Ứng dụng tính chất của tập lồi và bao lồi giải một số bài toán của hình học tổng hợp trong mặt phẳng

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phan Hồng Tr-ờng M U Lớ chn ti Trong chng trỡnh Toỏn nh trng ph thụng, cỏc em hc sinh ó c lm quen vi khỏi nim li t cp hai hc mụn hỡnh hc Hu ht chng trỡnh hc bc trung hc c s v trung hc ph thụng u gii hn cỏc hỡnh li: tam giỏc, hỡnh thang, hỡnh bỡnh hnh, hỡnh trũn ri n cỏc a din li nh hỡnh chúp, hỡnh lng tr hoc cỏc trũn nh hỡnh nún, hỡnh tr, hỡnh cu Vic s dng cỏc tớnh cht ca li v bao li l cụng c hu hiu gii cỏc bi toỏn hỡnh hc, c bit l cỏc bi toỏn hỡnh hc t hp Vi mong mun c nghiờn cu sõu hn v ny nhm chun b cho mỡnh lng kin thc tt cho cụng vic ging dy sau ny nờn em ó chn ti: ng dng tớnh cht ca li v bao li gii mt s bi toỏn hỡnh hc t hp mt phng lm khúa lun tt nghip Mc ớch nghiờn cu - Tỡm hiu sõu hn cỏc kin thc v li v bao li - Lm rừ tớnh u vit ca vic ng dng tớnh cht ca li v bao li gii cỏc bi toỏn hỡnh hc t hp mt phng i tng, phm vi nghiờn cu - i tng nghiờn cu: Kin thc v li v bao li - Phm vi nghiờn cu: Mt s bi toỏn hỡnh hc t hp ng dng tớnh cht ca li v bao li mt phng Nhim v nghiờn cu Nghiờn cu v ng dng tớnh cht ca li v bao li vo cỏc bi toỏn hỡnh hc t hp mt phng Phng phỏp nghiờn cu - Nghiờn cu, phõn tớch ti liu Nguyn Th Nhung K33A - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phan Hồng Tr-ờng - Su tm, gii qut cỏc bi toỏn Cu trỳc ti Ngoi phn m u, kt lun, ti liu tham kho thỡ ti gm cú chng: - Chng 1: Tp hp li - Chng 2: Bao li mt phng E2 - Chng 3: ng dng tớnh cht ca li v bao li gii mt s bi toỏn hỡnh hc t hp mt phng E2 Cỏc khỏi nim c bn cng nh cỏc tớnh cht c bn ca li v bao li c trỡnh by chng v chng ú l nhng kin thc cn thit c s dng chng Chng cp n phng phỏp chung gii cỏc bi toỏn hỡnh hc t hp s dng phộp ly bao li v sau ú l cỏc bi minh cho phng phỏp ny õy cng chớnh l phn ni dung chớnh ca ti Nguyn Th Nhung K33A - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phan Hồng Tr-ờng NI DUNG Chng 1: TP HP LI 1.1, Mt s kin thc b tr 1, Cho mt im M, ú: - Nu M nm trờn ng thng cú nh hng ( trc s E 1), thỡ M cú ta l x v ta hay vit M (x) - Nu M nm trờn mt phng ta Oxy (E2), thỡ M cú ta l (x,y) v ta hay vit M (x, y) - Nu M nm khụng gian Oxyz ( E3), thỡ M cú ta l (x, y, z) v ta hay vit l M(x, y, z) uuuur 2, Gi O l gc ta ú ta cú th cho tng ng M vi OM , vỡ uuuur nh ó bit y ta ca im M cng chớnh l ta ca vec t OM Da vo phộp tớnh v vec t, ta cú th a cỏc khỏi nim sau: - Nu M (x) (M (x, y); M( x, y, z)) l im thuc E1 (E2, E3) thỡ im M s l im cú ta l x ( (x, y); ( (x, y, z) ) vi l s thc tựy ý - Nu M (x1); N (x2) l im thuc E1, thỡ im M+ N s l im cú ta l