Giải tích lồi là các định lý tách

MỤC LỤC Mở đầu Chương Các khái niệm 1.1 Tập lồi…………………………………………………………… 1.1.1 Tổ hợp lồi…………….……………………… … … 1.1.2 Tập a-phin, tập lồi đa diện…………………………… … 1.1.3 Nón lồi………………………………………… …….… 11 1.2 Hàm lồi…………………………………………………….…… 15 Chương Định lý tách tập lồi 21 2.1 Định lý tách 1………………………………………………… … 21 2.2 Định lý tách 2………………………………………………… … 26 Chương Một số ứng dụng định lý tách 27 3.1 Điều kiện tối ưu…………………….………………………………32 3.2 Hệ bất đẳng thức lồi………………………………………… … 36 3.3 Xấp xỉ tuyến tính hàm lồi……………… …………………… 41 3.4 Sự tồn vi phân hàm lồi…………………………… …43 3.5 Ứng dụng phép vô hướng hóa toán véctơ…….…………46 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 MỞ ĐẦU Giải tích lồi môn giải tích đại, nghiên cứu tập lồi hàm lồi vấn đề liên quan Bộ môn có vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực khác toán học ứng dụng, đặt biệt tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân, toán cân Một vấn đề trung tâm giải tích lồi định lý tách Về chất, định lý tách trả lời câu hỏi phần tử có thuộc tập lồi hay không, không thuộc mang tính chất gì? Đây câu hỏi liên thuộc, vấn đề toán học Ta hình dung tập lồi tập hợp nghiệm hệ phương trình đại số, hay vi, tích phân, tập điểm bất động ánh xạ, tập nghiệm toán tối ưu,…Dĩ nhiên câu trả lời có, vấn đề liên thuộc giải Trái lại, câu trả lời không, xảy điều gì? Điều giải thích định lý tách thuộc loại định lý chọn công cụ mạnh, thường dùng để chứng minh tồn đối tượng nhiều vấn đề thuộc lĩnh vực khác Trong luận văn này, tác giả tập trung vào việc trình bày hai định lý tách ứng dụng quan trọng Luận văn chia làm ba chương: Chương 1: Trình bày số kiến thức sở tập lồi hàm lồi Chúng công cụ cho nghiên cứu trình bày luận văn Chương 2: Là phần luận văn, chương tác giả trình bày nội dung hai định lý tách hệ (Bổ đề Farkas) Chương 3: Trình bày ứng dụng hai định lý tách để: Chứng minh điều kiện tối ưu, giải hệ bất đẳng thức lồi, xấp xỉ tuyến tính hàm lồi hàm non a-phin nó, chứng minh tồn vi phân hàm lồi, vô hướng hóa toán tối ưu véc tơ Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học GS.TSKH Lê Dũng Mưu, Viện Toán học, người thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả suốt trình hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc Giáo sư Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy cô giáo trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội ý kiến đóng góp quý báu, giúp đỡ tận tình cổ vũ to lớn suốt thời gian qua Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng sau Đại học, khoa Toán – Cơ – Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập trường Bản luận văn hoàn thành trình gái tác giả trào đời, ủng hộ mặt tinh thần từ hai mẹ Kết luận văn quà mà tác giả giành tặng cho hai mẹ Chương CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trong chương này, trình bày khái niệm giải tích lồi với tính chất đặc trưng như: tập lồi, tập a-phin, nón nồi, hàm lồi… 1.1 Tập lồi Những tập hợp quen thuộc mà biết không gian con, siêu phẳng, … tập lồi Khái niệm tập lồi có vai trò