Hình học afin euclide trong mặt phẳng và không gian ba chiều

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Kim Thúy LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận này, trước tiên em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến cô Đinh Thị Kim Thúy – Giảng viên trường Đại học Sư phạm Hà Nội Cô tận tình hướng dẫn em trình thực hoàn thành tốt khóa luận Em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo công tác tổ Hình học thầy cô khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội tạo điều kiện để em hoàn thành đề tài Do lần làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Hơn thời gian lực thân hạn chế nên không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn sinh viên để đề tài em hoàn thiện có nhiều ứng dụng thực tế Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 12 tháng 05 năm 2011 Bùi Thị Lê SVTH: Bùi Thị Lê -1- K33 – Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Kim Thúy LỜI CAM ĐOAN Đề tài em hoàn thành hướng dẫn cô giáo Đinh Thị Kim Thúy Trong trình nghiên cứu em có tham khảo tài liệu số tác giả nêu mục tài liệu tham khảo Em xin cam đoan kết đề tài nghiên cứu kết thân không trùng khớp với kết tác giả khác Hà Nội, ngày 12 tháng 05 năm 2011 Bùi Thị Lê SVTH: Bùi Thị Lê -2- K33 – Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Kim Thúy MỤC LỤC MỞ ĐẦU 04 NỘI DUNG 06 Chương Hình học Euclide mặt phẳng 06 1.1 Khoảng cách góc 06 1.2 Các phép đẳng cự afin mặt phẳng 11 1.3 Phép đồng dạng thuận mặt phẳng 15 1.4 Đường tròn mặt phẳng 19 1.5 Đường cônic mặt phẳng afin Euclide 24 1.6 Bài tập 34 Chương Hình học Euclide mặt phẳng không gian ba chiều 44 2.1 Khoảng cách góc 44 2.2 Các phép đẳng cự afin E 51 2.3 Mặt cầu đường tròn không gian 56 2.4 Bài tập 60 KẾT LUẬN 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO 69 SVTH: Bùi Thị Lê -3- K33 – Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Kim Thúy MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học có vai trò quan trọng đời sống thực tiễn nghiên cứu khoa học Toán học sở, tảng để nghiên cứu môn khoa học khác Trong trình học tập, em nghiên cứu chuyên ngành hình học, phận quan trọng tương đối khó chương trình toán phổ thông Với mong muốn nghiên cứu sâu hình học tìm hiểu sâu sắc hình học afin Euclide mặt phẳng không gian ba chiều, em chọn đề tài “Hình học afin Euclide mặt phẳng không gian ba chiều” làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu sâu hình học afin Euclide mặt phẳng không gian ba chiều Đi sâu nghiên cứu khoảng cách, góc, phép đẳng cự, phép đồng dạng, đường tròn mặt phẳng không gian ba chiều, đường cônic mặt phẳng, mặt cầu không gian ba chiều Đối tượng phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu : Nghiên cứu kiến thức hình học afin Euclide mặt phẳng không gian ba chiều + Phạm vi nghiên cứu : Do điều kiện thời gian, em nghiên cứu số phần hình học afin Euclide mặt phẳng không gian ba chiều Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày số lý thuyết hình học afin Euclide mặt phẳng không gian ba chiều SVTH: Bùi Thị Lê -4- K33 – Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Kim