Hình học afin euclide trong mặt phẳng và không gian ba chiều

Với mong muốn được nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểu sâu sắc hơn nữa về hình học afin Euclide trong mặt phẳng và không gian ba chiều, em đã chọn đề tài “Hình học afin Euclide tr

Trang 1

SVTH: Bùi Thị Lê - 1 - K33 – Khoa Toán

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận này, trước tiên em xin gửi lời cảm ơn chân

thành đến cô Đinh Thị Kim Thúy – Giảng viên trường Đại học Sư phạm Hà

Nội 2 Cô đã tận tình hướng dẫn em trong quá trình thực hiện và hoàn thành

tốt khóa luận này

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo công tác trong tổ Hình học

và các thầy cô trong khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện để em hoàn thành đề tài này

Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Hơn nữa

do thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô

và các bạn sinh viên để đề tài của em được hoàn thiện hơn và có nhiều ứng dụng trong thực tế Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 12 tháng 05 năm 2011

Bùi Thị Lê

Trang 2

LỜI CAM ĐOAN

Đề tài của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của cô giáo Đinh Thị Kim Thúy Trong quá trình nghiên cứu em có tham khảo tài liệu của một

số tác giả đã nêu trong mục tài liệu tham khảo

Em xin cam đoan kết quả trong đề tài nghiên cứu là kết quả của bản thân và không trùng khớp với kết quả của các tác giả khác

Hà Nội, ngày 12 tháng 05 năm 2011

Bùi Thị Lê

Trang 3

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 04

NỘI DUNG 06

Chương 1 Hình học Euclide trong mặt phẳng 06

1.1 Khoảng cách và góc 06

1.2 Các phép đẳng cự afin của mặt phẳng 11

1.3 Phép đồng dạng thuận của mặt phẳng 15

1.4 Đường tròn trong mặt phẳng 19

1.5 Đường cônic trong mặt phẳng afin Euclide 24

1.6 Bài tập 34

Chương 2 Hình học Euclide trong mặt phẳng và không gian ba chiều 44

2.1 Khoảng cách và góc 44

2.2 Các phép đẳng cự afin của E3 51

2.3 Mặt cầu và đường tròn trong không gian 56

2.4 Bài tập 60

KẾT LUẬN 68

TÀI LIỆU THAM KHẢO 69

Trang 4

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học có vai trò quan trọng trong đời sống thực tiễn cũng như trong nghiên cứu khoa học Toán học là cơ sở, là nền tảng để nghiên cứu các môn khoa học khác Trong quá trình học tập, em được nghiên cứu về chuyên ngành hình học, một bộ phận quan trọng và tương đối khó trong chương trình toán phổ thông

Với mong muốn được nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểu sâu sắc hơn nữa về hình học afin Euclide trong mặt phẳng và không gian ba

chiều, em đã chọn đề tài “Hình học afin Euclide trong mặt phẳng và không gian ba chiều” làm khóa luận tốt nghiệp

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu : Nghiên cứu kiến thức cơ bản về hình học afin Euclide trong mặt phẳng và không gian ba chiều

+ Phạm vi nghiên cứu : Do điều kiện và thời gian, em chỉ nghiên cứu một số phần cơ bản về hình học afin Euclide trong mặt phẳng và không gian

ba chiều

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày một số lý thuyết cơ bản về hình học afin Euclide trong mặt phẳng và không gian ba chiều

Trang 5

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo và các tài liệu có liên quan đến nội dung nghiên cứu

Trang 6

và là một tích vô hướng trên phương E2

uur của E2,là mặt phẳng afin Euclide

Ta thường ký hiệu E2 thay cho (E2, )

Hệ quy chiếu trực chuẩn của là E2 mọi bộ ba { O ; ir,rj } trong đó O 2

E , và

{ ir,rj} là một cơ sơ trực chuẩn của E2

Nếu E2

uur

được định hướng , ta cũng nói E2 được định hướng , hướng của một

hệ quy chiếu Descartes {O ; ir,rj} của E2 chính là hướng của cơ sở của E2

Cho một mặt phẳng Euclide (định hướng) E2, mặt phẳng vectơ E2

bảo toàn tích vô hướng

Trong thực hành, ta có thể thay E2 bởi ¡ 2 được trang bị tích vô hướng thông thường