quan trọng giải tích lồi Trong phần trình bày định nghĩa, tính chất tập lồi, tập aphin, tập lồi đa diện, nón lồi 1.1.1 Tổ hợp lồi Định nghĩa 1.1 Một đường thẳng nối hai điểm (véc tơ) a b R n tập hợp tất điểm (véc tơ) x ∈ R n có dạng {x ∈ R n | x = (1 − λ)a + λb, λ ∈ R} Một đoạn thẳng nối hai điểm (véc tơ) a b R n tập hợp tất điểm (véc tơ) x ∈ R n có dạng {x ∈ R n | x = (1 − λ)a + λb, ≤ λ ≤ 1} Định nghĩa 1.2 Một tập C ⊆ R n gọi tập lồi C chứa đoạn thẳng qua hai điểm Tức C lồi ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈[0;1] ⇒ (1 − λ ) x + λ y ∈ C Ta nói véc tơ x ∈ R n gọi tổ hợp lồi véc tơ x1 , x , , x m ∈ R n m x = ∑ λixi i,≥λ0∀i = 1, 2, , m, i =1 m ∑λ =1 i i =1 Mệnh đề 1.1 [xem [2], mệnh đề 1.1) Một tập Rn tập lồi chứa tổ hợp lồi điểm Tức C lồi khi: ∀k ∈ N , ∀λ1, , λk ≥ : k ∑λ k j j =1 ∑λ x = 1, ∀x1, , x k ∈ C ⇒ j j ∈C j =1 Chứng minh Điều kiện đủ: Suy từ định nghĩa tập lồi ứng với k = Điều kiện cần: Ta chứng minh quy nạp theo số điểm Với k = , điều kiện cần chứng minh suy từ định nghĩa tập lồi tổ hợp lồi Giả sử mệnh đề với k − điểm, ta cần chứng minh mệnh đề với k điểm Thật vậy, x tổ hợp lồi k điểm x1 , , x k ∈ C Tức k x= ∑λ k j j =1 ∑λ x j , λ j ≥ 0, ∀j = 1, , k , j =1 j =1 k −1 Giả sử λk > , đặt: ξ = ∑λ j j =1 Khi đó, < ξ < k −1 k −1 x = ∑ λ jx j k+xλk = ξ j =1 j =1 ξ Do k −1 ∑ξ j =1 = ∑x + λ k x λj ξ > với j = 1, 2, , k −1 nên theo giả thiết quy nạp, điểm k −1 y := ∑ξ j =1 Ta có x = ξ y + λk xk x∈C k Do ξ > 0, λk > ξ + λk = ∑λ =1 j j =1 nên x tổ hợp lồi hai điểm y x k thuộc C Vậy x ∈ C Từ định nghĩa tập lồi ta suy lớp tập lồi đóng với phép giao, phép cộng đại số phép nhân tích Decastes Mệnh đề 1.2 (xem [2], mệnh đề 1.2) Nếu A, B tập lồi R n , C lồi R m , tập sau lồi: A ∩ B := {x | x ∈ A, x ∈ B} , α A + β B := {x | x = α a + β b, a ∈ A, b ∈ B, α , β ∈ R} , { } A × C := x ∈ R m +n | x = ( a, c ) : a ∈ A, c ∈ C 1.1.2 Tập a-phin, tập lồi đa diện Trong giải tích cổ điển, ta làm quen với không gian con, siêu phẳng Đó trường hợp riêng tập a-phin (đa tạp a-phin) định nghĩa sau: Định nghĩa 1.3 Một tập C gọi tập a-phin chứa đường thẳng qua hai điểm nó, tức ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ R ⇒ (1 − λ) x + λ y ∈ C Nhận xét 1.1 a) Mọi tập affin (bao gồm tập ∅ R n ) tập lồi b) Mọi siêu phẳng Rn tập a-phin Mệnh đề cho ta thấy tập a-phin ảnh tịnh tiến không gian Mệnh đề 1.3 (xem [2], mệnh đề 1.3) Tập M ≠ ∅ tập a-phin có dạng M = L + a với L không gian a ∈ M Không gian xác định Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử M tập a-phin a ∈ M Khi L = M − a chứa tập a-phin Do đó, L không gian Vậy M = L + a Điều kiện đủ: Nếu M = L + a với a ∈ M , L không gian ∀x, y ∈ M , λ ∈ R , ta có: (1 − λ ) x + λ y = a + ( − λ ) ( x − a ) + λ ( y − a ) Do x − a, y − a ∈ L L không gian nên (1 − λ ) ( x − a ) + λ ( y − a ) ∈ L ⇒ (1 − λ ) x + λ y ∈ M Vậy M tập a-phin Không gian L Thật vậy, M = L + a M = L '+ a ' , L, L ' không gian a, a ' ∈ M L ' = M − a = L + a − a ' = L '+ (a − a ') Do a ' ∈ M = a + L , nên a '− a ∈ L ⇒ L ' = L + (a − a ') = L Không gian L mệnh đề gọi không gian