Thúy Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo tài liệu có liên quan đến nội dung nghiên cứu SVTH: Bùi Thị Lê -5- K33 – Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Kim Thúy NỘI DUNG Chương Hình học afin Euclide mặt phẳng 1.1 Khoảng cách góc 1.1.1 Định nghĩa tính chất uur Định nghĩa Ta gọi cặp ( E , ) E mặt phẳng afin thực, uur tích vô hướng phương E E , mặt phẳng afin Euclide Ta thường ký hiệu E thay cho ( E , ) r r Hệ quy chiếu trực chuẩn E ba { O ; i , j } O E , r r { i , j } sơ trực chuẩn E uur Nếu E định hướng , ta nói E định hướng , hướng r r hệ quy chiếu Descartes { O ; i , j } E hướng sở E uur Cho mặt phẳng Euclide r(định E có r hướng) E , mặt phẳng vectơ sở trực chuẩn { i , j } Với điểm O thuộc E , ánh xạ : ur E2 r F F : ¡ song ánh afin ánh xạ tuyến tính liên kết r ( x, y) a O xi yj bảo toàn tích vô hướng Trong thực hành, ta thay E ¡ trang bị tích vô hướng thông thường Định nghĩa Với M , M ' thuộc E , khoảng cách M M ' , ký hiệu d ( M , M ') MM ' , số thực : d (M , M ') MM ' uuuuur MM ' Nếu hệ quy chiếu trực chuẩn có M ( x, y ) M '( x ', y ') , : d (M , M ') MM ' x' x y' y Tính chất Với số thực với điểm A, B, C thuộc E : 1) d ( A, B) d ( B, A) SVTH: Bùi Thị Lê -6- K33 – Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Kim Thúy 2) d ( A, B) A 3) d ( A, B) d ( A, C ) d ( B, C ) 4) d ( A C , B C ) 5) d ( A, B) B (bất đẳng thức tam giác) d ( A, B) d ( A, B) r r Định nghĩa Cho d d ' hai đường thẳng afin E , u , u ' vectơ phương d d ' Góc d d ' , ký hiệu ( d· , d ' ) ( d , d ' ), số thực xác định mođun : r r ( d· , d ' ) ( u· , u ' ) [ ] Sự tương đẳng mođun đối r r xuất phát từ chỗ ta thay u (hoặc u ' ) r Định nghĩa Cho m m ' hai nửa đường thẳng afin có gốc A , u , r u ' tương ứng vectơ phương định hướng m , m ' Góc m m ' ký · , m ') (hoặc (m, m ') , số thực xác định mođun : hiệu (m · , m ') = ( u·r , ur ' ) [2 ] (m Định nghĩa Hai đường thẳng afin d , d ' E gọi trực giao, ký r uur hiệu d d ' , d d ' , nghĩa ( d· , d ' ) = [ ] r Định nghĩa Cho d đường thẳng d ' phương đường thẳng r r r cho d d ' Một phép chiếu lên d , song song với d ' ; phép đối xứng r r qua d , song song với d ' ; phép co afin trục d , phương d ' gọi r r trực giao d d ' 1.1.2 Các phép tính hệ quy chiếu trực chuẩn Cho E mặt phẳng afin Euclide (được định hướng) r r O; i , j hệ quy chiếu trực chuẩn E Các điểm E xác định toa SVTH: Bùi Thị Lê -7- K33 – Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Kim Thúy độ chúng đường thẳng afin E xác định phương trình Descartes chúng 1) Vectơ trực giao với đường thẳng Với (a, b, c) thuộc ¡ cho (a, b) r (0,0) , u a, b vectơ trực giao với đường thẳng d có phương trình : ax by c 2) Hình chiếu vuông góc điểm đường thẳng Cho đường thẳng d có phương trình : ax by c đường thẳng afin M ( x0 , y0 ) điểm thuộc E Ta ký hiệu H ( X , Y ) hình chiếu vuông góc M d Ta có : aX H d uuuuur r M0H d X Y bY x0 y0 c a b 0 Từ suy tọa độ H : X Y aX bY bX aY c bx0 ay0 d M0 b x0 aby0 ac a b2 abx0 a y0 bc a b2 H Ví dụ Cho đường thẳng D có phương trình x y điểm M ( 3,4) không thuộc D Gọi H ( X , Y ) hình chiếu vuông góc M d Khi : X Y Vậy