Ứng dụng tính chất của tập lồi và bao lồi giải một số bài toán của hình học tổng hợp trong mặt phẳng

Việc sử dụng các tính chất của tập lồi và bao lồi là công cụ hữu hiệu để giải các bài toán hình học, đặc biệt là các bài toán hình học tổ hợp.. Với mong muốn được nghiên cứu sâu hơn về v

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong chương trình Toán ở nhà trường phổ thông, các em học sinh đã được làm quen với khái niệm “lồi” ngay từ cấp hai khi học môn hình học Hầu hết chương trình học ở bậc trung học cơ sở và trung học phổ thông đều giới hạn trong các hình lồi: tam giác, hình thang, hình bình hành, hình tròn rồi đến các khối đa diện lồi như hình chóp, hình lăng trụ hoặc các khối tròn như hình nón, hình trụ, hình cầu Việc sử dụng các tính chất của tập lồi và bao lồi

là công cụ hữu hiệu để giải các bài toán hình học, đặc biệt là các bài toán hình học tổ hợp Với mong muốn được nghiên cứu sâu hơn về vấn đề này nhằm chuẩn bị cho mình lượng kiến thức tốt cho công việc giảng dạy sau này nên

em đã chọn đề tài: “Ứng dụng tính chất của tập lồi và bao lồi giải một số bài

toán hình học tổ hợp trong mặt phẳng” để làm khóa luận tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiểu sâu hơn các kiến thức về tập lồi và bao lồi

- Làm rõ tính ưu việt của việc ứng dụng tính chất của tập lồi và bao lồi giải các bài toán hình học tổ hợp trong mặt phẳng

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Kiến thức về tập lồi và bao lồi

- Phạm vi nghiên cứu: Một số bài toán hình học tổ hợp ứng dụng tính chất của tập lồi và bao lồi trong mặt phẳng

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về ứng dụng tính chất của tập lồi và bao lồi vào các bài toán hình học tổ hợp trong mặt phẳng

5 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu, phân tích tài liệu

- Sưu tầm, giải quết các bài toán

6 Cấu trúc đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo thì đề tài gồm có 3 chương:

- Chương 1: Tập hợp lồi

- Chương 2: Bao lồi trong mặt phẳng E 2

- Chương 3: Ứng dụng tính chất của tập lồi và bao lồi giải một số bài toán hình học tổ hợp trong mặt phẳng E 2

.

Các khái niệm cơ bản cũng như các tính chất cơ bản của tập lồi và bao lồi được trình bày trong chương 1 và chương 2 Đó là những kiến thức cần thiết được sử dụng trong chương 3 Chương 3 đề cập đến phương pháp chung

để giải các bài toán hình học tổ hợp sử dụng phép lấy bao lồi và sau đó là các bài tập minh họa cho phương pháp này Đây cũng chính là phần nội dung chính của đề tài

NỘI DUNG Chương 1: TẬP HỢP LỒI

1.1, Một số kiến thức bổ trợ

1, Cho một điểm M, khi đó:

- Nếu M nằm trên đường thẳng có định hướng ( trục số E1), thì M có tọa độ là x và ta hay viết M (x)

- Nếu M nằm trên mặt phẳng tọa độ Oxy (E2), thì M có tọa độ là (x,y)

và ta hay viết M (x, y)

- Nếu M nằm trong không gian Oxyz ( E3), thì M có tọa độ là (x, y, z)

và ta hay viết là M(x, y, z)

2, Gọi O là gốc tọa độ khi đó ta có thể cho tương ứng M với OMuuuur, vì như đã biết khi ấy tọa độ của điểm M cũng chính là tọa độ của vec tơ OMuuuur Dựa vào phép tính về vec tơ, ta có thể đưa ra các khái niệm sau:

- Nếu M (x) (M (x, y); M( x, y, z)) là điểm thuộc E1 (E2, E3) thì điểm

λM sẽ là điểm có tọa độ là λx ( (λx, λy); ( (λx, λy, λz) ) với λ là số thực tùy ý

- Nếu M (x1); N (x2) là 2 điểm thuộc E1, thì điểm M+ N sẽ là điểm có tọa độ là x1 + x2 (định nghĩa tương tự trong E2, E3)