song song với tập a-phin M Định nghĩa 1.4 Thứ nguyên (hay chiều) tập a-phin M định nghĩa thứ nguyên không gian song song với M ký hiệu dim M Điểm a ∈ R n tập a-phin có số chiều không gian song song với M = {a} L = {0} Mệnh đề 1.4 (xem [2], mệnh đề 1.4) Bất kỳ tập a-phin M ⊂ R n có số chiều r có dạng M = {x ∈ R n | Ax = b} , (1.1) Trong đó: A ma trận cấp m × n, b ∈ R m , rankA = n − r Ngược lại, tập hợp có dạng (1.1) với rankA = n − r tập a-phin có số chiều r Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử M tập a-phin có số chiều r M = L + a với a ∈ M Vậy L = M − a không gian có số chiều r Theo đại số tuyến tính không gian r - chiều có dạng L = {x | Ax = 0} Trong đó, A ma trận cấp m × n rankA = n − r Từ M = L + a suy M = {x | A ( x − a ) = 0} = {x | Ax = Aa} = {x | Ax = b} Điều kiện đủ: Nếu M cho (1.1) với a ∈ M , ta có Aa = b , M = {x | A( x − a ) = 0} = a + L , với L = {x | Ax = 0} Do rankA = n − r nên L không gian có số chiều r Vậy dim M = r Định nghĩa 1.5 Siêu phẳng không gian R n tập hợp điểm có dạng {x ∈ R n | a, x = α} , đó: a ∈ R n \ {0},α ∈ R Véc tơ a gọi véc tơ pháp tuyến siêu phẳng Nửa không gian đóng tập hợp có dạng {x | a, x ≤ α} , {x | a, x ≥ α} , {x | a, x > α} , đó: a ∈ R n \ {0}, α ∈ R Nửa không gian mở tập hợp có dạng {x | a, x < α} , đó: a ∈ R n \ {0}, α ∈ R Như vậy, siêu phẳng chia không gian làm hai nửa không gian, nửa không gian phía siêu phẳng Nếu hai nửa không gian đóng phần chung chúng siêu phẳng Định nghĩa 1.6 Một tập gọi tập lồi đa diện giao số hữu hạn nửa không gian đóng Định nghĩa 1.7 Cho x0 ∈ C , ta nói siêu phẳng a, x = α siêu phẳng tựa x0 a, x0 = α , a, x ≥ α , ∀x ∈ C Ta nói H = x {| a, x}− x ≤ nửa không gian tựa C x0 Định nghĩa 1.8 Giao tất tập lồi chứa tập S ⊂ R n cho trước gọi bao lồi S , ký hiệu coS , tập lồi nhỏ chứa S Tập C ⊆ R n , giao tất tập a-phin chứa C tập a-phin nhỏ chứa C , gọi bao a-phin C Ký hiệu affC Mệnh đề 1.5 (xem [2], mệnh đề 3.2) Cho C tập Khi đó: (i) Bao lồi C tập hợp tổ hợp lồi điểm thuộc C (ii) Bao a-phin tập C tập hợp bao gồm tất điểm có dạng (1.2) x = λ1x1 + + λk x k cho x i ∈ C, λ1 + + λk = k ∈ Ν Chứng minh (i) Gọi M tập hợp tổ hợp lồi điểm thuộc C Vì C ⊂ coC coC lồi nên M ⊂ coC Vì để M = coC , ta cần chứng tỏ M tập lồi k Thật vậy, lấy x, y ∈ M Theo định nghĩa M , điểm có dạng x = h y= ∑µ y j =1 i j , với x i , y j ∈ C, λi ≥ 0, µ j ≥ ∀i, j k i i =1 i i i =1 h ∑ λ = 1, ∑ µ ∑λ x , j j =1 = 1.Khi đó, α ∈ ( 0,1) z := α x + (1 − α ) y = k h ∑αλ x + ∑ (1 − α ) µ i =1 Do k i j yj h ∑αλ + ∑ (1 − α ) µ i =1 i j =1 i j =1 j =1 nên z tổ hợp lồi điểm thuộc C Vậy z ∈ M Suy M lồi, M = coC (ii) Cho M tập hợp điểm có dạng (1.2) Giả sử x, y ∈ M , theo định nghĩa M ta có: 10 m ∑λ y ≥ ∀y ∈ C i i i =0 Chú ý theo định nghĩa C , với x ∈ D ε > , ta có ( f ( x) + ε , , f ( x) + ε ) ∈ C m Vậy m ∑ λ ( f( x ) + ε ) ≥ i ∀x ∈ D i i =0 Điều với ε > , nên suy m ∑ λ f ( x) ≥ ∀x ∈ D i i (3.3) i =0 Ta chứng tỏ λi ≥ ∀i Thật vậy, trái lại có λ j < với j đó, với x ∈ D , yi > fi ( x) , ta có ( y0 , , ym ) ∈ C , nên m ∑λ y ≥0 i i i= Cho y j → +∞ yi khác cố định, ta