tọa độ H ( 5)2 ( 3) 1( 5)4 12 ( 5)2 ( 3) 12 ( 5)2 12 ( 5) 57 21 , 26 26 57 , 26 21 26 3) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng SVTH: Bùi Thị Lê -8- K33 – Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Kim Thúy Mệnh đề Cho đường thẳng M ( x0 , y0 ) Khi : có phương trình : ax by c ax0 d M0, by0 a b c Chứng minh : Ta có : d M0, M 0H X x0 Y a ax0 by0 c y0 b ax0 by0 c a b2 hay ax0 d (M , ) a ax0 by0 c b c a b2 a b2 by0 2 , Ví dụ Xét với ví dụ 1, ta có khoảng cách từ M đến 1( 3) ( 5)4 21 d (M , ) 2 26 ( 5) : 4) Phương trình chuẩn đường thẳng E Cho d : ax by c Vì a2 b2 Ta thấy nên phương trình d viết dạng: a b c x y a b2 a b2 a b2 a a2 a a2 b b a2 c b2 2 b b2 a ) cho Ta đặt p đường thẳng E b2 nên tồn ¡ (mođun cos sin , d có phương trình x cos y sin p gọi a b phương trình dạng chuẩn d SVTH: Bùi Thị Lê -9- K33 – Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp r Vì u cos ,sin GVHD: Đinh Thị Kim Thúy r trực giao với d nên u trực giao với d , d có hai phương trình dạng chuẩn : x cos p x cos y sin y sin p Ta coi hai phương trình dạng chuẩn y Gọi H ( X , Y ) hình chiếu vuông góc d điểm O d , tồn ¡ r r H uuur j u X cos r cho OH u Từ đó: Y sin r O i sin p, Vì H d , ta có cos x p uuur r Như vậy, ký hiệu OH độ đo đại số OH trục ((OH ), u ) (nếu uuur r O d ) ta có OH p OH u p Ví dụ Cho d : x a a y , ta thấy : b a Khi đó, tồn b 1 3 sin , a b2 x cos x cos 2x y sin y sin 3y 2 2 ( 2) 1 Vậy, hai phương trình dạng chuẩn d x y x cos y sin p 2 cos ¡ cho : c Đặt p b 2x 3y y 2 p 1 x 2 SVTH: Bùi Thị Lê - 10 - K33 – Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Kim Thúy Định nghĩa Cho P mặt phẳng E Phép phản chiếu (hoặc : phép đối xứng trực giao) qua P , ký hiệu Đ P , phép đối xứng qua P , song song với phương trực giao với P Mệnh đề Với hai điểm A, B phân biệt E , tồn phép phản chiếu hoán vị A B ; phép phản chiếu qua mặt phẳng M P trung trực AB r u M' M" P' * Khảo sát tích hai phép phản chiếu E : Cho P, P ' hai mặt phẳng E Rõ ràng : 1) Nếu P // P ' : Đ P ' oĐ P T2ur , r u vectơ trực giao với P M P ' cho P ' Tur ( P) M 2) Nếu P P ' cắt theo đường thẳng d , : Đ P ' oĐ P ·,P' P Qd2 P M" , ·,P' , (góc P P' d định hướng theo hướng cảm sinh hướng chọn d ) * Phân tích phép dời hình thành tích phép phản chiếu : 1) Trường hợp phép tịnh tiến : r uur3 r r Với u E mặt phẳng P cho u P , giả sử P ' T1 r ( P ) , ta có : Tur u Đ P ' oĐ P SVTH: Bùi Thị Lê - 55 - K33 – Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Kim Thúy Như vậy, phép tịnh tiến phân tích thành tích hai phép phản chiếu (qua mặt phẳng trực giao với vectơ tịnh tiến), ta chọn hai mặt phẳng đó, mặt phẳng xác định 2) Trường hợp phép quay : Cho d trục E , ¡ Với mặt phẳng P chứa d , đặt Đ P ' oĐ P P ' Qd ( P) , ta có : Qd Như vậy, phép quay phân tích thành tích hai phép phản chiếu (qua mặt phẳng chứa (giá của) trục phép quay) ta hai mặt phẳng đó, mặt phẳng xác định 3) Trường hợp phép quay - trượt : Được suy từ 1) 2) phép quay - trượt phân tích thành tích bốn phép phản chiếu 2.3 Mặt cầu đường tròn không gian Không gian Euclide E (được định hướng), cần E trang bị r r r hệ quy chiếu trực