x1 + x2 (nh ngha tng t E2, E3) Thớ d E2 xột im M( x1, y1), N( x2, y2) thỡ ta hiu im M + àN l im E2 cú ta l: ( x1 + x2; y1 + y2) 3, Cho im M, N ú hp: MN= { M + (1- ) N: 1} gi l on thng ni M vi N +, Khi =0 thỡ M + ( 1- ) N = N, ú l mỳt bờn phi N +, Khi =1 thỡ M +( 1- ) N = M, ú l mỳt bờn trỏi M Ngi ta cng cú th dựng khỏi nim: Nguyn Th Nhung K33A - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phan Hồng Tr-ờng MN = { M +à N : 0; 0; + à= 1} đ ch on thng cú u mỳt l M v N 4, Cú hp A v B Khi ú: A+ B= {c: c= a+b, vi a A= { c: c= a vi a A, b B} A} Thớ d: Trong E1 cho A= [ 1; 3]; B= [ 2; 6] thỡ A+ B= [3; 9]; 2A= [2; 6] 1.2, nh ngha hp li Tp hp D c gi l hp li nu nh vi mi hai phn t a b D, D, vi mi s ( 1) thỡ phn t a + (1- ) b cng thuc hp D *Chỳ ý: Nh ó núi phn trờn, hp { a + (1- ) b : } chớnh l on thng ni phn t a vi b Vỡ vy v mt hỡnh hc ta cú th hiu nh sau: D l hp li nu nh vi mi hai im A, B D, thỡ ton b on thng AB cng thuc hp D Thớ d: Nguyn Th Nhung K33A - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phan Hồng Tr-ờng -Trong E1 cỏc on thng, cỏc khong l nhng hp li -Trong E2 cỏc a giỏc li, hỡnh trũn l nhng hp li -Trong E2 t giỏc ABCD di õy khụng phi l hp li 1.3, Mt s tớnh cht ca hp li mt phng E2 Mnh Giao ca cỏc li bt kỡ l mt li, tc: Nu Di hp li, vi I l ch s bt kỡ thỡ D = X(i I) l cỏc Di (i I) cng l hp li - Chng minh: Ly a, b tựy ý thuc D v l s thc tựy ý cho Vi i I, Di l cỏc hp li m a, b nờn: a + (1- )b Nguyn Th Nhung Di ( Di ( i I) i I) K33A - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phan Hồng Tr-ờng T ú a + (1- ) b D Vy D l hp li (pcm) *Chỳ ý: Nu A, B l cỏc hp li thỡ A (Xem hỡnh minh ha): A Vớ d: Ly A= {a}; B= B( O; R), a B cha chc l hp li B B; vi B (O; R) l hỡnh trũn tõm O, bỏn kớnh R Khi ú A, B l cỏc hp li nhng A ly b B thỡ on thng ab A B khụng phi l li vỡ B Mnh Trong mt phng E2 cho hp D Khi ú D l hp li v ch vi mi s nguyờn dng n, vi mi x1, x2 , xn v n i i = 1, thỡ: n i i xi D, vi i 0; i= 1, n D - Chng minh: Gi s D l hp tha yờu cu ó cho Núi riờng vi n= 2, ta cú t x1, x2 D, 0, v +2 =1, thỡ: 1x1 + 2x2 D Theo nh ngha suy D l hp li Nguyn Th Nhung K33A - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phan Hồng Tr-ờng o li, gi s D l hp li Ta phi chng minh D tha tớnh cht ó cho iu ny c chng minh bng quy np nh sau: +, Vi n= 1, kt lun hin nhiờn ỳng +, Vi n= 2, kt lun ỳng vỡ ú l nh ngha ca hp li +, Gi thit quy np, kt lun ca bi toỏn ó ỳng n n= k, tc l vi mi x1, x2 , xk D, vi k i 0, i= 1, k v k i = thỡ: i xi i - Xột n= k+1 Ly x1, x2 , xk, xk+1 D i D, ly i 0, i= 1, k k v i = i Ch cú kh nng xy ra: a, Nu k+1 =1, thỡ = = =k =0 Vỡ th: k D ( theo gi thit xk+1 i xi = xk+1 