liên quan đến lý thuyết nửa nhóm

Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu những vấn đề sau: 1. Các khái niệm cơ bản liên quan đến lý thuyết nửa nhóm . 2. Các khái niệm, tính chất, định lý liên quan đến đồng cấu nửa nhóm. 3. Các khái niệm, tính chất liên quan đến xấp xĩ nửa nhóm, nửa nhóm nhỏ nhất. 4. Xấp xĩ nửa nhóm tương ứng với các mệnh đề bằng nhau, phần tử thuộc nửa nhóm con, các quan hệ Green, phần tử thuộc nhóm con tối đại . 5. Nửa nhóm nhỏ nhất tương ứng với các mệnh đề bằng nhau, phần tử thuộc nửa nhóm con, phần tử thuộc nhóm con tối đại. Phương pháp nghiên cứu của chúng tôi trong luận văn này là sử dụng các phương pháp của đại số hiện đại như : từ một đồng cấu nửa nhóm trên một nửa nhóm con mở rộng ra đồng cấu trên toàn bộ nửa nhóm hay phân tích nửa nhóm thành hợp các nhóm con Acsimét. Kết quả chúng tôi thu được là đưa ra được điều kiện cần và đủ để xấp xỉ các lớp nửa nhóm quan trọng tương ứng với các mệnh đề khác nhau

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG - HCM

Cán bộ hướng dẫn khoa học : TS Đặng Văn Vinh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc lập - Tự do - Hạnh Phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

I TÊN ĐỀ TÀI: XẤP XỈ NỬA NHÓM NHỎ NHẤT

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

- Kiến thức cơ sở

- Xấp xỉ nửa nhóm bởi các đồng cấu tương ứng với các mệnh đề khác

nhau

- Vấn đề tìm ra nửa nhóm xấp xỉ nhỏ nhất

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 10/07/2017

IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 03/12/2017

V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS ĐẶNG VĂN VINH

PGS TS HUỲNH QUANG LINH

Lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới Thầyhướng dẫn TS Đặng Văn Vinh – Trường Đại học Bách Khoa Tp Hồ ChíMinh, Đại học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh, người đã luôn tận tụy, nhiệttình hướng dẫn, giảng dạy, quan tâm giúp đỡ, truyền đạt kiến thức vàtạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành luận văn.

Tôi xin gửi lời cảm ơn các Thầy, Cô trong Bộ môn Toán Ứng Dụng,khoa Khoa học ứng dụng, Trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ ChíMinh đã hết lòng giảng dạy, truyền thụ kiến thức và tạo mọi điều kiệntốt nhất để tôi hoàn thành luận văn của mình

Tôi xin cảm ơn các anh chị, các bạn lớp Cao học ngành Toán ỨngDụng khóa 2015, 2016 đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học

và quá trình thực hiện luận văn này

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè của mình, những người

đã luôn ở bên cạnh động viên, tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi suốtthời gian học tập

Cuối cùng, trong quá trình thực hiện luận văn khó tránh khỏi nhữngthiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý của quý Thầy, Cô và bạn đọc để

bổ sung và hoàn thiện đề tài tốt hơn

Tp Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2017

Tác giả

Bùi Thị Khuyên

Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu những vấn đề sau:

1 Các khái niệm cơ bản liên quan đến lý thuyết nửa nhóm

2 Các khái niệm, tính chất, định lý liên quan đến đồng cấu nửa nhóm

3 Các khái niệm, tính chất liên quan đến xấp xĩ nửa nhóm, nửa nhómnhỏ nhất

4 Xấp xĩ nửa nhóm tương ứng với các mệnh đề "bằng nhau"," phần

tử thuộc nửa nhóm con", " các quan hệ Green", " phần tử thuộc nhómcon tối đại"

5 Nửa nhóm nhỏ nhất tương ứng với các mệnh đề " bằng nhau", "phần tử thuộc nửa nhóm con", " phần tử thuộc nhóm con tối đại"

Phương pháp nghiên cứu của chúng tôi trong luận văn này là sử dụngcác phương pháp của đại số hiện đại như : từ một đồng cấu nửa nhómtrên một nửa nhóm con mở rộng ra đồng cấu trên toàn bộ nửa nhóm hayphân tích nửa nhóm thành hợp các nhóm con Acsimét

Kết quả chúng tôi thu được là đưa ra được điều kiện cần và đủ để xấp

xỉ các lớp nửa nhóm quan trọng tương ứng với các mệnh đề khác nhau

ABSTRACT

In this thesis we consider the following problems:

1 Basic concepts of semigroup

2.Homomorphisms of semigroups (definitions, properties, theorems, mas, corollaries, )

lem-3 Basic concept of approximation of semigroup by homomorphismswith respect to many predicates and the problem of finding minimalsemigroup approximation for a given class of semigroups

4.Approximation of semigroup with respect to predicates

5.Finding a minimal semigroup of approximation with respect to above

Some methods of modern algebra are used in the Thesis such as a method

of expanding a homomorphism of a subsemigroup to a homomorphism ofthe whole semigroup; a method of embedding a semigroup into a semi-group of archimedean components,

We have found necessary and sufficient conditions for approximation ofsemigroups with respect to some predicates such as : " equality of twoelements", "belonging of an element in a subsemigroup", "Green L-,R-,H-,D-equivalency", we have created a minimal semigroup approximationfor some classes of semigrpups with respect to predicate of "belonging of

an element in a subgroup"

Tôi tên là bùi Thị Khuyên, mã học viên: 1570759, học viên cao họcchuyên ngành Toán Ứng Dụng trường Đại học Bách Khoa thành phố HồChí Minh khóa 2015 - 2017 Tôi xin cam đoan rằng ngoại trừ các kếtquả tham khảo từ các công trình khác như đã ghi rõ trong luận văn, cáccông việc trình bày trong luận văn này là do chính tôi thực hiện dưới sựhướng dẫn của TS Đặng Văn Vinh và tôi hoàn toàn chịu trách nhiệmtính trung thực về đề tài nghiên cứu này.

