Định lý tách tập lồi và ứng dụng

Với mong muốn được nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểu được nhiều phương pháp giải toán hình được hay hơn, cụ thể hơn, trực quan hơn, nhằm chuẩn bị cho mình lượng kiến thức tốt ch

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận này, trước hết em xin được bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo trong khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã động viên, giúp đỡ em trong suốt thời gian làm khóa luận

Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn Nguyễn Năng Tâm đã tạo điều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm2011

Sinh viên

Phùng Thị Như Quỳnh

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận được hoàn thành với sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô giáo trong khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Nguyễn Năng Tâm

Trong khóa luận có tham khảo các kết quả nghiên cứu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn Kết quả của đề tài này không có sự trùng lặp với kết quả của đề tài khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2011

Sinh viên

Phùng Thị Như Quỳnh

MỤC LỤC

Mở đầu 1

Nội dung Chương I: Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Tập lồi 3

1.2 Bao lồi và bao lồi đóng 4

1.3 Nón lồi 5

1.4 Tập afin và bao afin 8

1.5 Phần trong tương đối 11

1.6 Siêu phẳng tựa 12

1.7 Phiếm hàm 12

Chương II: Các định lí tách – tập lồi 14

2.1 Định lí tập lồi 14

2.2 Định lí tách 22

Chương III: Ứng dụng của định lí tách – tập lồi 32

Kết luận 40

Tài liệu tham khảo 41

MỞ ĐẦU

1.Lí do chọn đề tài

Hình học là môn học quan trọng, tương đối khó trong chương trình toán học phổ thông, và có rất nhiều ứng dụng trong đời sống con người, để hiểu được nó người học cần phải tưởng tượng, tư duy cao Với mong muốn được nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểu được nhiều phương pháp giải toán hình được hay hơn, cụ thể hơn, trực quan hơn, nhằm chuẩn bị cho mình lượng kiến thức tốt cho công việc giảng dạy sau này, em đã chọn đề tài: ''Định lí tách tập lồi và ứng dụng'' để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

- Tìm hiểu sâu hơn kiến thức về giải tích lồi

- Làm rõ tính ưu việt của việc ứng dụng định lí tách tập lồi vào giải một số bài toán hình học

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Kiến thức về giải tích lồi

- Phạm vi nghiên cứu: Một số bài toán giải bằng phương pháp áp dụng định lí tách của giải tích lồi

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Trình bày định lí tách – tập lồi

- Đề xuất phương pháp giải một số bài toán hình học nhờ ứng dụng của định lí tách tập lồi

5 Các phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu sử dụng các lý luận, các công cụ toán học

- Nghiên cứu sách tham khảo, các tài liệu liên quan

6 Cấu trúc đề tài

Đề tài gồm ba chương

Chương I: Kiến thức chuẩn bị

Chương II: Các định lí tách, tập lồi

Chương III: Ứng dụng của định lí tách tập lồi

Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Để chứng minh các định lí tách tập lồi và ứng dụng của chúng được dễ dàng hơn, trước hết chúng ta cần có một kiến thức chuẩn bị cơ bản về tập lồi

và các vấn đề có liên quan đến đề tài này

Giả sử X là không gian véctơ định chuẩn, R là tập số thực

1,

i n với t 0,1

Ví dụ 1

Trong mặt phẳng tọa độ 0xy có a 1,3 ; b 2,5 Khi đó, x a b ,

nếu x x x1, 2 có tọa độ thỏa mãn:

mọi điểm thuộc đoạn thẳng nối a với b cũng thuộc P, nghĩa là: Nếu

Khi đó P I i được gọi là bao lồi của tập

Giả sử A X lồi Khi đó:

a) Phần trong intA và bao đóng A của A là các tập lồi;

b) Nếuxi intA , x A , thì x x1, 2 tx1 1 t x2 : 0 t 1 intA

Nói riêng, nếu intA thì A intA , int A intA

1.3 NÓN LỒI

Định nghĩa 6 (Xem [5], tr8)

Cho tập K X, thỏa mãn: x K ; 0 x K được

1, n 0 mà

1

m

i i i

Tập tất cả các véc tơ pháp tuyến của tập A tại b A được gọi là nón

pháp tuyến của A tại b và ký hiệu là N b a /

0, x A thì x d A hay với 0 ta có A d A.(*)

1.4 TẬP AFIN VÀ BAO AFIN

Giả sử X là không gian hữu hạn chiều X Rn

1 1

Như vậy, M là đóng với phép cộng và phép nhân vô hướng Vậy M

là không gian con

Quy ước: dim 1

Giả sử L là không gian con trong Rn Ta kí hiệu L là phần bù trực giao của L, và xác định là:

Cho A Rn, bao afin của tập A được định nghĩa là giao của tất cả

các tập afin chứa A, và được kí hiệu là affA

Thật vậy:a {a ,a , ,a }=L+b ff 0 1 m 0,trong đó

0, , , m

Do đó, dimL m a1 a0, , am 1 a a0, m a0 độc lập tuyến tính

Nhận xét 11

Từ nhận xét 10, suy ra:

a) a a0, 1, am độc lập afin nếu với

1

0;

m

i i i

a

1

0

m i i

sao cho

0

m

i i i

Chiều của tập lồi A được gọi là chiều của affA

Chú ý: Vì một đơn hình là một tập lồi cho nên có thể xét chiều của

đơn hình theo định nghĩa 19

1.5 Phần trong tương đối

Định nghĩa 20 (Xem [5], tr19)

Phần trong tương đối của tập A Rn là phần trong của A trong,

affA kí hiệu riA

Các điểm thuộc riA được gọi là điểm trong tương đối của tập A

Định nghĩa 21 (Xem [5], tr 19)

Tập A riA được gọi là biên tương đối của tập \ A Tập A được gọi là

mở tương đối, nếu riA A

Nhận xét 12

A A không suy ra được riA1 riA2

Thật vậy, Ví dụ lấy A2 là một khối lập phương trong R3, A1 là mặt trong A2 Khi đó A1 A2; riA1 ; riA2 nhưng

Giả sử A là tập lồi trong Rn Khi đó: dimA dim riA dimA

Nói riêng A riA

H x t x x là một nửa không gian tựa của C tại x0

Khi đó có một siêu phẳng tựa của C tại x0 C thì x0 phải là một điểm biên của C

Kết luận 1

Qua chương I, ta thấy đây là kiến thức chuẩn bị cơ bản của đề tài này,

nó gồm các định nghĩa, kí hiệu, hệ quả, mệnh đề, nhận xét , giúp ta hiểu rõ hơn về tập lồi và các tính chất của nó và để ta có cơ sở và thuận tiện hơn trong việc chứng minh các định lí ở chương II

Chương II: CÁC ĐỊNH LÍ TÁCH TẬP LỒI

Trong giải tích lồi và nhiều lĩnh vực khác nhau như giải tích hàm, giải tích không trơn và giải tích phi tuyến v.v Các định lí tách hai tập lồi có một vai trò trung tâm Về bản chất, định lí tách trả lời câu hỏi rằng một phần tử có thuộc một tập lồi không, và nếu không thuộc thì nó sẽ có tính chất gì? Đây là câu hỏi về liên thuộc (membership), một vấn đề cơ bản của toán học Ta có thể hình dung tập lồi đó là tập các điểm bất động của một ánh xạ, hay là một tập nghiệm của một bài toán tối ưu v.v Dĩ nhiên nếu câu trả lời là có, thì vấn đề liên thuộc đã được giải quyết Trái lại, nếu câu trả lời là không, thì sẽ xảy ra điều gì? Điều này giải thích vì sao các định lí tách thuộc loại các định lí chọn và là công cụ rất mạnh, thường được dùng để chứng minh sự tồn tại của một đối tượng trong nhiều vấn đề thuộc những lĩnh vực rất khác nhau Người

ta đã chứng minh được sự tương đương giữa định lí tách và định lí Bnach rất quen thuộc trong giải tích hàm Sự mở rộng các định lí tách và những ứng dụng đa dạng của chúng từ lí thuyết đến các vấn đề thực tế (chuẩn đoán u lành , u ác trong y học, hoặc dự đoán sự thành bại, phát triển của các doanh nghiệp ) hiện vẫn là một đề tài nghiên cứu thu hút sự quan tâm của nhiều người

+) m 2 Với t t1, 2 0 : t1 t2 1; x x1, 2 A Theo định nghĩa

Trường hợp 2: Nếu 0 tk 1p 1, khi đó:

1 1

k

i k i

t t

Với các điểm y A ; x 1 A ta có 1 tk 1 0; 1 tk 1 tk 1 1, do đó:

Mặt khác, tập tất cả các tổ hợp lồi của là lồi, chứa Do đó nó chứa co

Do K là nón lồi có đỉnh tại 0, ta lại có a b 2 c K

b) Ngược lại, với a k , 0 ta có a K Vậy K là nón có đỉnh tại 0

Với 0 1, a b , K ta có 1 a K ; b K và

1 a b K Khi 0 hoặc 1 ta vẫn có 1 a b K

Vậy K là nón lồi có đỉnh tại 0 W

Định lí 5 (Xem [5], tr 11)

Chứng minh

dạng x Rn; x b ; b 0 ; các siêu phẳng là các dịch chuyển của chúng

0

n i i

(2) Đặt m ax 0 , , n

e

n

Đặt 1

1

e e

n Ta nhận được i 0;