D) i b, Nu k+1 < t o = k i ; ú rừ rng o v o > i k i = v k+1 < 1) (chỳ ý l i Ta cú: k k i xi =0 i i i xi +k+1.xk+1 o (1) k Vỡ ; , nờn t x1, ,xk k [0,1] v i i = o =1 D v theo gi thit quy np suy ra: x = k i Do x D, xk+1 D, > 0, k+1 v + k+1 = k i xi D o i =1 nờn t tớnh li i ca D suy ra: o x + k+1.xk+1 Nguyn Th Nhung D (2) K33A - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp T (1), (2) suy ra: GVHD: Th.s Phan Hồng Tr-ờng k D i xi i Vy kt lun ca bi toỏn cng ỳng vi n= k+1 Theo nguyờn lớ quy np suy iu phi chng minh *Chỳ ý: Kt lun ca mnh trờn ỳng nu D l hp li E1, cng nh E3 1.4, Mt s bi v hp li Bi 1: Cho A, B l cỏc hp li Chng minh rng A+ B cng l hp li Li gii t C = A+ B, thỡ C= { c: c= a+b, vi a A, b B} Ly c1, c2 tựy ý thuc C, v l s thc tựy ý Vỡ c1 C c1= a1+ b1 vi a1 A, b1 B c2 C c2= a2+ b2 vi a2 A, b2 B t ú: c1 + (1- ) c2 = (a1+ b1) + (1- ) (a2+ b2) = [ a1 + (1- ) a2 ] + [b1 + (1- ) b2 ] Do A, B l cỏc hp li m a1, a2 a1 + (1- )a2 A; A; b1, b2 b1 + (1-) b2 Vỡ l ú t (1) suy c1 + (1- ) c2 (1) B nờn: B C iu ú cú ngha l C li, tc A+ B li (pcm) *Chỳ ý: Bng quy np d dng suy nu A1, A2, An l cỏc hp li thỡ A1+A2+ +An cng l hp li Bi 2: Cho h phng trỡnh a1x + b1y+ c1 a2 x + b y + c anx + bny +c2 Nguyn Th Nhung K33A - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phan Hồng Tr-ờng Gi s h núi trờn cú nghim v D l hp nghim ca h y Chng minh rng D l hp li E2 Li gii Gi s ( x1, y1) v ( x2, y2) l phn t tựy ý ca D v l s thc tựy ý cho Ta cú: ak x1 + bky1 +c k v akx2 +bky2+ ck vi k= 1, n T ú suy vi mi k= 1, n cng cú: ( ak x1 + bky1 +c k ) + (1- ) (akx2 + bky2 +ck ) hay ak [ x1+(1-)x2]+ bk [ y1+(1- )y2] + ck (1) Bt ng thc (1) chng t rng vi mi k= 1, n thỡ phn t: ( x1 + (1- ) x2; y1 +(1- )y2 ) hay (x1, y1) + (1- ) (x2, y2) D D Theo nh ngha D l hp li E2( pcm) Bi 3: Trong mt phng cho im ( xo, yo) D l hp cỏc im (x, y) c xỏc nh nh sau: D= { (x; y) : (x- xo) + (y- yo) R2 } õy R l s dng cho trc Chng minh rng D l hp li Li gii Gi s ( x1, y1); (x2, y2) l phn t tựy ý ca D Khi y ta cú: (x1- x0) + ( y1- y0)2 R2 (x2- x0) + ( y2- y0)2 R2 (1) Ly l s thc tựy ý cho Xột phn t: (x1, y1) + (1- ) (x2; y2) = ( x1 + (1- ) x2; y1 + (1- ) y2) Ta cú: [ x1+ (1- ) x2- x0]2 + [y1 + (1- ) y2- y0]2 = [ (x1- x0) +(1- ) (x2- x0) ]2 + [ ( y1- y0) +(1- )( y2- y0)]2 = [(x1- x0)2 + ( y1- y0)2] +(1- )2 [(x2- x0)2 + ( y2- y0)2] + 2(1- ) [(x1- x0) (x2- x0) + ( y1- y0) ( y2- y0)] Nguyn Th Nhung (2) K33A - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp Chỳ ý rng: GVHD: Th.s Phan Hồng Tr-ờng x1 (x1- x0) (x2- x0) x0 x2 x0 2 (y1- y0)( y2- y0) y1 y0 y2 y0 (3) Thay (1), (3) vo ( 2) ta cú: [ x1 + (1- ) x2 x0]2 + [ y1 +(1- ) y2- y0]2 R2 + (1- )2R2 +2( 1- ) R2 (4) Vỡ 2R2 +( 1- )2R2 + 2( 1- )R2 = R2 [ +( 1- )]2 =R2 nờn t (4) suy ra: [ x1+(1-)x2x0 ]2 + [ y1+( 1- )y2- y0 ]2 R2 (5) Bt ng thc (5) chng t rng phn t (x1; y1) +( 1- ) (x2; y2) D Theo nh ngha D l hp li E2 ( pcm) *Chỳ ý: Trong bi trờn D chớnh l ng trũn tõm ( x0; y0) v bỏn kớnh bng R Bi 4: Cho C l hp li v 0, Chng minh rng: 1C + C = ( + 2) C Li gii 1, Rừ rng ( 1+ 2) C Tht vy, gi s x (1) ( 1+ 2) C, tc l: x= (1 +2 ) x , vi x C T x= x +2 x v x Suy x 1C + C 1C, x 2C 1C + C Nh th bao hm thc (1) ó c chng minh 2, Bõy gi ta s chng minh bao hm thc ngc li: 1C + C ( + 2) C (2) Vì 0, nờn ta cú kh nng sau xy ra: a, Nu 1+ = Khi ú = = Lỳc ny (2) hin nhiờn ỳng b, Nu + > Gi s x l phn t bt kỡ m x Nguyn Th Nhung 10 1C + C K33A - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phan Hồng Tr-ờng - ng chộo xuyờn tõm ni Ai vi Ai+k vi i= 1, k (cú k ng chộo xuyờn tõm) Kớ hiu di l tng di cỏc ng chộo ni nh cỏch qua i nh (i= 1,2, , k-2) Lp lun nh phn trờn ta cú: d i (i 1) ; chu vi đa giác i 1, k Gi d* l tng di cỏc ng chộo xuyờn tõm, rừ rng mi ng chộo xuyờn tõm cú di nh hn vỡ th d* < k Vỡ vy ta cú: d= d1 +d2 + +dk-2+ d* < (2+3+ +k-1) + k (4) ý rng: ( 2+3+ +k-1) + k (2 k 1)(k 2) + = k 2 = p (k+1) (k-2) +pk = p( k - k- 2+ k) = p( k - 2) n Do n = 2k nờn [ ][ n 2k ]= [k][ ]= k.k= k2 2 n Thay (5), (6) vo (4) v i n d < p( [ ][ (5) (6) n ] -2) Bt ng thc cn chng minh cng ỳng trng hp ny ú chớnh l iu phi chng minh Nguyn Th Nhung 41 K33A - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phan Hồng Tr-ờng Bi 9: Trờn mt phng cho 2001 im phõn bit cho khụng cú im no thng hng Chng minh rng cú th chn c s ny 1000 cp im (Ai, Bi); (1 i1000), cho 1000 on thng AiBi ny ct ớt nht ti 500 im phõn bit Li gii Trc ht ta chng minh b ph tr sau õy: B : Cho im trờn mt phng cho khụng cú im no thng hng, ú im ny cú th chn im A, B, C, D cho ABCD l t giỏc li (vi AC v BD ct nhau) Chng minh b : Xột bao li ca im A, B, C, D, E ó cho Vỡ khụng cú im no thng hng nờn d nhiờn bao li ca chỳng khụng th l on thng Ch cú kh nng sau cú th sy ra: 1, Bao lồi l t giỏc ( cú th cho l t giỏc ABCD) Khi ú t giỏc li ABCD tha yờu cu bi 2, Bao li l ng giỏc ABCDE Khi ú cú th chn t giỏc li cn tỡm l mt cỏc t giỏc: ABCD, BCDE, CDEA, DEAB, EABC Nguyn Th Nhung 42 K33A - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phan Hồng Tr-ờng 3, Bao li l tam giỏc (cú th cho l tam giỏc ABC) Khi ú im D, E nm hn bờn tam giỏc ABC ngoi E khụng nm trờn cỏc ng thng AD, BD, CD Vỡ th gi s DE AB = K DE AC= H thỡ K, H khụng trựng vi cỏc nh ca tam giỏc ABC Bõy gi t giỏc cn chn cú th l t giỏc BDEC B c chng minh Bõy gi tr li bi toỏn: Do s im ó cho l hu hn nờn