch khụng quỏ (n+1) phộp i xng qua siờu phng Chng minh: Ta chng minh nh lý trong mt phng, trong khụng gian nh lý c chng minh tng t Gi s F l mt phộp di hỡnh trong mt phng c xỏc nh bi hai tam giỏc bng nhau ABC v ABC ( AB AB , BC BC , CA C... Toán Nh vy hai t din ABCD v ABC D bng nhau + Trng hp 4: hai t din ú khụng cú cp nh tng ng no trựng nhau A B A D B C D C Gi ( R ) l mt phng trung trc ca AA Xột (R) : A A B B1 C C1 D D1 (R) : ABCD AB1C1D1 Hai t din ABCD v AB1C1D1 bng nhau M hai t din AB1C1D1 v ABC D cú cỏc cnh tng ng bng nhau v mt cp nh tng ng trựng nhau nờn theo trng hp 3, chỳng bng nhau Nh vy hai t din ABCD v ABC D bng nhau 1.3.4.nh... hỡnh trong mt phng (khụng gian) bin hỡnh ny thnh hỡnh kia + Cỏch 2: tỡm c phộp di hỡnh bin (H1) thnh (H2) m (H2) bng (H2) 2.2.Chng minh hai hỡnh bng nhau trong mt phng 2.2.1.Ch ra s tn ti phộp di hỡnh 2.2.1.1.Vớ d Vớ d 1 Chng minh rng hai tam giỏc vuụng bng nhau nu cú cỏc cnh huyn bng nhau v ng cao ng vi cnh huyn bng nhau Gii: Xột tam giỏc ABC vuụng ti A v tam giỏc ABC vuụng ti A , cú BC BC v hai. .. trựng nhau nờn theo trng hp 1, chỳng bng nhau Hai t din ABCD v ABC D bng nhau + Trng hp 3: hai t din ú cú mt cp nh tng ng trựng nhau, chng hn A A Gi (Q ) l mt phng trung trc ca BB Vỡ A cỏch u B v B nờn A (Q) Xột (Q) : A A B B C C1 D D1 (Q) : ABCD ABC1D1 Hai t din ABCD v ABC1 D1 bng nhau Mt khỏc, hai t din ABC1D1 v ABC D cú hai cp nh tng ng trựng nhau nờn theo trng hp 2, chỳng bng nhau 21 ... c chng minh 28 Khóa luận tốt nghiệp đại học Phạm Hoài Thương K34CN Toán CHNG S DNG PHẫP DI HèNH CHNG MINH HAI HèNH BNG NHAU TRONG MT PHNG V KHễNG GIAN 2.1.Phng phỏp chung chng minh hai hỡnh... 1.3 .Hai hỡnh bng 1.3.1.nh ngha hai hỡnh bng Hai hỡnh c gi l bng mt phng (khụng gian) nu cú phộp di hỡnh mt phng (khụng gian) bin hỡnh ny thnh hỡnh 1.3.2.nh lý (trong mt phng) Nu ABC v ABC l hai. .. v khụng gian - a cỏc vớ d v bi minh ho cho phn ng dng phộp di hỡnh chng minh hai hỡnh bng i tng, phm vi nghiờn cu - Phộp di hỡnh mt phng v khụng gian - Hai hỡnh bng mt phng v khụng gian Nhim