Tp Hồ Chí Minh, ngày 04 tháng 12 năm 2017

Học viên thực hiện

Bùi Thị Khuyên

Lý thuyết xấp xĩ các cấu trúc đại số lần đầu được phát biểu trongcông trình nghiên cứu của viện sỹ hàn lâm khoa học Nga A.I Mal’cev[1] Cuốn sách [1] xuất bản năm 1976 tập hợp các công trình nghiên cứucủa ông tuy nhiên bài báo về xấp xĩ các cấu trúc đại số của ông ‘ Abouthomomorphisms on finite group’ Uchevnui Zapics Ivanovskogo Institute,Tom 18, pages 49-60 được đăng năm 1958 Trong công trình này ông chỉ

ra mối liên hệ giữa xấp xĩ hữu hạn một cấu trúc đại số tương ứng với mộtmệnh đề và bài toán giải được của mệnh đề này trong một hệ thống Đây

có thể coi là ý tưởng và ví dụ đầu tiên về việc ứng dụng lý thuyết xấp xĩcác cấu trúc đại số Hướng phát triển các ứng dụng rất thiết thực nhưng

ít được quan tâm nghiên cứu ngoại trừ Giáo sư S.I Kublanovski.có bàibáo “Finite approximation and algorithmic problems”, Modern algebra,LGU, 1983, pages 59 -78 và Kostưrev I.I About algorithmic solvabilities

of problems of recognition of predicates” Vesnit Saint Peterburg sity, 2010, pages 45 – 50 Lý thuyết nửa nhóm rất trừu tượng và tồn tạimột khoảng cách khá xa từ lý thuyết đến ứng dụng lý thuyết này vàocác bài toán thực tiễn nên việc ứng dụng vẫn còn bỏ ngõ Vấn đề xấp

Univer-xĩ nửa nhóm được Giáo sư Lesokhin M.M và các học trò của ông nghiêncứu tích cực trong khoảng thời gian dài từ 1960 đến nay Tổng cộng cókhoảng trên 30 luận văn tiến sỹ được bảo vệ thành công và hàng trămbài báo được đăng theo hướng nghiên cứu này Các bài báo chủ yếu đượcviết bằng tiếng Nga và đăng trên các tạp chí chuyên ngành của Nga vàLiên bang Xô Viết Có một số bài được đăng trên tạp chí nổi tiếng nhấtcủa lý thuyết nửa nhóm là Semigroup Forum:

1/ Lesokhin M.M., Popyrin A V, Bicharacters of semigroups, Semigroup

2/ Lesokhin M.M., Rasulov N.J Two results on real continuous acters Semigroup Fo-rum 43, 1991, pages 123 – 126.

bichar-3/ Hall T.E, Kublanovskii S.I, Margolis S, Sapir M.V The partially dered set of all J-classes of a finite semigroups, Semigroup Forum 6(3),

or-1973, pages 263 – 264

Vì thấy đây là một vấn đề lý thuyết mới và sẽ có nhiều ứng dụng trongtương lai nên tôi đã chọn đề tài nghiên cứu "XẤP XỈ NỬA NHÓM NHỎNHẤT" cho luận văn của mình

Mục đích nghiên cứu:

Trong luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu tìm điều kiện cần

và đủ để xấp xỉ các lớp nửa nhóm quan trọng tương ứng với các mệnh

đề khác nhau Qua đó xây dựng tìm ra được xấp xỉ nửa nhóm nhỏ nhấttướng ứng với các mệnh đề khác nhau

Đối tượng nghiên cứu:

Chúng tôi nghiên cứu trên các đối tượng: Lý thuyết xấp xĩ nửa nhóm,đồng cấu nửa nhóm, các mệnh đề quan trọng trong lý thuyết nửa nhóm.Phương pháp nghiên cứu:

- Sử dụng các phương pháp của đại số hiện đại như : từ một đồng cấunửa nhóm trên một nửa nhóm con mở rộng ra đồng cấu trên toàn bộ nửanhóm; phân tích nửa nhóm thành hợp các nhóm con Acsimét

- Đọc, phân tích tìm hiểu rõ các chứng minh của các định lý trong tàiliệu tham khảo

Nội dung và phạm vi của vấn đề sẽ nghiên cứu:

Ngoài phần lời mở đầu và kết luận, chúng tôi chia luận văn thành bachương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: ở đây nêu lên các định nghĩa quantrọng của lý thuyết nửa nhóm có liên quan đến vấn đề nghiên cứu của đề

Chương 2: Tìm các điều kiện cần và đủ để một nửa nhóm xấp xĩđược vào một nửa nhóm cho trước tương ứng với các mệnh đề quan trọngtrong lý thuyết nửa nhóm như mệnh đề: "sự bằng nhau của hai phầntử", "phần tử thuộc nửa nhóm con", "phần tử thuộc nhóm con cực đại",

"tính chia hết của hai phần tử", "hai phần tử nằm trong các quan hệGrin tương đương",

