Tập lồi trong mặt phẳng euclide (e2) và một số bài toán của hình học tổ hợp

Những tính chất quan trọng của tập hợp lồi sẽ là công cụ hữu ích giúp chúng ta trong việc giải một lớp các bài toán đặc sắc của hình học tổ hợp.. Ngoài ra định lý Kelli về sự giao nhau k

Trang 1

Doãn Thị Phượng 1 K33A- Khoa Toán

rõ nét và rất cần thiết mà ít người nghiên cứu đó là việc đưa giải tích lồi vào trong hình học, đặc biệt là hình học tổ hợp Những tính chất quan trọng của tập hợp lồi sẽ là công cụ hữu ích giúp chúng ta trong việc giải một lớp các bài toán đặc sắc của hình học tổ hợp Ngoài ra định lý Kelli về sự giao nhau khác rỗng của một họ các tập hợp lồi và phép lấy bao lồi của một hình phẳng cũng

là một phương tiện quan trọng và cần thiết trong việc đưa ra lời giải cho rất nhiều bài toán của hình học tổ hợp

Xuất phát từ lý do trên, tôi quyết định chọn và tiến hành đề tài: “Tập lồi trong mặt phẳng Euclide ( E2) và một số bài toán của hình học tổ hợp ”

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích

Xây dựng hệ thống cơ sở lí luận khi giải các bài toán của hình học tổ hợp dựa vào khái niệm tập lồi và những tính chất của nó Đồng thời có được cách vận dụng định lí Kelli vào một số bài toán liên quan đến sự giao nhau khác rỗng của một họ các tập hợp lồi và phép lấy bao lồi của một hình phẳng trong mặt phẳng Euclide (E2)

Trang 2

2.2 Nhiệm vụ

Nêu đĩnh nghĩa tập hợp lồi Khái quát được những tính chất của tâp hợp lồi trong không gian E2

Đưa ra định lí Kelli và một số bài toán vận dụng

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Tập hợp lồi và những tính chất của nó trong mặt phẳng E2

Định lí Kelli và ứng dụng của định lí trong một số bài toán của hình học

tổ hợp

4 Ý nghĩa khoa học, thực tiễn

Kết quả nghiên cứu góp phần bổ sung nguồn tài liệu cho những phương pháp giải toán hình học tổ hợp dựa vào tập hợp lồi nói chung, các tính chất của hợp lồi và định lí Kelli nói riêng Trên cơ sở đó vận dụng đẻ giải các bài toán về sự giao nhau khác rỗng của một họ tập hợp lồi và phép lấy bao lồi của một hình phẳng trong mặt phẳng Euclide

Trang 3

Tập hợp D gọi là tập hợp lồi nếu như với mọi phần tử a thuộc tập hợp

D và b thuộc tập hợp D, với mọi số λ ( 0 ≤ λ ≤ 1) thì phần tử λa + (1- λ)b cũng thuộc tập hợp D

* Chú ý:

Tập hợp { λa + (1- λ)b : 0 ≤ λ ≤ 1} là đoạn thẳng nối 2 phần tử a và b

Vì vậy về mặt hình học ta hiểu: D là tập hợp lồi nếu như mọi điểm A và B đều thuộc D thì toàn bộ đoạn thẳng AB cũng thuộc D

1.1.2 Ví dụ

Trong E2 các đa giác lồi, hình tròn là những tập hợp lồi

Trang 4

1.2 Một số tính chất

1.2.1 Tính chất 1

i, Giao hữu hạn các tập hợp lồi là một tập hợp lồi

ii, Hợp các tập hợp lồi chưa chắc đã là tập hợp lồi

Chứng minh:

Giả sử ta có Ai (i= 1, n) là các tập hợp lồi

Ta phải chứng minh

n i i=1

*Giả sử đúng n= k, ta phải chứng minh đúng với n = k+1

Do điều giả sử nên ta có:

k i i=1

A

I là tập hợp lồi

và Ak+1 là tập hợp lồi

Trang 5

Lại có tính chất đúng với n= 2 nên

k i i=1

A

I là tập hợp lồi

Vậy tính chất đúng với n = k+1

ii) Hợp các tập hợp lồi chưa chắc là tập hợp lồi

Xem hình minh họa ở bên A và B

đều là tập hợp lồi nhưng A B không

Chứng minh:

* Khi n= 1, tính chất hiển nhiên đúng

* Khi n= 2, ta đặt:

A= A1 + A2 = { a: a= a1+ a2 với a1 A1, a2 A2} Lấy a1, a2 tùy ý thuộc A và số thực λ thỏa mãn: 0 ≤ λ ≤ 1

Trang 6

λa + 1-λ a1 2 1 1 2 2

λ a +a + 1-λ a +a = [ a11 + (1- ) a12 ] + [ a12 + (1- ) a22] (1)

