SKKN các phương pháp dạy học định lý hình học ở THCS

Hệ thống các định lý hình học ở trường THCS là cầu nối gắn lý thuyết với thực tế, các định lý hình học đều qua phép đo đạc thực tế rút ra nhận xét, từ các nhận xét đó phát biểu thành các định lý tuy nhiên việc chứng minh định lý vận dụng định lý vào giải toán nhiều học sinh còn khó khăn có nhiều em học sinh thắc mắc không hiểu tại sao khi nghe thầy cô giáo giải bài tập và chứng minh định lý thì có vẻ dễ hiểu lắm nhưng sao em không giải được bài tập cũng như chứng minh lại được định lý nếu như không học thuộc lòng cách chứng minh đó.

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ

Hệ thống các định lý hình học ở trường THCS là cầu nối gắn lý thuyết với thực tế, các định

lý hình học đều qua phép đo đạc thực tế rút ra nhận xét, từ các nhận xét đó phát biểu thành các định lý tuy nhiên việc chứng minh định lý vận dụng định lý vào giải toán nhiều học sinh còn khó khăn có nhiều em học sinh thắc mắc không hiểu tại sao khi nghe thầy cô giáo giải bài tập và chứng minh định lý thì có vẻ dễ hiểu lắm nhưng sao em không giải được bài tập cũng như chứng minh lại được định lý nếu như không học thuộc lòng cách chứng minh đó.Tại sao vậy ?

Từ những đòi hỏi đó việc dạy học định lý, chứng minh định lý, vận dụng định lý vào việc giải toán là rất cần thiết Việc dạy định lý toán học nhằm cung cấp cho học sinh một vốn kiến thức cơ bản của bộ môn Đó cũng là cơ hội thuận lợi để phát triển khả năng suy luận

và chứng minh, góp phần phát triển năng lực trí tuệ Vấn đề đặt ra là học sinh chỉ chú ý học thuộc các định lý một cách máy móc mà coi nhẹ việc nắm vững bản chất của định lý Mặt khác khi giảng dạy định lý giáo viên chưa chú ý đến vai trò chủ động học tập của học sinh chưa quan tâm đến việc hình thành các kiến thức về phương pháp suy luận và chứng minh cho học sinh Chủ yếu là giáo viên trình bày định lý chứng minh định lý nên học sinh tuy có tích cực làm việc nhưng không nắm đựoc bản chất của định lý thường lúng túng khi cần thiết phải chứng minh định lý,vận dụng định lý vào những vào những bài toán cụ thể Trong quá trình học tập và giảng dạy bộ môn hình học bản thân tôi nhận thấy một trong những phương pháp nghiên cứu giúp chúng ta đi đúng hướng tìm lời giải là phương pháp suy luận phân tích, đặt vấn đề,giải quyết vấn đề Cùng một vấn đề có thể phân tích theo nhiều cách khác nhau từ đó có nhiều cách chứng minh khác nhau Tôi cũng đã thường xuyên sử dụng phương pháp này khi giảng dạy môn hình học với một hy vọng là các em sẽ học tập tốt bộ môn hình học không ngại khi phải chứng minh một định lý hay khi giải bài tập hình học

PHẦN II NỘI DUNG A- Dạy học định lý toán học

I - Nhiệm vụ quan trọng trong dạy học định lý

1- Nắm được định lý và mối liên hệ giữa chúng Từ đó có khả năng vận dụng chúng vào vào hoạt động giải toán cũng như vào các ứng dụng khác

2- Làm cho học sinh thấy được sự cần thiết phải chứng minh chặt chẽ, phải suy luận chính xác

3- Phát triển năng lực chứng minh toán học

II – Con đường tiếp cận định lý

1- Suy đoán : Tạo tình huống có vấn đề để giúp học sinh dự đoán , phát hiện ra định

lý, từ đó tìm cách chứng minh, phát biểu và củng cố định lý

2- Suy diễn : Giáo viên hướng dẫn học sinh suy luận phân tích để dẫn đến định lý

III – Các giai đoạn dạy học định lý toán học

Quy trình dạy học định lý thường là : Nhận dạng , chứng minh

củng cố và vận dụng định lý, hệ thống hoá

Việc dạy học định lý thực hiện theo sơ đồ sau :