Chương 3: Tìm nửa nhóm xấp xĩ nhỏ nhất của một lớp nửa nhómcho trước tương ứng với các mệnh đề ở phần 2

LỜI CẢM ƠN i

1.1 Liên quan đến lý thuyết nửa nhóm 1

1.1.1 Các định nghĩa cơ bản 1

1.1.2 Định nghĩa đồng cấu 5

1.1.3 Ideal 6

1.2 Lớp các nửa nhóm 11

1.2.1 Nửa nhóm giao hoán, tách được 11

1.2.2 Nửa nhóm chính quy 14

1.2.3 Nửa nhóm ngược 16

1.2.4 Nửa nhóm đơn 17

1.2.5 Nửa nhóm tuần hoàn 18

1.2.6 Nửa nhóm là hợp của các nhóm 19

1.2.7 Mở rộng của nửa nhóm 20

1.2.8 Các đặc của một nửa nhóm giao hoán 20

1.2.9 Quan hệ Green 22

1.3 Liên quan tới đồng cấu nửa nhóm 23

1.3.1 Tính chất của tích các đồng cấu 26

1.3.2 Đồng cấu nửa nhóm ngược 28

Chương 2 XẤP XỈ NỬA NHÓM ỨNG VỚI CÁC MỆNH

2.1 Xấp xĩ nửa nhóm 302.1.1 Xấp xỉ nửa nhóm tương ứng với mệnh đề" bằng nhau" 332.1.2 Xấp xỉ nửa nhóm ứng với mệnh đề "các quan hệ Green" 362.1.3 Xấp xỉ nửa nhóm ứng với mệnh đề" phần tử thuộc nửa

nhóm con" 39

3.1 Định nghĩa 413.2 Nửa nhóm nhỏ nhất ứng mệnh đề "phần tử thuộc nhóm con" 42

xạ đó được kí hiệu bởi dấu chấm (.) thì ảnh trong S của phần tử (a, b) ∈ S × S

được kí hiệu bởi a.b Thường ta bỏ dấu chấm đó và viết đơn giản là ab Để kíhiệu các phép toán hai ngôi ta cũng dùng các dấu +, ◦, ∗.

Ta gọi một phỏng nhóm là một hệ thống S(.) gồm một tập S khác rỗng và mộtphép toán hai ngôi (.) trên nó Thường ta viết S thay cho S(.), nếu điều đókhông dẫn tới sự hiểu lầm nào

Một phép toán hai ngôi bộ phận trên tập S là một ánh xạ từ một tập con khácrỗng của tậpS × S vào S Một phỏng nhóm bộ phận là một hệ thống S(.) gồmmột tập S khác rỗng và một phép toán hai ngôi bộ phận trên nó

Phép toán hai ngôi (.) trên S gọi là kết hợp nếu a.(b.c) = (a.b).c, ∀a, b, c ∈ S

Định nghĩa 1.1.1 Nửa nhóm là một phỏng nhóm S(.), trong đó phép toán (.)

xy, ∀x, y ∈ N thì khi đó phỏng nhóm (N, ∗) không phải là một nửa nhóm vì phéptoán (*) không có tính kết hợp.

Phép biến đổi của một tập X là một ánh xạ từ X vào chính nó Ta sẽ kí hiệuảnh của phần tử x ∈ X qua phép biến đổi hoặc ánh xạ α là αx

Tích ( hay hợp thành) của hai phép biến đổiα và β của tập X là phép biến đổi

αβ định nghĩa như sau: (αβ)x = (αx)β với mọi x ∈ X Luật kết hợp α(βγ) = (αβ)γ thoả mãn, vì với mỗi x ∈ X :

Nếu S là nửa nhóm thì mọi phỏng nhóm con tuỳ ý của S cũng là nửa nhóm,

và ta sẽ dùng từ nửa nhóm con thay cho từ phỏng nhóm con

Ví dụ 1.1.4 Tập các số tự nhiên chẵn cùng với phép toán cộng hoặc nhânthông thường là một nửa nhóm con của nửa nhóm tự nhiên N

Tập các số tự nhiên lẻ cùng với phép toán cộng không là một nửa nhóm concủa S

Nếu S là phỏng nhóm, thì lực lượng |S| của tập S được gọi là cấp của S Tanói phần tử a thuộc phỏng nhóm S là giản ước trái [phải] được, nếu với mọi x,

y tuỳ ý thuộc S hệ thức a.x = a.y [ x.a = y.a ] kéo theo x = y Phỏng nhóm Sđược gọi là phỏng nhóm với luật giản ước trái [phải], nếu mỗi phần tử thuộc Sgiản ước trái [phải] được Ta nói phỏng nhóm S với luật giản ước, nếu S vừa làphỏng nhóm với luật giản ước trái, vừa là phỏng nhóm với luật giản ước phải

Định nghĩa 1.1.2 Phần tử e thuộc một phỏng nhóm S được gọi là đơn vị trái[phải], nếu ea = a [ ae = a] với mọi a ∈ S Phần tử e thuộc phỏng nhóm Sđược gọi là đơn vị nếu nó vừa là đơn vị trái vừa là đơn vị phải.