Thí dụ trong E2 xét 2 điểm M( x1, y1), N( x2, y2) thì ta hiểu điểm

λM + µN là điểm trong E2

có tọa độ là: ( λ x1 + µ x2; λy1 + µ y2)

3, Cho 2 điểm M, N khi đó tập hợp:

MN= { λM + (1- λ) N: 0 ≤ λ ≤ 1} gọi là đoạn thẳng nối M với N

+, Khi λ =0 thì λM + ( 1- λ) N = N, đó là mút bên phải N

+, Khi λ =1 thì λM +( 1- λ) N = M, đó là mút bên trái M

Người ta cũng có thể dùng khái niệm:

MN = { λM +µ N : λ ≥ 0; µ ≥ 0; λ+ µ= 1} ®ể chỉ đoạn thẳng có 2 đầu mút là M và N

Tập hợp D được gọi là tập hợp lồi nếu như với mọi hai phần tử a D,

b D, với mọi số λ ( 0≤ λ ≤ 1) thì phần tử λa + (1- λ) b cũng thuộc tập hợp D

*Chú ý: Như đã nói trong phần trên, tập hợp

{ λa + (1- λ) b : 0≤ λ ≤1 } chính là đoạn thẳng nối 2 phần tử a với b

Vì vậy về mặt hình học ta có thể hiểu như sau: D là tập hợp lồi nếu như với mọi hai điểm A, B D, thì toàn bộ đoạn thẳng AB cũng thuộc tập hợp D

Thí dụ:

-Trong E1 các đoạn thẳng, các khoảng là những tập hợp lồi

-Trong E2 các đa giác lồi, hình tròn là những tập hợp lồi

-Trong E2 tứ giác ABCD dưới đây không phải là tập hợp lồi

1.3, Một số tính chất của tập hợp lồi trong mặt phẳng E 2

Từ đó λa + (1- λ) b D

Vậy D là tập hợp lồi (đpcm)

*Chú ý: Nếu A, B là các tập hợp lồi thì A B chưa chắc là tập hợp lồi

(Xem hình minh họa): A B

Ví dụ: Lấy A= {a}; B= B( O; R), a B; với B (O; R) là hình tròn tâm O, bán

kính R.Khi đó A, B là các tập hợp lồi nhưng A B không phải là tập lồi vì

Đảo lại, giả sử D là tập hợp lồi Ta phải chứng minh D thỏa mãn tính chất đã cho Điều này được chứng minh bằng quy nạp như sau:

+, Với n= 1, kết luận hiển nhiên đúng

+, Với n= 2, kết luận đúng vì đó là định nghĩa của tập hợp lồi

+, Giả thiết quy nạp, kết luận của bài toán đã đúng đến n= k, tức là với mọi x1, x2 , xk D, với λi ≥ 0, i= 1, k và

Theo nguyên lí quy nạp suy ra điều phải chứng minh

*Chú ý: Kết luận của mệnh đề trên vẫn đúng nếu D là tập hợp lồi trong

Điều đó có nghĩa là C lồi, tức A+ B lồi (đpcm)

*Chú ý: Bằng quy nạp dễ dàng suy ra nếu A1, A2, An là các tập hợp lồi thì

Giả sử hệ nói trên có nghiệm và D là tập hợp nghiệm của hệ ấy Chứng minh rằng D là tập hợp lồi trong E2

Theo định nghĩa D là tập hợp lồi trong E2( đpcm)

Bài 3: Trong mặt phẳng cho điểm ( xo, yo) D là tập hợp các điểm (x, y) được xác định như sau: D= { (x; y) : (x- xo) 2 + (y- yo) 2 ≤ R2

λ (x1, y1) + (1- λ) (x2; y2) = ( λx1 + (1- λ) x2; λy1 + (1- λ) y2)

Ta có: [ λx1+ (1- λ) x2- x0]2 + [λy1 + (1- λ) y2- y0]2

= [ λ(x1- x0) +(1- λ) (x2- x0) ]2 + [ λ( y1- y0) +(1- λ)( y2- y0)]2

= λ2 [(x1- x0)2 + ( y1- y0)2] +(1- λ)2 [(x2- x0)2 + ( y2- y0)2] + 2λ(1- λ) [(x1- x0) (x2- x0) + ( y1- y0) ( y2- y0)] (2)

