Bài tập mẫu thống kê và ước lượng tham số có lời giải bản word.

Tổng hợp các bài tập về mẫu thống kê và ước lượng tham số có lời giải chi tiết , dễ hiểu trong môn xác suất thống kê giúp sinh viên và giảng viên hiểu sâu hơn về chương này vì đây là chương khiến nhiều sinh viên sợ hãi vì độ khó hiểu của nó.

``1 MẪU THỐNG KÊ VÀ ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ A BÀI TẬP MẪU Bài Đo lượng cholesterol (đơn vị mg % ) cho số người, ta X (mg% ) 150-160 160-170 170-180 180-190 190-200 200-210 Số người a) Tính trung bình mẫu X´ độ lệch chuẩn S x b) Một mẫu thứ nhì Y có 30 người cho Y´ =180 mg , S Y =16 mg % Nhập hai mẫu lại, tính trung bình độ lệch chuẩn mẫu nhập Giải a) Tính trung bình mẫu μ x độ lệch chuẩn S x X (mg% ) 155 165 175 185 195 205 Số người X´ =μ X =181.25, S X =14.98 ,n=24 b) Một mẫu thứ nhì Y có 30 người cho μY =180 mg % , SY =16 mg% Nhập hai mẫu lại gọi Z mẫu nhập Ta có cỡ mẫu nhập N=24+30=54 người trung bình mẫu nhập μZ = 24 μ X +30 μY 24 × 181.25+30 ×180 = =180.55 54 54 Để tính độ lệch chuẩn mẫu nhập, ta dùng cơng thức S2Z = ( Z 2−N Z´ ) N −1 ∑ 2 ´ Z=μ Z =180.55 ∑ Z =∑ X +∑ Y Mặt khác, từ mẫu X , ta có ∑ X =793598,71 Với mẫu Y, S2Y = Y 2−nY Y´ 2) ( ∑ nY −1 ta suy ∑ Y 2=( nY −1 ) S 2Y + nY Y´ 2=29 × ¿ Do S2Z = ¿ 53 nên SZ =15,48 mg Bài Có mẫu quan sát sức nặng người, kết ghi nhận Lần quan sát Trung bình Độ lệch Mẫu 70 55 kg 8.30 kg Mẫu 75 57 kg 8.60 kg Mẫu 90 54 kg 8.50 kg Nhập chung mẫu lại, tính trung bình độ lệch mẫu nhập Dựa vào mẫu nhập để ước lượng trung bình tổng thể độ tin cậy 95 % 99 % Giải Gọi X , X X biến số ngẫu nhiên cho mẫu 1,2 Ta có Mẫu có cỡ mẫu n1=70, trung bình X´ =55, độ lệch S x =8.3, Mẫu có cỡ mẫu n2 =75, trung bình X´ =57, độ lệch S x =8.6, Mẫu có cỡ mẫu n3 =90, trung bình X´ =54, độ lệch S X =8.5 Từ đó, với X mẫu nhập, ta có cỡ mẫu n=n1 +n2 +n3 =235, trung bình X´ 1 X= ( ∑ X +∑ X +∑ X ) ∑ n n 70 ×55+75 ×57+ 90 ×54 ¿ =55.25 235 ¿ ¿ Để tính độ lệch cho X , ta dùng công thức S2X = ( X 2−n X´ 2) n−1 ∑ ∑ X =∑ X 21+ ∑ X 22+∑ X 23 Mà ∑ X 2i =( ni−1 ) S2X + ni X´ 2i i với i=1,2,3, nên ta có ¿ Từ suy S2X ¿ Độ lệch : S X =8.56 kg Gọi μ trung bình tổng thể cần ước lượng Ta có T= ´ ( X−μ) √ n ∼St ⁡(n−1) Sx nghĩa T= (55.25−μ) √ 235 ∼ St ⁡( 234)≡ N (0 ; 1) 8.56 Với độ tin cậy γ=0.95, ta C=1.96, μ=55.25± 1.96 × ước lượng cho μ [54.364 ; 56.136] 8.56 Nên ta có khoảng √ 235 Với độ tin cậy γ=0.99, ta tìm C=2.58, μ=55.25± 2.58 × khoảng ước lượng cho μ [53.81; 56.69] 8.56 , nên ta tìm √ 235 Bài Đo đường kính chi tiết máy máy tiện tự động sản xuất, ta ghi nhận số liệu sau: X 12.00 12.05 12.10 12.15 12.20 12.25 12.30 12.35 12.40 N 10 với N số trường hợp tính theo giá trị X (mm) a) Tính trung bình mẫu X´ độ lệch chuẩn S x mẫu b) Ước lượng đường kính trung bình