* Giả sử đúng với n= k, ta chứng minh tính chất đúng với n= k+1

Do giả thiết đúng với n= k ta có: A= A1 + A2 + +Ak là tập hợp lồi Lại theo trường hợp n= 2 cũng đúng nên ta có:

Trang 7

Giả sử (x1; y1) và (x2; y2) là hai phần tử tùy ý thuộc D, λ là số thực tùy

ý thuộc D sao cho: 0 ≤ λ ≤ 1

D = { (x;y): (x- x0)2 + (y- y0)2 ≤ R2, R là số dương cho trước

Khi đó D là tập hợp lồi

Trang 8

λ (x1; y1) +(1- λ) (x2; y2)= [ λx1 + (1- λ)x2; λy1 + (1- λ)y2]

Ta có

[ λx1 + (1- λ)x2 – x0]2 + [ λy1 + (1- λ)y2 – y0]

= [ λ( x1 – x0 ) + (1- λ)( x2 – x0 )]2 +[λ(y1 – y0) + (1 – λ)(y2 – y0)]2 = λ2 [( x1 – x0 )2 + ( y1 – y0 )2 ] + (1- λ)2 [( x2 – x0 )2 + ( y2– y0 )2] + 2λ (1- λ)[ ( x1 – x0 ) ( x2 – x0 ) + ( y1 – y0 ) ( y2 – y0 )] (2)

Trang 9

Trong mặt phẳng E2, cho tập hợp D D là tập hợp lồi khi và chỉ khi mọi

số nguyên dương n, x1, , x2 D; λi 0, i=1,n và

n i i=1

λ =1 thì:

n

i i i=1

Vậy theo định nghĩa thì D là tập hợp lồi

( ) Giả sử D là tập hợp lồi Ta phải chứng minh D thỏa mãn tính chất đã cho

Ta chứng minh bằng quy nạp

* Với n = 1, kết luận hiển nhiên đúng

* Với n = 2, kết luận đúng vì đó là định nghĩa tập hợp lồi

* Với n = k, giả sử kết luận đúng, tức là:

x1,x2, , xk D, λi 0, i=1,k và

1

k i i

thì

k

i i i=1

Trang 10

Ta sẽ chứng minh nó đúng với n = k+1

Lấy x1, x2, , xk, xk+1 D, λi 0, i=1,k+1 và

k+1

i i=1

= λ

λ Khi đó rõ ràng:

λ0 > 0 ( do

k+1 i i=1

Vậy tính chất đúng với n = k+1

Tính chất được chứng minh

Trang 11

2 2

1 2

λ

Trang 12

2 ; x ,x1 2 C,x1 x2 và

1

Điều này trái với định nghĩa điểm cực biên

Vậy điều giả sử sai hay không tồn tại x1, x2 C , x1 x2 sao cho:

thì x là điểm cực biên của C

Giả sử x không là điểm cực biên của C Có nghĩa tồn tại x1, x2 C , tồn tại x1 x2, λ1 0,λ2 0, λ +λ1 2 1 sao cho x = λ x + λ x1 1 2 2 (1)

Trang 13

Do 0 < λ1 < 1 nên luôn chọn được ε 0 sao cho λ +ε1 và λ -ε2 đều thuộc (0; 1)

Điều này mâu thuẫn với giả thiết Điều giả sử sai

Vậy x là điểm cực biên của C

1.2.8 Tính chất 8

Cho C là tập hợp lồi và x C Điểm x là điểm cực biên của C khi và chỉ khi C\{x} là tập hợp lồi

Chứng minh:

Giả sử x là điểm cực biên của C nhưng C\{x}không phải là tập hợp lồi

Có nghĩa là tồn tại x1, x2 C, x1 x2 sao cho:

[x1; x2] không nằm trọn trong C\{x}

Do C là tập hợp lồi mà x1, x2 Cnên [x1; x2] C

Vì C chỉ khác C\{x} một điểm x nên x [x1; x2]

Trang 14

Thật vậy nếu trái lại x [x1; x2] thì do [x1; x2] C

[x1; x2] C\{x}

Điều này vô lí

Như vậy x [x1; x2]

Điều này trái với x là

điểm cực biên của C

Vậy điều giả sử sai

Điều này vô lí Giả sử sai

Vậy x là điểm cực biên của C

1.2.9 Tính chất 9

Cho M là tập hợp cho trước Ta kí hiệu C(M) là tập lồi nhỏ nhất chứa

M (thường gọi là bao lồi của tập hợp M) Gọi Z = {α: Cαlà tập lồi chứa M}

α Z

Trang 15

Chứng minh:

Không giảm tổng quát, giả sử M là tập hợp trong E2

Trước hết ta thấy Z Thật vậy, ít nhất toàn mặt phẳng E2

là một tập lồi chứa M

Do Cαlà tập hợp lồi nên theo tính chất 1 thì:

Trang 16

Chứng minh:

i) Giả sử C là tập hợp lồi bất kì chứa M( M C)

Lấy phần tử tùy ý x A, theo định nghĩa tồn tại số tự nhiên k sao cho:

ii) Lấy x, y A, 1và 2 0 sao cho: 1 2 1

Theo định nghĩa của A thì tồn tại số tự nhiên m, n; tồn tại αi 0,βi 0,

i

x M, yj M, i 1,m , j 1,n;

i ji=1 j=1

x = λ x ;

n

j j j=1

Hay μ1x+ yμ2 A A là tập hợp lồi

Trang 17

Lấy x tùy ý thuộc M

Theo định nghĩa của A ta có x A M A

Do A là tập hợp lồi chứa M nên dĩ nhiên C M A

Trang 18

CHƯƠNG 2:

ĐỊNH LÝ KELLI TRONG MẶT PHẲNG EUCLIDE

VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN

(i) Nếu 4 điểm A1, A2, A3, A4 không hoàn toàn khác nhau

Khi đó không giảm tổng quát giả sử A1 A2

Trang 19

2) Bao lồi của chúng là tam giác chứa điểm còn lại bên trong

Không giảm tổng quát giả sử đó là tam giác A1A2A3 chứa A4

Vì A1, A2, A3 đều thuộc F4

Mà F4 là đa giác lồi (tập hợp lồi)

Nên toàn bộ miền trong tam giác A1A2A3 thuộc F4

Trang 20

Còn F’k= Fk Fk+1 nên nó cũng là lồi (vì là giao của 2 hình lồi)

Xét 3 hình lồi bất kì: F’i, F’j, F’h trong k hình lồi F’1, F’2,…, F’k

i) Nếu trong chúng không có F’k thì theo giả thiết:

F’1 F’2 F’kHay F1 F2 Fk Fk+1

Vậy định lí Kelli đúng với n =k+1 (k 4)

Định lí được chứng minh

( ) Chú ý

Điều kiện n 4 trong định lí là cần thiết

Thật vậy, xét mệnh đề tương tự với n 3:

Trang 21

Cho một họ n hình lồi (n 3) trong mặt phẳng Biết rằng giao của hai hình lồi bất kì trong chúng khác rỗng Khi đó giao của n hình lồi cũng khác rỗng

Bài tập 1:

Cho 4 nửa mặt phẳng lấp đầy mặt phẳng Chứng minh rằng tồn tại 3 nửa mặt phẳng trong 4 nửa mặt phẳng ấy sao cho chỉ riêng 3 nửa mặt phẳng này cũng lấp đầy mặt phẳng

Trang 22

P P1 2 P3 P4 (2) (A là phần bù của A)

Theo qui tắc Demorgan, từ (2) có P1 P2 P3 P4 (3)

Vì Pi lồi nên Picũng lồi với i 1,4

Giả sử không tồn tại ba nửa mặt phẳng nào trong số các Pi (i= 1, 4 ) mà

3 nửa mặt phẳng này lấp đầy mặt phẳng

Điều đó có nghĩa: i, j, k phân biệt mà i, j, k {1, 2, 3, 4}

a x + b y + c 0Với ai, bi, ci (i 1, n ) là các số thực

Biết rằng bất cứ phương trình nào cũng lập nên một hệ có nghiệm Chứng minh rằng hệ đã cho có nghiệm

Trang 23

Lời giải:

Ta có bổ đề sau:

Bổ đề: Gọi Di ={(x, y): aix + biy+ ci 0} i= 1, n

Di là tập lồi i 1,n

Bổ đề hiển nhiên đúng (theo tính chất 3 của tập hợp lồi)

Ta trở lại bài toán: Có n tập lồi D1, , Dn

Dựa vào giả thiết bài toán suy ra i, j, k (1 i j k, , n)

D

IHay hệ đã cho có nghiệm

Bài tập 3:

Cho n hình tròn (n 4) trong mặt phẳng E2 Biết rằng cứ với mỗi 3 hình tròn tùy ý, luôn tồn tại một hình tròn bán kính R chứa cả 3 hình tròn này Chứng minh tồn tại một hình tròn bán kính R chứa cả n hình tròn đã cho

Trang 24

Lấy i, j, k tùy ý (1 i j k, , n), ta sẽ chứng minh:

n k

đã cho

Trang 25

Lấy i, j, k tùy ý (1 i,j,k n)

Rõ ràng theo giả thiết tồn tại hình tròn C tâm O, bán kính R sao cho:

C C C C

Ta sẽ chứng minh: Fi Fj Fk (*) Thật vậy, do hình tròn C nằm trọn trong Ci nên O Fi

n i

I tức là

O Fi, i 1,n

Rõ ràng hình tròn tâm O*, bán kính R nằm trong C

Vậy (O*; R) nằm trong cả n hình tròn đã cho

Ta có điều phải chứng minh

Trang 26

Bài tập 5:

Trên mặt phẳng cho n hình tròn (n 4) Giả sử cứ với mỗi 3 hình tròn bất kì đều có một hình tròn bán kính r cắt cả 3 hình tròn ấy Chứng minh tồn tại một hình tròn có bán kính r cắt cả n hình tròn đã cho

Trang 27

Bài tập 6:

Cho một số hữu hạn n 4 các đường thẳng Biết rằng với 3 đường thẳng tùy ý luôn tồn tại hình tròn có bán kính R cắt cả 3 đường thẳng Chứng minh rằng tồn tại 1 hình tròn có bán kính R cắt cả n đường thẳng đã cho

Lời giải:

Giả sử d1, d2, ,dn là họ hữu hạn các đường thẳng (n 4)

Với mỗi đường thẳng di,

xét Fi là hình tạo bởi 2 đường

thẳng song song với di và cách

Như vậy ta có một họ hữu hạn các tập hợp lồi F1, F2, , Fn

Theo giả thiết với i, j, k {1, 2, , n} ta luôn có:

Trang 28

Bài tập 7:

Cho một họ thuộc n các đa giác lồi (n 3) đôi một cắt nhau Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng cắt tất cả các đa giác này

Lời giải:

Xét tất cả các đa giác Pi i 1,n đã cho trong hệ trục tọa độ Đề - các

vuông góc Với mỗi đa giác Pi ta chiếu nó lên trục hoành và ta được đoạn [ai;

bi] Như vậy ta có tương ứng 1 – 1 sau:

Pi [ ai; bi ]; i 1,n

Theo giả thiết i j i j, 1,2, ,n :

[ ai; bi ] a ;j b j

Trang 29

Theo định lí Kelli i i

1

a ;b

n i

Lời giải:

Chọn hệ tọa độ có các trục song song với các cạnh của hình chữ nhật Chiếu các hình chữ nhật này lên Ox và Oy

Trang 30

Ta có tương ứng 1 – 1 sau đây:

a ; b

n i

Trang 31

Theo định lí Kelli suy ra:

Trang 32

2.3 Một số bài tập tham khảo

Bài tập 10:

Trên mặt phẳng cho n đa giác lồi (n 3) đôi một cắt nhau và một

phương l cho trước Chứng minh rằng luôn kẻ được một đường thẳng song song với phương l đã cho và cắt tất cả các đa giác

Trong mặt phẳng cho n đoạn thẳng song song (n 4) có tính chất:

Với bất kì 3 đường thẳng luôn tồn tại một đường thẳng cắt cả n đoạn thẳng

Trang 33

KẾT LUẬN

Tập lồi trong mặt phẳng Euclide thực chất là các hình lồi mà ta đã biết trong hình học nói chung, hình học tổ hợp nói riêng.Những bài toán của hình học tổ hợp đều liên quan chặt chẽ tới tập lồi và những tính chất của nó.Vì vậy khái niệm tập lồi và các tính chất của tập lồi được sử dụng như một công cụ quan trọng để giải một lớp các bài toán của hình học tổ hợp Do đó việc nghiên cứu tập lồi trong mặt phẳng Euclide và một số bài toán của hình học tổ hợp là một việc làm có ý nghĩa lí luận và thực tiễn sâu sắc

Từ kết qủa nghiên cứu đề tài trên, ta rút ra một số kết luận sau:

Khái niệm tập lồi cũng như hình lồi đều nói tới mối quan hệ: Mọi phần

tử (điểm) nằm trong đoạn nối hai phần tử (điểm) bất kì của tập (hình) cũng thuộc tập (hình) đó

Một họ các tập hợp lồi với phép lấy giao và tổng là tập hợp lồi nhưng với phép hợp thì chưa chắc đã là tập lồi

Một số tính chất về điểm cực biên

Bao lồi của một tập hợp là giao tất cả các tập hợp lồi chứa tập hợp đó Định lí Kelli được vận dụng để giải một số bài toán về sự giao nhau khác rỗng của một họ các tập hợp lồi

Trang 34

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Phạm Khắc Ban, Phạm Bình Đô (2008), “Hình học Afin và hình học Euclide trên những ví dụ và bài tập”

2 Văn Như Cương, Tạ Mân (1998), “Hình học Afin và hình học Euclide”

3 Phan Huy Khải (2007), “Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THPT: Các bài toán hình học tổ hợp”

Định dạng
Số trang	34
Dung lượng	1,02 MB