Ví dụ 1.1.5 Ma trận đơn vị là một đơn vị của tập các ma trận đối với cácphép toán thông thường

Định nghĩa 1.1.3 Phần tử z thuộc phỏng nhóm S được gọi là phần tử khôngbên trái [phải] nếu za = z [ az = z ] với mọi a ∈ S Phần tử z được gọi là phần

tử không nếu nó vừa là phần tử không bên trái vừa là phần tử không bên phảicủa S

Định nghĩa 1.1.4 Nửa nhóm S với phần tử không 0 được gọi là nửa nhómvới phép nhân không, nếu ab = 0, ∀a, b ∈ S

Định nghĩa 1.1.5 Phần tử e thuộc phỏng nhóm S được gọi là một luỹ đẳng,nếu e.e = e Nếu mỗi phần tử thuộc nửa nhóm S là luỹ đẳng thì ta nói S lànửa nhóm các luỹ đẳng, hay một băng

Ví dụ 1.1.6 Phép chiếu chính tắc là một luỹ đẳng

Ví dụ 1.1.7 Tập các ma trận đơn vị gọi là một băng

Ví dụ 1.1.8 Phần tử đơn vị và phần tử không một phía là các luỹ đẳng.Giả sử S là một nửa nhóm tuỳ ý, 1 là một kí hiệu và không thuộc S Khi đó

ta mở rộng phép toán hai ngôi trên tập S lên tập hợp S ∪ 1 bằng cách đặt 1.1

= 1 và 1a = a1 = a với mọi a ∈ S Dễ thấy S ∪ 1là một nửa nhóm với phần tửđơn vị là 1 Tương tự ta có thể ghép phần tử không vào S, bằng cách đặt 00

= 0a = a0 = 0 với mọi a ∈ S Và ta kí hiệu : S1 là S nếu như S có đơn vị, còn

là S ∪ 1trong những trường hợp trái lại; tương tự S0 cũng vậy, là S nếu như S

có phần tử không và |S| > 1, còn S ∪ 0 trong trường hợp trái lại

Nhóm là một nửa nhóm G, chứa một phần tử đơn vị trái e, sao cho với mỗiphần tử tuỳ ý a ∈ G tồn tại y ∈ G mà ya = e Phần tử y thoả mãn phương

trình ya = e, được gọi là phần tử nghịch đảo bên trái của a đối với e Ta cũngchứng minh được rằng phần tử nghịch đảo bên trái cũng là phần tử nghịch đảobên phải của a và được kí hiệu là a−1.

Ta gọi hai mệnh đề hoặc hai khái niệm là đối ngẫu, nếu một trong chúng thuđược từ cái kia bằng cách thay mỗi tích ab trong các phát biểu tương ứng bởiba

Nếu A và B là các tập con của phỏng nhóm S, thì tích AB của tập A và tập Bđược gọi là tập tất cả các phần tử dạng ab, trong đó a ∈ A, b ∈ B Như vậy:

AB = ∪ {Ab|b ∈ B} = ∪ {aB|a ∈ A}

Định nghĩa 1.1.6 Một quan hệ ” ≤ ” trên một tập X được gọi là thứ tự bộphận của X nếu nó có tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu Tập sắpthứ tự bộ phận X được gọi là nửa dàn trên [ dưới ] nếu mỗi tập con gồm haiphần tử {a, b} của tập X có hợp [ giao ] trong X Một dàn là một tập sắp thứ

tự bộ phận , đồng thời là nửa dàn trên và nửa dàn dưới

Dàn X được gọi là đầy đủ , nếu mỗi tập con của X có một hợp và một giao

Ví dụ 1.1.9 Giả sử X là tập tất cả các phỏng nhóm con của một phỏng nhóm

S kể cả tập rỗng Thế thì X được sắp thứ tự bộ phận theo quan hệ bao hàm của

lý thuyết tập Vì giao của một tập tuỳ ý các phỏng nhóm con của S hoặc làrỗng, hoặc là một phỏng nhóm con nên X là một dàn đầy đủ

Ví dụ 1.1.10 Tập các iđêan trái [phải, hai phía] của phỏng nhóm S, kể cảtập rỗng, đóng với phép toán hợp theo lý thuyết tập cũng như giao, nên là mộtdàn con đầy đủ của đại số Bun tất cả các tập con của S

Giả sử E là tập các phần tử luỹ đẳng của nửa nhóm S Đặt e ≤ f (e, f ∈ E)

nếu ef = f e = e Nếu e ≤ f thì ta nói e đứng trước f, và f đứng sau e Ta sẽchứng tỏ rằng quan hệ ≤ đó là một thứ tự bộ phận trên E Giả sử e, f, g ∈ E

Do đó e ≤ g Ta gọi ≤ là thứ tự bộ phận tự nhiên trên E.

Định lý 1.1.1 Một băng giao hoán S là một nửa dàn dưới đối với thứ tự bộphận tự nhiên S Giao a ∧ b của hai phần tử a và b thuộc S trùng với tích abcủa chúng Đảo lại, một nửa dàn dưới là một băng giao hoán đối với phép giao

Ta hiểu sự phân tích một nửa nhóm S là sự phân chia nó thành hợp cửa cácnửa nhóm con rời nhau S α (α ∈ Ω)

Định nghĩa 1.1.7 Ta nói quan hệ ρ trên phỏng nhóm S là ổn định ( hoặctương thích, hoặc chính quy, hoặc thuần nhất) bên phải [ trái ] nếu aρb(a, b ∈ S)

kéo theo ac ρ bc [ca ρ ba] với mỗi c ∈ S Một quan hệ tương đương ổn định bênphải [ trái ] ta sẽ gọi là một tương đẳng bên phải [ trái] trên S Tương đẳngtrên S là quan hệ tương đương vừa là tương đẳng bên trái , vừa là tương đẳngbên phải