0

1

n i i

Nếu C A thì coC A Vì thế cực đại số chiều các đơn hình trong

A là số m lớn nhất sao cho A chứa một tập m 1 điểm độc lập afin, chẳng hạn a a0, 1, , am

Đặt M a ff a a0, , ,1 am Khi đó, dimm mvà M a ffA Mặt khác A M , bởi vì tồn tại a A M \ , thì tập m 2 phần tử

a) Trước hết xét trường hợp dimA=n, tức là a ffA Rn

Theo định lí 9, A chứa tập n 1 điểm độc lập aff a a0, 1, , an

Đơn hình S với các đỉnh a a0, 1, , an có intS (định lí 8)

Hiển nhiên a ff int A a ffA (1)

Mặt khác, theo định lí 10 và mệnh đề 1 ta có:

a ffA a ff A a ff int A a ff intA (2)

Từ (1) và (2) suy ra a ff riA a ffA

b) Trường hợp dimA n Không mất tính tổng quát có thể xem như 0 A,

tức affA là một không gian con Giả sử dimA m, khi đó có thể đồng nhất

affA với Rn và ta lại xét trường hợp a) Ta được điều phải chứng minh W

Định lí 12 (Xem [5], tr 20)

Giả sử A là lồi trong Rn Khi đó, riA A ; ri A riA

Chứng minh

Giả sử dimA m n không mất tính tổng quát ta có thể xem như

0 A Khi đó affA là không gian con và ta có thể đồng nhất affA với Rn

Áp dụng mệnh đề 1 cho không gian Rn ta được điều phải chứng minh

W 2.2 CÁC ĐỊNH LÍ TÁCH

Tập H : x Rn : , t x , ở đó t Rn \ 0 và R được

gọi là một siêu phẳng trong Rn

Tập H : x Rn : , t x và H : x Rn : , t x gọi

là nử không gian đóng trong Rn

Cho 2 tập A B , Rn Ta nói rằng 2 tập A và B được tách bởi siêu

phẳng nếu t Rn \ 0 và R sao cho

Hai tập lồi dời nhau, khác rỗng A và B trong Rn có thể tách được

bởi một siêu phẳng Có nghĩa là t Rn \ 0 và R sao cho

+) Giả sử bổ đề 1 đúng với n k 1 ta phải chứng minh bổ đề cũng đúng với n k Thật vậy,

D và D nên D* Do D lồi nên D* lồi

Ta có 0 D*, vì nếu trái lại 0 D* vô lý

Theo giả thiết qui nạp t* Rk 1 \ 0 sao cho t x*, 0, x D* hay

k

i i k i

k

i i k i

*

' 1

0

k

i i i

*

' 1

k

i i i

i

k i

0

k

i i k k i

t x t x

Do đó, t x , 0.

Nếu xk 0 thì x D Ta có

1

* 1

Chọn inf , sup ,

x A t x y B t y và định lí đã được chứng minh

W

Định lí 14 (định lí tách thứ hai) (Xem [3], tr 73)

Cho hai tập lồi đóng, khác rỗng, rời nhau A và B trong Rn Nếu A

hoặc B là tập compact thì ta có thể tách chặt A B , bởi 1 siêu phẳng Có nghĩa

là t Rn \ 0 và R sao cho:

Ta không thể tách chặt A B , bởi 1 siêu phẳng

Trường hợp tách hẳn được và không tách hẳn được

Vì D đóng và 0 D nên tồn tại hình cầu B 0, r sao cho

B I D Khi đó theo định lí 13, tồn tại t Rn \ 0 và R sao cho:

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử A là tập compact Đặt

D A B ta có D là tập đóng Thật vậy, lấy dãy dk D sao cho

Vì A compact nên tồn tại dãy con của dãy ak hội tụ Không mất

tính tổng quát, ta có thể giả sử lim k

inf t x Định lí đã được chứng minh W

Một hệ quả rất quan trọng của định lí tách là bổ đề chọn mang tên nhà toán học Hungary Farkas, được chứng minh từ năm 1892 dưới dạng một định

lí hình học Bổ đề này rất trực quan, để áp dụng trong nhiều lĩnh vực tối ưu, điều khiển, lý thuyết toán tử v.v

Hệ quả 5 (bổ đề Farkas)

Cho A là một ma trận thực cấp m n và a Rn Khi đó trong hai

hệ dưới đây có một hệ và duy nhất một hệ có nghiệm:

