Tập lồi trong mặt phẳng euclide (e2) và một số bài toán của hình học tổ hợp

Khóa luận tốt nghiệp MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích lồi môn học nghiên cứu tính chất tập hợp lồi hàm lồi Khái niệm tập hợp lồi không gian véc tơ khái quát khái niệm hình lồi mặt phẳng Euclide (E ) Tập lồi tính chất có nhiều ứng dụng quan trọng qui hoạch toán học Nó giữ vai trò quan trọng nhiều vấn đề giải tích hàm, vấn đề kinh tế, kĩ thuật Tuy nhiên ứng dụng rõ nét cần thiết mà người nghiên cứu việc đưa giải tích lồi vào hình học, đặc biệt hình học tổ hợp Những tính chất quan trọng tập hợp lồi công cụ hữu ích giúp việc giải lớp toán đặc sắc hình học tổ hợp Ngoài định lý Kelli giao khác rỗng họ tập hợp lồi phép lấy bao lồi hình phẳng phương tiện quan trọng cần thiết việc đưa lời giải cho nhiều toán hình học tổ hợp Xuất phát từ lý trên, định chọn tiến hành đề tài: “Tập lồi mặt phẳng Euclide (E ) số toán hình học tổ hợp ” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích Xây dựng hệ thống sở lí luận giải toán hình học tổ hợp dựa vào khái niệm tập lồi tính chất Đồng thời có cách vận dụng định lí Kelli vào số toán liên quan đến giao khác rỗng họ tập hợp lồi phép lấy bao lồi hình phẳng mặt phẳng Euclide (E ) Doãn Thị Phượng K33A- Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp 2.2 Nhiệm vụ Nêu đĩnh nghĩa tập hợp lồi Khái quát tính chất tâp hợp lồi không gian E Đưa định lí Kelli số toán vận dụng Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Tập hợp lồi tính chất mặt phẳng E Định lí Kelli ứng dụng định lí số toán hình học tổ hợp Ý nghĩa khoa học, thực tiễn Kết nghiên cứu góp phần bổ sung nguồn tài liệu cho phương pháp giải toán hình học tổ hợp dựa vào tập hợp lồi nói chung, tính chất hợp lồi định lí Kelli nói riêng Trên sở vận dụng đẻ giải toán giao khác rỗng họ tập hợp lồi phép lấy bao lồi hình phẳng mặt phẳng Euclide Doãn Thị Phượng K33A- Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp NỘI DUNG CHƯƠNG 1: TẬP HỢP LỒI TRONG MẶT PHẲNG EUCLIDE (E2) 1.1 Định nghĩa tập hợp lồi 1.1.1 Định nghĩa Tập hợp D gọi tập hợp lồi với phần tử a thuộc tập hợp D b thuộc tập hợp D, với số λ ( ≤ λ ≤ 1) phần tử λa + (1- λ)b thuộc tập hợp D * Chú ý: Tập hợp { λa + (1- λ)b : ≤ λ ≤ 1} đoạn thẳng nối phần tử a b Vì mặt hình học ta hiểu: D tập hợp lồi điểm A B thuộc D toàn đoạn thẳng AB thuộc D 1.1.2 Ví dụ Trong E2 đa giác lồi, hình tròn tập hợp lồi Doãn Thị Phượng K33A- Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp 1.2 Một số tính chất 1.2.1 Tính chất i, Giao hữu hạn tập hợp lồi tập hợp lồi ii, Hợp tập hợp lồi chưa tập hợp lồi Chứng minh: i) Giao hữu hạn tập hợp lồi tập hợp lồi Giả sử ta có Ai (i= 1, n ) tập hợp lồi n Ta phải chứng minh I A i tập hợp lồi i=1 *Với n= tính chất hiển nhiên * Với