bai tap tu luan chuyen de vecto lop 10

bai tap tu luan chuyen de vecto Download com vn ĐC Đông Thạnh Hóc Môn TPHCM Trang 1 I VECTƠ 1 Các định nghĩa  Vectơ là một đoạn thẳng có hướng Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là AB  Giá củ.

I VECTƠ Các định nghĩa  Vectơ đoạn thẳng có hướng Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B AB  Giá vectơ đường thẳng chứa vectơ  Độ dài vectơ khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ, kí hiệu AB  Vectơ – khơng vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng nhau, kí hiệu  Hai vectơ đgl phƣơng giá chúng song song trùng  Hai vectơ phương hƣớng ngƣợc hƣớng  Hai vectơ đgl chúng hướng có độ dài Chú ý: + Ta cịn sử dụng kí hiệu a, b , để biểu diễn vectơ + Qui ước: Vectơ phương, hướng với vectơ + Điều kiện cần đủ để điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng hai véctơ AB , AC phương Các phép toán vectơ a) Tổng hai vectơ  Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: AB  BC  AC  Qui tắc hình bình hành: Với ABCD hình bình hành, ta có: AB  AD  AC a  b   c  a  b  c  ;  Tính chất: a  b  b  a ; a0a b) Hiệu hai vectơ  Vectơ đối a vectơ b cho a  b  Kí hiệu vectơ đối a  a  Vectơ đối  a  b  a   b   Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có: OB  OA  AB c) Tích vectơ với số  Cho vectơ a số k  R ka vectơ xác định sau: + ka hướng với a k  0, ka ngược hướng với a k < + ka  k a  Tính chất: k  a  b   ka  kb ; (k  l)a  ka  la ; k  la   (kl)a ka   k = a   Điều kiện để hai vectơ phƣơng: a b  a   cù ng phương  k  R : b  ka  Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng  k  0: AB  k AC  Biểu thị vectơ theo hai vectơ không phƣơng: Cho hai vectơ không phương a, b x tuỳ ý Khi ! m, n  R: x  ma  nb Chú ý:  Hệ thức trung điểm đoạn thẳng: M trung điểm đoạn thẳng AB  MA  MB   OA  OB  2OM (O tuỳ ý)  Hệ thức trọng tâm tam giác: G trọng tâm ABC  GA  GB  GC   OA  OB  OC  3OG (O tuỳ ý) VẤN ĐỀ 1: Khái niệm vectơ Baøi Cho tứ giác ABCD Có thể xác định vectơ (khác ) có điểm đầu điểm cuối điểm A, B, C, D ? Đ/C: Đơng Thạnh-Hóc Mơn-TPHCM Trang Bài Cho ABC có A, B, C trung điểm cạnh BC, CA, AB a) Chứng minh: BC  C A  A B b) Tìm vectơ BC  , C  A Baøi Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, CD, AD, BC Chứng minh: MP  QN ; MQ  PN Bài Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm hai đường chéo Chứng minh: a) AC  BA  AD ; AB  AD  AC b) Nếu AB  AD  CB  CD ABCD hình chữ nhật Baøi Cho hai véc tơ a, b Trong trường hợp đẳng thức sau đúng: a  b  a  b Baøi Cho ABC cạnh a Tính AB  AC ; AB  AC Bài Cho hình vng ABCD cạnh a Tính AB  AC  AD Bài Cho ABC cạnh a, trực tâm H Tính độ dài vectơ HA, HB, HC Baøi Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O Tính độ dài vectơ AB  AD , AB  AC , AB  AD VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ Để chứng minh đẳng thức vectơ phân tích vectơ theo hai vectơ không phương, ta thường sử dụng: – Qui tắc ba điểm để phân tích vectơ – Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác – Tính chất hình Bài Cho điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh: a) AB  DC  AC  DB b) AD  BE  CF  AE  BF  CD Baøi Cho điểm A, B, C, D Gọi I, J trung điểm AB CD Chứng minh: a) Nếu AB  CD AC  BD b) AC  BD  AD  BC  2IJ c) Gọi G trung điểm IJ Chứng minh: GA  GB  GC  GD  d) Gọi P, Q trung điểm AC BD; M, N trung điểm AD BC Chứng minh đoạn thẳng IJ, PQ, MN có chung trung điểm Bài Cho điểm A, B, C, D Gọi I, J trung điểm BC CD Chứng minh: 2( AB  AI  JA  DA)  3DB Bài Cho ABC Bên ngồi tam giác vẽ hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS Chứng minh: RJ  IQ  PS  Baøi Cho tam giác ABC, có AM trung tuyến I trung điểm AM a) Chứng minh: 2IA  IB  IC  b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: 2OA  OB  OC  4OI Bài Cho ABC có M trung điểm BC, G trọng tâm, H trực tâm, O tâm đường tròn ngoại tiếp Chứng minh: a) AH  2OM b) HA  HB  HC  2HO c) OA  OB  OC  OH Baøi Cho hai tam giác ABC ABC có trọng tâm G G a) Chứng minh AA  BB  CC   3GG b) Từ suy điều kiện cần đủ để hai tam giác có trọng tâm Đ/C: Đơng Thạnh-Hóc Mơn-TPHCM Trang Bài Cho tam giác ABC