Trong bài tập trên D chính là đường tròn tâm ( x0; y0) và bán kính bằng R

Bài 4: Cho C là tập hợp lồi và λ1 ≥ 0, λ 2 ≥ 0 Chứng minh rằng:

Như thế bao hàm thức (1) đã được chứng minh

2, Bây giờ ta sẽ chứng minh bao hàm thức ngược lại:

V× λ1 ≥ 0, λ2 ≥ 0 nên ta có 2 khả năng sau xảy ra:

a, Nếu λ1+ λ2 = 0 Khi đó λ1 = λ2 = 0 Lúc này (2) hiển nhiên đúng

b, Nếu λ1 + λ2 > 0 Giả sử x là phần tử bất kì mà x λ1C + λ2 C

Như vậy tồn tại x1 C, x2 C sao cho x= λ1x1 + λ2 x2. Ta có thể viết lại như sau: x=( λ1 + λ2 ) ( 1

Bài 5: Giả sử C là tập hợp lồi Điểm x C gọi là điểm cực biên của C

nếu như không tồn tại 2 điểm x1, x2 C sao cho: x= λ1 x1+ λ2x2

là x là điểm cực biên của C Bài toán được giải hoàn toàn

Bài 6: Cho C là tập hợp lồi và x C Chứng minh rằng điểm x là điểm

cực biên của C khi và chỉ khi C\{x} là tập hợp lồi

Đó là điều vô lí Như vậy x [x1, x2], điều này trái với x là điểm cực biên của

C Tóm lại giả thiết phản chứng là sai, tức C\{x} là tập lồi

2, Đảo lại, giả sử C\{x} là tập hợp lồi, ta sẽ chứng minh x là điểm cực biên của C Giả thiết phản chứng x không phải là điểm cực biên của C Điều đó có nghĩa là tồn tại x1, x2 C; x1 x2 sao cho: x (x1, x2); tức là:

Điều vô lí này chứng tỏ giả thiết phản chứng là sai

Vậy x là điểm cực biên của C (đpcm)

Chương 2: BAO LỒI TRONG MẶT PHẲNG E 2

2.1, Định nghĩa về bao lồi

Cho M là tập hợp cho trước Tập hợp lồi nhỏ nhất chứa M được gọi là bao lồi của tập hợp M

Kí hiệu là C (M)

-Ví dụ:

Trong E2 cho B( O; R) = {x : d(O, x) ≤ R} là hình trßn tâm O, bán kính R

2.2, Một số tính chất của bao lồi trong mặt phẳng Euclide E 2

2.2.1: Mệnh đề 1

Gọi Z= { α: Cα là tập hợp lồi chứa M}

Trong đó M là một tập hợp cho trước

Khi đó C (M) = Cα (α Z)

Nghĩa là: bao lồi của một tập hợp là giao của tất cả các tập hợp lồi chứa tập hợp đã cho

*Chứng minh:

Gọi M là tập hợp trong mặt phẳng E2 Trước hết ta thấy rằng: Z .

Thật vậy, ít nhất toµn mặt phẳng E2 chính là một tập hợp lồi chứa M Vì

Cα là tập hợp lồi nên như ta đã biết giao của các tập hợp lồi chính là tập hợp lồi Vì thế Cα (α Z) là tập hợp lồi, và rõ ràng vì Cα M, α Z nên

1, Giả sử C là một tập hợp lồi bất kì chứa M (M C)

Lấy phần tử tùy ý x A, theo định nghĩa tồn tại số tự nhiên k sao cho:

x =

1 ixi

k

i

; xi M, λi ≥ 0, i= 1, k và

1 i

k

i

Do C M mà xi M nên xi C

Vì C là tập hợp lồi nên từ (*) suy ra x C

Vậy A C với mọi tập hợp lồi C chứa M

A C(M) (theo mệnh đề 1)