Định nghĩa 2 Với M M thuộc , ' E2, khoảng cách giữa M và M ', ký hiệu là

( , ')

d M M hoặc MM ', là số thực :

d M M MM MMuuuuur Nếu trong một hệ quy chiếu trực chuẩn có M x y( , ) và M x y'( ', '), thì :

Trang 7

2) d A B( , ) 0 A B

3) d A B( , ) d A C( , ) d B C( , ) (bất đẳng thức tam giác)

4) d A( C B, C) d A B( , )

5) d( A, B) d A B ( , )

Định nghĩa 3 Cho d và ' d là hai đường thẳng afin của E2, ur, 'ur lần lượt là

vectơ chỉ phương của d và ' d Góc giữa d và d , ký hiệu là (' d d· , ') hoặc ( , 'd d ), là số thực được xác định mođun bởi :

Định nghĩa 5 Hai đường thẳng afin d , ' d của E2 được gọi là trực giao, ký hiệu d d , khi và chỉ khi ' dr duur', nghĩa là (d d· , ') =

2 [ ]

Định nghĩa 6 Cho d là một đường thẳng và ' dr là một phương đường thẳng

sao cho dr dr' Một phép chiếu lên d , song song với ' dr ; một phép đối xứng

qua d , song song với dr'; một phép co afin trục d , phương dr' được gọi là

trực giao khi và chỉ khi dr dr'

1.1.2 Các phép tính trong một hệ quy chiếu trực chuẩn

Cho E2 là một mặt phẳng afin Euclide (được định hướng) O i j; ,r r là một hệ quy chiếu trực chuẩn của E2 Các điểm của E2 được xác định bởi toa

Trang 8

độ của chúng trong và các đường thẳng afin của 2

E cũng được xác định bởi các phương trình Descartes của chúng trong

1) Vectơ trực giao với một đường thẳng

Với mọi ( , , )a b c thuộc ¡ 3 sao cho ( , )a b (0,0), ur a b là một vectơ ,

trực giao với đường thẳng d có phương trình : ax by c 0

2) Hình chiếu vuông góc của một điểm trên một đường thẳng

Cho đường thẳng d có phương trình : ax by c 0 là một đường thẳng afin và M x y là một điểm thuộc 0( ,0 0) E2

Ta ký hiệu H X Y( , ) là hình chiếu vuông góc của M trên 0 d Ta có :

Trang 9

Mệnh đề Cho đường thẳng có phương trình : ax by c 0 và

4) Phương trình chuẩn của đường thẳng trên E2

Cho d : ax by c 0 là một đường thẳng của E2

Vì a2 b2 0 nên phương trình của d có thể viết dưới dạng:

, thì d có phương trình là xcos ysin p gọi là phương trình dạng chuẩn của d

Trang 10

Vì ur cos ,sin trực giao với d nên ur cũng trực giao với d , do đó d có

đúng hai phương trình dạng chuẩn :

cos sin

Ta cũng có thể coi hai phương trình dạng chuẩn trên là một

Gọi H X Y( , ) là hình chiếu vuông góc

của điểm O trên d , khi đó tồn tại ¡

sao cho OHuuur ur Từ đó: cos

23sin

Vậy, hai phương trình dạng chuẩn của d là

Trang 11

Vậy d có phương trình dạng chuẩn là 2x 3y 2

5) Tọa độ cực

Giả sử { O ; ir,rj} là một hệ quy chiếu trực chuẩn của 2

E Cho M 2

E \ { O } ; ( , )x y là tọa

độ của M trong Điểm M có

thể được định vị bởi góc ·,i OMr uuuur ,

xác định mođun 2 , được ký hiệu

là và được gọi là góc cực của M

y

y M

O x x

và số thực dương OM, được ký hiệu là (hoặc ) và được gọi là bán kính cực

của M

Ta cũng có thể định vị M bởi và Một điểm M O như vậy có

hai tọa độ cực : , và , , trong đó và được xác định

1.2 Các phép đẳng cự afin của mặt phẳng

1.2.1 Khái niệm phép đẳng cự afin

Định nghĩa 1 Phép đẳng cự afin của E2 là mọi ánh xạ afin f E: 2 E2 bảo

toàn khoảng cách, tức là sao cho : A B, E : 2 d f A f B( ( ), ( )) d A B( , )