1.1.2 Định nghĩa đồng cấu

Định nghĩa 1.1.8 Giả sử S và S0 là các phỏng nhóm Ánh xạ ϕ đi từ S vào

S0 được gọi là đồng cấu nếu ϕ(ab) = ϕ(a) ϕ(b) với mọi a, b ∈ S

Ta sẽ nói ϕ(S) là ảnh đồng cấu của phỏng nhóm S và viết S ∼ ϕ(S) Nếu S

là nửa nhóm thì ϕ(S) cũng là nửa nhóm

Đồng cấu một - một ϕ từ phỏng nhóm S vào phỏng nhóm S0 được gọi là đẳngcấu từ S vào S0 Trong trường hợp đó ta nói các phỏng nhóm S và ϕ(S) đẳngcấu với nhau và viết S ∼ = ϕ(S)

Đồng cấu từ phỏng nhóm S vào chính nó gọi là tự đồng cấu, còn đẳng cấu từphỏng nhóm S lên chính nó được gọi là tự đẳng cấu.

Ví dụ 1.1.11 Cho X là một nửa nhóm Khi đó ánh xạ đồng nhất:

là đơn cấu nửa nhóm, gọi là phép nhúng chính tắc của A vào X

Ví dụ 1.1.14 Cho X là một nửa nhóm, Y là một vị nhóm Khi đó ánh xạ

Trong nửa nhóm giao hoán thì khái niệm ideal trái, ideal phải, ideal hai phía

là trùng nhau

Nếu A là tập con khác rỗng của phỏng nhóm U, thì giao của tất cả các iđeantrái của U chứa A là ideal trái chứa A và được chứa trong mọi ideal trái tuỳ

ý khác có tính chất đó Ta gọi nó là ideal trái của phỏng nhóm U sinh bởi A.Nếu A gồm một phần tử a , thì ta gọi L(a) = a ∪Ua =U1a, R(a) = a ∪ aU= aU1

và J (a) =U1aU1 tương ứng là các ideal chính trái, phải, hai phía của nửa nhóm

U sinh bởi a

Lấy U là một nửa nhóm bất kì Ta có một số tính chất cơ bản của ideal sau:

(α) U là một ideal hai phía của chính nó

(β) Nếu U có một phần tử không 0U, thì 0U là một ideal hai phía của U

(γ) Hợp của các ideal trái bất kì là một ideal trái của chính nó

(δ) Giao của các ideal trái bất kì là một ideal trái của chính nó nếu giao khôngrỗng

(ε) Nếu B là một nửa nhóm con của U, I là một ideal trái của U và B∩I6= ∅

thì B∩I là một ideal trái của B

(ς) Nếu một phần tử X nằm trong một số ideal trái I của nửa nhóm U và Ykhông thuộc I, thì X sẽ không chia hết bên phải cho Y

Những tính chất trên cũng đúng đối với ideal phải

Bây giờ ta sẽ xét tính chất cơ bản của ideal hai phía

(α).Hợp của các ideal hai phía bất kì của nửa nhóm U là ideal hai phía của U

(β) Tích của hai ideal hai phía của U là một ideal hai phía của U

(γ) Giao của các ideal hai phía bất kì của U là một ideal hai phía của U nếugiao không rỗng

(δ) Giao của hai ideal hai phía của U là một ideal hai phía của U

(ε) Một tập con của U bao gồm một phần tử X là một ideal hai phía của Unếu và chỉ nếu X là phần tử không của U

(ς) Nếu U có một phần tử 0U, thì 0U được chứa trong mọi ideal hai phía củaU

(η) Nếu B là một nửa nhóm con của U và I là một ideal hai phía của U, thì

giao B∩I nếu không rỗng thì cũng là một ideal hai phía của B.

(θ) Nếu I là một ideal hai phía của U, thì tập Y bao gồm tất cả các phần tử

U ∈U sao cho

UU⊂I

là một ideal hai phía của U

Định nghĩa 1.1.10 Một nửa nhóm con B của một nửa nhóm U được gọi là

cô lập nếu và chỉ nếu với một phần tử X ∈ U và với số tự nhiên n bất kì, thìluôn luôn có từ Xn ∈ B suy ra được X ∈ B Nếu B là một ideal thì ta nói B

là ideal cô lập

Ví dụ 1.1.15 Tập các số tự nhiên chẵn khác không là một ideal cô lập của N.Định nghĩa 1.1.11 Ideal B của nửa nhóm U được gọi là ideal cô lập hoàntoàn, nếu từ XY ∈U, suy ra X ∈U hoặc Y ∈U Tập rỗng qui ước là một ideal

cô lập hoàn toàn

Sau đây là các tính chất của ideal cô lập:

1 Một nửa nhóm con cô lập hoàn toàn của một nửa nhóm U là cô lập

Chứng minh :

Giả sử B là một nửa nhóm con cô lập hoàn toàn của nửa nhóm U Ta sẽ chứngminh B là một nửa nhóm con cô lập Thật vậy :

∀X n , Yn ∈U vàXnYn ∈B ta suy ra Xn ∈B hoặcYn ∈B Từ Xn = Xn−1.X ∈

B suy ra X ∈B Vậy B là một nửa nhóm con cô lập

2 U chính là một nửa nhóm con cô lập hoàn toàn của chính nó

3 Một nửa nhóm con B sẽ là cô lập hoàn toàn nếu và chỉ nếu U\B hoặc làmột nửa nhóm con hoặc là tập rỗng

4 Giao của bất kì các nửa nhóm con cô lập là một nửa nhóm con cô lập nếucác nửa nhóm con không rỗng

Chứng minh :