n= Lấy a, b tùy ý thuộc A1 Do A2, λ số tùy ý cho ≤ λ ≤ A1 tập hợp lồi, A2 tập hợp lồi, a, b A1 A2 nên: a b A1 a b A2 λa + (1- λ)b A1 Vậy A1 A2 A2 tập hợp lồi Hay tính chất với n = *Giả sử n= k, ta phải chứng minh với n = k+1 Do điều giả sử nên ta có: k I A i tập hợp lồi i=1 Ak+1 tập hợp lồi Doãn Thị Phượng K33A- Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp k I Ai Lại có tính chất với n= nên Ak+1 tập hợp lồi i=1 k+1 Hay I A i tập hợp lồi i=1 Vậy tính chất với n = k+1 ii) Hợp tập hợp lồi chưa tập hợp lồi Xem hình minh họa bên A B tập hợp lồi A B tập lồi Tính chất chứng minh 1.2.2 Tính chất 2: Cho A1, A2, , An tập hợp lồi Định nghĩa tập hợp: n A= A1 + A2 + + An ={ a: a= i=1 a i với Ai , i= 1,n } Khi A tập hợp lồi Chứng minh: * Khi n= 1, tính chất hiển nhiên * Khi n= 2, ta đặt: A= A1 + A2 = { a: a= a1+ a2 với a1 A1, a2 A2} A a2 A Lấy a , a tùy ý thuộc A số thực λ thỏa mãn: ≤ λ ≤ Do a Doãn Thị Phượng 1 a1 = a + a với a a2 = a + a với a 2 A1, a 2 A1, a A2 A2 K33A- Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp λa1 + 1-λ a =[ a1 + (1- λ a11 +a12 + 1-λ a12 +a 22 ) a1 ] + [ a + (1- ) a ] (1) Do A1, A2 tập hợp lồi, 1 a1 , a A1 a 21 , a 22 A2 λa11 + 1- λ a12 A1 λa12 + 1- λ a 22 A2 (2) Từ (1), (2) suy λa1 + (1- λ)a2 A Hay A tập lồi Vậy với n= * Giả sử với n= k, ta chứng minh tính chất với n= k+1 Do giả thiết với n= k ta có: A= A1 + A2 + +Ak tập hợp lồi Lại theo trường hợp n= nên ta có: ( A1+ A2 + + Ak ) + Ak+1 tập hợp lồi Hay A1+ A2 + + Ak+1 tập hợp lồi Vậy tính chất với n= k+1 Tính chất chứng minh 1.2.3 Tính chất Trong mặt phẳng Euclide (E2), D tập hợp điểm (x, y) thỏa mãn: Doãn Thị Phượng K33A- Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp a1 x b1 y c1 a2x b2 y c2 an x bn y cn Khi D tập hợp lồi E2 Chứng minh: Giả sử (x1; y1) (x2; y2) hai phần tử tùy ý thuộc D, λ số thực tùy 0≤λ≤1 ý thuộc D cho: Ta có: a k x1 bk y1 ck ak x2 bk y2 ck k λ a k x1 + b k y1 +c k + 1-λ 1, n a kx + b ky + c k k=1,n Hay ak [ λx1 + (1-λ) x2 ]+ bk [λy1 +(1- λ) y2 ] + ck ≥ 0, k = 1, n λ (x1; y1) + (1- λ)( x2; y2) D k = 1, n Vậy D tập hợp lồi 1.2.4 Tính chất Trong mặt phẳng E2 cho (x0; y0) D tập hợp điểm (x; y) xác định sau: D = { (x;y): (x- x0)2 + (y- y0)2 ≤ R2, R số dương cho trước Khi D tập hợp lồi Doãn Thị Phượng K33A- Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp Chứng minh: Giả sử (x1; y1), (x2; y2) phần tử tùy ý thuộc D Khi ta có hệ: x1 -x 2 x -x + y1 -y0 + y2 -y0 R2 (1) R2 Lấy λ số thực tùy ý thỏa mãn: ≤ λ ≤ 1, ta có: λ (x1; y1) +(1- λ) (x2; y2)= [ λx1 + (1- λ)x2; λy1 + (1- λ)y2] Ta có [ λx1 + (1- λ)x2 – x0]2 + [ λy1 + (1- λ)y2 – y0] = [ λ( x1 – x0 ) + (1- λ)( x2 – x0 )]2 +[λ(y1 – y0) + (1 – λ)(y2 – y0)]2 = λ2 [( x1 – x0 )2 + ( y1 – y0 )2 ] + (1- λ)2 [( x2 – x0 )2 + ( y2– y0 )2] + 2λ (1- λ)[ ( x1 – x0 ) ( x2 – x0 ) + ( y1 – y0 ) ( y2 – y0 )] (2) Ta lại thấy 2 x1 -x + x -x x1 -x x -x y -y y1- y0 y 2- y0 + y -y0 (3) 2 Thay (1), (3) vào (2) ta được: λx1 + 1-λ x -x 2 + λy1 + 1-λ y -y0 λ R + 1-λ R +2λ 1-λ R Vì 2 2 (4) 2 2 2 λ R + 1-λ R +2λ 1-λ R = R λ+ 1-λ Doãn Thị Phượng =R K33A- Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp Nên từ (4) suy λx1 + 1-λ x 2 + λy1 + 1-λ y λx1;y1 + 1-λ x ;y2 R D Vậy D tập hợp lồi 1.2.5 Tính chất 5: Trong mặt phẳng E2, cho tập hợp D D tập hợp lồi n số nguyên dương n, x1, , x2 λi D; λ i =1 thì: 0, i=1,n i=1 n λi x i D i=1 Chứng minh: ( ) Giả sử D tập hợp thỏa mãn yêu cầu cho Với trường hợp n= ta có: Từ x1, x2 D ; λ1 , λ λ1x1 +λ2 x 1thì: D hay λ1x1 + 1-λ1 x D Vậy theo định nghĩa D tập hợp lồi ( ) Giả sử D tập hợp lồi Ta phải chứng minh D thỏa mãn tính chất cho Ta chứng minh quy nạp * Với n = 1, kết luận hiển nhiên * Với n = 2, kết luận định nghĩa tập hợp lồi * Với n = k, giả sử kết luận đúng, tức là: k x1,x2, , xk D , λi 0, i=1,k i i Doãn Thị Phượng k λi x i D i=1 K33A- Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp Ta chứng minh với n = k+1 Lấy x1, x2, , xk, xk+1 D , λ i 0, i=1,k+1 k+1 λ i =1 i=1 Có khả xảy ra: i) Nếu λ k+1 =1 λ1=λ2= =λk =0 , thế: k+1 i=1 λix i =x k+1 D ( giả thiết ) k ii) Nếu λ k+1 < Đặt λ = λ i Khi rõ ràng: i=1 λ > ( k+1 i=1 k+1 Ta có: Vì i=1 λi x i = λ0 λi x + x i λ k+1 k+1 i=1 λ k (1) λ i = λ =1 i=1 λ λ0 k λ1 λk , , λ0 λ0 0;1 Nên từ: x1, x2, , xk x= Do x λi =1 λ k+1 < 1) D theo giả thiết quy nạp λi xi D i=1 λ k D , xk+1 D , λ 0 , λ k+1 > λ +λ k+1 = k+1 λi =1 i=1 Nên từ tính chất lồi D suy ra: λ x +λ k+1x k+1 D k+1 Từ (1), (2) suy λi x i (2) D i=1 Vậy tính chất với n = k+1 Tính chất chứng minh Doãn Thị Phượng 10 K33A- Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp Xét hình sau: F’1= F1, F’2= F2 F’k-1= Fk-1, F’k= Fk Rõ ràng F’i lồi Còn F’k= Fk Fk+1 i = 1, k (vì F’i= Fi.) Fk+1 nên lồi (vì giao hình lồi) Xét hình lồi bất kì: F’i, F’j, F’h k hình lồi F’1, F’2,…, F’k i) Nếu chúng F’k theo giả thiết: F’i ii) F’j F’h= Fi Fj Fh Nếu chúng có F’k= Fk Fk+1 Khi cho là: F’h= F’k Từ F’i F’j F’h= Fi Fj Fk Fk+1 Vì giao hình lồi hình lồi Fi, Fj, Fk, Fk+1 khác rỗng (giả thiết), theo trường hợp n =4, ta có: Fi Fj Fk Fk+1 Vậy với k hình lồi : F’1, F’2, , F’k thỏa mãn điều kiện giao hình lồi chúng khác rỗng nên theo giả thiết qui nạp ta có: F’1 Hay F1 F’2 F2 Fk F’k Fk+1 Vậy định lí Kelli với n =k+1 (k 4) Định lí chứng minh ( ) Chú ý Điều kiện n định lí cần thiết Thật vậy, xét mệnh đề tương tự với n Doãn Thị Phượng 20 3: K33A- Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp Cho họ n hình lồi (n 3) mặt phẳng Biết giao hai hình lồi chúng khác rỗng Khi giao n hình lồi khác rỗng Mệnh đề chưa với n =3, xét hình lồi đoạn thẳng AB, BC, CA