μ độ tin cậy 0.95 c) Nếu muốn sai số ước lượng không ε =0.02 mm độ tin cậy 0.95 phải quan sát trường hợp Giải a) Ta cỡ mẫu n=53, trung bình X´ =12.21, độ lệch S x =0.103 b) Ta dùng thống kê T= ´ ( X−μ) √ n ∼St ⁡(n−1) SX Với số liệu mẫu, ta có T= (12.21−μ) √ 53 ∼St ⁡(52)≡ N (0 ; 1) 0.103 Ở độ tin cậy γ=0.95, ta tìm C=1.96 Do ước lượng đường kính trung bình μ cho μ= X´ ±C Sx 0.103 =12.21 ±1.96 × √n √ 53 ta nhận khoảng ước lượng [12.18; 12.24 ] c) Do sai số ước lượng C ε =0.02 mm, ta phải có SX nên muốn sai số ước lượng không √n C Sx ≤ε √n Với độ tin cậy 0.95, C=1.96 ta nhận bất phương trình Sx 0.103 n≥ C = 1.96 =101.89.  ε 0.02 ( ) ( ) Vậy phải quan sát 102 trường hợp Bài Đem cân số trái vừa thu hoạch, ta kết sau X (gam) 200−210 210−220 220−230 230−240 240−250 Số trái 12 17 20 18 15 a) Tìm khoảng ước lượng trọng lượng trung bình μ trái với độ tin cậy 0.95 0.99 b) Nếu muốn sai số uớc lượng không ε =2 gam độ tin cậy 99 % phải quan sát trái ? c) Trái có khối lượng X ≥ 230 gam xếp vào loại A Hãy tìm khoảng uớc lượng cho tỷ lệ p trái loại A độ tin cậy 0.95 0.99 Nếu muốn sai số uớc lượng không 0.04 độ tin cậy 0.99 phải quan sát trường hợp ? Giải a) Từ số liệu mẫu, ta có ´ n=82, X=225.854, S x =13.259   Để tìm khoảng ước lượng trung bình tổng thể μ chưa biết phương sai tổng thể, ta dùng thống kê T= ´ ( X−μ) √n ∼ St ⁡(n−1) Sx Nhận từ số liệu mẫu, ta có T= (225.854−μ) √82 ∼ St ⁡(81)≡ N (0 ; 1) 13.259 Với độ tin cậy γ=0.95, ta nhận C=1.96 Nên uớc lượng trọng lượng trung bình μ cho μ= X´ ±C SX 13.259 =225.854 ± 1.96 × √n √ 82 Ta có khoảng ước lượng [222.98;228.72] Tương tự, với độ tin cậy γ=0.99, ta tìm C=2.58 Từ ta suy khoảng uớc lượng [222.08; 229.63] b) Do sai số ước lượng C Sx nên muốn sai số uớc lượng không ε =2 gam, √n ta phải có C Sx ≤ε √n Ở độ tin cậy 99 % C=2.58, ta có bất phương trình Sx 13.259 n≥ C = 2.58 =292.5 Baøi 51.  ε ( ) ( ) Như vậy, cần phải quan sát 293 trái c) Từ số liệu, ta có tần số trái loại A f= 18+15 =0.4024 82 Để ước lượng tỷ lệ p trái loại A tổng thể, ta dùng thống kê T= (f − p) √ n ∼ St ⁡(n−1) √ f (1−f ) nghĩa T= (0.4024− p) √ 82 ∼ St (81)≡ N (0 ; 1) √ 0.4024 ×0.5976 Với độ tin cậy γ=0.95, ta tìm C=1.96 p=0.4024 ±1.96 × √ 0.4024 × 0.5976 82 Ta khoảng ước lượng cho tỷ lệ p trái loại A [0.296 ; 0.509] Ta có sai số ước lượng ε =C √ f (1−f ) n Với độ tin cậy γ=0.99, ta C=2.58 nên với liệu cho, để sai số ước lượng không ε =0.04 độ tin cậy 0.99, ta nhận bất phương trình 2.58 × √ 0.4024 ×0.5976 ≤0.04 n Từ suy n ≥ 1000.43, nghĩa phải quan sát 1001 trường hợp Bài Người ta đo ion Na +¿¿trên số người ghi nhận lại kết sau 129,132,140,141,138,143,133,137,140,143,138,140 a) Tính trung bình mẫu X´ phương sai mẫu S2X b) Ước lượng trung bình μ phương sai σ tổng thể độ tin cậy 0.95 c) Nếu muốn sai số ước lượng trung bình khơng q ε =1 với độ tin cậy 0.95 phải quan sát mẫu gồm người ? Giải a) Từ số liệu nhận mẫu, ta có ´ n=12, X=137.83, S 2x =19.42,  và  S X =4.41.  