Giáo viên thực hiện : Nguyễn Thị Phương -2- Trường THCS Nguyễn Bá Ngọc

Tạo động cơ

Suy luận lôgic dẫn tới định lý Phát hiện định lý

Chứng minh

Phát biểu định lý Củng cố định lý

a)Giai đoạn giới thiệu định lý

+ Giới thiệu đầy đủ nội dung định lý + Đưa tình huống có vấn đề mà cách giải quyết nó chính là nội dung của định lý cần giới thiệu

b) Giai đoạn phân tích định lý

Trong dạy học khâu rất quan trọng là phát triển ở học sinh năng lực chứng minh toán học Như vậy để tránh tình trạng học sinh chỉ thuộc định lý mà không vận dụng định lý vào hoạt động giải toán ta cần giải quyết các vấn đề sau đây :

*Nêu giả thiết kết luận của định lý Tập cho học sinh nắm nắm được nội dung và cấu trúc của định lý

* Tập cho học sinh ghi giả thiết kết luận bằng ký hiệu toán học, vẽ hình trong trường hợp phổ biến nhất

c) Giai đoạn chứng minh định lý

* Gợi động cơ chứng minh

* Rèn luyện cho học những hoạt động thành phần trong chứng minh

*Truyền thụ những tri thức phương pháp về chứng minh

*Phân bậc hoạt động chứng minh

Gợi động cơ chứng minh

Ban đầu học sinh chưa thấy rõ ngay sự cần thiết phải chứng minh một mệnh đề toán học Nhiều học sinh không băn khoăn tại sao phải tốn nhiều công sức chứng minh nhiều điều thấy hiển nhiên trên hình vẽ Do vậy, giáo viên cần tận dụng những cơ hội khác nhau để gợi động cơ cho hoạt động chứng minh định lý

Rèn luyện những thành phần trong chứng minh

Cần chú ý tập luyện cho học sinh những hoạt động thành phần trong chứng minh như

Phân tích,tổng hợp, So sánh, khái quát Điều quan trọng là những thao tác kết luận logic theo những quy tắc thường không được dạy tường minh ở trường THCS và thường đựoc chỉ được sử dụng dưới dạng tắt

Truyền thụ những phương pháp về chứng minh

Truyền thụ những tri thức , phương pháp liên quan đến chứng minh Đó là những tri thức

về các quy tắc kết luận lôgíc mà ở trường THCS chúng được truyền thụ theo con đường tường minh Chú ý truyền thụ những phương pháp suy luận, chứng minh như : Suy ngược, suy xuôi, phản chứng tiến hành các phép chứng minh, cần luyện tập dần để học sinh nắm được những kiến thức trong quá trình dạy học chứng minh định lý thông qua các câu hỏi + Giả thiết nói gì ? giả thiết còn có thể biến đổi như thế nào ?

+Hãy vẽ hình theo dự kiện của bài toán ? Những khả năng có thể xáy ra

+Từ giả thiết của bài toán suy ra được điều gì ? Những định lý nào có giả thiết giống hoặc gằn giống với giả thiết này ?

+ Kết luận nói gi? Điều đó còn có thể phát biểu như thế nào ?

+ Những định lý nào có kết luận giống với kết luận này ?

Phân bậc hoạt động chứng minh

Ta cần phân bậc hoạt động chứng minh để điều khiển quá trình học tập của học sinh

 Hiểu được chứng minh

 Trình bày lại chứng minh

 Độc lập tiến hành chứng minh

Để chứng minh định lý cần gợi kiến thức liên quan, dùng phương pháp phân tích giúp học sinh tìm cách chứng minh định lý

Dùng phương pháp tổng hợp để trình bày cách chứng minh định lý cho học sinh sau khi chứng minh song cần thiết phải giới thiệu ứng dụng

của định lý

Giáo viên thực hiện : Nguyễn Thị Phương -4- Trường THCS Nguyễn Bá Ngọc

d) Giai đoạn vận dụng và củng cố định lý

Cho học sinh tập luyện những hoạt động sau :