2, Đảo lại lấy x A, y A và µ1 ≥ 0, µ2 ≥ 0 sao cho µ1 + µ2= 1

Theo định nghĩa của tập hợp A suy ra tồn tại các số tự nhiên m, n; tồn tại αi ≥ 0; βi ≥ 0, xi M, yi M, với i= 1, m j= 1, n ;

m i

i

1

= 1

n

j

j =1,

sao cho x= xi

m i

i

1

; y=

1

µ = µ1(

m i

xi + 2

1

n i j

yj A

Do vậy từ (1) đi đến µ1x + µ2 y A Điều đó có nghĩa A là tập hợp lồi Lấy x tùy ý của M thì rõ ràng theo định nghĩa của A, nói riêng x A Như vậy M A A là tập hợp lồi chứa M, nên dĩ nhiên: C (M) A

Từ đó ta có: A = C( M) (đpcm)

2.3, Một số bài toán về bao lồi của một họ hữu hạn các điểm trong

E2

Bài 1: Cho 5 điểm bất kì trên một mặt phẳng sao cho không có ba điểm

nào là thẳng hàng Chứng minh bao lồi của 5 điểm này hoặc là ngũ giác, hoặc

là tứ giác hoặc là tam giác

Lời giải

Chỉ có thể xảy ra các trường hợp sau:

1, Nếu bao lồi là ngũ giác, tức là 5 điểm đã cho là các đỉnh của một ngũ giác lồi Khi đó rõ ràng ABCDE chính là bao lồi của họ 5 điểm A, B, C, D, E Trường hợp này bao lồi là ngũ giác ABCDE

2, Nếu tồn tại 4 trong 5 điểm (chẳng hạn A, B, C, D) tạo thành một tứ giác lồi Theo giả thiết điểm còn lại E không thể nằm trên các đường thẳng

AB, BC, CD, DA (vì không có 3 điểm nào thẳng hàng)

Chỉ có thể xảy ra 1 trong các khả năng sau:

-Nếu E nằm bên trong tứ giác ABCD

Khi đó bao lồi của 5 điểm đã cho là tứ giác (ABCD)

-Nếu E nằm ở các góc I, hoặc II, hoặc III, hoặc IV (chẳng hạn E thuộc góc I)

Khi đó bao lồi là ngũ giác(ABCDE)

- Nếu E nằm ở cỏc gúc 5, 6, 7 hoặc 8 (chẳng hạn E thuộc gúc 5)

Khi đú bao lồi là tứ giỏc (ABCE)

3, Xột một tam giỏc bất kỡ (chẳng hạn ABC)

Chỉ có các trường hợp sau xảy ra:

- Hoặc là D, E nằm bên trong tam giác ABC Bao lồi của 5 điểm đã cho trong trường hợp này là tam giác

- Hoặc là D nằm trong, E nằm ngoài Δ ABC Xét tiếp 2 trường hợp như

sau

a Nếu E nằm trong các góc I, II, hoặc III (chẳng hạn E thuộc góc I)

Lúc này bao lồi của A, B, C, D, E là tứ giác (ABEC)

b Nếu E nằm trong một trong các góc 1, 2, 3(chẳng hạn E thuộc góc 1)

Bao lồi bây giờ là tam giác (ABE)

-Hoặc là cả 2 điểm D, E nằm ngoài tam giác ABC Xét với điểm D:

a, Nếu D thuộc góc I hoặc II, hoặc III

A

D ( I )

Bài toán quy về trường hợp tứ giác lồi ABCD (đã xét ở trên)

b, Nếu D thuộc một trong các góc 1, 2, 3

Bài toán quy về trường hợp tam giác ABD (đã xét ở trên )

Tóm lại: Bao lồi của 5 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng

là tam giác hoặc tứ giác hoặc ngũ giác Đó là điều phải chứng minh

*Nhận xét: Bài toán tổng quát của bài toán trên là mệnh đề sau:

Bao lồi của tập hữu hạn các điểm trên mặt phẳng, không có 3 điểm nào thẳng hàng là một đa giác lồi Tập hợp các đỉnh của đa giác lồi này là một tập hợp con của tập hợp điểm đã cho

