cac dinh ly co ban trong giai tich ham

ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH• Cho X0 là không gian con của KGVT X trên.

CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN TRONG GIẢI TÍCH

HÀM

GVHD: PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH HUY

THỰC HIÊÊN:

NGUYỄN ĐỨC LỄ

BÙI THỊ KHUYÊN

1 ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH

Nếu tâÊp S là môÊt tâÊp được sắp môÊt phần bởi liên hêÊ và mọi tâÊp con được sắp tuyến tính của S đều có câÊn trên thì

S phải có môÊt phần tử tối đại m

Có nghĩa:

•

TIÊN ĐỀ ZORN:

1 ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH

• Cho X là không gian định chuẩn trên trường số K

Gọi là môÊt sơ chuẩn nếu thỏa:

i)

ii)

•

1.1 ĐỊNH NGHĨA (SƠ CHUẨN)

1 ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH

• Cho X0 là không gian con của KGVT X trên là môÊt phiếm hàm tuyến tính.

• Giả sử tồn tại sơ chuẩn p thỏa

Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tinh:

i)

ii)

•

1.2 ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH CHO KHÔNG GIAN VECTO

1 ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH

Chứng minh:

• Lấy g1, g2 là 2 phiếm hàm tuyến tính trên 2 KG con N1, N2 của X g1 < g2 như sau:

Nếu thì

• Gọi S là tâÊp tất cả các PHTT g sao cho f < g

S khác rỗng , được sắp môÊt phần và mọi tâÊp con của S đều sắp tuyến tính và có câÊn trên là giá trị của g Theo tiên đề Zorn, S phải có môÊt phần tử tối đại F thỏa:

•

1.2 ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH CHO KHÔNG GIAN VECTO

1 ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH

• Cho X0 là không gian con của KGĐC X trên là môÊt phiếm hàm tuyến tính liên tục.

• Giả sử tồn tại sơ chuẩn p thỏa

Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính

i)

ii)

•

1.3 ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH CHO KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN

1 ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH

Chứng minh:

• Dễ dàng kiểm tra là môÊt sơ chuẩn trên X

• Do f tuyến tính liên tục nên

Theo (1.2) tồn tại phiếm hàm tuyến tính thỏa

i)

ii)

Suy ra:

• Mà:

• VâÊy:

•

1.3 ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH CHO KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN:

1 ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH

• Cho không gian định chuẩn X trên và

• Khi đó thỏa mãn

•

1.4 Hêê quả:

Chứng minh:

• ĐăÊt (không gian con sinh bởi )

• Xét thỏa g)=

• Rõ ràng g tuyến tính trên X0

• Vì nên g liên tục trên X0 và

• Áp dụng định lý 1.3:

•