Mục tiêu của đề tài là trình bày các định lý tách tập lồi. Các định lý này có nhiều ứng dụng trong quy hoạch toán học
Trang 1Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008
CÁC ĐỊNH LÝ TÁCH TẬP LỒI
THE SEPARATION THEOREM OF CONVEX SETS
SVTH : TRẦN THỊ TỐ NHƯ
Lớp: 05TT, Trường Đại Học Sư Phạm
GVHD : THS.NGUYỄN HOÀNG THÀNH
Khoa Toán, Trường Đại Học Sư Phạm
TÓM TẮT
Mục tiêu của đề tài là trình bày các định lý tách tập lồi Các định lý này có nhiều ứng dụng trong quy hoạch toán học
ABSTRACT
The aim of this topic is to introduce separation theorem of convex sets This theorem has many applications in mathematical programming
1 Mở đầu
Khái niệm tập lồi trong không gian vectơ là sự khái quát khái niệm hình lồi trong hình
học sơ cấp Nó giữ vai trò quan trọng trong nhiều vấn đề giải tích hàm Đặc biệt, lý thuyết các hàm và tập lồi ( gọi là giải tích lồi) có nhiều ứng dụng trong lý thuyết các bài toán cực trị, quy hoạch toán học, cũng như trong nhiếu vấn đề kinh tế, kỹ thuật
Mục tiêu của đề tài là trình bày các định lý tách tập lồi Các định lý này thường dùng làm nền tảng của lý thuyết tối ưu hiện đại, mà một dạng tương đương của nó trong giải tích hàm là định lý Hanh-Banach về khuếch phiếm hàm tuyến tính
Trước khi nêu ra kết quả chính, ta đưa ra một số khái niệm:
Định nghĩa 1 (Tập afin) Trong không gian tuyến tính cho một tập con A khác rỗng A được
gọi là tập afin nếu với mọi x, y thuộc A thì cả đường thẳng qua x, y cũng thuộc A
Tức là: A là tập afin nếu n , x, y A, (1-)x+yA
Định nghĩa 2 (Tập lồi) Trong không gian tuyến tính cho tập con C khác rỗng C được gọi là tập lồi
nếu với mọi a, b thuộc C thì đoạn thẳng chứa a, b đều thuộc C
Tức là: C là tập lồi nếu a,bC, 0,1a1bC
Dĩ nhiên mọi tập afin đều là tập lồi
Tính chất 2 1 Giao của một họ bất kì các tập lồi là một tập lồi
Tính chất 2.2 Trong không giann cho tập con D và E, khác rỗng Nếu D,E là tập lồi, a là một điểm , là số thực thì các tập sau đây cũng lồi
D+a = {x+a / xD }, D-E = {x-y/ xD, yE},
D+E = {x+y/ xD, yE}, D = {x/ xD}
Tính chất 2.3 Trong không giann cho tập con C khác rỗng Khi đó clC là tập lồi
Định nghĩa 3 (Điểm bọc) Trong không giann cho tập con C khác rỗng Điểm aC gọi là điểm bọc nếu với mọi x thuộc C, tồn tại số >0 sao cho a-(x-a) cũng thuộc C
Tập các điểm bọc của C, ký hiệu: riC
Trang 2Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008
Khi đó riC khác rỗng và là một tập lồi
Tính chất 2.4 Trong không giann cho tập lồi C khác rỗng Nếu a riC , bC thì mọi điểm u trên đoạn [a,b) -( tức là u = a1b với 0< 1 ) đều thuộc riC
Hệ quả 2.4.1 Cho C là tập lồi khác rỗng trong n
Nếu a riC thì x là điểm biên của C khi và chỉ khi x là điểm đầu tiên không thuộc riC trên nửa đường thẳng phát xuất từ a đi qua x
2 Các kết quả chính
Định nghĩa 4 Trong không giann cho 2 tập C, D lồi khác rỗng và rời nhau
Cho , Siêu phẳng t, x ; t0