Bài 2: Cho đa giác n đỉnh (n ≥ 4) Chứng minh rằng đa giác là lồi khi

và chỉ khi 4 đỉnh bất kì của chúng tạo thành tứ giác lồi

Lời giải

1, Điều kiện cần là hiển nhiên

2, Đảo lại giả sử F là đa giác n đỉnh (n ≥ 4) có tính chất: Bốn đỉnh bất

kì của chúng tạo thành một tứ giác lồi Ta phải chứng minh F là đa giác lồi Giả thiết phản chứng điều đó không đúng

Gọi G là bao lồi của F Khi đó tồn tại đỉnh A của F nằm bên trong G

Do G là đa giác lồi và A nằm bên trong G nên khi chia G thành các tam giác bởi các đường chéo cùng xuất phát từ một đỉnh nào đó của G Khi ấy ta có 4 điểm ( A và 3 đỉnh của tam giác chứa A), không lập thành một tứ giác lồi

Điều này mâu thuẫn với giả thiết của đầu bài

Vậy giả thiết phản chứng là sai, tức F là đa giác lồi (Đpcm)

Bài 3: Trên mặt phẳng cho 2 đa giác lồi ( F) và ( G) Kí hiệu ( H) là tập

hợp trung điểm của các đoạn thẳng có một đầu thuộc ( F), còn đầu kia thuộc (G) Chứng minh rằng H là một tập hợp lồi

Lời giải

Giả sử A và B là 2 điểm bất kì thuộc ( H) Vì A thuộc H nên A nên A là trung điểm của đoạn thẳng C1D1, tương tự B là trung điểm của đoạn thẳng

C2D2

Ở đây C1 , C2 thuộc ( F) Tương tự D1, D2 thuộc (G)

Gọi M, N tương ứng là trung điểm của C1D2, C2D1 thì AMBN là hình bình hành Vì C1, C2 thuộc ( F) mà ( F) là đa giác lồi nên C1C2 thuộc ( F) Tương tự D1D2 thuộc (G)

Gọi M, N tương ứng là trung điểm của C1D2, C2D1 thì AMBN là hình bình hành Vì C1, C2 (F), mà ( F) là đa giác lồi nên C1C2 (F) Tương tự

1, Có thể làm trực tiếp đơn giản như sau:

Lấy E tùy ý trên AB Từ E vẽ đường thẳng song song với MB, đường này cắt AM ở K C1K D1D2 = D* và thấy ngay K là trung điểm của C1D*

Bây giờ D*

E C1C2= C* và cũng có E là trung điểm D*C*

(Do KE // C1C2 và K là trung điểm của C1D*.) Như vậy E (H)

Điều đó có nghĩa là (H) là tập hợp lồi ( đpcm)

2, Kết quả trên vẫn đúng nếu thay ( F), ( G) bởi 2 tập lồi tùy ý

(không cần thiết ( F), (G) là các đa giác lồi)

Bài 4: Cho (G) là một đa giác lõm Chứng minh rằng tồn tại một đa

giác lồi (H) sao cho (H) có chu vi nhỏ hơn chu vi của (G), nhưng (H) lại có diện tích lớn hơn diện tích của (G)

Lời giải

Xét bao lồi của đa giác lõm (G)

Rõ ràng bao lồi đó là một đa giác lồi ( và ta sẽ gọi nó là (H) )

Vì G là đa giác lõm mà (H) (G) nên suy ra (H) chứa ( G) thật sự Như vậy diện tích của (H) lớn hơn diện tích của (G)

Xét biên của (H) và (G) Đường biên của (H) và (G) chỉ khác nhau ở một số chỗ các đường gấp khúc của biên của ( G) được thay bằng đoạn thẳng biên của (H)

Vì lẽ ấy chu vi của (H) nhỏ hơn chu vi của (G).( đpcm)

*Chú ý:

Ta có thể thay đa giác lõm (G) bằng một hình không lồi khi đó (H) là hình lồi, kết quả vẫn đúng

Bài 5: Chứng minh rằng tổng các góc ngoài của một đa giác bất kì kề

bù với các góc trong nhỏ hơn 1800, thì không nhỏ hơn 3600

Lời giải

Chỉ có 2 trường hợp sau đây xảy ra:

1, Nếu đa giác đã cho là lồi (giả sử đó là n- giác lồi) Khi đó mọi góc trong của đa giác đều nhỏ hơn 1800