Gọi M điểm cạnh BC cho MB = 2MC Chứng minh: AM  AB  AC 3 Baøi Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB, D trung điểm BC, N điểm thuộc AC cho CN  NA K trung điểm MN Chứng minh: 1 1 a) AK  AB  AC b) KD  AB  AC Bài 10 Cho hình thang OABC M, N trung điểm OB OC Chứng minh rằng: a) AM  OB  OA b) BN  OC  OB c) MN  1 OC  OB  Baøi 11 Cho ABC Gọi M, N trung điểm AB, AC Chứng minh rằng: a) AB   CM  BN c) AC   CM  BN Bài 12 Cho ABC có trọng tâm G Gọi H điểm đối xứng B qua G c) MN  1 BN  CM 3 1 AC  AB CH    AB  AC  3 b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh: MH  AC  AB 6 Bài 13 Cho hình bình hành ABCD, đặt AB  a, AD  b Gọi I trung điểm CD, G trọng tâm tam giác BCI a) Chứng minh: AH  Phân tích vectơ BI , AG theo a, b Baøi 14 Cho lục giác ABCDEF Phân tích vectơ BC BD theo vectơ AB vaø AF Baøi 15 Cho hình thang OABC, AM trung tuyến tam giác ABC Hãy phân tích vectơ AM theo vectơ OA, OB, OC Baøi 16 Cho ABC Trên đường thẳng BC, AC, AB lấy điểm M, N, P cho MB  3MC, NA  3CN , PA  PB  a) Tính PM , PN theo AB, AC b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng Baøi 17 Cho ABC Gọi A1, B1, C1 trung điểm BC, CA, AB a) Chứng minh: AA1  BB1  CC1  b) Đặt BB1  u , CC1  v Tính BC, CA, AB theo u v Bài 18 Cho ABC Gọi I điểm cạnh BC cho 2CI = 3BI Gọi F điểm cạnh BC kéo dài cho 5FB = 2FC a) Tính AI , AF theo AB AC b) Gọi G trọng tâm ABC Tính AG theo AI AF Bài 19 Cho ABC có trọng tâm G Gọi H điểm đối xứng G qua B a) Chứng minh: HA  5HB  HC  b) Đặt AG  a, AH  b Tính AB, AC theo a b VẤN ĐỀ 3: Xác định điểm thoả mãn đẳng thức vectơ Để xác định điểm M ta cần phải rõ vị trí điểm hình vẽ Thông thường ta biến đổi đẳng thức vectơ cho dạng OM  a , O a xác định Ta thường sử dụng tính chất về: – Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k – Hình bình hành – Trung điểm đoạn thẳng Đ/C: Đơng Thạnh-Hóc Mơn-TPHCM Trang – Trọng tâm tam giác, … Baøi Cho ABC Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: MA  MB  MC  Baøi Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I M điểm tuỳ ý không nằm đường thẳng AB Trên MI kéo dài, lấy điểm N cho IN = MI a) Chứng minh: BN  BA  MB b) Tìm điểm D, C cho: NA  NI  ND ; NM  BN  NC Bài Cho hình bình hành ABCD a) Chứng minh rằng: AB  AC  AD  AC b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: AM  AB  AC  AD Baøi Cho tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm AD, BC a) Chứng minh: MN  ( AB  DC ) b) Xác định điểm O cho: OA  OB  OC  OD  Baøi Cho điểm A, B, C, D Gọi M N trung điểm AB, CD, O trung điểm MN Chứng minh với điểm S bất kì, ta có: SA  SB  SC  SD  4SO Baøi Cho ABC Hãy xác định điểm I, J, K, L thoả đẳng thức sau: a) 2IB  3IC  b) 2JA  JC  JB  CA c) KA  KB  KC  2BC d) 3LA  LB  2LC  Baøi Cho ABC Hãy xác định điểm I, J, K, L thoả đẳng thức sau: a) 2IA  3IB  3BC b) JA  JB  2JC  c) KA  KB  KC  BC d) LA  2LC  AB  AC Baøi Cho ABC Hãy xác định điểm I, F, K, L thoả đẳng thức sau: a) IA  IB  IC  BC b) FA  FB  FC  AB  AC c) 3KA  KB  KC  d) 3LA  2LB  LC  Baøi Cho hình bình hành ABCD có tâm O Hãy xác định điểm I, F, K thoả đẳng thức sau: a) IA  IB  IC  4ID b) 2FA  2FB  3FC  FD c) 4KA  3KB  2KC  KD  Baøi 10 Cho tam giác ABC điểm M tùy ý a) Hãy xác định điểm D, E, F cho MD  MC  AB , ME  MA  BC , MF  MB  CA Chứng minh D, E, F khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M b) So sánh véc tơ MA  MB  MC vaø MD  ME  MF Baøi 11 Cho tứ giác ABCD a) Hãy xác định vị trí điểm G cho: GA  GB  GC  GD  (G đgl trọng tâm tứ giác ABCD) b) Chứng minh với điểm O tuỳ ý, ta có: OG  1 OA  OB  OC  OD  Baøi Cho G trọng tâm tứ giác ABCD A, B, C, D trọng tâm tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Chứng minh: a) G điểm chung đoạn thẳng AA, BB, CC, DD b) G trọng tâm của tứ giác ABCD Baøi Cho tứ giác ABCD Trong trường hợp sau xác định điểm I số k cho vectơ v k MI với điểm M: Đ/C: Đơng Thạnh-Hóc Mơn-TPHCM Trang a) v  MA  MB  MC b) v  MA  MB  MC c) v  MA  MB  MC  MD d) v  MA  MB  MC  3MD VẤN ĐỀ 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng – Hai điểm trùng  Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm thoả mãn đẳng thức AB  