Giả sử A = ∩

i Bi ( Với Bi là các nửa nhóm con cô lập của U và Bi 6= ∅)

X ∈ Bi

⇒ X ∈ ∩

i Bi⇒ X ∈ A

Vậy giao của các nửa nhóm con cô lập là một nửa nhóm con cô lập

5 Hợp của các ideal trái cô lập bất kì là một ideal trái cô lập

Từ Xn ∈ B 1 ; Xn ∈ B 2 ; ; Xn ∈ B i ta suy ra Xn ∈ ∪

i B i và từXn ∈ B i ⇒ X ∈ B i

nên ta suy ra X ∈ ∪

i Bi Bây giờ ta đi chứng minh điều thứ 2

và cả hai trường hợp có thể xảy ra

1, Xn/2 ∈B; 2, Xn/2 = Y ∈B; Y2∈B

mâu thuẫn với cách chọn giá trị nhỏ nhất của n

Số n cũng không thể là lẻ ( dĩ nhiên n 6= 1), nếu không thì

8 Nếu B là một ideal hai phía cô lập của một nửa nhóm U mà U cũng là mộtideal hai phía của một trong những nhóm cực tiểu U0, thì B cũng là ideal haiphía của nửa nhóm U0.

Chứng minh: Thật vậy, cho bất kì X ∈ U0 và B ∈ B thì tích XB ∈ U khi

B⊂U, và U là ideal hai phía của U0 Chúng ta giả sử rằng XB ∈B Khi B là

cô lập trong U, chúng ta cũng có (XB)2∈B Tuy nhiên, điều này không thểxảy ra vì

(XB)2 = XBX B ∈ (XBX).B ∈BChúng ta cũng chỉ ra được rằngBX ∈B cũng là điều không thể xảy ra Do đó,

B phải là một ideal hai phía của U0 Điều phải chứng minh

Định nghĩa 1.1.12 Một nửa nhóm con F của nửa nhóm con A được gọi làlọc của A nếu ∀x, y ∈ A, xy ∈ F thì x, y ∈ F

Ví dụ 1.1.16 (Z∗, ) là một lọc của (Z, )

1.2 Lớp các nửa nhóm

1.2.1 Nửa nhóm giao hoán, tách được

Định nghĩa 1.2.1 Ta nói hai phần tử a và b thuộc nửa nhóm U giao hoánvới nhau nếu a.b = b.a Nửa nhóm U được gọi là giao hoán nếu hai phần tửtuỳ ý của nó giao hoán với nhau

Khi đó ta có luật các số mũ sau :

Ví dụ 1.2.1 Nửa nhóm (Z;+);(Q,.) đều là những nửa nhóm giao hoánĐịnh nghĩa 1.2.2 Một nửa nhóm S gọi là tách được nếu nó có tính chất

ab = a2 = b2(a, b ∈ S) kéo theo a = b

Ví dụ 1.2.2 Giả sử k và l là các số nguyên không âm.Nửa nhóm P (GP) = {a, b|abk = bla} là nửa nhóm tách được Nửa nhóm này gọi là nửa nhóm Blaum-slag - SolitarBki do hai nhà toán học Blaumslag và SolitarBki nghiên cứu

Ví dụ 1.2.3 Nửa nhóm giao hoán có luật giản ước là nửa nhóm tách được.Định nghĩa 1.2.3 Nửa nhóm giao hoán S là nửa nhóm " Ácsimét " nếu vớihai phần tử tuỳ ý của S, mỗi phần tử chia hết một luỹ thừa nào đó của phần

tử kia

Định nghĩa 1.2.4 Mọi nửa nhóm giao hoán S biểu diễn được một cách duynhất dưới dạng một dàn của các nửa nhóm " Ácsimét" ; các nửa nhóm này tagọi là các " thành phần Ácsimét" của S

Định nghĩa 1.2.5 Một phần tử B của nửa nhóm S được gọi là số chia phảicủa phần tử A trong nửa nhóm S nếu tồn tại trong S một phần tử X sao cho

Định nghĩa 1.2.6 Ta định nghĩa một quan hệ η trên một nửa nhóm giaohoán S như sau : aηb (a, b ∈ S) khi và chỉ khi mỗi một trong các phần tử a và bchia hết một luỹ thừa nào đó của phần tử kia

Định lý 1.2.1 Quan hệ η trên một nửa nhóm giao hoán S là một tương đẳngtrên S và S/η là ảnh đồng cấu nửa dàn tối đại của S.

Định lý 1.2.2 Mỗi nửa nhóm giao hoán S biểu diễn được một cách duy nhấtthành nửa dàn Y các nửa nhóm Ácsimét Sα(α ∈ Y ) Nửa dàn Y đẳng cấu vớiảnh đồng cấu nửa dàn tối đại S/η của S, và các Sα(α ∈ Y ) là các lớp tươngđương của S theo môđun η

Định nghĩa 1.2.7 Ta nói một tương đẳng ρ trên một nửa nhóm giao hoán S

là tách được nếu S/ρ là tách được, nghĩa là nếu abρa2ρb2 kéo theo aρb

Rõ ràng giao của một tập các tương đẳng tách được trên S là tách được.Định nghĩa 1.2.8 Ta định nghĩa một quan hệ σ trên một nửa nhóm giaohoán S như sau : aσb(a, b ∈ S) khi và chỉ khi tồn tại một số nguyên dương nsao cho abn = bn+1 và ban = an+1

Chú ý : Nếu tồn tại các số nguyên dương m và n sao cho abm = bm+1 và

Định lý 1.2.5 Mọi nửa nhóm thuận nghịch phải với luật giản ước nhúng chìmđược vào một nhóm.