Vậy S2 = 3600 Trong trường hợp này bất đẳng thức cần chứng minh là đúng và trở thành đẳng thức

2, Nếu đa giác đã cho là lõm Thí dụ đa giác ABCDEFKH

Như vậy ít nhất 1 góc trong lớn hơn 1800 Lấy bao lồi của đa giác lõm này (trong thí dụ trên đó là đa giác ABCEK) Đa giác bao lồi này chứa đa giác lõm ở trong Rõ ràng số các góc trong của đa giác lõm lớn hơn số các góc trong của đa giác bao lồi

Mỗi góc trong của đa giác bao lồi đều không nhỏ hơn mỗi góc trong cùng đỉnh của đa giác lõm (thí dụ trên cho ta góc trong B của đa giác bao lồi

và đa giác lõm là bằng nhau, còn các góc trong A, C, E, K của đa giác bao lồi lớn hơn các góc trong tương ứng của đa giác lõm.)

Vì thế nếu gọi S2 và S’2 tương ứng là tổng các góc ngoài của đa giác bao lồi và tổng các góc ngoài của đa giác bao lõm kề bù với các góc trong nhỏ hơn 1800

, thì S2 < S’2

Theo phần trên S2 = 3600 S’2 > 3600

Kết luận của bài toán trong trường hợp này là đúng

Tóm lại nếu gọi S là tổng cần tìm thì S ≥ 3600

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi đa giác đã cho là đa giác lồi Đó là điều cần phải chứng minh

Bài 6: Cho một hình (F) Ta gọi d là đường kính của (F) với d được xác

định như sau: d= max MN

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp như sau:

-Với n= 3 Rõ ràng trong một tam giác thì có không quá 3 đường kính (vì trong một tam giác đường kính chỉ có thể là cạnh của tam giác)

- Giả sử kết luận đã đúng đến n- giác

- Xét trường hợp (n+1)- giác Xét hệ H gồm n+ 1 điểm (n+1 đỉnh của

đa giác này) Trước hết ta cần chú ý rằng đường kính của một đa giác tùy ý chỉ có thể là những đoạn thẳng nối 2 đỉnh của đa giác đó Đó chính là lí do vì sao ta chỉ cần xét đến hệ H các đỉnh của đa giác

Chỉ có 2 khả năng xảy ra:

1, Nếu tại mỗi đỉnh của đa giác có không quá 2 đường kính của hệ H đi qua nó Trong trường hợp này số đường kính của H không vượt quá

2

n

= n+1 ( do mỗi đường kính được tính 2 lần)

2, Nếu có một đỉnh A nào đó có không ít hơn 3 đường kính AA1,AA2,

AA3 không giảm tổng quát có thể cho là A3 nằm trong cung ¼A A 1 2

Ta sẽ khẳng định rằng qua A3 chỉ có đúng một đường kính AA3

Thật vậy, nếu B là điểm tùy ý của hệ, thì do AB ≤ d, nên B nằm trong hình tròn (A, d); ở đây d là độ dài đường kính

Rõ ràng ta luôn có BA3 ≤ d

Giả sử BA3 = d thì B nằm ngoài hình quạt tạo nên bởi giới hạn bởi A

và cung ¼A A 1 2 Không mất tổng quát có thể cho là BA3 cắt AA1 Như vậy trong tứ giác ABA3A2, ta có: BA2+ AA3 > BA3 + AA2

Hay là BA2 > BA3 = d

(Đó là điều vô lí vì d là đường kính của hệ)

Vậy BA3 < d

Bây giờ xét n điểm thu được từ H khi bỏ A3 Theo giả thiết quy nạp hệ

n điểm này có không quá n đường kính, do vậy từ lập luận trên suy ra H có không quá n+1 đường kính

Vậy kết luận của bài toán cũng đúng với n+1

Theo nguyên lí quy nạp suy ra điều phải chứng minh

*Bây giờ ta đưa ra các ví dụ về đa giác lồi n cạnh có đúng n đường kính

-Thí dụ:

+, Tam giác đều có đúng 3 đường kính

+, Ngũ giác đều có đúng 5 đường kính