k AC , với k   Để chứng minh hai điểm M, N trùng ta chứng minh chúng thoả mãn đẳng thức OM  ON , với O điểm MN  Bài Cho bốn điểm O, A, B, C cho : OA  2OB  3OC  Chứng tỏ A, B, C thẳng hàng Baøi Cho hình bình hành ABCD Trên BC lấy điểm H, BD lấy điểm K cho: BH  1 BC , BK  BD Chứng minh: A, K, H thẳng hàng HD: BH  AH  AB; BK  AK  AB Baøi Cho ABC với I, J, K xác định bởi: IB  2IC , JC   a) Tính IJ , IK theo AB vaø AC (HD: IJ  AB  JA , KA   KB AC ) b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng (HD: J trọng tâm AIB) Baøi Cho tam giác ABC Trên đường thẳng BC, AC, AB lấy điểm M, N, P cho MB  3MC , NA  3CN , PA  PB  a) Tính PM , PN theo AB, AC b) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng Baøi Cho hình bình hành ABCD Trên tia AD, AB lấy điểm F, E cho AD = 1 AF, AB = AE 2 Chứng minh: a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng b) Các tứ giác BDCF, DBEC hình bình hành Bài Cho ABC Hai điểm I, J xác định bởi: IA  3IC  , thẳng hàng JA  2JB  3JC  Chứng minh điểm I, J, B Baøi Cho ABC Hai điểm M, N xác định bởi: 3MA  MB  , NB  3NC  Chứng minh điểm M, G, N thẳng hàng, với G trọng tâm ABC Baøi Cho ABC Lấy điểm M N, P: MB  MC  NA  NC  PA  PB  a) Tính PM , PN theo AB AC b) Chứng minh điểm M, N, P thẳng hàng Bài Cho ABC Về phía ngồi tam giác vẽ hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS Chứng minh tam giác RIP JQS có trọng tâm Bài Cho tam giác ABC, A điểm đối xứng A qua B, B điểm đối xứng B qua C, C điểm đối xứng C qua A Chứng minh tam giác ABC ABC có chung trọng tâm Bài Cho ABC Gọi A, B, C điểm định bởi: AB  AC  , 2BC  3BA  , 2CA  3CB  Chứng minh tam giác ABC ABC có trọng tâm Bài Trên cạnh AB, BC, CA ABC lấy điểm A, B, C cho: AA BB CC    AB BC AC Đ/C: Đơng Thạnh-Hóc Mơn-TPHCM Trang Chứng minh tam giác ABC ABC có chung trọng tâm Bài Cho tam giác ABC điểm M tuỳ ý Gọi A, B, C điểm đối xứng M qua trung điểm K, I, J cạnh BC, CA, AB a) Chứng minh ba đường thẳng AA, BB, CC đồng qui điểm N b) Chứng minh M di động, đường thẳng MN qua trọng tâm G ABC Baøi Cho tam giác ABC có trọng tâm G Các điểm M, N thoả mãn: 3MA  MB  , CN  đường thẳng MN qua trọng tâm G ABC BC Chứng minh Baøi Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm BC, D E hai điểm cho BD  DE  EC a) Chứng minh AB  AC  AD  AE b) Tính AS  AB  AD  AC  AE theo AI Suy ba điểm A, I, S thẳng hàng Baøi Cho tam giác ABC Các điểm M, N xác định hệ thức BM  BC  AB , CN  x AC  BC a) Xác định x để A, M, N thẳng hàng IM IN Baøi Cho ba điểm cố định A, B, C ba số thực a, b, c cho a  b  c  b) Xác định x để đường thẳng MN trung điểm I BC Tính a) Chứng minh có điểm G thoả mãn aGA  bGB  cGC  b) Gọi M, P hai điểm di động cho MP  aMA  bMB  cMC Chứng minh ba điểm G, M, P thẳng hàng Baøi 10 Cho tam giác ABC Các điểm M, N thoả mãn MN  MA  3MB  MC a) Tìm điểm I thoả mãn 2IA  3IB  IC  b) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Baøi 11 Cho tam giác ABC Các điểm M, N thoả mãn MN  MA  MB  MC a) Tìm điểm I cho 2IA  IB  IC  b) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định c) Gọi P trung điểm BN Chứng minh đường thẳng MP qua điểm cố định VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức vectơ Để tìm tập hợp điểm M thoả mãn đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ để đưa tập hợp điểm biết Chẳng hạn: – Tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng đường trung trực đoạn thẳng – Tập hợp điểm cách điểm cố định khoảng khơng đổi đường trịn có tâm điểm cố định bán kính khoảng khơng đổi – Bài Cho điểm cố định A, B Tìm tập hợp điểm M cho: a) MA  MB  MA  MB b) MA  MB  MA  MB HD: a) Đường trịn đường kính AB b) Trung trực AB Bài Cho ABC Tìm tập hợp điểm M cho: a) MA  MB  MC  MB  MC b) MA  BC  MA  MB c) MA  MB  MB  MC d) MA  MB  MC  MA  MB  MC HD: a) Trung trực IG (I trung điểm BC, G trọng tâm ABC) b) Dựng hình bình hành ABCD Tập hợp đường tròn tâm D, bán kính BA Bài Cho ABC a) Xác định điểm I cho: 3IA  2IB  IC  Đ/C: Đơng Thạnh-Hóc Mơn-TPHCM Trang b) Chứng minh đường thẳng nối điểm M, N xác định hệ thức: MN  MA  MB  MC qua điểm cố định c) Tìm tập hợp điểm H cho: 3HA  2HB  HC  HA  HB d) Tìm tập