Vậy (1) không thể có nghiệm

Bây giờ ta giả sử (2) không thể có nghiệm Lấy tập

Hiển nhiên C là tập lồi đóng và 0 C Do (2) không có nghiệm, nên

a C Theo định lí tách chặt, tồn tại p 0 và một số a R sao cho

Vì x0 là điểm biên nên x0 riC, mà riC là tập lồi nên theo định lí

13 (định lí tách 1) phải có một t 0 sao cho t x , t x , 0 , x C

W

Cho một tập lồi C Rn và một điểm x0 C Tập

0

n c

N x t R t x x x C là một nón lồi đóng gọi là nón pháp tuyến của C tại x0 Nếu x0 riC thì rõ ràng Nc x0 0 , còn nếu x0 riC (tức x0 là điểm biên) thì theo định lí 15, bao giờ cũng có ít nhất một t Nc x0 \ 0 Mỗi t Nc x0 \ 0 là pháp tuyến của một siêu phẳng tựa tại x0, ta cũng gọi nó là một pháp tuyến của C tại x0

Ví dụ: Trường hợp hình tròn, hình đa giác lồi trong R2

Kết luận 2:

Qua chương II '' các định lí tách tập lồi'', ta thấy rõ được các định lí tách tập lồi có một vai trò trung tâm Qua trên ta, ta có thể giải thích được vì sao các định lí tách thuộc loại các định lí chọn và là công cụ rất mạnh, thường được dùng để chứng minh sự tồn tại của một đối tượng trong nhiều vấn đề thuộc những lĩnh vực rất khác nhau Chúng ta sẽ thấy rõ hơn điều này ở chương III

Chương III: ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ TÁCH TẬP LỒI

Các định lí tách đã nêu ở trên xét việc tách các tập lồi bởi một siêu phẳng Người ta đã mở rộng việc tách các tập lồi bởi siêu phẳng bằng tách các tập không lồi, nhưng có thêm một cấu trúc riêng nào đó, ví dụ như tập hình sao, còn siêu phẳng tách thì được mở rộng bởi những siêu mặt tổng quát hơn, không nhất thiết là siêu phẳng, ví dụ siêu mặt phẳng từng khúc v.v Ngoài ra người ta cũng nghiên cứu việc tách xấp xỉ ( - tách)

Gần đây các ý tưởng tách đã sử dụng vào các bài toán xử lý số liệu và

áp dụng vào nhiều lĩnh vực thực tế khác nhau Hãy xét bài toán sau:

Bài toán 1

Giả sử ta có hai tập hợp điểm Avà B trong không gian Rn Tập A gồm K điểm a1, , aK và tập B gồm N điểm b1, , bN Bài toán đặt

ra là hãy tìm một phiếm hàm f thuộc một lớp hàm F nào đó sao cho f

tách hai tập điểm này

Giả sử siêu mặt tách được cho bởi f x 1 với f F Như vậy điều muốn có là:

: ax 0, ax 0, i 1

Là độ sai lệch đối với điểm ai

Do đó dộ sai lệch trung bình cho k phần tử của A là

Vậy sai lệch trung bình đối với việc tách các phần tử của hai tập A và

dạng f x wTx w0, trong đó w Rn, w0 R Trong đó trường hợp này, bài toán có dạng sau:

ác hay lành như diện tích, chu vi, tính đối xứng, kích thước các lỗ lõm vào, lồi

ra, các thành phần axít, v.v Sau khi xác định hàm tách, việc chuẩn đoán bệnh trở nên dễ dàng Chỉ việc lắp véc tơ số liệu vào hàm tách để biết véc tơ

đó nằm về phía nào của siêu mặt tách, từ đó có thể khẳng định tính chất của căn bệnh Để kiểm tra tính chính xác của phương pháp, người ta đã sử dụng nhiều số liệu thống kê với các khối u đã biết rõ từ trước và nhận thấy rằng, ngay với lớp hàm afin, việc chuẩn đoán theo phương pháp này chỉ sai sót với

số liệu đã có với một tỉ lệ rất nhỏ (dưới 5%) Các ứng dụng khác trong xử lý

Chú ý rằng bao lồi của m giác lồi phải chứa cả m giác đều bên trong

Vì thế góc ở mỗi đỉnh của n giác bao lồi phải lớn hơn hoặc bằng

Bài toán lồi với ràng buộc bất đẳng thức

Giả sử X là không gian lồi địa phương Hausdorff: f0, , fm là các hàm hữu hạn trên X ; tập A X Xét bài toán:

0 3

min

0 : 1, , (2)

không đồng thời bằng 0 sao cho:

Chú ý: (3) được gọi là điều kiện Kuhn – Tucker; 0, , m được

gọi là nhân tử Lagrange

Chứng minh

a) Giả sử x là nghiệm của P3 Đặt

1 0

m m

Do f0, f1, , fm lồi, nên tập C lồi

Hơn nữa, 0 C Thật vậy, nếu 0 C Thật vậy, nếu 0 C thì

Như vậy là: nếu f xi 0, thì i 0

Điều này mâu thuẫn với (3) Vậy 0 0 tức là 0 0

b) Giả sử x là điểm chấp nhận được, thỏa mãn (3) và (4) với 0 1, 0

Em xin chân thành cám ơn!

Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm2011

Sinh viên

Phùng Thị Như Quỳnh