chuẩn O; i , j , k 2.3.1 Mặt cầu E3 , R ¡ Ta gọi phận E xác định : 1) Định nghĩa Cho S ;R M E3 : M R mặt cầu có tâm bán kính R , ký hiệu S ; R Ta định nghĩa hình cầu mở B ; R hình cầu đóng B '( ; R) tâm bán kính R : B( ; R) M E : M R B '( ; R) M E3 : M R NHẬN XÉT : 1) Nếu R S ( ; R) SVTH: Bùi Thị Lê , ta nói - 56 - mặt cầu điểm K33 – Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Kim Thúy , ' E R, R ' ¡ 2) Với S ( ; R) , ta có S ( '; R ') ' R' R Như vậy, mặt cầu xác định cách tâm bán kính 3) B( ; R) S ( ; R) B '( ; R) B( ; R) S ( ; R) 2) Phương trình Descartes mặt cầu a, b, c thuộc E , R ¡ Cho Descartes : x a y b ; mặt cầu S ( ; R) có phương trình z c R2 NHẬN XÉT : Với ký hiệu : B( ; R) M ( x, y , z ) E : x a B '( ; R) M ( x, y , z ) E : x a Mệnh đề Cho x2 2 y b y b , , , ¡ Phương trình Descartes : y2 x y z z2 z c z c R2 R2 0, biểu diễn : 1) Mặt cầu tâm 2) 2 ( , , ) bán kính 2 nếu trái lại Ta ý trường hợp riêng sau : 1)Các mặt cầu có tâm O(0,0,0) : x y2 z2 R2 : x2 y2 z2 x y z 2)Các mặt cầu qua O(0,0,0) 3) Biểu diễn tham số mặt cầu Cho a, b, c E3 , R ¡ SVTH: Bùi Thị Lê Mặt cầu S ( ; R) có biểu diễn tham số : - 57 - K33 – Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Kim Thúy x a R cos cos y b R sin cos , z c R sin E3 , R ¡ Mệnh đề Cho M , * , , 2 , S ( ; R) Mặt cầu S ( ; R) có mặt phẳng tiếp xúc T M ta có : M T T M Mệnh đề Cho S mặt cầu với phương trình Descartes : x2 y2 z2 M ( x0 , y0 , z0 ) S Mặt phẳng tiếp x y z xúc M với S có phương trình Descartes : x0 x y0 y z0 z ( x0 x) ( y0 y) ( z0 z) , 0, nói thu cách tách đôi Chứng minh : Mặt cầu S có phương trình Descartes : (x )2 )2 (y )2 (z 2 có biểu diễn tham số : x y z R Với M R cos cos R sin cos , R sin , (với giả thiết , 2 , , 2 ) S , mặt phẳng tiếp xúc M với S có phương trình Descartes : R cos cos ( X R cos cos ) R sin cos (Y R sin cos ) R sin R cos cos X R sin cos Y R sin Z Z x0 R sin x0 ( y0 ( z0 x0 X ( y0 SVTH: Bùi Thị Lê )Y z0 Z - 58 - x0 y0 z0 ) y0 ) z0 0 K33 – Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Kim Thúy E3 , R ¡ Mệnh đề - Định nghĩa Cho cắt S ( ; R) hai điểm A, B * Mọi đường thẳng qua trung điểm AB Đường thẳng ( AB) (hoặc đoạn thẳng AB ) gọi đường kính mặt cầu S ( ; R) E cho A Mệnh đề Cho A, B uuur uuur M E : MA.MB B Mặt cầu đường kính AB Chứng minh : A Ta có : Gọi trung điểm đoạn AB , đặt R uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur M A M B MA.MB uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur M A M A M A M A2 M 0 A R 2.3.2 Đường tròn không gian 1) Định nghĩa Cho d đường thẳng, d, R ¡ * d Ta gọi đường R C tròn nằm mặt phẳng qua trực giao với d , có tâm bán kính R đường tròn trục d , tâm , bán kính R 2) Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Cho P mặt phẳng S ; R mặt cầu 1) Nếu d ( , P) R P 2) Nếu d ( , P) R P tiếp xúc với S P 3) Nếu d ( , P) R P S S đơn tử S đường tròn Ngược lại, đường tròn C xem theo cách, giao mặt phẳng với mặt cầu, từ suy hệ phương trình Descartes C dạng : SVTH: Bùi Thị Lê - 59 - K33 – Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Kim Thúy ax by cz d x2 y2 z2 x y z Mệnh đề Hình chiếu vuông góc