Rõ ràng giao hai hình lồi chúng khác rỗng AB BC CA= 2.2 Ứng dụng Giải lớp toán hình học tổ hợp mà kết chủ yếu phụ thuộc vào giao có khác rỗng hay không họ hữu hạn hay vô hạn tập hợp lồi Bài tập 1: Cho nửa mặt phẳng lấp đầy mặt phẳng Chứng minh tồn nửa mặt phẳng nửa mặt phẳng cho riêng nửa mặt phẳng lấp đầy mặt phẳng Lời giải: Gọi P1, P2, P3, P4 nửa mặt phẳng Từ giả thiết ta có: P1 P2 Rõ ràng Pi lồi Doãn Thị Phượng P3 P4 = E2 (1) i 1,4 Từ (1) suy ra: 21 K33A- Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp P1 P2 P3 P4 (2) ( A phần bù A) Theo qui tắc Demorgan, từ (2) có P1 Vì Pi lồi nên Pi lồi với P2 P3 P4 (3) i 1,4 Giả sử không tồn ba nửa mặt phẳng số P i (i= 1,4 ) mà nửa mặt phẳng lấp đầy mặt phẳng Điều có nghĩa: Pi Pj Pk i, j, k phân biệt mà i, j, k E Nói cách khác: Pi P j Áp dụng định lí Kelli P1 P2 P3 {1, 2, 3, 4} Pk P4 Điều mâu thuẫn với (3) Giả sử sai Vậy ta có điều cần chứng minh Bài tập 2: Cho hệ n phương trình (n 4) a1x + b1y + c1 a x + b 2y + c2 a n x + b ny + c n Với ai, bi, ci ( i 1,n ) số thực Biết phương trình lập nên hệ có nghiệm Chứng minh hệ cho có nghiệm Doãn Thị Phượng 22 K33A- Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp Lời giải: Ta có bổ đề sau: Bổ đề: Gọi Di ={(x, y): aix + biy+ ci Di tập lồi 0} i= 1,n i 1, n Bổ đề hiển nhiên (theo tính chất tập hợp lồi) Ta trở lại toán: Có n tập lồi D1, , Dn Dựa vào giả thiết toán suy i , j, k (1 i, j, k n) Ta có: Di Dj Dk n Vậy theo định nghĩa Kelli thì: I Di i Hay hệ cho có nghiệm Bài tập 3: Cho n hình tròn (n 4) mặt phẳng E2 Biết với hình tròn tùy ý, tồn hình tròn bán kính R chứa hình tròn Chứng minh tồn hình tròn bán kính R chứa n hình tròn cho Lời giải: Gọi tâm bán kính hình tròn Ci Oi Ri Ci= (Oi; Ri); i 1, n Và gọi Fi hình tròn có tâm Oi, bán kính R – Ri Fi = (Oi, R – Ri) ; i 1, n Doãn Thị Phượng 23 K33A- Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp Lấy i, j, k tùy ý (1 i, j, k Fi n ), ta chứng minh: Fj Fk Thật vậy, theo giả thiết tồn hình tròn (Oijk; R) phủ Ci, Cj, Ck tức là: Ci Ci Cj Ck Oijk ; R Oijk ; R R-R i OiOijk Hay (Oi; R- Fi) chứa Oijk Fi Oijk Tương tự ta có: Fi ; Oijk Oijk Fi Fj Fk Fk Theo định lí Kelli suy ra: F1 F2 Giả sử O* F1 Fn F2 Fn n Xét hình tròn (O*; R) Do O* I Ck k Ta có điều phải chứng minh Bài tập 4: Cho n hình tròn (n 4) mặt phẳng E2 Biết với hình tròn tùy ý tồn hình tròn bán kính R nằm hình tròn Chứng minh tồn hình tròn bán kính R nằm n hình tròn cho Doãn Thị Phượng 24 K33A- Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp Lời giải: Gọi tâm đường tròn Ci Oi bán kính Ri Ci = (Oi ; Ri) ; i 1, n Gọi Fi hình tròn tâm Oi, bán kính Ri – R Fi = (Oi; Ri – R); i 1, n Lấy i, j, k tùy ý (1 i,j,k n ) Rõ ràng theo giả thiết tồn hình tròn C tâm O, bán kính R cho: C Ci Ta chứng minh: Cj Ck Fi