Định lý 1.2.6 Một nửa nhóm giao hoán S có thể nhúng chìm được vào mộtnửa nhóm là hợp của các nhóm khi và chỉ khi S là tách được

Định lý 1.2.7 Một nửa nhóm giao hoán S được biểu diễn một cách duy nhấtthành một nửa dàn Y các nửa nhóm Ácsimét S α (α ∈ Y ) Nửa nhóm S có thểnhúng chìm vào một nửa nhóm T là hợp của các nhóm khi và chỉ khi S là táchđược, và điều đó xảy ra khi và chỉ khi mỗi Sα là giản ước được Nửa nhóm T

có thể lấy là hợp của chính nửa dàn Y các nhóm Gα, trong đó Gα là nhóm cácthương của Sα với mỗi α ∈ Y

Định nghĩa 1.2.11 Ta định nghĩa một quan hệ hai ngôi " ≤" như sau : a ≤ b

khi và chỉ khi b chia hết a

Rõ ràng quan hệ hai ngôi " ≤" được định nghĩa ở trên là một quan hệ tươngđương

Mệnh đề 1.2.8 Khi S là một nửa nhóm giao hoán, các quan hệ hai ngôi "

≤N" và "N" được định nghĩa như sau: a≤Nb nếu và chỉ nếu am ≤ b với một m

> 0 nào đó; aN b nếu và chỉ nếu am ≤ b và bn ≤ a với m,n > 0 nào đó

Định nghĩa 1.2.14 Một phần tử A được gọi là chính quy hoàn toàn nếu chúng

ta tìm thấy trong U một phần tử X sao cho

AXA = A, AX = XA.

Định nghĩa 1.2.15 Một nửa nhóm mà tất cả các phần tử của nó là phần tửchính quy hoàn toàn thì được gọi là nửa nhóm chính quy hoàn toàn.

Ví dụ 1.2.4 1 Mọi phần tử luỹ đẳng đều là phần tử chính quy Nói riêng,nếu U có phần tử đơn vị thì phần tử ấy là phần tử chính qui

2 Mọi nhóm đều là nửa nhóm chính qui

3 Nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủgx của tập hợp X khác rỗng là nửa nhómchính qui

4 Tập các số nguyên Z với phép toán cộng là một nửa nhóm chính qui hoàntoàn

Một nửa nhóm là nửa nhóm chính qui hoàn toàn nếu nó là một nhóm Nếu

U là nhóm giao hoán thì khái niệm chính quy và chính quy hoàn toàn là trùngnhau

Định nghĩa 1.2.16 Một phần tử I của nửa nhóm U mà nó vừa là đơn vị tráicủa phần tử A ∈ U vừa là chia hết bên trái cho A thì được gọi là phần tử đơn

vị chính qui trái

Định nghĩa 1.2.17 I được gọi là phần tử đơn vị chính qui phải của A nếu

nó vừa là đơn vị bên phải của A, vừa là chia hết bên phải cho A

Định nghĩa 1.2.18 I được gọi là đơn vị chính qui hai phía của A nếu I vừa

là đơn vị hai phía của A, vừa là chia hết cả bên phải và bên trái cho A

Luỹ đẳng là một phần đặc biệt quan trong trong việc nghiên cứu tính chấtcủa chính qui

Mỗi luỹ đẳng là một phần tử chính qui hoàn toàn Nó cũng là đơn vị chính quihai phía của chính nó Một đơn vị chính qui trái của một phần tử bất kì thìluôn là một luỹ đẳng Tương tự với phần tử đơn vị chính qui phải

Sau đây chúng ta sẽ xem xét một số tính chất không những là điều kiện cần

mà còn là điều kiện đủ để nửa nhóm là nhóm

(α) Nếu trong một nửa nhóm có đơn vị mà mỗi phần tử trong nửa nhóm có

đơn vị chính qui trái thì nửa nhóm đó là một nhóm.

(β) nếu nửa nhóm chính qui U chỉ có duy nhất một luỹ đẳng thì nó là mộtnhóm

(γ) Một nhóm chính qui có luật giản ước hai phía thì là một nhóm

1.2.3 Nửa nhóm ngược

Định nghĩa 1.2.19 Nhóm con G của nửa nhóm U được gọi là nhóm con tốiđại của nửa nhóm U nếu nó không được chứa thực sự trong một nhóm con nàokhác của U

Ví dụ 1.2.5 He là nhóm các phần tử khả nghịch trong nửa nhóm eUe và He

là nhóm con tối đại của nửa nhóm U

Định nghĩa 1.2.20 Nếu phần tử A và B của nửa nhóm U thoả mãn điều kiệnsau :

thì ta gọi A và B là ngược nhau

Định lý 1.2.9 Mỗi phần tử chính qui của một nửa nhóm có ít nhất một phần

tử ngược với nó Một phần tử chính qui hoàn toàn có một phần tử ngược màgiao hoán với nó

Định nghĩa 1.2.21 Hai phần tử thuộc một nửa nhóm U là nghịch đảo củanhau trong một nhóm con nào đó của U khi và chỉ khi chúng ngược nhau vàgiao hoán với nhau

Định nghĩa 1.2.22 Nửa nhóm ngược là nửa nhóm trong đó mỗi phần tử cómột phần tử nghịch đảo duy nhất

Ví dụ 1.2.6 1 Nếu U là một nhóm thì U là một nửa nhóm ngược, và phần

tử ngược của x ∈U chính là phần tử nghịch đảo nhóm của x

2 Giả xử X là tập tuỳ ý khác rỗng Khi đó tập hợp Jx là các phép biến đổi một

- một từ X vào chính nó cùng với phép hợp thành ánh xạ là một nửa nhómngược.