Trang 12

Mệnh đề 1 Cho f E: 2 E2 là một ánh xạ afin Để f là một phép đẳng cự afin, điều kiện cần và đủ là fr là một phép đẳng cự vectơ của E2

d A B, uuurAB ur ,

vậy fr là một phép đẳng cự vectơ của E2

uur 2) Ngược lại, nếu fr là một phép đẳng cự vectơ của E2

uur thì với mọi ,A B

Vậy g o f là một phép đẳng cự afin của E2

4) Nếu f là một phép đẳng cự afin của E2, thì f là song ánh, f 1 có tính afin và với mọi A B, thuộc E2 :

Trang 13

d f 1 A , f 1 B d f f 1 A , f f 1 B d A B ,

Vậy f 1 là một phép đẳng cự afin của E2

1.2.2 Phép dời hình và phép phản chiếu

Định nghĩa 2 Cho f là một phép đẳng cự của E2

1) Ta nói rằng f là một phép đẳng cự afin thuận (hay phép dời hình) khi và chỉ khi det( )fr 1

2) Ta nói rằng f là một phép đẳng cự afin nghịch (hay phép phản dời hình) khi và chỉ khi det( )fr 1

Mệnh đề 3 Tập hợp các phép dời hình của 2

E là một nhóm con của nhóm các phép đẳng cự afin của E2

3) Nếu f là một phép dời hình thì f 1 là một phép đẳng cự afin và :

det f 1 det f 1 det f 1 1 1 1

Vậy f 1 là một phép dời hình

Định nghĩa 3 Cho 2

A E , ¡ Ta gọi phép đẳng cự afin giữ A bất động

và có bộ phận tuyến tính Rot (hay ánh xạ tuyến tính liên kết với nó), là phép

quay tâm A với góc quay , ký hiệu là Q A Vậy với mọi điểm M M thuộc , '

2

E , ta có :

M Q M uuuurAM Rot uuuurAM

Định lý (Phân loại các phép dời hình của 2

Trang 14

Ngược lại, giả sử f là một phép dời hình của E2 Khi đó, urf là một phép đẳng cự vectơ thuận của E2, nên tồn tại ¡ sao cho urf Rot

Vậy ta giả thiết 0 2

Xét trong một hệ quy chiếu trực chuẩn O i j; ,r r của E2 Tồn tại

, nên f là phép quay tâm A với góc quay

Định nghĩa 4 Cho d là một đường thẳng của 2

E Phép phản chiếu (hoặc phép đối xứng trực giao) qua d , ký hiệu là Đ d, là phép đối xứng qua d , song

song với phương trực giao với d '

Mệnh đề 4 Với hai điểm phân biệt ,A B thuộc E2, tồn tại một và chỉ một phép phản chiếu đổi chỗ A và B; đó là phép phản chiếu qua đường trung trực của AB

* Tích của hai phép phản chiếu trong mặt phẳng

Cho d , ' d là hai đường thẳng trong E2

Trang 15

2) Nếu d cắt ' d tại điểm A, thì : M

Đd'oĐd = Q A2 , M' trong đó d d · , '

M''

* Phân tích một phép dời hình thành tích hai phép phản chiếu

1) Trường hợp phép dời hình là phép tịnh tiến :

Với mọi ur thuộc E2

Như vậy, mọi phép tịnh tiến phân tích được thành tích của hai phép phản

chiếu (qua hai đường thẳng trực giao với vectơ của phép tịnh tiến), và ta có

thể chọn một trong hai đường thẳng đó, khi đó việc phân tích là duy nhất

2) Trường hợp phép dời hình là phép quay :