tn ti ng thng d khụng song song vi bt kỡ mt on thng no ni im 2001 im ó cho v cú th gi thit thờm l c 2001 im nm hon ton v phớa bờn phi ca d Nguyn Th Nhung 43 K33A - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phan Hồng Tr-ờng Dch chuyn d song song vi chớnh nú Khi ú d ln lt gp cỏc im ó cho (mi ln gp mt im) ng thng song song vi d gp im u tiờn s kớ hiu l d1 v d2001 l ng thng i qua im cui cựng Nh vy bờn trỏi cỏc ng d5, d9, d13 d1997, d2001 cha đỳng 5, 9, 13, , 1997, 2001 im ó cho Cỏc ng thng ny chia mt phng thnh 500 di, mi di cha im Trong di cú im, theo b cú th chn im( m s gi l A1, B1, A2, B2) cho: A1B1 A2 B2 C1 Ngoi di cũn im t - Xột b im ú cú im t cũn li v im di Li theo b cú th chn im (m s gi l A3, B3, A4, B4) cho: A3B3 A4B4 = C2 A1, A2, B1, B2, C1 d nhiờn nm di 1, cũn C2 nm di (vỡ ớt nht on A3B3, A4B4 nm trn di 2) Lỳc ny cũn li im t Nguyn Th Nhung 44 K33A - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phan Hồng Tr-ờng - Kt hp im di 3, vi im t cũn li sau bc lm nh trờn, li theo b trờn cú th chn im (s gi l A5, B5, A6, B6) cho: A5 B5 A6B6 =C3 Lp lun tng t nh trờn C3 thuc di v cũn li im t C lm nh vy cho n di 500, ta thu c 500 cp: A1B1 A2B2 = C1 A3B3 A4B4 =C2 A999B999 A1000B1000 =C500 ú l iu phi chng minh Bi 10: Cho n im mt phng, n >4 v khụng cú im no thng hng Chng minh cú ớt nht: (n 3)(n 4) t giỏc li cú nh nm s n im ó cho Li gii - Trc tiờn ta xột vi n= Theo bi cú ớt nht mt t giỏc li m nh ca nú chn im ó cho Li ý rng n= 5, thỡ: (5 3)(5 4) =1 Vy kt lun ca bi toỏn ỳng n=5 - Xột vi n >5 Vỡ khụng cú im no thng hng, nờn s cỏch chn im n im l: C n = n(n 1)(n 2)( n 3)( n 4) 120 Mi cỏch chn ny theo trờn trng hp n=5 cho ta ớt nht t giỏc li Tuy nhiờn bt kỡ t giỏc li no s ú cng cú th lp t (n-4) hp khỏc gia im núi trờn Nguyn Th Nhung 45 K33A - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp Do ú cú ớt nht: GVHD: Th.s Phan Hồng Tr-ờng n 4C n = n(n 1)( n 2)( n 3) s tt c cỏc t giỏc li 120 c thnh lp t n im ó cho Bõy gi ta ch cũn chng minh bt ng thc sau (vi n 5): n(n 1)(n 2)(n 3) (n 3)(n 4) 120 (1) Rừ rng (1) : n(n-1)(n-2) 60 (n-4) n(n-1)(n-2)- 60(n-4) (n-5)(n-6)(n+8) (n-5)(n-6) (2) Do n v n nguyờn nờn (2) hin nhiờn ỳng ú l đpcm Bi 11: Trờn mt bn t n hỡnh vuụng bng cỏc tụng v n hỡnh vuụng bng nha cho cỏc hỡnh vuụng bng cỏctụng (cng nh cỏc hỡnh vuụng bng nha) khụng cú im chung (k c im trờn biờn) Sau sp xp ngi ta nhn thy rng hp cỏc nh hỡnh vuụng bng nha hon ton trựng vi hp cỏc nh hỡnh vuụng bng cỏc tụng Chng minh rng cỏc hỡnh vuụng bng cỏc tụng v cỏc hỡnh vuụng bng nha c xp hon ton trựng Li gii Gi thit phn chng kt lun ca bi toỏn khụng ỳng, tc l cỏc hỡnh vuụng bng cỏc tụng v