* Nhận dạng và thể hiện : Đây là hoạt động quan trọng để củng cố định lý

* Hoạt động ngôn ngữ : Khuyến khích học sinh thay đổi hình thức phát biểu định lý nhằm phát triển năng lực diễn đạt độc lập với ý nghĩ của mình

* Các hoạt động củng cố khác: Ngoài ra cần củng cố cho học sinh biết cách đặc biết hoá , khái quát hoá , hệ thống hoá lật ngược vấn đề …

+thành lập mệnh đề đảo + Tóm tắt ,kết luận

e) Giai đoạn hệ thống hoá , xắp xếp định lý

Trong quá trình học định lý toán học , học sinh phảilĩnh hội được các sự kiện những kết luận , định lý giúp ra từ những tình huống, xắp xếp logic các định lý và mối liên hệ giữa định lý mới với những định lý đã học trước đó Đồng thời học được rèn kỹ năng, kỹ xảo vận dụng định lý vào hoạt động chứng minh, giải toán Kích thích tính tích cực học tập của học sinh

* Giới thiệu định lý : giáo viên đặt tình huống gợi nhu cầu nhận thức ở học sinh ,tổ chức cho học sinh tác động vào vấn đề để phát hiện định lý

* Giải thích định lý : Giáo viên cho học sinh đưa được giả thiết và kết luận của định lý Sau đó gợi nhưng kiến thức có liên quan, phân tích giúp học sinh tìm cách chứng minh thông qua trao đổi, so sánh, phấn đoán, đo đạc ….Từ đó sử dụng phương pháp suy luận phân tích, tổng hợp để chứng minh với những kiến thức toán học đẫ có từ trước

B - PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC ĐỊNH LÝ

I – PHÁT HIỆN VẤN ĐỀ

1- Làm nảy sinh nhu cầu nhận thức định lý

+ thuyết trình nêu vấn đề

+ cho học sinh làm bài tập

Ví dụ 1:

Khi dạy định lý về tổng các góc của một tứ giác

- GV Nêu vấn đề: Tổng các góc của một tam giác bằng bao nhiêu ?

- HS :Tổng các góc của một tam giác bằng 1800

- GV: Tổng bốn góc của một tứ giác bằng bao nhiêu ? Làm thế nào để biết được ?

- HS : có thể nêu phương án là đo các góc

-GV: - Muốn tính tổng của các góc mà không cần đo góc ?

- Nêu phương hướng và cách làm :

+ Chia tứ giác thành hai tam giác có chung một cạnh là đường chéo

+ Vận dụng tổng các góc của một tam giác

- HS : Chứng tỏ được tổng các góc của tứ giác bằng 360 0

Dẫn đến phát hiện được định lý và việc chứng minh định lý này thực hiện như cách lập luận trên

Ví dụ 2: Khi dạy bài hình bình hành giáo viên cho học sinh làm bài tập

Cho hình bình MNPQ có A , B , C ,D lần lượt là trung điểm của MN , NP PQ ,

MQ Chứng minh AB // CD , AD //BC

( AB //CD ; AB = CD )

HS : Vận dụng kiến thức về đường trung bình của tam giác chứng minh được AB //

CD ; AD // BC ( AB // CD ; AB = CD )

GV : Thông báo tứ giác ABCD gọi là hình bình hành Từ đó học sinh đã hình thành được khái niệm về hình bình hành và tính chất về cạnh của hình bình hành

2- Phân tích phát hiện ra yêu cầu cấu trúc của định lý theo các biện pháp sau

*Cho học sinh làm bài tập có chứa các tình huống dẫn đến kiến thức cần học

Ví dụ 3 :

Khi dạy học định lý về đường phân giác giáo viên cho học sinh làm bài tập sau : cho hình vẽ A

Giáo viên thực hiện : Nguyễn Thị Phương -6- Trường THCS Nguyễn Bá Ngọc

B D C

E

Có Aˆ 1 =Eˆ hãy so sánh tỉ số DC DB;AC EB

HS : Có BE // AC ( Có một cặp góc so le trong bằng nhau )



AC

EB DC

BD

 ( Hệ quả của định lý Ta lét) (1)

GV : Nếu AD là phân giác của tam giác của góc BAC thì ta sẽ có được điều gì ?