Cho A E2, ¡ Với mọi đường thẳng d đi qua A, nếu ký hiệu

'

d

2

Rot ( d ), thì ta có : Q A = Đd'oĐd

Như vậy, mọi phép quay phân tích được thành tích của hai phép phản

chiếu (qua hai đường thẳng đi qua tâm của phép quay) và ta có thể chọn một

trong hai đường thẳng đó, khi đó việc phân tích là duy nhất

1) Số thực k ở trên là duy nhất và được gọi là tỷ số của phép đồng dạng f

2) Mọi phép đẳng cự afin của E2 là một phép đồng dạng (lấy k 1)

Trang 16

3) Mọi phép vị tự với tỷ số k 0 là một phép đồng dạng với tỷ số k

4) Một ánh xạ afin f E: 2 E2 là một phép đồng dạng khi và chỉ khi tồn tại

3) Cho f , f ' là hai phép đồng dạng của E2 với các tỷ số tương ứng là , 'k k

Vậy f 'of là ánh xạ afin và với mọi ,A B thuộc E2 :

d f of A f of B k d f A f B kk d A B ,

nên f 'of là một phép đồng dạng của E2, với tỷ số kk '

4) Cho f là một phép đồng dạng với tỷ số k Vậy, khi đó tồn tại f 1, là một ánh xạ afin và là song ánh, và với mọi A B thuộc , E2 :

Định nghĩa 2 Cho f là một phép đồng dạng của mặt phẳng Ta nói rằng f

là một phép đồng dạng thuận (tương ứng : nghịch) khi và chỉ khi det fr > 0 (tương ứng : det fr < 0)

Trang 17

Mệnh đề 2 Các phép đồng dạng thuận của 2

E làm thành một nhóm con của nhóm các phép đồng dạng của E2

Định lý Cho f là một phép đồng dạng thuận của mặt phẳng, k là tỷ số của

Trang 18

Vậy tồn tại u E2

uurr

sao cho : và tồn tại E2 sao cho Ouuur ur, và bất biến qua f

3) Theo chứng minh trên thì V k1 o là một phép đẳng cự afin nhận f là điểm bất động, vậy tồn tại ¡ (duy nhất mođun 2 ) sao cho :

1

k

V of Q ,

từ đó : f V k oQ Q oV k (do Q và V k giao hoán với nhau)

Như vậy, các phép đồng dạng thuận trong mặt phẳng gồm :

a các phép tịnh tiến

b các phép quay

c tích của một phép vị tự và một phép quay cùng tâm

Mệnh đề 3 Các phép đồng dạng thuận bảo toàn các góc định hướng, tức là,

với mọi phép đồng dạng thuận f và với mọi điểm , ,A B C thuộc E2, sao cho

Trang 19

Sau đây ta sẽ chứng minh cho trường hợp tam giác

Ký hiệu S( ) là diện tích một tam giác, với mọi , ,A B C E2 sao cho A B

và A C Đặt S S f A f B( ( ), ( ), ( ))f C , ta có :

·1

k S ABC

uuur uuur uuur uuur

Ta công nhận rằng tính chất trên có thể mở rộng cho một bộ phận bất kỳ của

2

E (trong đó có thể xác định khái niệm diện tích)

1.4 Đường tròn trong mặt phẳng

Khi cần, mặt phẳng afin Euclide (đã định hướng) E2 được trang bị một

hệ quy chiếu trực chuẩn O i j; ,r r

1.4.1 Định nghĩa Cho E R2, ¡ Ta gọi bộ phận của E2 được xác

định bởi :

C ;R M E2: M R

là đường tròn tâm và bán kính R, và ký hiệu là C ;R

Trang 20

Ta cũng định nghĩa đĩa mở B ;R và B'( ; )R đĩa đóng tâm , bán kính

5) Biểu diễn trong mặt phẳng phức : Nếu có tọa vị ( C) và nếu

R ¡ , thì C ;R là tập hợp các điểm M z( ) sao cho z R

1.4.2 Phương trình Descartes của một đường tròn

Cho ( , )a b E R2, ¡ ; đường tròn C ;R có phương trình

ii) nếu trái lại

Ta có thể lưu ý những trường hợp riêng sau :

Trang 21

1) Các đường tròn có tâm tại O : x2 y2 R2

2) Các đường tròn có tâm trên 'x x : x2 y2 2 x 0 (với 2 0) 3) Các đường tròn có tâm trên y y' : x2 y2 2 y 0 (với 2 0 )