nha c xp khụng hon ton trựng Loi b i cỏc hỡnh vuụng hon ton t trựng vi Khi ú t gi thit phn chng suy cũn li cỏc hỡnh vuụng bng nha v cỏc tụng, ú khụng cú hỡnh vuụng no bng nha v cỏc tụng li trựng khớt Xột hp cỏc nh hỡnh vuụng bng nha cũn li Rừ rng t gi thit suy ú cng chớnh l hp cỏc nh hỡnh vuụng bng cỏc tụng Xột bao li ca hp cỏc nh ny Nguyn Th Nhung 46 K33A - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phan Hồng Tr-ờng Xột nh A tựy ý ca bao li va xột Vỡ mi hỡnh vuụng bng cỏc tụng v nha cũn li u nm hn bao li ny, nờn núi riờng ti nh A cú hỡnh vuụng khỏc loi v nm trn gúc ti nh (rừ rng gúc ny nh hn 1800) Trong hỡnh vuụng ny (d nhiờn chỳng khụng trựng khớt nhau) s tn ti mt nh B ca hỡnh vuụng ny nm hn hỡnh vuụng (Gi s B l nh hỡnh vuụng cỏc tụng) Theo gi thit thỡ qua nh B phi cú hỡnh vuụng bng nha nhn B lm nh iu ny dn n mõu thun vi vic cỏc hỡnh vuụng bng nha khụng cú im chung Vy gi thit phn chng l sai, tc l cỏc hỡnh vuụng bng nha v cỏc hỡnh vuụng bng cỏc tụng hon ton trựng khớt nhau.( pcm) Bi 12: Trờn mt phng cho 2005 im, s ú khụng có im no thng hng v khụng cú im no cựng nm trờn ng trũn Chng minh rng t cỏc im ú cú th chn c im cho cú ỳng 1001 im s cũn li nm ng trũn i qua im ó chn, cũn 1001 im thỡ nm ngoi Li gii Ly bao li ca 2005 im Nh ó bit bao li ny l a giỏc Do khụng cú im no thng hng nờn mi cnh ca a giỏc bao li ch cha Nguyn Th Nhung 47 K33A - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phan Hồng Tr-ờng ỳng im l nh ca mi cnh Ly cnh bt kỡ ca a giỏc bao li v gi s cnh ú l AB i 1001 1003 j 2003 Rừ rng ng thng qua A, B t 2003 im cũn li v phớa ca ng thng ny ỏnh s tt c 2003 im cũn li l C1, C2, C2003 cho: AC1B < AC2B < < AC2003B (chỳ ý rng iu ny luụn tha vỡ khụng cú im no cựng thuc ng trũn Xột ng trũn ngoi tip tam giỏc AC1002B D thy cỏc im C1, C2, ,C1001 nm ngoi ng trũn ngoi tip tam giỏc AC1002B, cũn li cỏc im C1003, C1004, C2003 nm ng trũn ny ú l iu phi chng minh Bi 13: Trờn mt phng cho n im (n 4), s ú khụng cú im no thng hng Chng minh rng nu vi mi im s ú luụn tỡm c im th (cng s cỏc im ó cho) cựng vi mi im s ú to thnh hỡnh bỡnh hnh Chng minh rng n=4 Li gii Xột bao li ca n im ó cho Khi ú bao li ny nh ó bit l a giỏc a giỏc bao li ny trờn mi cnh ca nú ch cú ỳng im s cỏc im ó cho Ch cú th xy trng hp sau: 1, Bao li l hỡnh bỡnh hnh ABCD Nguyn Th Nhung 48 K33A - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phan Hồng Tr-ờng Gi s n > Khi ú tn ti im M s n im ó cho cho M nm hn bờn hỡnh bỡnh hnh ABCD Xột chng hn vi im A, B, M Theo gi thit luụn tỡm c im th ( s n im ó cho), cựng vi A, B, M to thnh mt hỡnh bỡnh hnh D thy ng vi im A, B, M ch cú th cú hỡnh bỡnh hnh AMBE, ABMF, ABKM