thấy vế trái bất đẳng thức tiến đến −∞ Mâu thuẫn vế phải Vậy λi ≥ với i Cuối giả sử điều kiện Slater thỏa mãn Nếu λ0 = theo (3.3), có m ∑ λ f ( x) ≥ ∀x ∈ D i i i =0 Lấy x = x ∈ D , theo điều kiện quy Slater m ∑λf(x) ∑ λ f ( x) ≥ i i i i =1 ∀x ∈ E i =1 Bằng cách chia cho m ∑ λ > , ta coi i i =1 Với x ∈ D , lấy f ( x ) := m ∑λ i =1 i =1 m ∑ λ f ( x) Khi f lồi hữu hạn D Lấy ii i=1 C := {( y, y0 ) ∈ R k × R | ∃x ∈ D, Ax − b = y, f ( x ) < y0} 39 Do D f lồi nên C lồi Từ với giả thiết ta suy ∉ C Theo mệnh đề 2.1, ta tách C Tức tồn (t, t0 ) ∈ R k × R ( y, y0 ) ∈ C cho t, y + t0 y0 ≥ ∀ ( y, y0 ) ∈ C , (3.4) t, y + t0 y0 > Dựa vào định nghĩa C , lập luận tương tự mệnh đề 3.2.1 ta có t0 ≥ Nhưng t0 0, t0 = t, y ≥ ∀y ∈ A( D ) − b (3.5) Thế theo giả thiết b ∈ riA( D ) , tức ∈ ri ( A( D ) − b) Từ (3.5) suy t, y = ∀y ∈ A( D ) Do t0 = , nên t, y + t0 y0 = ∀( y, y0 ) ∈ C Mâu thuẫn với (3.4), y ∈ A ( D ) Vậy t0 > Từ định nghĩa C ta có ( Ax - b, f ( x ) + ε ) ∈ C ∀ε > 0, ∀x ∈ D Vậy t, Ax - b + t0 ( f ( x) + ε ) ≥ ∀x ∈ D Điều với ε > , nên t, Ax - b + t0 f ( x ) ≥ ∀x ∈ D Thay f ( x ) = m ∑ λ f ( x ) chia hai vế cho t ii i=1 > , ta có điều cần chứng minh Nhận xét 3.2 Mệnh đề thay hệ Ax = b hệ Ax ≤ b 40 3.3 Xấp xỉ tuyến tính hàm lồi Một tập lồi, với giả thiết cho trước xấp xỉ với độ xác tùy ý tập lồi đa diện, xác định nửa không gian tựa tập lồi Một cách tương ứng, ta hàm lồi, với giả thiết thông thường xấp xỉ với độ xác tùy ý hàm a-phin non Kết sở cho việc xấp xỉ toán có cấu trúc lồi toán tuyến tính Trong mục dùng định lý tách để chứng minh Bổ đề làm sở cho định lý xấp xỉ hàm lồi hàm non a-phin Trước hết ta xét định nghĩa hàm non a-phin: Định nghĩa 3.3 Hàm l hàm non a-phin hàm f R n l hàm a-phin R n l ( x) ≤ f ( x ) với x ∈ R n Ví dụ 3.2 Hàm đồng −∞ hàm non a-phin hàm Ví dụ 3.3 Nếu f * hàm liên hợp f , x* , x − f * ( x* ) ≤ f ( x) ∀x Từ thấy x* xác định hàm a-phin l ( x) := x* , x − f * ( x* ) ≤ f ( x ) ∀x hàm non a-phin f toàn không gian Bổ đề 3.1 (xem [2], bổ đề 10.1) Cho f hàm lồi đóng, thường R n Khi với điểm ( x , t ) ∉ epif , tồn ω ∈ R ,α ∈ R 0 n cho 41 ω T x − f ( x ) < α < ω T x − t ∀x ∈ dom f Chứng minh Theo giả thiết f hàm lồi đóng thường nên epif tập lồi, đóng khác rỗng Do điểm ( x , t ) ∉ epi f , nên áp dụng định lý tách mạnh cho hai tập , t0D ) := epi f , tồn ( a, µ ) ≠ 0, a ∈ R n , µ ∈ R số lồi, đóng C := { }( x0và α ∈ R cho a x + µt < α < a x0 + µt ∀ ( x, t ) ∈ epi f T T (3.6) Trước hết ta thấy µ ≤ , µ > có mâu thuẫn bất đẳng thức đầu (3.6) cho t tiến đến +∞ Lúc vế trái tiến đến +∞ , vế phải α số hữu hạn cố định Hơn x0 ∈ dom f µ ≠ , µ = từ bất đẳng thức (3.5), lấy x = x , ta có a x0 < α T< a xT Vô lý Vậy trường hợp này, chia hai vế (3.6) cho −µ > , ta có điều phải chứng minh Bây cần xét trường hợp x0 ∉ dom f µ = Từ (3.6) có a x < α < a x0 ∀x ∈ dom f T T Lấy x1 ∈ domf t1 < f ( x1 ) Khi ( x1, t1 ) ∉ epif Lại áp dụng định lý tách mạnh cho tập gồm điểm {( x , t )} tập epif Khi đó, ý x ∈ domf , 1 tương tự trên, tồn (b, β ) ≠ 0, b ∈ R n , β ∈ R cho b x − t < β < a x1 − t1 ∀( x, t ) ∈ epi f T T Từ (3.6), thấy với η > ( x, t ) ∈ epif , ta có (b +η a)T x − t = b x − t +η a x < β +ηα T T (3.7) Chú ý rằng, a xT > α nên (b + η a)T x − t = b x − t +η a x0 < β + ηα T 42 T (3.8) với η đủ lớn Vậy với η đủ lớn, cách lấy ω = b +η a,α ' = β +ηα từ (3.7) (3.8) suy ω T x − t < α ' < ωT x − t ∀ ( x, t ) ∈ epi f Nói riêng lấy t = f ( x) , ta có ω T x − f ( x ) < α ' < ω T x − t ∀x ∈ dom f Như trường hợp ta có (3.6) Từ bổ đề chứng minh định lý Định lý 3.2 (xấp xỉ tuyến tính hàm lồi) (xem [2], định lý 10.1) Mọi hàm lồi đóng thường f R n bao hàm non a-phin Tức là: f ( x ) = sup{lv ( x ) | lv ∈ A} v A tập hợp tất hàm non a-phin f Chứng minh [xem [2], định lý 10.1] 3.4 Sự tồn vi phân hàm lồi Phép tính vi phân vấn đề giải tích cổ điển Trong giải tích lồi, lý thuyết phong phú nhờ tính chất tập lồi hàm lồi Trong phần này, mở rộng khái niệm đạo hàm khái niệm vi phân số tính chất Đặc biệt áp dụng định lý tách siêu phẳng tựa để chứng minh tồn vi phân hàm f trường hợp f lồi Như ta biết, hàm lồi khả vi điểm đó, phương trình tiếp tuyến điểm nằm đồ thị Tuy nhiên, hàm lồi không khả vi, ví dụ hàm lồi biến f ( x) = x không khả vi x = Trong trường hợp này, người 43 ta mở rộng khái niệm đạo hàm đạo hàm, cho có tính chất đạo hàm hàm lồi khả vi Định nghĩa 3.4 Cho f : R n → R ∪{+∞} Ta nói x* ∈ R n đạo hàm f x x* , z − x + f ( x) ≤ f ( z ) ∀z Tương tự hàm lồi khả vi thông thường, biểu thức có nghĩa phương trình tiếp tuyến nằm đồ thị hàm số Tuy nhiên khác với trường hợp khả vi, tiếp tuyến không tồn Ký hiệu tập hợp tất đạo hàm f x ∂f ( x ) Đây tập R n (có thể rỗng) Khi ∂f ( x) ≠ ∅ ta nói hàm f khả vi vi phân x Theo định nghĩa, điểm x* ∈ ∂f ( x) thỏa mãn hệ vô hạn bất đẳng thức tuyến tính Như vậy, ∂f ( x ) giao nửa không gian đóng Vậy ∂f ( x ) tập lồi đóng (có thể rỗng) Ký hiệu dom ( ∂f ) := {x | ∂f ( x) ≠ ∅} Ví dụ 3.4 Hàm f ( x ) = x , x ∈ R n Tại điểm x = hàm không khả vi, khả vi phân { } ∂f (0) := x* | x*., x ≤ x ∀x Ví dụ 3.5 C ⊂ R n tập lồi, khác rỗng f ( x ) = δC ( x ) =  0 x ∈ C +∞ x ∉ C 44 hàm C Khi với x0 ∈ C , ta có: { } ∂δ C ( x ) = x* | x* , x − x ≤ δ C ( x ) , ∀x Với x ∉ C δ C = +∞ nên bất đẳng thức Vậy { } ∂δ C ( x ) = x* | x* , x=− Nx C0 ≤( x0,0 ∀x ).∈C Vậy vi phân hàm tập lồi C khác rỗng điểm x0 ∈ C nón pháp tuyến C x0 Mệnh đề 3.3 (xem [2], mệnh đề 11.3) Cho f : R n → R ∪{+∞} lồi, thường Khi đó: (i) Nếu x ∉ domf , ∂f ( x ) = ∅ (ii) Nếu x ∈ int ( domf ) ∂f ( x) ≠ ∅ com-pắc Ngược lại, ∂f ( x) ≠ ∅ Com-pắc x ∈ ri ( domf ) Chứng minh (i) Cho z ∈ domf , f ( z ) < +∞ Vậy x ∉ domf , f ( x ) = +∞ tồn x* thỏa mãn x* , z − x + f ( x) ≤ f ( z ) < +∞ Vậy ∂f ( x) = ∅ (ii) Trước hết giả sử x ∈ int ( dom f ) Ta có điểm ( x, f ( x )) nằm biên epi f Do f lồi, thường, nên tồn siêu phẳng tựa bao đóng epi f qua ( x, f ( x )) , tức tồn p ∈ R n , t ∈ R không đồng thời thỏa mãn p, x + tf ( x ) ≤ p, y + t µ ∀ ( y, µ ) ∈ epi f Ta có t ≠ , t = p, x ≤ p, y ∀y ∈ dom f 45 (3.9) Nhưng x ∈ int ( dom f ) nên điều kéo theo p = Vậy, t ≠ Hơn nữa, t > , t < bất đẳng thức (3.9), cho µ → +∞ ta suy mâu thuẫn vế trái cố định Chia hai vế (x) cho t > , đồng thời thay µ = f ( y ) đặt x* = − p , ta t x* , x + f ( x) ≤ x* , y + f ( y) ∀y ∈ dom f Hay x* , y − x + f ( x) ≤ f ( y ) ∀y ∈ dom f Nếu y ∉ domf f ( y ) = ∞ , x* , y − x + f ( x) ≤ f ( y) ∀y Chứng tỏ x* ∈ ∂f ( x ) Nhận xét 3.3 Cách chứng minh cho thấy đạo hàm f x véc tơ pháp tuyến siêu phẳng tựa bao đóng epi f ( x, f ( x )) 3.5 Phép vô hướng hóa toán véc tơ Trong sống, vấn đề thường có nhiều mối ràng buộc Khi mô hình hóa mối liên hệ toán học ta toán nhiều biến Nếu ta coi nhiều biến véc tơ ta toán véc tơ Trong phần nghiên cứu toán tối ưu véc tơ Bài toán {F ( x) : x ∈ D ⊆ R n} Trong đó, F = ( f1 , , f p ) : R n → R p 46 (VP ) x : biến D : tập xác định (tập ràng buộc) F : hàm mục tiêu (hàm tiêu chuẩn) Với hai véc tơ aT = ( a1, , an ) bT = (b1, , bn ) R n , ta nói a ≤ b ≤ bi ∀i a < b a < b ⇔ < bi ∀i Định nghĩa 3.5 Véc tơ x* ∈ D gọi nghiệm Pareto lý tưởng toán (VP ) F ( x* ) ≤ F ( x ) ∀x ∈ D Trong trường hợp tổng quát nghiệm Pareto lý tưởng nói chung thường không tồn Định nghĩa 3.6 Véc tơ x* ∈ D gọi nghiệm Pareto toán VP không tồn x ∈ D cho F ( x ) ≤ F ( x* ) F ( x ) ≠ F ( x* ) Nếu không tồn x ∈ D mà F ( x) < F ( x* ) x* gọi nghiệm Pareto yếu toán (VP) Định nghĩa 3.7 Véc tơ x* ∈ D gọi nghiệm Pareto lý tưởng toán max {F ( x) : x ∈ D ⊆ R n} (VP max ) không tồn x ∈ D cho F ( x) ≥ F ( x* ) F ( x) ≠ F ( x* ) Nếu không tồn x ∈ D mà F ( x) > F ( x* ) x* gọi nghiệm Pareto yếu toán (VP max ) Nhận xét 3.4 Một điểm nghiệm Pareto (nghiệm Pareto yếu) toán cực tiểu 47 {F ( x) : x ∈ D ⊆ R n} nghiệm Pareto (nghiệm Pareto yếu) toán cực đại max {−F ( x) : x ∈ D ⊆ R n} Bài toán véc tơ tuyến tính: Bài toán ( VP ) (VP max ) F ( x ) = Cx với C ma trận thực, x ∈ R n D tập lồi đa diện xác định rõ, ví dụ D = {x ≥ 0, Ax ≥ b} với A ma trận ( m × n) b ∈ R m gọi toán tối uu véc tơ tuyến tính Bài toán tối ưu véc tơ lồi Bài toán (VP ) (VP max ) D tập lồi tất hàm mục tiêu hàm lồi D gọi toán tối ưu véc tơ lồi Ví dụ 3.6 Giả thiết công ty sản xuất hai loại hàng hóa Đặt: x j số lượng loại hàng hóa j ( j = 1, 2) , f1 ( x1, x2 ) chi phí sản suất ( x1, x2 ) , f1 ( x1, x2 ) chi phí xử lý chất thải sản phẩm ( x1, x2 ) Chẳng hạn: f1 ( x1, x2 ) = 2x1 + 3x2 , f2 ( x1, x2 ) = 4x1 + x2 Tập ràng buộc ≤ x1 ≤ a1,0 ≤ x2 ≤ a2 48 (giới hạn số lượng sản phẩm) (ngân sách) b1x1 + b2 x2 ≤ b Bài toán đặt xác định số lượng hàng hóa cần sản xuất để giảm tối đa chi phí tức tìm nghiệm ( x1, x2 ) toán (VP ) Để giải toán tối ưu véc tơ ta thường sử dụng cách vô hướng hóa toán véc tơ Mệnh đề 3.4 (i) Cho λ > ∈ R p Khi nghiệm cực tiểu toàn cục toán {λT F ( x) : x ∈ D ⊆ R n} ( P ( λ )) nghiệm Pareto toán (VP ) (ii) Cho ≠ λ ≥ ∈ R p Khi nghiệm cực tiểu toàn cục toán {λ T F ( x) : x ∈ D ⊆ R n} ( P ( λ )) nghiệm Pareto yếu toán (VP ) Chứng minh Hiển nhiên Mệnh đề 3.5.2 Giả sử (VP ) toán lồi ( F D tập lồi) Khi đó, với nghiệm Pareto u (VP ) tồn ≠ λ ≥ cho u ∈ arg {λ T F ( x) : x ∈ D} x Chứng minh Đặt K := { y ∈ R p : y = F ( x) − F (u ) , x ∈ D} Đặt C = coK 49 Ta chứng minh C ∩ R−p = {0} Do ∈ K nên C ≠ ∅ Giả sử y ∈ C , đó, tồn y1, , y r ∈ K thỏa mãn r r ∑t y = ∑ t jy j jt, > ∀j, j =1 =1 j j =1 Với j , y j ∈ K nên tồn x j ∈ D thỏa mãn y j = F ( x j ) − F (u ) r Đặt x = ∑t j =1 j x j Do F hàm lồi nên ta có F ( x ) − F (u ) ≤ r ∑ t F ( x ) − F (u ) j j j =1 r = F (ut ) y ∑ t (F ( x) =) −∑ j j =1 j j j =1 r j Từ đó, u nghiệm Pareto nên y ≤ kéo theo y = Do C ∩ R−p = {0} Theo định lý tách tồn λ ≠ thỏa mãn Bằng cách chia cho λ T y ≤ ∀y ∈ R−p (3.10) λ T y ≥ ∀y ∈ K (3.11) p ∑λ j =1 p j , giả thiết ∑λ j =1 j =1 Từ (3.10) ta thấy λ ≥ , từ (2) định nghĩa K ta suy λ T ( F ( x ) − F (u )) ≥ ∀x ∈ D Điều có nghĩa u nghiệm nhỏ ( P ( λ )) Như vậy, ta vô hướng hóa xong toán (VP ) 50 Kết luận Luận văn trình bày hai định lý tách số ứng dụng nó, cụ thể: Nội dung hai định lý tách hệ Ứng dụng định lý tách để: Chứng minh điều kiện tối ưu, tìm điều kiện có nghiệm hệ bất đẳng thức lồi, chứng minh tồn xấp xỉ tuyến tính hàm lồi hàm non a-phin, chứng minh tồn vi phân hàm lồi vô hướng hóa toán tối ưu véc tơ Trong luận văn này, tác giả đề cập đến định lý tách tập lồi ứng dụng không gian hữu hạn chiều Rn , chưa xét trường hợp tổng quát xét không gian vô hạn chiều Một số vấn đề lý thú tiếp tục từ đề tài là: Ứng dụng định lý tách không gian vô hạn chiều Xây dựng giải toán tối ưu kinh tế dựa định lý tách Mô hình hóa toán học hoạt động sản xuất doanh nghiệp dự đoán thành bại doanh nghiệp…bằng việc mở rộng định lý kiểu tách cho tập rời rạc Vì thời gian kiến thức hạn chế nên luận văn chắn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận quan tâm, đóng góp ý kiến thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! 51 Tài liệu tham khảo Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật Lê Dũng Mưu Nguyễn Văn Hiền (2009), Nhập môn giải tích lồi ứng dụng, Nhà xuất Khoa học tự nhiên công nghệ Hà Nội Hoàng Tụy (2006), Lý thuyết tối ưu, Viên toán học Hà Nội Hoàng Tụy (1998), Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer academic Publishers R.Tyrrell Rockafellar (1997), Convex Analysis, Princeton, New Jersey Princeton University press 52 [...]... Chương 2 ĐỊNH LÝ TÁCH CÁC TẬP LỒI Trong giải tích lồi và nhiều lĩnh vực khác như giải tích hàm, giải tích không trơn và giải tích phi tuyến…, các định lý tách hai tập lồi có một vai trò trung tâm Về bản chất, định lý tách trả lời câu hỏi rằng một phần tử có thuộc một tập lồi không, và nếu không thuộc thì nó sẽ có tính chất gì? Ví dụ tập lồi là nghiệm của hệ phương trình đại số, hay vi tích phân, tập các. .. tối ưu hiện đại là định lý tách các tập lồi, mà một dạng tương đương của nó trong giải tích hàm là định lý Hahn – Banach rất quen thuộc trong giải tích hàm 2.1 Định lý tách 1 Định nghĩa 2.1 Cho C ≠ ∅, C ⊂ R n (không nhất thiết lồi) và y là véc tơ bất kỳ, đặt dC ( y ) := inf x − y x∈C Ta nói dC ( y ) là khoảng cách từ y đến C Nếu tồn tại π ∈ C sao cho dC ( y ) = π − y , thì ta nói π là hình chiếu (vuông... nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là một tập lồi Nếu nón lồi này lại là một tập lồi đa diện thì ta nói nó là nón lồi đa diện Mệnh đề 1.5 (xem [2], mệnh đề 1.6) Một tập C là nón lồi khi và chỉ khi nó có các tính chất sau: (i) λC ⊆ C, ∀λ > 0 , (i) C + C ⊆ C Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử C là một nón lồi Do C là một nón nên ta có (i) Do C là một tập lồi nên với mọi x, y ∈ C thì 1 (x+y)∈C 2... 