Nếu A và B là hai phần tử thuộc một nhóm con tối đại H nào đó của nửanhóm U, Đặc biệt khi U chính là một nhóm, thì A và B ngược nhau khi và chỉkhi chúng là nghịch đảo của nhau trong nhóm H với nghĩa thông thường

Bổ đề 1.2.1 Nếu e, f, ef và f e là các luuỹ đẳng thuộc nửa nhóm U, thì ef và

(iii) S là nửa nhóm ngược

Bổ đề 1.2.2 U là một nửa nhóm ngược với luật giản ước phải thì U là mộtnhóm

Định lý 1.2.11 Giả sử U là một nửa nhóm ngược, và α :U→ P là một đồngcấu nửa nhóm Thế thì α(U)là một nửa nhóm con ngược của P Nói riêng, nếu

α là toàn cấu thì P cũng là nửa nhóm ngược

Hệ quả 1.2.2 Giả sử ρ là một tương đẳng trên nửa nhóm ngược U Khi đó :(i) U/ρ là một nửa nhóm ngược

(ii) xρy ⇔ x−1ρy−1(x, y ∈U)

Giả sử T là một nửa nhóm con của nửa nhóm ngược U Khi đó T được gọi

là một nửa nhóm con ngược của U nếu với mọi x ∈ T thì x−1 ∈ T, trong đó x−1

là phần tử ngược của x trong U

1.2.4 Nửa nhóm đơn

Định nghĩa 1.2.23 Phỏng nhóm U gọi là đơn trái [ phải ] nếu U là iđean trái[ phải ] duy nhất của nó Phỏng nhóm U được gọi là đơn nếu nó không chứa

Các nửa nhóm đơn cũng được gọi là nửa nhóm cyclic.

1.2.5 Nửa nhóm tuần hoàn

Định nghĩa 1.2.24 Nếu mọi luỹ thừa của X đều khác nhau thì X có cấp vôhạn

Nếu tồn tại các số nguyên dương r và s với r < s sao cho Xr = Xs thì X cócấp hữu hạn

Định nghĩa 1.2.25 Một nửa nhóm S được gọi là tuần hoàn nếu mỗi phần tửcủa nó có cấp hữu hạn Nói riêng, mỗi nửa nhóm hữu hạn là tuần hoàn

Ta còn có một định nghĩa khác của nửa nhóm tuần hoàn

Định nghĩa 1.2.26 Một nửa nhóm U được gọi là tuần hoàn nếu tất các nhómcon đơn của nó là hữu hạn

Bổ đề 1.2.3 Một nửa nhóm tuần hoàn với luật giản ước trái là một nhóm nếu

và chỉ nếu nó có duy nhất một luỹ đẳng

Định nghĩa 1.2.27 Chúng ta định nghĩa OI là tập gồm tất cả các phần tửchính qui hoàn toàn của U nhận I làm đơn vị chính qui hai phía

Bổ đề 1.2.4 OI là một nhóm con của nửa nhóm U

Cho nửa nhóm tuần hoàn U Nếu phần tử A ∈ U có luỹ đẳng I là một đơn vịphải của A và I là chia hết bên trái bởi A, thì A ∈ OI Hay AI = A, AB = I.

thì A ∈ OI

Mỗi nửa nhóm giao hoán tuần hoàn là một nửa dàn các nửa nhóm có mộtluỹ đẳng.

1.2.6 Nửa nhóm là hợp của các nhóm

Định nghĩa 1.2.28 Một tập con X của một nửa nhóm S gọi là nửa nguyên

tố nếu a2 ∈ X, a ∈ S kéo theo a ∈ X

Định lý 1.2.12 Các điều kiện sau là tương đương trên một nửa nhóm S:(A) S là hợp của các nhóm

(B) S vừa là chính quy trái vừa là chính qui phải

(C) Mỗi iđêan trái và mỗi iđêan phải của S là nửa nguyên tố

(D) S là chính qui trái và chính qui

(D’) S là chính quy phải và chính qui

(E) Mỗi H− lớp của S là một nhóm

(F) S là hợp của các nhóm rời nhau

Định nghĩa 1.2.29 Luỹ đẳng f thuộc nửa nhóm S được gọi là nguyên thuỷnếu f 6= 0 và nếu e ≤ f kéo theo e = 0 hoặc e = f

Ta nói nửa nhóm đơn [0-đơn] hoàn toàn là một nửa nhóm đơn [0-đơn] chứaluỹ đẳng nguyên thuỷ

Định lý 1.2.13 Một nửa nhóm đơn là hợp của các nhóm khi và chỉ khi nó làđơn hoàn toàn

Định lý 1.2.14 Các mệnh đề sau đây đối với một nửa nhóm S là tương đương:(A) S là hợp các nửa nhóm đơn

(B) S là hợp các nửa nhóm đơn hoàn toàn

(C) S là một nửa dàn Y các nửa nhóm đơn hoàn toàn Sα(α ∈ Y ), trong đó Y

là một nửa dàn các iđêan chính của S và mỗi S α là một J- lớp của S