CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN TRONG GIẢI TÍCH HÀM GVHD: PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH HUY THỰC HIÊÊN: NGUYỄN ĐỨC LỄ BÙI THỊ KHUYÊN ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH TIÊN ĐỀ ZORN: •Nếu tâÊp S là môÊt tâÊp được sắp môÊt phần bởi liên hêÊ và mọi tâÊp được sắp tuyến tính của S đều có câÊn thì S phải có môÊt phần tử tối đại m Có nghĩa: ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH 1.1 ĐỊNH NGHĨA (SƠ CHUẨN) • Cho X là không gian định chuẩn trường số K Gọi là môÊt sơ chuẩn nếu thỏa: i) ii) ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH 1.2 ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH CHO KHÔNG GIAN VECTO • Cho X0 là không gian của KGVT X • Giả sử tồn tại sơ chuẩn p thỏa Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tinh: i) ii) là môÊt phiếm hàm tuyến tính 1 ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH 1.2 ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH CHO KHÔNG GIAN VECTO • • Lấy g1, g2 là phiếm hàm tuyến tính KG N1, N2 của X g1 < g2 sau: Chứng minh: Nếu thì • Gọi S là tâÊp tất cả các PHTT g cho f < g S khác rỗng , được sắp môÊt phần và mọi tâÊp của S đều sắp tuyến tính và có câÊn là giá trị của g Theo tiên đề Zorn, S phải có môÊt phần tử tối đại F thỏa: ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH 1.3 ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH CHO KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN • Cho X0 là không gian của KGĐC X • Giả sử tồn tại sơ chuẩn p thỏa Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính i) ii) là môÊt phiếm hàm tuyến tính liên tục 1 ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH 1.3 ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH CHO KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN: • • Dễ dàng kiểm tra là môÊt sơ chuẩn X • Do f tuyến tính liên tục nên Chứng minh: Theo (1.2) tồn tại phiếm hàm tuyến tính thỏa i) ii) Suy ra: • Mà: • VâÊy: ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH 1.4 Hêê quả: • Cho không gian định chuẩn X • Khi đó thỏa mãn Chứng minh: • ĐăÊt (không gian sinh bởi ) • Xét thỏa g)= • Rõ ràng g tuyến tính X0 • Vì nên g liên tục X0 và • Áp dụng định lý 1.3: • và