b) Để ước lượng trung bình μ, ta dùng thống kê T= ´ ( X−μ) √ n ∼St ⁡(n−1) SX nghĩa T= (137.83−μ) √ 12 ∼ St ⁡(11) 4.41 Với độ tin cậy γ=0.95, ta có C=t 11 0.05=2.201 Ta dễ dàng tìm khoảng ước lượng cho trung bình μ [135.01; 140.63] Để ước lượng phương sai tổng thể chưa biết trung bình tổng thể, ta dùng thống kê (n−1) S 2X Y= ∼ χ ( n−1) σ nghĩa Y= 11×(19.42) ∼ χ (11) σ Với độ tin cậy γ=0.95, ta tìm a b cho P(Y ≤ a)=P(Y ≥ b)= 1−γ Từ bảng phân phối xác suất phân phối Chi-Bình phương, ta tìm a ≡ χ 21+ y =3.816,  và b ≡ χ 21− y =21.92 2 Do 3.816 ≤ (n−1) S 2x ≤ 21.92 σ2 ta nhận bất đẳng thức 11×(19.42) 11 ×(19.42) ≤σ ≤ 21.92 3.816 Từ suy ước lượng cho phương sai tổng thể [9.76 ; 56.1] c) Sai số ước lượng trung bình cho C giải bất phương trình C Sx ≤ ε =1 √n Suy SX 4.41 n≥ C = 2.201 =94.2.  ε ( ) ( ) Vậy phải quan sát 95 người Sx , nên để sai số không ε =1, ta √n Bài Quan sát tuổi thọ X (giờ) số bóng đèn xí nghiệp A sản xuất, ta ghi nhận X 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 N 10 14 16 17 18 16 16 12 với N số trường hợp theo giá trị X a) Tính trung bình mẫu X´ độ lệch chuẩn mẫu S x b) Ước lượng tuổi thọ trung bình bóng đèn độ tin cậy 0.95 Nếu muốn sai số ước lượng không ε =30 với độ tin cậy 0.99 phải quan sát mẫu gồm bóng đèn ? a) Từ bảng số liệu mẫu, ta có ´ n=128, X=1391.41  và  S X =234.45   b) Để ước lượng trung bình tuổi thọ bóng đèn, ta dùng thống kê T= ´ ( X−μ) √ n ∼St ⁡(n−1) SX Dựa theo số liệu thống kê, ta nhận T= (1391.41−μ) √128 ∼ St ⁡(127) ≡ N (0 ; 1) 234.45 Với độ tin cậy γ=0.95, ta tìm C=1.96 ước lượng trung bình cho μ= X´ ±C SX 234.45 =1391.41 ±1.96 × √n √ 128 Ta khoảng ước lượng cho tuổi thọ trung bình bóng đèn [1350.79;1432.03] c) Sai số ước lượng cho C C SX 234.45 =1.96 × ≤ 30 √n √n Sx , nên để sai số khơng q 30 giờ, ta có √n Giải bất phương trình trên, ta tìm n=234.63 Vậy, phải quan sát 235 bóng đèn Bài Ta muốn ước lượng tỷ lệ viên thuốc bị sức mẻ p lô thuốc lớn a) Nếu muốn sai số ước lượng không 0.01 với độ tin cậy 0.95 phải quan sát viên? b) Quan sát ngẫu nhiên 200 viên, thấy có 18 viên bị sứt mẻ Hãy ước lượng p độ tin cậy 0.95 Khi đó, muốn sai số ước lượng khơng q 0.01 với độ tin cậy 0.95 phải quan sát viên ? Giải a) Để ước lượng tỷ lệ thuốc, p, bị sứt mẻ tổng thể, ta dùng thống kê T= (f − p) √ n ∼ St ⁡(n−1) √ f (1−f ) nghĩa p=f ±C √ f (1−f ) n Hơn nữa, từ nhận xét hàm số y=x (1−x) đạt giá trị lớn viết C C2 f (1−f ) C2 ≤ = ε2 ε2 4ε2 Do đó, ta chọn cỡ mẫu n≥ C2 ε2 Với độ tin cậy γ=0.95, ta tìm C=1.96 n≥ C2 1.96 = =9604 ε 2⋅0.01 ( ) Vậy phải quan sát 9604 viên thuốc 1 điểm x= , ta