Fj Fk Thật vậy, hình tròn C nằm trọn Ci nên O Tương tự O Fj; O Fk O Fi Fk Fj (*) Fi Hay Fi Fj Fk Từ (*) theo định lí Kelli n suy ra: I Fi i n Giả sử O I Fi tức i O Fi, i 1, n Rõ ràng hình tròn tâm O*, bán kính R nằm C Vậy (O*; R) nằm n hình tròn cho Ta có điều phải chứng minh Doãn Thị Phượng 25 K33A- Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp Bài tập 5: Trên mặt phẳng cho n hình tròn (n 4) Giả sử với hình tròn có hình tròn bán kính r cắt hình tròn Chứng minh tồn hình tròn có bán kính r cắt n hình tròn cho Lời giải: Gọi Ci hình tròn tâm Oi , bán kính Ri ( i 1, n ) Ci = (Oi; Ri) Fi hình tròn tâm Oi, bán kính Ri+ r ( i 1, n ) Fi = (Oi; Ri+ r) Như tâm tất hình tròn bán kính r mà cắt Ci nằm Fi Xét n tập hợp lồi F1, , Fn Với i, j, k tùy ý mà i, j, k {1, 2, , n} Theo giả thiết tồn hình tròn (Oijk; r) cắt đường tròn: Ci ; Cj; Ck tức Oijk Fi Điều chứng tỏ rằng: Fi Fj Fk Fj Fk i, j, k {1, 2, ,n} Theo định lí Kelli suy ra: n I Fi i n Vậy tồn O* I Fi i Xét hình tròn tâm O*, bán kính r Hình tròn rõ ràng cắt Ci i 1, n Ta có điều cần chứng minh Doãn Thị Phượng 26 K33A- Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp Bài tập 6: Cho số hữu hạn n đường thẳng Biết với đường thẳng tùy ý tồn hình tròn có bán kính R cắt đường thẳng Chứng minh tồn hình tròn có bán kính R cắt n đường thẳng cho Lời giải: Giả sử d1, d2, ,dn họ hữu hạn đường thẳng (n 4) Với đường thẳng di, xét Fi hình tạo đường thẳng song song với di cách di khoảng R Tâm đường tròn bán kính R mà cắt di phải nằm Fi Rõ ràng Fi hình lồi i 1, n Như ta có họ hữu hạn tập hợp lồi F1, F2, , Fn Theo giả thiết với Fi Fj i, j, k {1, 2, , n} ta có: ( với i, j, k tồn hình tròn cắt Fk di, dj, dk) Theo định lí Kelli suy ra: F1 Lấy O* F1 F2 F2 Fn Fn Hình tròn tâm O*, bán kính R; (O*; R) cắt tất đường thẳng d1, d2, , dn Doãn Thị Phượng 27 K33A- Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp Bài tập 7: Cho họ thuộc n đa giác lồi (n 3) đôi cắt Chứng minh tồn đường thẳng cắt tất đa giác Lời giải: Xét tất đa giác Pi i 1, n cho hệ trục tọa độ Đề - vuông góc Với đa giác Pi ta chiếu lên trục hoành ta đoạn [ai; bi] Như ta có tương ứng – sau: Pi Theo giả thiết i j i, j [ ai; bi ] Doãn Thị Phượng [ ai; bi ]; i 1, n 1,2, , n : a j; bj 28 K33A- Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp n Theo định lí Kelli I a i ;bi i n Như tồn α I a i ;bi i Do đường thẳng x = α cắt n đa giác Pi, i 1, n Bài tập 8: Trên mặt phẳng có họ hữu hạn hình chữ nhật có cạnh tương ứng song song với trục tọa độ Chứng minh hình chúng có giao khác rỗng họ có giao khác rỗng Lời giải: Chọn hệ tọa độ có trục song song với cạnh hình chữ nhật Chiếu hình chữ nhật lên Ox Oy Doãn Thị Phượng 29 K33A- Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp Ta có tương ứng – sau đây: Fi a