Vỡ K, E, F u nm ngoi hỡnh bỡnh hnh ABCD iu ny chng t rng ta ó gp mõu thun vỡ mi im s n im u phi nm bao li, ú K, E, F u khụng thuc hỡnh bỡnh hnh bao li ABCD Vỡ l y nu bao li l hỡnh bỡnh hnh ABCD thỡ ngoi cỏc im A, B, C, D khụng cú im no khỏc, tc l n= Kt lun ca bi toỏn ỳng trng hp ny 2, Bao li khụng phi l hỡnh bỡnh hnh Gi s AB v BC l cỏc cnh ca bao li K cỏc ng thng ta song song vi AB v BC Gi s cỏc ng thng ta ny i qua cỏc nh P v Q (trong s cỏc im ó cho) Xột vi im P, B, Q ú nh E, F, K ca cỏc hỡnh bỡnh hnh BPQE, BQPF, BPKQ u nm ngoi bao li Chỳng cựng nm ngoi hỡnh bỡnh hnh to bi cỏc ng thng ta ( ngoi tr trng hp P v Q l cỏc nh ca hỡnh bỡnh hnh ú) Trong trng hp ú nh th ca nú Nguyn Th Nhung 49 K33A - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phan Hồng Tr-ờng khụng thuc bao li, bi vỡ bao li khụng l hỡnh bỡnh hnh iu vụ lớ ny chng t khụng th xy trng hp Vỡ l ú bi toỏn c gii hon ton *Chỳ ý: -i vi a giỏc li thỡ ta gi nh l ng thng ta ca a giỏc nu i qua mt nh no ú ca a giỏc v cú tớnh cht l a giỏc nm v phớa so vi nú - Rừ rng rng, i vi mi a giỏc li tn ti ỳng ng thng ta song song vi ng thng cho trc Trong hỡnh v trờn ABCDE l a giỏc li, l l ng thng cho trc Cũn v l ng thng ta song song vi l Nguyn Th Nhung 50 K33A - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phan Hồng Tr-ờng KT LUN Nh vy vic s dng tớnh cht ca li v bao li cho phộp chỳng ta thnh cụng vic gii nhiu bi toỏn hỡnh hc, c bit l bi toỏn hỡnh hc t hp Tuy nhiờn tựy tng bi toỏn c th m ta cú th s dng phộp ly bao li thớch hp va s dng tớnh li ca bi toỏn li khụng lm phỳc bi toỏn lờn quỏ nhiu Do thi gian nghiờn cu v nng lc cũn hn ch nờn ti mi t mt s kt qu nht nh Em rt mong cỏc thy cụ, cỏc bn gúp ý v nhn xột ti ny c y v hon thin hn Trc kt thỳc ti ny, mt ln na em xin by t lũng bit n ca mỡnh i vi cỏc thy cụ giỏo trng, c bit l thy giỏo, ging viờn chớnh, thc s Phan Hng Trng ó tn tỡnh giỳp em hon thnh ti ny Nguyn Th Nhung 51 K33A - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phan Hồng Tr-ờng TI LIU THAM KHO Phan Huy Khi (2007), Chuyờn bi dng hc sinh gii toỏn THPT: Gii tớch li v cỏc bi toỏn s cp Phan Huy Khi (2007), Chuyờn bi dng hc sinh gii toỏn THPT: Cỏc bi toỏn hỡnh hc t hp Phm Khc Ban, Phn Bỡnh ụ (2008), Hỡnh hc afin v hỡnh hc Euclide trờn nhng vớ d v bi Vn Nh Cng, T Mõn (1998), Hỡnh hc afin v hỡnh hc Euclide Nguyn Th Nhung 52 K33A - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phan Hồng Tr-ờng LI CM N Sau mt thi gian mit mi nghiờn cu cựng vi s hng dn v ch bo tn tỡnh ca thy giỏo, thc s Phan Hng Trng, khúa lun ca em n ó c hon thnh Qua õy em xin by t lũng bit n sõu sc ca mỡnh ti thy Phan Hng Trng, ngi ó trc tip