đường tròn lên mặt phẳng elip Chứng minh : Bằng cách đổi hệ quy chiếu trực chuẩn, ta quy việc nghiên cứu hình chiếu vuông góc đường tròn C lên xOy , đường tròn giao mặt S : x2 y2 phẳng ( z h) P : ax c( z h) mặt cầu R2 Từ ta giả thiết c , trường hợp c ứng với hình chiếu vuông góc thu đoạn thẳng, coi elip Một điểm z h M P M mặt phẳng xOy nằm hình chiếu vuông góc C lên xOy : z ¡ : x y2 ( z h) R2 có phương trình Descartes : x Như vậy, a2 2 x c M' ax c( z h) x2 y2 y O R , y2 a ( x) c R elip 2.4 BÀI TẬP Bài a) Tính khoảng cách từ điểm A(1, 2, 3) đến mặt phẳng P qua B( 2,1,0) r r định phương v (1 6, 2) w(3, 1,1) b) Tính góc đường thẳng : SVTH: Bùi Thị Lê - 60 - K33 – Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp d : x 2y 2x y z z GVHD: Đinh Thị Kim Thúy x y z d ' : 2x 3y z Giải : a) Trước tiên ta viết phương trình P Cho M ( x, y, z ) P , tọa độ M thỏa mãn : x y z 1 x y 17 z 13 Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, ta có : d ( A, P) x 2y 2x y b) Xét đường thẳng d : r r Đặt u (1, 2,1) , v r r r w u v (1,3,5) Xét đường thẳng d ' : 17 ( 3) 13 ( 4)2 52 17 z z 59 330 (2,1, 1) Khi vectơ phương d x y z 2x 3y z r r Đặt u '(1,1,1) , v '(2,3, 1) Khi vectơ phương r r r w' u ' v ' ( 4,3,1) Gọi Vậy góc d d ' Ta có : r r w w' 3 cos r r w w' 25 16 arc cos d' 10 910 10 910 Bài Cho ABCD hình tứ diện Giả sử bốn mặt tứ diện có diện tích Chứng minh cặp cạnh đối xứng có độ dài Chứng minh : SVTH: Bùi Thị Lê - 61 - K33 – Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp Xét I ( AB) , J GVHD: Đinh Thị Kim Thúy (CD) cho ( IJ ) D J đường vuông góc chung ( AB) (CD ) Khi ta có : uuur uuur uuur uur uur uuur A AB AC AB ( AI IJ JC ) uuur uur uuur uuur I AB IJ AB JC B uuur uuur uuur uur uuur uuur AB AC AB IJ AB JC uuur uur uur uuur uuur uur (vì AB IJ trực giao với IJ AB JC cộng tuyến tính với IJ ) uuur uuur uuur uur uuur uuur Tương tự, AB AD AB IJ AB JD Từ : S ( ABC ) S ( ABD) uuur uuur AB AC 2 uuur uuur uuur AB JC AB uuur uuur CD , JD uuur AB C uuur AD uuur JD uuur uuur Giả sử CD ¡ cho CJ 1 Khi : S ( ABC ) S ( ABD) Điều chứng tỏ J trung điểm CD , tương tự I trung điểm AB uuur uur uur uuur uur uuur 2 Ta có : AC AI IJ JC AI IJ JC AI JC , uuur uur uur uuur uur uuur BD BI IJ JD BI IJ JD 2BI JD uur uuur uur uuur uuur uuur AB CD AB CD , Vì AI BI , JC JD AI JC BI JD 2 nên ta AC BD Chứng minh tương tự ta AD BC Bài Chứng minh tập hợp phép đẳng cự afin giữ phận X E bất biến toàn cục ( nghĩa f ( X ) X nhóm o ) Chứng minh : Gọi G tập hợp phép đẳng cự afin E thỏa mãn f ( X ) X Ta chứng minh G nhóm nhóm afin GAff( E ) SVTH: Bùi Thị Lê - 62 - K33 – Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp Ta có : Id E GVHD: Đinh Thị Kim Thúy G Với f , g G , ( g o f )( X ) g ( f ( X )) g ( X ) X nên ta có g o f G Với f G , ta có f song ánh f ( X ) X , nên X f ( f ( X )) f ( X ) Vậy f G Bài Chứng minh hai phép phản chiếu Đ P Đ P ' giao hoán P P ' P P' Chứng minh : r 1) Nếu P P P ' , gọi u vectơ trực giao với P thỏa mãn P ' Tur ( P) Ta có : Đ P o Đ P ' Đ P ' o Đ P 2) Nếu P PP ' , gọi d P T2ur T 2ur r r 2u 2u r r u P P ' P ' định hướng d , Ta có : Đ P o Đ P ' Đ P ' oĐ P Qd2r