HS : A ˆ 1 Aˆ 2  Eˆ1Aˆ2   ABE cân tại B  EB = AB

Thay vào EB = AB vào (1) ta có :

AC

AB DC

BD



Từ đó dẫn đến định lý tính chất đường phân giác trong tam giác

*Qua kiểm tra bài cũ , tổ chức cho học sinh đánh giá , nhận xét bài giải của bạn

để dẫn đến tình huống kiến thức

Ví dụ 4:

Khi dạy học đinh lý về đường trung bình của hình thang

GV : Kiểm tra bài cũ :

+ Phát biểu định nghĩa tính chất đường trung bình của tam giác ?

(vẽ hình minh hoạ )

+ Cho hình thang ABCD ( AB //CD ) như hình vẽ Hãy tính x và y

A x B

E 3cm 1cm F

2 1

HS – Phát biểu định nghĩa tính chất đường trung bình của tam giác

- Vẽ hình A

D E

- Tính chất :  ABC có AD = DB ; AE =EC

 DE // BC ; DE = BC

2 1

HS : Vận dụng tính chất đường trung bình trong ADC ,  ABC

 EM = DC MF AB

2

1

; 2

1

  DC= 2EM  y= DC= 2*3 = 6 (cm) AB= 2MF  x= AB= 2* 1= 3 (cm)

HS nhận xét bài

GV thông báo đoạn thẳng EF trên hình chính là đường trung bình của hình thang ABCD Vậy thế nào là đường trung bình của hình thang ?

Như vậy qua kiểm tra bài cũ , nhận xét bài giáo viên đã dẫn dắt học sinh dến kiến thức mới đó là Đường trung bình của hình thang

*Từ một tình huống kiến thức cũ để dự đoán chuyển sang kiến thức mới bằng cách

sử dụng phép tương tự

Ví dụ5 :

- Từ tính chất hình bình hành hãy nêu các tính chất của hình thoi ?

- Từ tính chất đường trung bình của tam giác,Hãy dự đoán tính chất về đường trung bình của hình thang ?

Giáo viên thực hiện : Nguyễn Thị Phương -8- Trường THCS Nguyễn Bá Ngọc

*Sử dụng phép quy nạp từ những hiện tượng kiến thức cụ thể

Ví dụ 6 :

- Hình thoi là hình bình hành đặc biệt nên hình thoi mang đầy đủ các tính chất của

hình bình hành

* Cho học sinh thực hành các hoạt động tính toán , kể vẽ , đo đạc ,

từ đó rút ra nhận xét , dự đoán về kiến thức mới

Ví dụ7 :

Khi dạy bài tính chất đường phân giác của tam giác học sinh thực hiện vẽ , đo đạc rút ra nhận xét , dự đoán được kiến thức

?1 : Vẽ tam giác ABC biết AB=3cm , AC =6cm : 0

100

ˆ 

A , Dựng phân giác AD của góc A , đo độ dài DB , DC rồi so sánh tỷ số : AC AB;DC DB

* Khái quát hoá ,trìu tượng hóa

Ví dụ 8 :

Sau khi dạy định lý “ Tổng các góc trong một tam giác bằng 1800 “ giáo viên có thể giúp học sinh làm tương tự đối với tứ giác (là chia tứ giác thành hai tam giác) từ đó ta có

“Tổng các góc của một tứ giác bằng 3600 ‘’ Từ đó khái quát hoá kết quả đối với tổng các góc trong một đa giác lồi

*Đặc biệt hoá

Ví dụ 9 : Khi dạy về hình thang cân giáo viên gợi ý nếu hình thang có hai góc kề một cạnh

đáy bằng nhau ( trường hợp đặc biệt của hình thang ) để dẫn đến hình thang cân

*Kể chuyện mở đầu về lịch sử quá trình nảy sinh kiến thức cùng với ý nghĩa của nó

Ví dụ 10 :

- Khi dạy định lý Talét giáo viên có thể kể chuyện lịch sử về nhà Toán học Talét

- Khi dạy về định lý PiTaGo thì kể chuyện lịch sử về nhà toán học PiTa Go

* Xuất phát từ tình huống bài toán trong thực tế đời sống

Ví dụ 11 :

- Các thanh sắt ở của xếp tạo thành những hình gi? ( Bài Hình thoi )