4) Các đường tròn đi qua O : x2 y2 2 x 2 y 0

1.4.3 Biểu diễn tham số một đường tròn

2

1121

u

u u

một tiếp tuyến T và T được định hướng

bởi vr, trong đó : sin

cos

dM v

dt

uuurr

M

T

Trang 22

Vì uuuur rM v Rcost Rsint Rsint Rcost 0,

Người ta nói rằng phương trình Descartes của tiếp tuyến thu được bằng cách

tách đôi : trong phương trình Descartes của C thay x bởi 2 x x , 0 y2 bởi y y , 0

tuyến tại M với 0 C có phương trình Descartes :

cost0 X x0 sint Y0 y0 0,

Rcost0 X Rsint Y0 x0 x0 y0 y0 0,

x0 a X y0 b Y x0 y0 0

1.4.4 Vị trí tương đối của một đường thẳng và một đường tròn

Cho là một đường thẳng và C C ;R là một đường tròn

1) Nếu d( , ) R thì C

2) Nếu d( , ) R thì tiếp xúc với đường tròn C và C là một đơn tử

3) Nếu d( , ) R thì C gồm hai điểm phân biệt

Trang 23

Mệnh đề 4 - Định nghĩa Cho E R2, ¡ * Mọi đường thẳng đi qua

, cắt đường tròn C ;R tại đúng hai điểm , A B và là trung điểm của

AB Đường thẳng (AB) (hay đoạn thẳng AB ) được gọi là một đường kính

Ký hiệu là trung điểm của AB và R A

Ta có : MAMBuuur uuur 0

lần góc nội tiếp tương ứng

M

A B

Chứng minh :

Ta sử dụng hệ thức Chasles đối với góc và có các tam giác AM và BM

đều cân tại , ta có :

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

MA Muuur uuuur, MA MBuuur uuur, uuuur uuurM ,MB 2 MA MBuuur uuur, 2

Trang 24

Mệnh đề 7 Cho C là một đường

tròn, là tâm của nó, A và B là

hai điểm phân biệt của C , T là

tiếp tuyến với C tại B Ta có :

T

Vì tam giác ABcân tại và vì (B ) trực giao với T, ta có :

uuur uuurA, B 2 uuur uuurAB B,

1.5 Đường cônic trong mặt phẳng afin Euclide

Khi cần mặt phẳng afin Euclide (định hướng) E2 được trang bị một hệ

quy chiếu trực chuẩn O i j; ,r r

1.5.1 Định nghĩa đơn tiêu các đường cônic

Định nghĩa 1 Cho 2

F E , là một đường thẳng của E2 sao cho

F ,e ¡ * Đường cônic với tiêu điểm F, đường chuẩn liên kết , tâm

sai e , là bộ phận C của E2 xác định bởi :

Một phương trình Descartes của C

Ta ký hiệu d d F, , I là hình chiếu vuông góccủa F lên , và xét trong

hệ quy chiếu trực chuẩn I i j; ,r r , trong đó i 1 IF

d

uurr

Trang 25

Cho M x y( , ) E2, khi đó ta có H 0,y , suy ra : y

2) Các cônic suy biến, đó là , một đơn tử, hợp của hai đường thẳng

3) Đường parabol (không suy biến) không có tâm đối xứng Nếu e 1, thì C

là parabol có phương trình y2 2dx d2 0,hoặc

Trang 26

Một biểu diễn tham số của C là :

2

x p y

, ¡

Rõ ràng C chỉ có một tiêu điểm và một đường chuẩn

4)Giả thiết e 1 Khi đó một phương trình Descartes sẽ là :

e Trong hệ quy chiếu trực chuẩn O i j; ,

r r một phương trình Descartes sẽ là :