Qdr 2 2 P P' ( P, P ') 2 (giả thiết) x sin y cos x sin d ' : z h z h f Đ d ' oĐ d Xác định phần tử đặc trưng f Giải : Cách 1: Ta có đường vuông góc z chung d d ' zz ' , giao H điểm zz ' với d d ' H (0,0, h) H '(0,0, h) O Bài Cho ( , h) ¡ , d : d' H' x - 63 - y cos y Mặt khác d d ' nằm ngang r r (i , d ) (i , d ') SVTH: Bùi Thị Lê z' d K33 – Khoa Toán , Khóa luận tốt nghiệp nên ta có : GVHD: Đinh Thị Kim Thúy r uur (d , d ') (hướng z ' z hướng lên trên) Giả sử P mặt phẳng có phương trình : x sin y cos 0, P ' mặt phẳng có phương trình : x sin y cos Khi đó, P z 'z , P' z'z Gọi Q mặt phẳng chứa z ' z d , Q ' mặt phẳng chứa z ' z d ' Khi ta có P Q, P Q' , P' Q , P' Q' Q nên ta có Đ P o Đ Q Đ d , Vì : P Q ' nên ta có Đ P ' oĐ Q ' Đ d ' P' Đ d ' oĐ d (Đ P ' oĐ Q ' ) o ( Đ P o Đ Q ) Đ P ' o(Đ Q ' o Đ P ) o Đ Q Vì P Q ' nên Đ Q ' oĐ P giao hoán, : Đ d ' oĐ d r uur o Qz2' z ( d ,d ') T (Đ P ' oĐ P ) o ( Đ Q ' oĐ Q ) T2 uuuur HH ' r 4h k o Qz '4z Cách 2: Ta xác định công thức cho tọa độ điểm M '( x ', y ', z ') ảnh x ' x cos M ( x, y, z ) qua Đ d : y ' x sin z' z 2h y sin y cos , tọa độ điểm M "( x ", y ", z ") ảnh qua Đ d ' : x " x 'cos y" x 'sin z" z ' 2h y 'sin y 'cos x " x cos y" x sin z " z 4h, ta : f Vậy f T r 4h k y sin y cos T r 4h k oQz '4z oQz '4z Bài Cho A, B, C, D bốn điểm thuộc E không đồng phẳng Chứng minh tồn mặt cầu S qua A, B, C, D SVTH: Bùi Thị Lê - 64 - K33 – Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Kim Thúy Chứng minh : Gọi tâm R bán kính mặt cầu S Khi để mặt cầu S qua A, B, C, D điều kiện cần đủ : A B C D R Các mặt phẳng trung trực AB AC cắt theo đường thẳng Nếu mặt phẳng trung trực P AD song song với : ( AD) P nên , ( AD ) song song với ( ABC ) Như vậy, bốn điểm A, B, C, D AD đồng phẳng (mâu thuẫn với giả thiết) Vậy P cắt điểm B A D (vì P) Khi ta có A ) A C (vì hình cầu S , tâm , bán kính A qua A, B, C, D Đảo lại, hình cầu qua A, B, C, D tâm phải nằm mặt phẳng trung trực AB, AC, AD theo chứng minh tâm S bán kính A Điều chứng tỏ có mặt cầu qua A, B, C, D Bài Cho d1 : x y z , d2 : , d3 : y z x a) Hãy xác định tất đường thẳng d E cắt d1, d2 , d3 b) Xác định quỹ tích hình chiếu vuông góc H O lên d Giải : a) Nếu đường thẳng d cắt d2 d3 d2 d3 nằm mặt phẳng nằm ngang phân biệt nên d không nằm ngang Như vậy, d có hệ phương trình Descartes dạng : x az p , a, b, c, q ¡ y bz q Ta có : d d2 d d3 d d1 b q p SVTH: Bùi Thị Lê z ¡ : az p bz q - 65 - z ¡ : az (vì p ) bz q K33 – Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Kim Thúy b a a d d1 Như : d d2 d d3 q ) q b p a 0, b ap a a 0, a p 1, b a a ,q a a Vậy đường thẳng d E cắt d1, d2 , d3 : x az a(1 z ) , a ¡ \ 0;1 y a Gọi H hình chiếu vuông góc O lên d , H ( x, y, z ) Tồn z ¡ cho H (az 1, r u ( a, a a uuur r OH u a (1 z ) , z ) , mà đường thẳng d có vectơ phương a ,1) , nên ta có : a (1 z ) (1 a)2 a(az 1) a2 (a z a2 a2 z a (1 a)2 (1 a) a 1) z a(a z a 1) a2 a a Từ suy tọa độ H : x a , y a a a (a 1) , z a2 a Ta thấy x z x 2 y x y a y2 z a a z Vậy quỹ tích H bao hàm đường tròn : với giá trị a 1, a ) C (0,1,0) x2 y2 z2 , trừ điểm A(0,0,1) , B(1,0,0) (ứng Ngược lại, giả sử M ( x, y, z ) điểm SVTH: Bùi Thị Lê - 66 - khác A, B, C K33 – Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Kim Thúy Nếu x yz ( y M z )2 ( y z ) Vậy y z 0, M A C (loại) Vậy x y Khi ta có : x Đặt a (1 a) x z (1 a ) x z (1 a ) x (1 (1 a) x) Vậy, x : x a y a2 a a (a 1) z x a2 a y a2 a a x y Hơn nữa, a ¡ \ 0;1 Vậy quỹ tích hình chiếu vuông góc H : x2 z y2 z2 , trừ điểm (1,0,0) , (0,1,0) (0,0,1) SVTH: Bùi Thị Lê - 67 - K33 – Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Kim Thúy KẾT LUẬN Phần nội dung khóa luận này, em trình bày khái niệm số nét hình học afin Eclide mặt phẳng không gian ba chiều Sau trình nghiên cứu, em tìm hiểu thêm số kiến thức mới, đúc rút cho số kiến thức vấn đề nghiên cứu Em hi vọng điều em trình bày khóa luận giúp cho việc nghiên cứu vấn đề có liên quan hình học thuận lợi Do lần làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hạn chế thời gian trình độ hiểu biết nên khóa luận em không tránh khỏi thiếu sót Vì em kính mong thầy cô bạn thông cảm đống góp ý kiến để em tích lũy nhiều kinh nghiệm SVTH: Bùi Thị Lê - 68 - K33 – Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Đinh Thị Kim Thúy TÀI LIỆU THAM KHẢO Văn Như Cương, Tạ Mân, Hình học afin hình học Euclide, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội (1998) Hà Trầm, Bài tập Hình học afin hình học Euclide, NXB Đại học Sư phạm Sách giáo khoa Hình học lớp 11, Nhà xuất Giáo dục Jean-Marie Monier, Giáo trình toán-Tập 7, phần Hình học, Nhà xuất Giáo dục SVTH: Bùi Thị Lê - 69 - K33 – Khoa Toán [...]... đẳng cự afin của E 2 1.2.2 Phép dời hình và phép phản chiếu Định nghĩa 2 Cho f là một phép đẳng cự của E 2 1) Ta nói rằng f là một phép đẳng cự afin thuận (hay phép dời hình) khi và r chỉ khi det( f ) 1 2) Ta nói rằng f là một phép đẳng cự afin nghịch (hay phép phản dời hình) r 1 khi và chỉ khi det( f ) Mệnh đề 3 Tập hợp các phép dời hình của E 2 là một nhóm con của nhóm các phép đẳng cự afin của... một phép dời hình 2) Nếu f , g là những phép dời hình, thì g o f là một phép đẳng cự afin và : uuuuur ur ur ur ur det g o f det g o f det g det f 1.1 1 2 Vậy g o f là một phép dời hình 3) Nếu f là một phép dời hình thì f 1 là một phép đẳng cự afin và : uuur ur 1 ur 1 det f 1 det f det f 1 1 1 Vậy f 1 là một phép dời hình Định nghĩa 3 Cho A E 2 , ¡ Ta gọi phép đẳng cự afin giữ A bất động và có bộ phận... 7 Cho C là một đường tròn, là tâm của nó, A và B là hai điểm phân biệt của C , T là tiếp tuyến với C tại B Ta có : uuur uuur A, B 2 ( AB), T 2 T A B Chứng minh : Vì tam giác AB cân tại và vì ( B ) trực giao với T , ta có : uuur uuur uuur uuur A, B 2 AB, B uuur uuur 2 AB, B 2 2 AB , T 2 1.5 Đường cônic trong mặt phẳng afin Euclide Khi cần mặt phẳng afin Euclide (định hướng) E 2 được trang bị một hệ... Ta có x y cos sin và x cos x 2 Ví dụ Cho điểm M (0;2) , khi đó và ta có : cos 0 0 4 0 , sin y 2 y ,sin x 02 OM 2 1, vậy 0 4 Do đó M (0;2) có hai tọa độ cực là : 2 ,2 và 2 22 2 y 2 r· uuuur i , OM , 2 và 3 , 2 2 1.2 Các phép đẳng cự afin của mặt phẳng 1.2.1 Khái niệm phép đẳng cự afin Định nghĩa 1 Phép đẳng cự afin của E 2 là mọi ánh xạ afin f : E 2 toàn khoảng cách, tức