i ; bi Ox ci ; d i Oy Như ta có họ đoạn thẳng a i ; bi họ đoạn thẳng ci ; di Do Fi Fj ;( i Oy; Ox i 1, n j; i,j 1,2, , n ) nên: a j; b j a i ; bi Từ theo định lí Kelli thì: n I a i ; bi i Tồn a n I a i ; bi i n Tương tự có được: tồn b I ci ; d i i n Điều chứng tỏ (a; b) I Fi i Ta có điều phải chứng minh Bài tập 9: Trên đường tròn đơn vị có họ cung có độ dài nhỏ π có tính chất giao cung khác rỗng Chứng minh giao tất cung khác rỗng Doãn Thị Phượng 30 K33A- Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp Lời giải: Tương ứng với cung li, xét hình viên phân Fi tạo cung dây trương cung Rõ ràng Fi hình lồi Theo giả thiết li i 1, n i, j, k ta có: lj , đây: li lk Điều có nghĩa là: Fi Fj Fk Fi ; l j Fj ; lk Fk i, j, k i < j [...]... trong mặt phẳng Euclide thực chất là các hình lồi mà ta đã biết trong hình học nói chung, hình học tổ hợp nói riêng.Những bài toán của hình học tổ hợp đều liên quan chặt chẽ tới tập lồi và những tính chất của nó.Vì vậy khái niệm tập lồi và các tính chất của tập lồi được sử dụng như một công cụ quan trọng để giải một lớp các bài toán của hình học tổ hợp Do đó việc nghiên cứu tập lồi trong mặt phẳng Euclide. .. Euclide và một số bài toán của hình học tổ hợp là một việc làm có ý nghĩa lí luận và thực tiễn sâu sắc Từ kết qủa nghiên cứu đề tài trên, ta rút ra một số kết luận sau: Khái niệm tập lồi cũng như hình lồi đều nói tới mối quan hệ: Mọi phần tử (điểm) nằm trong đoạn nối hai phần tử (điểm) bất kì của tập (hình) cũng thuộc tập (hình) đó Một họ các tập hợp lồi với phép lấy giao và tổng là tập hợp lồi nhưng... Ứng dụng Giải một lớp bài toán của hình học tổ hợp mà kết quả chủ yếu phụ thuộc vào sự giao nhau có khác rỗng hay không của một họ hữu hạn hay vô hạn những tập hợp lồi nào đó Bài tập 1: Cho 4 nửa mặt phẳng lấp đầy mặt phẳng Chứng minh rằng tồn tại 3 nửa mặt phẳng trong 4 nửa mặt phẳng ấy sao cho chỉ riêng 3 nửa mặt phẳng này cũng lấp đầy mặt phẳng Lời giải: Gọi P1, P2, P3, P4 là 4 nửa mặt phẳng Từ giả... với phép hợp thì chưa chắc đã là tập lồi Một số tính chất về điểm cực biên Bao lồi của một tập hợp là giao tất cả các tập hợp lồi chứa tập hợp đó Định lí Kelli được vận dụng để giải một số bài toán về sự giao nhau khác rỗng của một họ các tập hợp lồi Doãn Thị Phượng 33 K33A- Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Phạm Khắc Ban, Phạm Bình Đô (2008), Hình học Afin và hình học Euclide trên... Thật vậy, ít nhất toàn mặt phẳng E2 là một tập Trước hết ta thấy Z lồi chứa M Do Cα là tập hợp lồi nên theo tính chất 1 thì: C là tập hợp lồi I Z Hơn nữa do Cα M, α Z nên Cα là một tập hợp lồi chứa M I Z Do C(M) là tập hợp lồi nhỏ nhất chứa M I C M Cα Z Mà do C(M) là tập hợp lồi chứa M nên C M I Cα Z Vậy C M = I Cα Z 1.2.10 Tính chất 10 Giả sử M là tập hợp tùy ý trong