Vậy một elip hoặc một hypebol có một tâm : đó là những cônic có tâm

Nếu ta ký hiệu F' ( tương ứng : ') là đối xứng của F ( tương ứng : ) qua

O thì C cũng là một cônic có tiêu điểm F', đường chuẩn liên kết ', tâm sai

e Rõ ràng, C chỉ có hai tiêu điểm và hai đường chuẩn

Trang 27

Gọi O là trung điểm của FF', c OF ,

như vậy trong

hệ quy chiếu trực chuẩn O i j; ,r r : F c( , 0);F'( c, 0) Ta ký hiệu C là tập

hợp được xét

1)Trước tiên ta chú ý rằng, theo bất đẳng thức tam giác FF' MF MF' và

theo việc xét trường hợp đẳng thức trong bất đẳng thức tam giác ấy rằng, nếu

Trang 28

(0 e 1) và

2 2

c

2) Trước tiên ta chú ý, theo bất đẳng thức tam giác đảo MF MF' FF và 'việc xét trường hợp đẳng thức, rằng, nếu a c thì C , và nếu a c, thì

C FF FF F F , là hợp của hai nửa đường thẳng đóng

Bây giờ, ta giả thiết a c Cũng theo cách như ở 1), ta được :

c

Trang 29

Giả sử C là một đường tròn, là một đường thẳng, ¡ , * f là một phép

co trực giao với trục và tỷ số Gọi và R là tâm và bán kính của C và

xét trong hệ quy chiếu trực chuẩn

; ,

O i jr r , trong đó O là hình chiếu

vuông góc của lên , ir là một vectơ

chuẩn hóa định hướng ,

C

f C( ) f M( )

Vậy f C( ) là một elip, tâm (0, ) (ảnh của qua f ), các bán trục R và

R

Trang 30

y b t , t ¡

NHẬN XÉT :

1) Trong biểu diễn tham số này, t

không biểu thị góc cực của điểm chạy

M của C , mà là góc cực của điểm M '

của , từ đó M được suy ra trong

phép co; t được gọi là độ lệch của tâm

M

2) Dựng tiếp tuyến với elip tại một

điểm Phép co trên đây biến tiếp tuyến

O x

( )t với tại M ' thành tiếp tuyến ( )T với C tại M

Nếu M x x' y y' , thì giao điểm của ( )t và x x là bất biến qua phép co, 'vậy nó sẽ nằm trên ( )T

Như thế , ( )T là đường thẳng nối M với giao điểm của ( )t và x x'

Mệnh đề 4 (Biểu diễn tham số của đường hypebol)

x a cht

y b sht ,

Trang 31

,t 1;1 ¡ , và cả biểu diễn tham số :

12

a

u b

a b là vuông khi và chỉ khi a b ,

điều này tương đương với

Mệnh đề 6 (Hypebol quy về các đường tiệm cận)

Trong hệ quy chiếu Descartes (không nhất thiết trực chuẩn) tạo nên bởi hai đường tiệm cận của đường hypebol, một phương trình Descartes của hypebol có dạng : xy k k, ¡ *

Chứng minh :

Trang 32

Cho C là hypebol có phương trình thu gọn :

a

b a

1.5.3 Đường cong có phương trình x2 y2 2 x 2 y 0

Cho ( , , , , ) ¡ 5 và C là bộ phận của E2 có phương trình Descartes : x2 y2 2 x 2 y 0 (1)

Xét O' , và O i j; ,r r Với M E2, ta ký hiệu ( ', ')x y là tọa

độ của M trong hệ quy chiếu trực chuẩn

Trang 33

2 2

b) Nếu 0 thì C là nếu 2 0 , là hợp của hai đường thẳng song song phân biệt nếu 2 0 , và là một đường thẳng nếu 2 0

Trường hợp 3 : 0, 0

Trang 34

Tương tự như trường hợp 2 khi hoán vị vai trò của các tọa độ

Bài 1 Cho tam giác ABC là một tam giác không bẹt Ta ký hiệu a BC ,

b CA, c AB , µ ·CAB ], [ , µ ·B ABC, Cµ ·BCA, 1

2

p a b c là nửa chu vi, S là diện tích tam giác ABC

a) Tính cạnh c theo a b ,

b) Từ đó suy ra công thức Héron : S p p( a p b p)( )( c )

sinsin sin

C

Giải:

a) Ta có : c uuurAB c2 uuurAB 2 uuurAB2

c2 CB CAuuur uuur 2 CBuuur2 2CB CA CAuuur uuur uuur2

Định dạng
Số trang	69
Dung lượng	2,91 MB