là sao cho : A, B E 2 : d (... A B và A C Đặt S S ( f ( A), f ( B), f (C )) , ta có : uuuuuuuuuuuu r uuuuuuuuuuuur 1 uuuuuuuuuuuur uuuuuuuuuuuur · S f A f B f A f C sin f A f B , f A f C 2 uuur uuur 1 2 uuur uuur k AB AC sin AB, AC 2 k 2 S ABC Ta công nhận rằng tính chất trên có thể mở rộng cho một bộ phận bất kỳ của E 2 (trong đó có thể xác định khái niệm diện tích) 1.4 Đường tròn trong mặt phẳng Khi cần, mặt phẳng afin Euclide. .. Giả sử Cho M độ của M trong Điểm M có r· uuuur thể được định vị bởi góc i , OM , M y O xác định mođun 2 , được ký hiệu là và được gọi là góc cực của M và số thực dương OM , được ký hiệu là x x (hoặc ) và được gọi là bán kính cực của M Ta cũng có thể định vị M bởi hai tọa độ cực : , Một điểm M và , , trong đó x2 y2 và O như vậy có được xác định và mođun 2 Ta có x y cos sin và x cos x 2 Ví dụ Cho... ' Mệnh đề 4 Với hai điểm phân biệt A, B thuộc E 2 , tồn tại một và chỉ một phép phản chiếu đổi chỗ A và B ; đó là phép phản chiếu qua đường trung trực của AB * Tích của hai phép phản chiếu trong mặt phẳng Cho d , d ' là hai đường thẳng trong E 2 r u 1) Nếu d // d ' thì : d Đ o Đ d = T 2ur , r d' trong đó u là vectơ trực giao với d và d ' thỏa mãn d ' = T ur ( d ) M M' SVTH: Bùi Thị Lê - 14 - d'... minh : Giả sử C là một đường tròn, là một đường thẳng, ¡ * , f là một phép co trực giao với trục và tỷ số Gọi và R là tâm và bán kính của C và xét trong hệ quy chiếu trực chuẩn r r M O; i , j , trong đó O là hình chiếu C r f (C ) f (M ) vuông góc của lên , i là một vectơ r r chuẩn hóa định hướng , j Rot i 2 Trong , có tọa độ 0, 2 Cho M x, y Ta có M C ,f M x2 X X O y R2 2 Y Vậy f (C ) là một elip, tâm... u k u và k 1, ta suy ra : u 0, u 0 uur r uur Điều này chứng tỏ Id E f là đơn ánh, vậy nó là song ánh, vì E 2 là không 2 2 2 2 gian vectơ có số chiều hữu hạn (bằng 2) SVTH: Bùi Thị Lê - 17 - K33 – Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp r Vậy tồn tại u biến qua f GVHD: Đinh Thị Kim Thúy uur E 2 sao cho : và tồn tại uuur E 2 sao cho O r u , và 1 3) Theo chứng minh trên thì V k o f là một phép đẳng cự afin nhận... bất là 1 từ đó : f V k oQ Q oV k (do Q và V k giao hoán với nhau) Như vậy, các phép đồng dạng thuận trong mặt phẳng gồm : a các phép tịnh tiến b các phép quay c tích của một phép vị tự và một phép quay cùng tâm Mệnh đề 3 Các phép đồng dạng thuận bảo toàn các góc định hướng, tức là, với mọi phép đồng dạng thuận f và với mọi điểm A, B, C thuộc E 2 , sao cho A B và A C , ta có : uuuuuuuuuuuur uuuuuuuuuuuur ... mong muốn nghiên cứu sâu hình học tìm hiểu sâu sắc hình học afin Euclide mặt phẳng không gian ba chiều, em chọn đề tài Hình học afin Euclide mặt phẳng không gian ba chiều làm khóa luận tốt... gian, em nghiên cứu số phần hình học afin Euclide mặt phẳng không gian ba chiều Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày số lý thuyết hình học afin Euclide mặt phẳng không gian ba chiều SVTH: Bùi Thị Lê -4-... sâu hình học afin Euclide mặt phẳng không gian ba chiều Đi sâu nghiên cứu khoảng cách, góc, phép đẳng cự, phép đồng dạng, đường tròn mặt phẳng không gian ba chiều, đường cônic mặt phẳng, mặt