hợp điểm K cho: KA  KB  KC  KB  KC Baøi Cho ABC a) Xác định điểm I cho: IA  3IB  2IC  b) Xác định điểm D cho: 3DB  2DC  c) Chứng minh điểm A, I, D thẳng hàng d) Tìm tập hợp điểm M cho: MA  3MB  MC  MA  MB  MC II TOẠ ĐỘ Trục toạ độ  Trục toạ độ (trục) đường thẳng xác định điểm gốc O vectơ đơn vị e Kí hiệu O; e   Toạ độ vectơ trục: u  (a)  u  a.e  Toạ độ điểm trục: M (k )  OM  k.e AB  a  AB  a.e + Nếu AB cù ng hướ ng vớ i e AB  AB  Độ dài đại số vectơ trục: Chú ý: Nếu AB ngượ c hướ ng vớ i e AB   AB + Nếu A(a), B(b) AB  b  a + Hệ thức Sa–lơ: Với A, B, C tuỳ ý trục, ta có: AB  BC  AC Hệ trục toạ độ  Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vng góc với Vectơ đơn vị Ox, Oy i , j O gốc toạ độ, Ox trục hoành, Oy trục tung u  ( x; y)  u  x.i  y j  Toạ độ vectơ hệ trục toạ độ:  Toạ độ điểm hệ trục toạ độ: M ( x; y)  OM  x.i  y j  Tính chất: Cho a  ( x; y ), b  ( x ; y ), k  R , A( x A ; y A ), B( xB ; yB ), C( xC ; yC ) :  x  x  y  y + ab + a  b  ( x  x  ; y  y ) + b phương với a   k  R: x  kx vaø y  ky  + ka  (kx; ky) x y (nếu x  0, y  0)  x y + AB  ( x B  x A ; yB  y A ) x  xB y  yB + Toạ độ trung điểm I đoạn thẳng AB: xI  A ; yI  A 2 x  xB  xC y  yB  yC + Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC: xG  A ; yG  A 3 Đ/C: Đơng Thạnh-Hóc Mơn-TPHCM Trang x  kxB y  kyB + Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k  1: x M  A ; yM  A 1 k 1 k ( M chia đoạn AB theo tỉ số k  MA  kMB ) VẤN ĐỀ 1: Toạ độ trục Baøi Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ 2 a) Tìm tọa độ AB b) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB c) Tìm tọa độ điểm M cho MA  5MB  d) Tìm tọa độ điểm N cho NA  3NB  1 Baøi Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ 3 a) Tìm tọa độ điểm M cho 3MA  MB  b) Tìm tọa độ điểm N cho NA  3NB  AB Baøi Trên trục x'Ox cho điểm A(2), B(4), C(1), D(6) a) Chứng minh rằng: AC  AD  AB b) Gọi I trung điểm AB Chứng minh: IC ID  IA c) Gọi J trung điểm CD Chứng minh: AC AD  AB AJ Baøi Trên trục x'Ox cho điểm A, B, C có tọa độ a, b, c a) Tìm tọa độ trung điểm I AB b) Tìm tọa độ điểm M cho MA  MB  MC  c) Tìm tọa độ điểm N cho NA  3NB  NC Baøi Trên trục x'Ox cho điểm A, B, C, D tuỳ ý a) Chứng minh: AB.CD  AC.DB  DA.BC  b) Gọi I, J, K, L trung điểm đoạn AC, BD, AB, CD Chứng minh đoạn IJ KL có chung trung điểm VẤN ĐỀ 2: Toạ độ hệ trục Baøi Viết tọa độ vectơ sau: i  j ; c  3i ; d  2 j 3 b) a  i  j ; b  i  j ; c  i  j ; d  4 j ; e  3i 2 Baøi Viết dạng u  xi  yj biết toạ độ vectơ u là: a) u  (2; 3); u  (1; 4); u  (2; 0); u  (0; 1) b) u  (1;3); u  (4; 1); u  (1; 0); u  (0; 0) a) a  2i  j ; b  Baøi Cho a  (1; 2), b  (0;3) Tìm toạ độ vectơ sau: Đ/C: Đơng Thạnh-Hóc Mơn-TPHCM Trang a) x  a  b; y  a  b; z  2a  3b b) u  3a  2b ; v   b ; w  4a  b 1 2 a) Tìm toạ độ vectơ d  2a  3b  5c b) Tìm số m, n cho: ma  b  nc  c) Biểu diễn vectơ c theo a, b Baøi Cho hai điểm A(3; 5), B(1; 0)   Baøi Cho a  (2; 0), b   1;  , c  (4; 6) a) Tìm toạ độ điểm C cho: OC  3 AB b) Tìm điểm D đối xứng A qua C c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3 Baøi Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0) a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng b) Tìm tỉ số mà điểm A chia đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, điểm C chia đoạn AB Baøi Cho ba điểm A(1; 2), B(0; 4), C(3; 2) a) Tìm toạ độ vectơ AB, AC, BC b) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn AB c) Tìm tọa độ điểm M cho: CM  AB  AC d) Tìm tọa độ điểm N cho: AN  2BN  4CN  Baøi Cho ba điểm A(1; –2), B(2; 3), C(–1; –2) a) Tìm toạ độ điểm D đối xứng A qua C b) Tìm toạ độ điểm E đỉnh thứ tư hình bình hành có đỉnh A, B, C c) Tìm toạ độ trọng tâm G tam giác ABC BÀI TẬP ƠN CHƢƠNG I Bài Cho tam giác ABC với trực tâm H, B điểm đối xứng với B qua tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác Hãy xét quan hệ vectơ AH vaø BC; AB vaø HC Baøi Cho bốn điểm A, B, C, D Gọi I, J trung điểm AB CD a) Chứng minh: AC  BD  AD  BC  2IJ b) Gọi G trung điểm IJ Chứng minh: GA  GB  GC  GD  c) Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng AC BD; M, N trung điểm đoạn thẳng