E2 Xét tập hợp sau đây: 2 A = {x... sử có một đoạn thẳng AB chia (F) ra làm 2 phần có chu vi bằng nhau nhưng diện tích khác nhau Chứng minh rằng tồn tại một đa giác lồi (F), diện tích (F’) lớn hơn diện tích F Doãn Thị Phượng 17 K33A- Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp CHƯƠNG 2: ĐỊNH LÝ KELLI TRONG MẶT PHẲNG EUCLIDE VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC TỔ HỢP 2.1 Định lí: Trong mặt phẳng cho n hình lồi (n 4) Biết rằng giao của 3 hình lồi bất... đa giác là lồi khi và chỉ khi bốn đỉnh bất kì của chúng tạo thành một tứ giác lồi Bài 3: Trên mặt phẳng cho 2 đa giác lồi (F) và (G) Kí hiệu H là tập hợp trung điểm các đoạn thẳng có một đầu thuộc (F), đầu kia thuộc (G) Chứng minh: H là tập hợp lồi Bài 4: Chứng minh rằng: tổng các góc ngoài của một đa giác bất kì kề bù với các góc trong nhỏ hơn 1800, thì không nhỏ hơn 3600 Bài 5: Cho (F) là một đa giác... tính chất 3 của tập hợp lồi) Ta trở lại bài toán: Có n tập lồi D1, , Dn Dựa vào giả thiết bài toán suy ra i , j, k (1 i, j, k n) Ta luôn có: Di Dj Dk n Vậy theo định nghĩa Kelli thì: I Di i 1 Hay hệ đã cho có nghiệm Bài tập 3: Cho n hình tròn (n 4) trong mặt phẳng E2 Biết rằng cứ với mỗi 3 hình tròn tùy ý, luôn tồn tại một hình tròn bán kính R chứa cả 3 hình tròn này Chứng minh tồn tại một hình tròn... kiện n 4 trong định lí là cần thiết Thật vậy, xét mệnh đề tương tự với n Doãn Thị Phượng 20 3: K33A- Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp Cho một họ n hình lồi (n 3) trong mặt phẳng Biết rằng giao của hai hình lồi bất kì trong chúng khác rỗng Khi đó giao của n hình lồi cũng khác rỗng Mệnh đề này chưa chắc đúng vì với n =3, xét 3 hình lồi là 3 đoạn thẳng AB, BC, CA Rõ ràng giao của hai hình lồi bất kì trong. .. sai Vậy x là điểm cực biên của C 1.2.8 Tính chất 8 Cho C là tập hợp lồi và x C Điểm x là điểm cực biên của C khi và chỉ khi C\{x} là tập hợp lồi Chứng minh: Giả sử x là điểm cực biên của C nhưng C\{x}không phải là tập hợp lồi Có nghĩa là tồn tại x1, x2 C , x1 x 2 sao cho: [x1; x2] không nằm trọn trong C\{x} Do C là tập hợp lồi mà x1, x2 C nên [x1; x2] Vì C chỉ khác C\{x} một điểm x nên x Doãn Thị Phượng ... 1.2 Một số tính chất 1.2.1 Tính chất i, Giao hữu hạn tập hợp lồi tập hợp lồi ii, Hợp tập hợp lồi chưa tập hợp lồi Chứng minh: i) Giao hữu hạn tập hợp lồi tập hợp lồi Giả sử ta có Ai (i= 1, n ) tập. .. tới tập lồi tính chất nó.Vì khái niệm tập lồi tính chất tập lồi sử dụng công cụ quan trọng để giải lớp toán hình học tổ hợp Do việc nghiên cứu tập lồi mặt phẳng Euclide số toán hình học tổ hợp việc... Khoa Toán Khóa luận tốt nghiệp KẾT LUẬN Tập lồi mặt phẳng Euclide thực chất hình lồi mà ta biết hình học nói chung, hình học tổ hợp nói riêng.Những toán hình học tổ hợp liên quan chặt chẽ tới tập