tách 2 tập lồi C,D nếu t x t y
D y C
x
, inf ,
sup
Cho , Siêu phẳng t, x ; t0
tách hẳn 2 tập C,D nếu t x t y
D y C
x
, inf ,
sup
Bổ đề 1 Trong n
cho một tập lồi đóng C 0 và một điểm a C Bao giờ cũng có một điểm duy nhất x 0 C sao cho:
ax0,xx0 0, xC
Định lý tách I Nếu 2 tập lồi C,D không rỗng mà rời nhau thì có một siêu phẳng tách chúng
Chứng minh
Xét C-D := x y x C , y D C-D lồi và 0 C-D
Thật vậy, giả sử 0 C-D x-y = 0 x = y C D (Vô lý)
Đặt E := cl(C-D)
a ri C D
do 0 C-D Điểm đầu tiên không thuộc ri C D trên đoạn a,0 là một điểm biên của C –D Suy ra 0E hoặc 0E riE\
*Nếu 0E Theo bổ đề 1 có: x0 E:t 0x0 0
Sao cho t,xx0 0,xE t , z 0 , x E
sup t,z 0
C
x
, ,
sup
, yD , xC
t, x t, y , yD , xC Với = t x
C x
, sup
tách hai tập C, D
*Nếu 0E\ riE Lấy một điểm u riE và dãy ak =
k u
, k=1,2,…
{ak } n
\E và ak 0 khi k +
Trang 3Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008
Theo bổ đề 1, ta có : zk E ; zk ak
0 ,
k
z
z
z
z
a
1
0 ,
k
z z z
k
k
k
k
z z z
a
z
a
, zE
Đặt tk =
k k
k k
z a
z a
z z
t ,zE
t, z t , k z k ,zE
Do t k =1 và mặt cầu S={ tk n
/ t k =1} là compact
Nên có t0 S : tk t0 với t k =1
Mà ak 0 zk 0 nên t k,zz k t ,0 z
t ,0 z 0, zCDE
t0,xy 0,xC, yD
Tương tự với = t x
C x
, sup 0
Siêu phẳng tách C,D.
Định lý tách II Nếu 2 tập C,D lồi đóng C,D không rỗng mà rời nhau và một trong 2 tập ấy compact
thì có một siêu phẳng tách hẳn chúng
Chứng minh Giả sử C : compact
Đặt E = C-D E đóng
Thật vậy : Giả sử zk
=xk – yk , xk C, yk D
Do compact x0 C : xk x0
Mà zk z0 và yk = xk – zk
yk = xk – zk x0 – z0
Mà D đóng y0 =
k
limyk D z0 = y0 – z0 E đóng
0 E nên theo bổ đề 2 có t 0: t, z < 0, zE t,xy 0,xC,yD Vậy tồn tại = t x
C x
, sup
Chú ý Ở định lý này nếu thiếu giả thiết 1 trong 2 tập compact thì định lý không còn đúng nữa
Ví dụ C= {(x1,x2) 2
/x1x2 1} lồi đóng
D= {(x1,x2) 2
/x2 0} lồi đóng
C D =
Nhưng C,D không tách hẳn được
Trang 4Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008
Tách hẳn được và không tách hẳn được
Định nghĩa 5 Nếu x0 C thì một siêu phẳng tựa 0
,x x
t =0 (đi qua x0
) sao cho
0
,x x
t 0, xC gọi là một siêu phẳng tựa của C tại x0 Ta cũng nói H = {x/
0
,x x
t 0} là một nửa không gian tựa của C tại x0
Khi có một siêu phẳng tựa của C tại x0C thì x0 phải là một điểm biên của C Ngược lại:
Định lý Qua mỗi điểm biên x 0
của một tập lồi C có ít nhất một siêu phẳng tựa
Tập NC (x0)={tn
C x x x
t, 0 0 } là nón pháp tuyến của C tại xo
3 Kết luận
Đề tài đã trình bày được các định lý tách của tập lồi
Hướng nghiên cứu sắp tới là tìm hiểu các ứng dụng của các định lý tách
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Lê Hoàng Trí (2005), Bài giảng Giải tích hàm nâng cao, tài liệu Cao học ĐHĐN
[2] Hoàng Tụy(2003), Lí thuyết tối ưu- Bài giảng lớp cao học, Viện toán học Hà Nội
[3] Hoàng Tụy(2003), Hàm thực và giải tích hàm, Viện Toán Học, NXB Đại học
quốc gia Hà Nội