hng dn, ch bo v úng gúp nhiu ý kin quý bỏu trrong thi gian em thc hin khúa lun ny Em xin chõn thnh cm n cỏc thy cụ giỏo khoa Toỏn ó to iu kin tt nht cho em thi gian em lm ti Mc dự cú nhiu c gng nhng hn ch v thi gian v kin thc nờn chc chn ti ny khụng trỏnh nhng thiu sút Em rt mong nhn c s úng gúp ý kin ca thy cụ v cỏc bn sinh viờn bi khúa lun c hon thin hn Em xin chõn thnh cm n! H Ni, ngy 05 thỏng 05 nm 2011 Sinh viờn Nguyn Th Nhung Nguyn Th Nhung 53 K33A - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phan Hồng Tr-ờng LI CAM OAN Em xin cam oan khúa lun ny l kt qu ca quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu ca em cựng vi s giỳp ca cỏc thy cụ, cỏc bn sinh viờn khoa Toỏn trng i hc s phm H Ni 2, c bit l s hng dn tn tỡnh ca thy Phan Hng Trng Trong quỏ trỡnh lm khúa lun em cú tham kho nhng ti liu cú liờn quan ó c h thng mc ti liu tham kho Khúa lun: ng dng tớnh cht ca li v bao li gii mt s bi toỏn ca hỡnh hc t hp mt phng khụng cú s trựng lp vi cỏc khúa lun khỏc Nu sai em xin hon ton chu trỏch nhim Nguyn Th Nhung 54 K33A - Toỏn Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Phan Hồng Tr-ờng MC LC Trang M u Chng 1: Tp hp li 1.1 Mt s kin thc b tr 1.2 nh nga hp li 1.3 Mt s tớnh cht ca hp li mt phng 1.4 Mt s bi v hp li Chng 2: Bao li mt phng E 13 2.1 nh ngha v bao li 13 2.2 Mt s tớnh cht ca bao li mt phng E 13 2.3 Mt s bi toỏn v bao li ca mt h hu hn cỏc im E 16 Chng 3: ng dng tớnh cht ca hp li v bao li gii mt s bi toỏn hỡnh hc t hp mt phng E 28 3.1 Phng phỏp chung gii bi toỏn hỡnh hc t hp mt phng E 28 3.2 Mt s bi ng dng 29 Kt lun Ti liu tham kho Nguyn Th Nhung 55 K33A - Toỏn [...]... Th.s Phan Hồng Tr-ờng Mi gúc trong ca a giỏc bao li u khụng nh hn mi gúc trong cựng nh ca a giỏc lừm (thớ d trờn cho ta gúc trong B ca a giỏc bao li v a giỏc lừm l bng nhau, cũn cỏc gúc trong A, C, E, K ca a giỏc bao li ln hn cỏc gúc trong tng ng ca a giỏc lừm.) Vỡ th nu gi S2 v S2 tng ng l tng cỏc gúc ngoi ca a giỏc bao li v tng cỏc gúc ngoi ca a giỏc bao lừm k bự vi cỏc gúc trong nh hn 1800, thỡ S2 ... Th.s Phan Hồng Tr-ờng Chng 2: BAO LI TRONG MT PHNG E2 2.1, nh ngha v bao li Cho M l hp cho trc Tp hp li nh nht cha M c gi l bao li ca hp M Kớ hiu l C (M) -Vớ d: Trong E2 cho B( O; R) = {x : d(O,... dng c phộp ly bao li gii chỳng, thỡ lc chung gii bi toỏn ny nh sau: -Chn mt phộp ly bao li thớch hp Cn nhn mnh rng mt cỏc phộp ly bao li hay dựng nht l chỳng ta s dng kt qu sau: Bao li ca mt... nh ca a giỏc bao li Tng cỏc gúc ca a giỏc bao li ny l (m-2) S o ca mi gúc n- giỏc u l : (n 2) n Chỳ ý rng bao li ca n- giỏc u phi cha c n- giỏc u bờn Vỡ th gúc mi nh ca m- giỏc bao li phi ln