0 thì f lồi trên C Nếu f có hệ số lồi trên C là η > 0 , thì f lồi mạnh trên C vớih hệ số lồi η Định nghĩa 1.18 Một hàm f được gọi là chính thường nếu dom f ≠ ∅ và f ( x ) > −∞ với mọi x Hàm f được gọi là đóng nếu epi f là một tập đóng trong R n +1 Nhận xét 1.5 a) Từ định nghĩa của epi f , ta thấy rằng một hàm lồi hoàn toàn được xác định nếu biết epi f b) Nếu f là một hàm lồi trên một tập lồi C thì... cũng là tuyến tính và là siêu phẳng tách đúng hai tập A và B Nhận xét 2.3 Nếu A và B là hai tập lồi mà riA ∩ riB ≠ ∅ , thì hai tập này vẫn có thể tách được Ví dụ 2.2 A và B là hai đường chéo của một hình chữ nhật trong mặt phẳng 2-chiều Rõ ràng A và B là hai tập lồi mà riA ∩ riB ≠ ∅ , chúng vẫn tách được bằng chính mặt phẳng nhưng chúng không tách đúng được Một hệ quả rất quan trọng của định lý tách là. .. xem t = 1 và do đó khoảng cách từ gốc đến siêu phẳng ít nhất là bằng α ≥ r Vậy thì t, x ≥ α ≥ r > 0 Nhận xét 2.1 Theo bổ đề này thì C và điểm gốc tọa độ có thể tách mạnh, ví dụ bởi siêu phẳng t, x = α 2 Định lý 2.2 (Định lý tách 2) (xem [2], định lý 6.2) Cho C và D là hai tập lồi đóng khác rỗng sao cho C ∩ D = ∅ Giả sử có ít nhất một tập là com-pắc Khi đó hai tập này có thể tách mạnh được bởi một... xạ, hay là tập nghiệm của một bài toán tối ưu… Nếu điểm thuộc tập lồi đó thì vấn đề được giải quyết, trái lại, nếu không thì sẽ xảy ra điều gì? Điều này giải thích vì sao các định lý tách thuộc loại các định lý chọn và là công cụ rất mạnh, thường được dùng để chứng minh sự tồn tại của một đối tượng trong nhiều vấn đề thuộc những lĩnh vực khác nhau Một mệnh đề thường được dùng làm nền tảng lý thuyết... t, x 0 Chứng minh Do x0 ∉ riC , nên sự tồn tại siêu phẳng tách trong bổ đề được suy ra từ mệnh đề 2.2 Định lý 2.1 (Định lý tách 1) (xem [2], định lý 6.1) Cho C và D là hai tập lồi khác rỗng trong Rn sao cho C ∩ D = ∅ Khi đó có một siêu phẳng tách C và D Chứng minh Do C và D là lồi, nên C − D cũng lồi Hơn nữa, 0 ∉ ( C − D ) , vì C ∩ D = ∅ Theo bổ đề 2.1 áp dụng với x0 = 0 , tồn tại véc tơ t ∈ R n... đủ: Giả sử ta có (i) và (ii) Từ (i) suy ra C là một nón Giả sử x, y ∈ C và λ ∈[0,1] Từ (ii) suy ra λ x ∈ C, (1 − λ ) y ∈ C Theo (ii) ta có λ x + (1 − λ ) y ∈ C Vậy C là một nón lồi Định nghĩa 1.11 Bao nón lồi của tập C là giao của tất cả các nón lồi chứa C , ký hiệu là Cone C Định nghĩa 1.12 12 Cho C là một tập lồi trong R n Một véc tơ y ≠ 0 được gọi là hướng lùi xa của C nếu mọi tia xuất phát từ... (η + ε ) = (1 − λ ) µ + λη + ε ⇒ (1 − λ ) ( x, µ ) + λ ( y,η ) ∈ epi f Vậy hàm f lồi 17 Dưới đây là một định nghĩa khác, tương đương về hàm lồi, lồi mạnh dựa vào khái niệm hệ số lồi Định nghĩa 1.17 Hàm f : R n → R ∪{+∞} (không nhất thiết lồi) , C ⊆ R n là một tập lồi khác rỗng và η là một số thực Ta nói η là hệ số lồi của f trên C , nếu với mọi λ ∈ ( 0,1) , mọi x, y thuộc C , ta có 1 2 f (1 − λ