-Làm thế nào để đo chiều cao của một cây mà không cần lên đến ngọn ? …

*Đưa ra các phản ví dụ , phân tích những sai lầm , tạo ra mâu thuẫn trong nhận thức

của học sinh , kích thích tính tò mò khó học , ham hiểu biết của học sinh

Ví dụ 12 :

Sau khi học song kiến thức về hình bình hành giáo viên treo bảng phụ ?3

( trang 92 –SGK hình học 8)

II-M GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Giải quyết từng phần chứng minh việc chứng minh định lý

1- giáo viên trình bày kiến thức theo logic phát triển của nó

Ví dụ 13 :

Khi chứng minh định lý tổng ba góc của một tam giác ( SGK 7)

“ Tổng ba góc của một tam giác bằng 1800 “

HS : vẽ hình – Ghi giả thiết kết luận của định lý

x A y

1 2 GT  ABC

180 ˆ ˆ

ˆBC

A

B C

GV :- Nếu qua A ta kể đường thẳng xy ta sẽ có điều gi?

Có 0

2

1 ˆ ˆ 180

A

- Từ đó nghĩ đến chứng minh : Aˆ1 Bˆ;Aˆ2 Cˆ

Giáo viên thực hiện : Nguyễn Thị Phương -10- Trường THCS Nguyễn Bá Ngọc

- Đó là các cặp góc so le trong nên muồn cho các góc so le trong đó bằng nhau thì

xy phải song song BC

- Đó chính là lý do tại sao khi bắt đầu chứng minh ta phải kẻ xy//BC

HS : chứng minh định lý

Qua A kẻ đường thẳng xy// BC từ đó :

Aˆ1 Bˆ;Aˆ3 Cˆ ( cặp góc so le trong )

Vậy AˆBˆCˆ Aˆ+ 0

2

ˆ  A 

2-Sử dụng phương pháp suy luận ngược từ kết luận đến giả thiết tìm ra mối quan hệ

Ví dụ 14 :

Chứng minh dấu hiệu nhận biết hình bình hành

“ Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mối đường là hình bình hành “

A B GT OA= OC , OD = OB

KL ABCD là hình bình hành

Phân tích Chứng minh

ABCD là hình bình hành Xét AOB và  COD

 Có : OA = OC ( gt)

AB// CD ; AD// BC A OˆBC OˆD( Đối đỉnh )

  OB = OD ( gt)

B D

C

D

B

Aˆ  ˆ (so le ) Tương tự AOB =  COD (cgc)

 suy ra A BˆO C DˆO

AOB =  COD Nhưng A BˆO;C DˆO là hai góc so le trong

 ? Nên ta có : AB//CD

O

Chứng minh tương tự ta có

AD // BC

Ví dụ 15 : -

Chứng minh định lý “ Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song

song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba ”

Sau khi tạo động cơ phát hiện được định lý, giáo viên hướng dẫn học sinh chứng minh định lý bằng phương pháp phân tích suy luận

HS : vẽ hình , ghi giả thiết kết luận

A GT AM = MB

M N MN // BC

KL AN = NC

Phân tích Chứng minh

Chứng minh AN = NC Qua N kẻ đường thẳng song song

 với AB cắt BC ở P

Phải nghĩ cách tạo ra một tam giác Ta có : MB = NP (1)

có cạnh NC để chứng minh bằng  AMN ( đoạn thẳng song song chắn giữa

bằng cách kẻNP//AB cắt BC ở P hai đường thẳng song song )

 Mà MB=AM nên AM = NP (1)

Chứng minh  AMN =  NPC A ˆ Nˆ 1 ( góc đồng vị NP //AB ) (2)

Đãcó MN // PC ( gt) , AB//NP (cd) M ˆ 1 Pˆ 1( Cùng bằng góc B,đồng vị )(3)  Từ (1) ,(2) ,(3) suy ra :

Từ đó : A ˆ Nˆ 1 ( đồng vị NP // AB )  AMN =  NPC g.c.g)

M ˆ 1 Pˆ 1( Cùng bằng góc B ) Suy ra AN = NC



Chứng minh AM = NP

Giáo viên thực hiện : Nguyễn Thị Phương -12- Trường THCS Nguyễn Bá Ngọc