AD BC Chứng minh ba đoạn thẳng IJ, PQ MN có chung trung điểm Baøi Cho tam giác ABC điểm M tuỳ ý a) Hãy xác định điểm D, E, F cho MD  MC  AB , ME  MA  BC , MF  MB  CA Chứng minh điểm D, E, F khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M b) So sánh hai tổng vectơ: MA  MB  MC MD  ME  MF Baøi Cho ABC với trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM a) Chứng minh: 2IA  IB  IC  b) Với điểm O bất kì, chứng minh: 2OA  OB  OC  4OI Baøi Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I trung điểm BC G trọng tâm ABC Chứng minh: a) AI  AO  AB b) 3DG  DA  DB  DC Bài Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I J trung điểm BC, CD Đ/C: Đơng Thạnh-Hóc Mơn-TPHCM Trang a) Chứng minh: AI  1 AD  AB  b) Chứng minh: OA  OI  OJ  c) Tìm điểm M thoả mãn: MA  MB  MC  Bài Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi D E điểm xác định AD  AB , AE  AC a) Tính AG, DE, DG theo AB vaø AC b) Chứng minh ba điểm D, E, G thẳng hàng Baøi Cho ABC Gọi D điểm xác định AD  AC M trung điểm đoạn BD a) Tính AM theo AB vaø AC b) AM cắt BC I Tính IB AM IC AI Bài Cho ABC Tìm tập hợp điểm M thỏa điều kiện: a) MA  MB b) MA  MB  MC  c) MA  MB  MA  MB d) MA  MB  MA  MB e) MA  MB  MA  MC Baøi 10 Cho ABC có A(4; 3) , B(1; 2) , C(3; 2) a) Tìm tọa độ trọng tâm G ABC b) Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành Bài 11 Cho A(2; 3), B(1; 1), C(6; 0) a) Chứng minh ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng b) Tìm tọa độ trọng tâm G ABC c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành Bài 12 Cho A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1) Tìm toạ độ điểm M, N, P cho: a) Tam giác ABC nhận điểm M, N, P làm trung điểm cạnh b) Tam giác MNP nhận điểm A, B, C làm trung điểm cạnh CHƢƠNG 2: TÍCH VƠ HƢỚNG CỦA HAI VEC-TƠ Bài 1: Tính tích vơ hướng vecto Phương pháp:   -Áp dụng công thức a , b  a b cosa ; b  -Tính a ; a góc tạo vecto a ; b BÀI TẬP 1.Cho hình vng ABCD có cạnh a Tính AB.AD ; AB.AC ĐS: ; a2 2.Cho tam giác ABC vuông C có AC = BC = Tính AB.AC 3.Cho tam giác ABC có AB=2 BC = CA = a.Tính AB.AC suy cos A ĐS:81 b.Gọi G trọng tâm tam giác Tính AG.BC c.Tính GA.GB  GB.GC  GC.GA d.Gọi D giao điểm phân giác góc A với BC Tính AD theo AB; AC suy AD HD: Đ/C: Đơng Thạnh-Hóc Mơn-TPHCM Trang 10 cos A   1 b.AG  AM  AB  AC  AG.BC  AB  AC AC  AB 3 29 c.ÑS:  AD  BC  AC  AB bình phương vế : ĐS : -      ÑS : Bài 2:Chưng minh đẳng thức vec tơ có lien quan đến tích vơ hướng hay đẳng thức độ dài Phƣơng pháp : -Ta sử dụng phép toán vec tơ tính chất tích vơ hướng -Về độ dài ta ý :AB2 = AB Thí dụ1 : Cho tam giác ABC M điểm 1.Chứng minh MA.BC  MB.CA  MC.AB  2.Gọi G trọng tâm tam giác chứng minh MA  MB2  MC2  3MG  GA  GB2  GC  a  b2  c2 3.Suy GA  GB  GC   với a ; b ;c độ dài cạnh tam giác Chưng minh VT  MA.(MC  MB)  MB(MA  MC)  MC(MB  MA)   MA.MC  MA.MB  MB.MA  MB.MC  MC.MB  MC.MA    2.MA  MA  MG  GA  MG  GA  2MG.GA    MG  GC MB2  MB  MG  GB  MG  GB2  2MG.GB MC  MC 2  MG  GC  2MG.GC   VT  3MG  GA  GB2  GC  MG.GA  MG.GB  MG.GC     3MG  GA  GB2  GC  2MG GA  GB  GC  3MG  GA  GB2  GC 3.M  A  AB2  AC  4GA  GB2  GC M  B  BA  BC2  4GB2  GA  GC M  C  CB2  AC  4GC  GB2  GA    GA  GB2  GC  2(a  b  c )  GA  GB2  GC   a  b2  c2  BÀI TẬP: 1.Cho điểm cố định A B M điểm H hình chiếu M lên AB I trung điểm AB.Chứng minh : a)MA.MB  MI  AB2 b)MA  MB2  2MI  AB2 c)MA  MB2  2AB.IH 2.Cho tứ giác ABCD a.Chứng minh AB  BC  CD  DA  2AC.DB b Chưng minh điều kiện cần đủ để tứ giác ABCD có đường chéo vng góc :AB2+CD2=BC2+AD2 3.Cho tam giác ABC vng A có cạnh huyền BC = a3 Gọi M trung điểm BC biết AM, BC  a2 Tính AB AC 2 ÑS : AB  a AC  a 4.Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Gọi M N điểm thuộc đương tròn AM BN cắt I Đ/C: Đơng Thạnh-Hóc Mơn-TPHCM Trang 11 a.Chưng minh AI.AM  AI.AB ; BI.BN  BI.BA :b,Từ tính AI.AM  BI.BN theo R 5.Cho tam giác ABC có trực tâm H M trung điểm BC Chứng minh MH.MA  BC2 6.Cho tứ giác ABCD có đường chéo AC BD vng góc với M P trung điểm AD Chứng minh MP  BC  MA.MC  MB.MD Bài 3: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) C(x3;y3) Xác định hình dạng tam giác ABC Phƣơng pháp :  Tính AB  x  x1 2  y  y1 2 BC  x  x 2  y  y 2 CA  x1  x 2  y1  y 2 –Nêu AB = BC = CA =>Tam giác ABC –Nếu AB = AC =>Tam giác ABC cân –Nếu AB = AC BC = AB2 => Tam giác ABC vuông cân B –Nếu BC2=AB2 +AC2 =>tam giác ABC vuông A Thí dụ 1: TRong mpOxy cho tam giác ABC với A( 1;5) B(3;–1) C(6;0).Xác định hình dạng tam giác ABC Tính diện tích tam giác ABC GIẢI : AB  3  12  (1  5) 6  32  (0  1) BC   40  10 CA  1  62  5  02  50 CA  50 ; AB2  BC2  40  10  50  CA  AB2  BC2  ABC vuông B  S  BA.BC  10đvdt Thí dụ 2:Cho tam giác ABC với A(–1;3) B(3;5) C(2;2).Xác định hình dạng tam giác ABC ,Tính diện tích tam giác ABC chiều cao kẻ từ A AB  20 BC  10 ; CA  10  AB  BC  ABC vuông cân A S=5đvdt   Thí dụ 3:Trong mpOxy cho A(4;0) B 2;2 Chứng minh tam giac OAB Tìm trực tâm tam giác OAB Giải : OA  OB  AB  2  42  2 0  4  OA  OB  AB   OAB  3  Trực tâm H tam giác OAB trọng tâm tam giác OAB  H 2;   Bài Tập : Cho tam giác ABC với A(1;0) B(–2;–1) C(0;3).Xác định hình dạng tam giác ABC Tìm Tâm I đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ĐS: Vuông A , Tâm I (–1;1) 2.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(0;2) B(m ; 0) C(m+3; 1) Định m để tam giác ABC vuông A ĐS:m = –1 hay m =-2 Cho tam giác ABC biết A(–1;3) B(–3;–2) C(4;1) , Chứng minh tam giác ABC vuông từ suy khoảng cách từ C đến AB 4.Ch điểm A (2 ; –1) B(–2;1) Tìm điểm M biết tung độ tam giác ABM vuông C ĐS: M(1;2) M(–1;2) 5.Trong mpOxy cho điểm A(2;4) B(1 ; 1) Tìm điểm C cho tam giác ABC vng cân B ĐS: C(4;0) C(–2;2) Đ/C: Đơng Thạnh-Hóc Môn-TPHCM Trang 12 Bài 4: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) C(x3;y3) Xác định trọng tâm G , trực tâm H tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Phƣơng pháp :  x1  x  x y1  y  y  ;  3   –Trọng tâm G  Tìm trực tâm H -Gọi H(x;y)là trực tâm tam giác ABC Tính AH  x  x1 ; y  y1  Tính AH.BC  AH.BC  Do H trực tâm    BH.CA  Tính BH  (x  x ; y  y ) ; BH.CA Giải hệ tìm x ; y Tìm tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi I(x;y) Tính AI2=(x-x1)2+(y–y1)2 BI2=(x-x2)2+(y–y2)2 CI2=(x-x3)2+(y–y3)2 I tâm đường trịn ngoai tiếp tam giác ABC AI = BI =CI Giải hệ tìm x ; y BÀI TẬP: Bài 13 Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(5 ;4) B(2 ;7) C(–2 ;–1) a.Tìm trọng tâm G , trực tâm H tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC b.Chứng minh I ; G ;H thẳng hang 1.Cho tứ giác ABCD với A(3;4) B(4;1) C(2;–3;D(–1;6) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn HD: Tìm tâm I bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC (ĐS: I(-1;1), Chứng minh IA =ID 2.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(–1;–3) B(2;5) C(4;0).Xác định trực tâm H tam giác ABC  164 15  ;   31 31  ĐS:  3.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(–1;4) B(–4;0) C(2;–2) Tìm tâm I đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ĐS:  1  I ;   2 4.Trong mpOxy cho điểm A(–2;–2) B(5 ;–4) a)Tìm điểm C cho trọng tâm tam giác ABC điểm G(2;0) ĐS:C(3;6)  169 47  ;   66 33  ĐS I  b)Tìm tâm I đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC 5.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(0;1) B(3;2) C(1;5) Tìm trực tâm H tam giác ABC ĐS:  21 25  H ;   11 11  Bài 5: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) C(x3;y3) Xác định tâm J đường tròn nội tiếp tam giác ABC Phương Pháp: –Tính AB ;AC; k =-AB/AC –Gọi D giao điểm đường phân giác góc A với cạnh BC  DB  k DC  tọa độ D –Tính BA BD =k’= –BA/BD –Gọi J giao điểm đường phân giác góc A góc B => JA  k' JD =>tọa độ J 1  4  Thí dụ :Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(–2;3) B  ;0  C(2;0) Đ/C: Đơng Thạnh-Hóc Mơn-TPHCM Trang 13 Tìm tâm J đường trịn nội tiếp tam giác ABC GIẢI AB  15 AB ; AC   k    AC Goïi D giao điểm phân giác góc A vaø BC  DB   DC 1   x   2  x  x       D(1;0) y   y   0  y)  15 BA  ; BD   k'  5 4 Gọi J giao điểm phân giác góc B AD  JA  5JD  x    x  5(1  x)     3  y  5(0  y) y   1 1  J ;  2 2 Bài tập: 1.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(2;6) B(–3;–4) C(5;0) a.Chứng minh tam giác ABC vuông b.Tìm tâm J đường trịn nội tiếp tam giác ABC ĐS : J(2;1) Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(1;5) B(–4;–5) C(4;-1).Tìm tâm J đương tròn nội tiếp tam giác ABC ĐS J(1;0)   15  ;2  B(12;15) C(0;3) Tìm tâm J đương tròn nội tiếp tam giác ABC   Trong mpOxy cho tam giác ABC với A ĐS J(-1;2) Bài 6: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) C(x3;y3).Gọi A’ chân đường vng góc kẻ từ A lên BC.Tìm A’ Phương pháp: Gọi A’(x;y)  Tính AA'  (x  x1 ; y  y1 ) ; BC  (x  x ; y  y ) BA'  (x  x ; y  y ) (x  x1 )(x  x )  (y  y1 )(y  y )  AA'.BC    Giải hệ   x  x  t(x  x ) BA'  t BC y  y  t ( y  y )  Tìm x ; y theo t , Thay vào (1) tìm t từ  x y Thí dụ :Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(1 ; 5) B(3;–1) C(6;0).Tìm chân đường cao B’ kẻ từ B lên CA GIẢI: Đ/C: Đơng Thạnh-Hóc Mơn-TPHCM Trang 14 Gọi B' (x; y) : BB'  (x  3; y  1) CA  (5;5) AB'  (x  1; y  5)  5(x  3)  5(y  1)  BB'.CA   B' chân đường cao kẻ từ B lên AC    x   5t AB'  t AC y   5t   t  x   5t    y   5t  x   B' (5;1)  x  y  4 y     BÀI TẬP: 1.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(3;–1) B(1;5) C(6;0) Gọi A’ chân đường cao kẻ từ A lên BC tìm A’ ĐS:A’(5;1) 6 8 5 5 2.Trong mpOxy cho điểm A(2;1) B(–2;4) Gọi H hình chiếu O lên AB Tìm H ĐS:H  ;  3.Trong mpOxy cho tam giác BAC với A(3;–4) B(–4;–2) C(1;3) Tìm chân đường cao A’ đường cao kẻ từ A lên  37 156  ;   53 53  BC ĐS:A’   Bài Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) C(x3;y3),Tính cosA Phương pháp :  Tính AB ; AC  CosA   Tính AB AC; Tính AB.AC AB.AC AB.AC Thí dụ : Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(0;3) B(2;2) C(–6;1).Tínhsố đo góc A AB  (2;1)  AB  AC  (6;2)  AC  40  10 AB.AC  12   10 cos A  AB.AC  10    A  135 AB.AC 10 BÀI TẬP TÍCH VƠ HƢỚNG 1Cho hai vectơ a b Chứng minh :  2 2 2 2 2  2  2  2 a b =  a  b  a  b  =  a  b  a  b  =  a  b  a  b  2  2  4  2.Cho hai vectơ a , b có a = , b = 12 a + b = 13.Tính tích vơ hướng a ( a + b ) suy góc hai vectơ a a + b 3.Cho tam giác ABC cạnh a Gọi H trung điểm BC,tính a) AH BC b) AB AC c) AC CB 4.Cho hình vng ABCD tâm O,cạnh a.Tính: a) AB AC b) OA AC c) AC CB Tam giác ABC có AC = ,BC = ,C = 90o ,tính AB AC Tam giác ABC có AB = ,AC = ,A = 120o a)tính AB BC b) Gọi M trung điểm AC tính AC MA Đ/C: Đơng Thạnh-Hóc Mơn-TPHCM Trang 15 Tam giác ABC có AB = ,BC = ,CA = a)Tính AB AC suy giá trị góc A b)Tính CA CB c)Gọi D điểm cạnh CA cho CD = CA Tính CD CB 8.Cho hai vectơ a b thỏa mãn | a | = , | b | = ( a , b ) = 120o Với giá trị m hai vectơ a + m b a – m b vng góc Tam giác ABC có AB = ,AC = góc A = 60o Trên tia AC lấy điểm M đặt AM = k AC Tìm k để BM vng góc với trung tuyến AD tam giác ABC 10.Cho tam giác ABC cân đỉnh A, cạnh bên = a hai trung tuyến BM, CN vng góc Tính cosA 11 Tam giác ABC có AB = 6,AC = 8,BC = 11 a)Tính AB AC b)Trên cạnh AB lấy điểm M cho AM = 2.Trên cạnh AC lấy điểm N cho AN = 4.Tính AM AN 12.Cho O trung điểm AB,M điểm tuỳ ý Chứng minh : MA MB = OM2 – OA2 13.Cho hình vng ABCD tâm O, M điểm thuộc cạnh BC.Tính MA AB MO AB 14.Cho tứ giác ABCD , I trung điểm BC, chứng minh : a) AB AC = IA2 – IB2 b) AB AC = (AB2 + AC2 – BC2) c) AB CD = (AD2 + BC2 – AC2 – BD2) 15.Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh : MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 16.Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a,b,c Gọi G trọng tâm,hãy tính: a) AB AC b) GA GB c) GA GB + GB GC + GC GA d) Chứng minh : BC CA + CA AB + AB BC = – (a2 + b2 + c2) e)Tính AG theo a ,b ,c 17.Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AD, BE, CF Chứng minh : BC AD + CA BE + AB CF = 18.Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R.Gọi M, N hai điểm (O) I = AM∩BN Chứng minh : a) AI AM = AI AB b) BI BN = BI BA c) AI AM + BI BN = 4R2 19.Cho điểm A,B,C,D tuỳ ý a) Chứng minh : AB CD + AC DB + AD BC = b)Từ chứng minh tam giác,ba đường cao đồng qui 20.Cho tam giác ABC cân A.Gọi H trung điểm BC,và D hình chiếu H AC, M trung điểm HD Chứng minh AM BD 21.Cho hình vng ABCD Gọi M N trung điểm BC CD Chứng minh : AN  DM Đ/C: Đơng Thạnh-Hóc Mơn-TPHCM Trang 16 22.Cho hình chữ nhật ABCD Gọi K hình chiếu vng góc B AC, M N trung điểm AK DC Chứng minh : BM  MN 23.Cho hình thang ABCD vng A B AB = h, cạnh đáy AD = a, BC = b Tìm điều kiện a ,b ,h để a) AC  BD b) IA  IB với I trung điểm CD 24.Cho tam giác ABC có AB = ;AC = A = 45o Gọi L chân đường phân giác góc A a)Tính AB AC b)Tính AL theo AB AC  độ dài AL c)M điểm cạnh AC cho AM = x Tìm x để AL  BM 25.Cho tam giác ABC có AB = 2a ,AC = a A = 120o a) Tính BC BA BC b)Gọi N điểm cạnh BC cho BN = x Tính AN theo AB AC ,x c)Tìm x để AN  BM 26.Cho tứ giác ABCD,chứng minh rằng: AB2 – BC2 + CD2 – DA2 = AC DB 27.Cho tam giác ABC có H trực tâm M trung điểm BC Chứng minh : MH MA = BC2 28.Cho tứ giác ABCD Hai đường chéo cắt O Gọi H ,K trực tâm tam giác ABO CDO; I J trung điểm AD BC Chứng minh HK  IJ 28.Cho đường tròn (O;R) hai dây cung AA’ ,BB’ vng góc S Gọi M trung điểm AB chứng minh rằng: SM  A’B’ 29.Cho tam giác ABC Tìm quĩ tích điểm M thoả mãn : a) AM AB = AC AB b) MA2 + MA MB + MA MC = c) MA2 = MC MA d) ( MA + MB ).( MA + MC ) = e) ( MA – MB ).(2 MB – MC ) = 30.Cho điểm A cố định nằm ngồi đường thẳng , H hình chiếu A .Với điểm M , ta lấy điểm N tia AM cho AN AM = AH2 Tìm quĩ tích điểm N 31.Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD vng góc với M,gọi P trung điểm đoạn thẳng AD Chứng minh MP  BC  MA MC = MB MD AC 33.Cho hình vng ABCD,điểm M nằm đoạn thẳng AC cho AM = N trung điểm đoạn thẳng DC,chứng minh BMN tam giác vuông cân 34.Cho AA’ dây cung đường tròn (O) M điểm nằm dây cung Chứng minh MA MO = MA(MA – MA’) 35.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) điểm M cho góc AMB ,BMC ,CMA 120o Các đường thẳng AM ,BM ,CM cắt đường tròn (O) A’ ,B’ ,C’ Chứng minh rằng: MA + MB + MC = MA’ + MB’ + MC’ 37.Cho hình chữ nhật ABCD tâm O, M điểm tuỳ ý,chứng minh : a) MA + MC = MB + MD b) MA MC = MB MD c) MA2 + MC2 = MB2 + MD2 Đ/C: Đơng Thạnh-Hóc Mơn-TPHCM Trang 17 d) MA2 + MB MD = MA MO 38.Cho tam giác ABC hình vng ABED, ACHI ,BCGH Chứng minh : a) ( AD + BF ) AC = b) ( AD + BF + CH ) AC = c) AD + BF + CH = d) AE + BG + CI = 39.Cho tam giác ABC vuông A, AB = c, AC = b Gọi M điểm cạnh BC cho CM = 2BM, N điểm cạnh AB cho BN = 2AN a) Tính vectơ AM CN theo hai vectơ AB AC b)Tìm hệ thức liên hệ b c cho AM  CN 40.a)Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O,R) M điểm tuỳ ý đường tròn Chứng minh rằng: MA2 + MB2 + MC2 = 6R2 b) Tổng quát toán cho đa giác n cạnh 45.Cho tam giác ABC có AB = AC = , góc BAC = 120o nội tiếp đường tròn tâm I Gọi D trung điểm AB E trọng tâm tam giác ADC a)Tính AB AC b)AH đường cao tam giác ABC.Tính AH theo AB AC c)Chứng minh IE  CD 49.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(– 1;1) ,B(1;3) ,C(1;– 1) Chứng minh rằng: tam giác ABC vuông cân A 50 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(2;4) ,B(– 3;1) ,C(3;– 1) a)Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành b)Kẻ đường cao AH Tìm tọa độ chân đường cao H 51.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A,B,C,D với A(– 1;1) ,B(0;2) ,C(3;1) D(0;– 2) Chứng minh rằng: tứ giác ABCD hình thang cân 52.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A,B,C với A(– 1;– 1) ,B(3;1) ,C(6;0) a)Chứng minh rằng: điểm A ,B ,C tạo thành tam giác b)Tính góc B tam giác ABC 54.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(3;4) ,B(4;1) ,C(2;– 3) ,D(– 1;6) Chứng minh rằng: tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn 55.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(– 8;0) ,B(0;4) ,C(2;0) ,D(– 3;– 5) Chứng minh rằng: tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Đ/C: Đơng Thạnh-Hóc Mơn-TPHCM Trang 18 ... C(–6;1).Tínhsố đo góc A AB  (2;1)  AB  AC  (6;2)  AC  40  10 AB.AC  12   ? ?10 cos A  AB.AC  10    A  135 AB.AC 10 BÀI TẬP TÍCH VƠ HƢỚNG 1Cho hai vectơ a b Chứng minh :  2...  5) 6  32  (0  1) BC   40  10 CA  1  62  5  02  50 CA  50 ; AB2  BC2  40  10  50  CA  AB2  BC2  ABC vuoâng B  S  BA.BC  10? ?vdt Thí dụ 2:Cho tam giác ABC với... AC lấy điểm M đặt AM = k AC Tìm k để BM vng góc với trung tuyến AD tam giác ABC 10. Cho tam giác ABC cân đỉnh A, cạnh bên = a hai trung tuyến BM, CN vng góc Tính cosA 11 Tam giác ABC có AB = 6,AC