Về các định lý cơ bản của giải tích hàm trên không gian bị chặn địa phương

2 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Không gian bị chặn địa phương 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Không gian bị chặn địa phương Về định lý giải tích hàm không gian bị chặn địa phương 18 2.1 Định lý Hahn-Banach 18 2.2 Định lý ánh xạ mở 24 2.3 Nguyên lý bị chặn 26 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 MỞ ĐẦU Định lý Hahn-Banach, định lý ánh mở, nguyên lý bị chặn nguyên lý giải tích hàm Chúng có vai trò ý nghĩa to lớn lĩnh vực toán giải tích nói riêng toán học đại nói chung Dạng cổ điển định lý phát biểu không gian Banach Vào khoảng thập niên 60 đến 80 kỷ trước, chúng mở rộng nhiều lớp không gian rộng không gian Banach, điển hình mở rộng lên số lớp không gian lồi địa phương số chuyên gia tiếng giải tích hàm Kothe, Meise, Vogt, (xem [5]) Các mở rộng lớp không gian không lồi địa phương (nhưng bị chặn địa phương) thực vào năm 90 kỷ trước chùm công trình Bayoumi (xem [2], [3], [4]) Những kết sở quan trọng để nghiên cứu giải tích phức không gian không lồi địa phương Với mục đích tìm hiểu định lý giải tích hàm không gian bị chặn địa phương, lựa chọn đề tài sau cho luận văn là: Về định lý giải tích hàm không gian bị chặn địa phương Nội dung luận văn trình bày chương Chương trình bày kiến thức sở không gian véctơ tôpô cần dùng sau kết không gian bị chặn địa phương, ánh xạ tuyến tính liên tục không gian bị chặn địa phương Chương trình bày ba định lý giải tích hàm không gian bị chặn địa phương là: Định lý Hahn-Banach, định lý ánh xạ mở nguyên lý bị chặn Luận văn thực trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy giáo, TS Kiều Phương Chi Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa toán Tác giả xin cảm ơn thầy, cô giáo môn Giải tích, Khoa toán nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Cuối xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học 18 Giải tích cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng mong nhận ý kiến đóng góp thầy, cô giáo bạn bè để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng năm 2012 Bùi Quang Trung CHƯƠNG KHÔNG GIAN BỊ CHẶN ĐỊA PHƯƠNG 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục nhắc lại số kết không gian véctơ tôpô, không gian định chuẩn, không gian Banach cần dùng sau Các kết tìm thấy [1] 1.1.1 Định nghĩa Cho E không gian tuyến tính trường K M không gian E M gọi có đối chiều n ký hiệu codimM = n, tồn không gian N E cho N có chiều n E tổng trực tiếp M N , tức với x ∈ E tồn y ∈ M z ∈ N cho x = y + z 1.1.2 Định nghĩa Không gian véctơ tôpô không gian véctơ với tôpô cho phép toán cộng nhân vô hướng liên tục Tập U không gian véctơ X gọi cân αU ⊂ U với α ∈ K |α| < 1; tập U gọi hút với x ∈ X tồn δ > cho αx ∈ U với |α| < δ Trong không gian véctơ tôpô tồn sở lân cận U gồm tập cân, hút với U ∈ U tồn V ∈ U cho V + V ⊂ U 1.1.3 Định nghĩa Tập U không gian véctơ X gọi lồi với x, y ∈ U , với λ 1, λx + (1 − λ)y ∈ U Không gian véctơ tôpô gọi lồi địa phương có sở lân cận U gồm tập lồi 1.1.4 Định nghĩa Tập U không gian véctơ tôpô E gọi bị chặn với lân cận V tồn s > tương ứng cho U ⊂ tV với t > s Không gian véctơ tôpô gọi bị chặn địa phương tồn lận cận tập bị chặn Mỗi không gian bị chặn địa phương có sở đếm lân cận (xem [6]) Mặt khác, không gian véctơ tôpô có sở lân cận đếm khả mêtric Vì vậy, không gian bị chặn địa phương khả mêtric 1.1.5 Định nghĩa Không gian véctơ tôpô E gọi F -không gian tồn mêtric d bất biến E (tức d(x, y) = d(x + z, y + z) với x, y, z ∈ E) cho (E, d) đầy đủ mêtric d sinh tôpô E Như vậy, không gian bị chặn địa phương F -không gian 1.1.6 Định nghĩa Mỗi F -không gian lồi địa phương gọi không gian Frechet 1.1.7 Định nghĩa Cho E không gian tuyến tính trường R Hàm : E → R gọi chuẩn E thoả mãn điều kiện sau: 1) x 0, với x ∈ E x = ⇔ x = 0; 2) λx = |λ| x , với λ ∈ R với x ∈ E; 3) x + y x + y , với x, y ∈ E Khi (E, ) gọi không gian định chuẩn Không gian định chuẩn không gian mêtric với mêtric sinh chuẩn d(x, y) = x−y , ∀x, y ∈ E Không gian định chuẩn E gọi không gian Banach E đầy đủ với mêtric sinh chuẩn Với tôpô sinh mêtric sinh chuẩn phép toán cộng nhân vô hướng E liên tục Rõ ràng không gian định chuẩn không gian lồi địa phương }, n = 1, 2, n sở lân cận gồm tập lồi, bị chặn E Hơn nữa, người ta chứng bị chặn địa phương Bởi Bn = {x ∈ E : x < minh kết quan trọng sau: 1.1.8 Định lý Không gian véctơ tôpô khả định chuẩn lồi địa phương bị chặn địa phương Ví dụ sau cho thấy không gian bị chặn địa phương không lồi địa phương 1.1.9 Ví dụ Xét không gian lp = {x = {xn } ⊂ R : ∞ p n=1 |xn | < +∞} với < p < Khi đó, lp không gian véctơ với phép toán cộng nhân vô hướng theo số hạng tương ứng dãy Hơn nữa, lp F −không gian với mêtric bất biến xác định ∞ |xn − yn |p d(x, y) = n=1 với x, y ∈ lp Tuy nhiên lp không gian lồi địa phương Thật vậy, giả sử lp lồi địa phương Khi đó, tập V = {x ∈ lp : d(x, 0) 1} chứa lân cận lồi, cân U Khi U lại chứa tập Vε = {x ∈ lp : d(x, 0) ε}, với ε > Xét dãy {xk } ⊂ lp xác định sau: xkn = k = n xkn = k = n Khi đó, ε p xk ∈ Vε ⊂ U với k Do tính lồi U ta có y = εp s xk ∈ U k s với s Mặt khác d(y, 0) = εs1−p > s đủ lớn Mâu thuẫn với U ⊂ V Vậy lp không gian lồi địa phương Tuy nhiên lp không gian bị chặn địa phương, V lân cận bị chặn Thật vậy, với lân cân U 0, tồn ε > cho Vε = {x ∈ lp : d(x, 0) ε} ⊂ U Nếu lấy s = rõ ràng V ⊂ tU với ε t s Ví dụ sau lại chứng tỏ lồi địa phương không bị chặn địa phương 1.1.10 Ví dụ Giả sử R∞ = {x = {xn } : xn ∈ R} không gian véctơ dãy số thực với phép toán cộng nhân vô hướng theo số hạng tương ứng dãy Khi đó, R∞ F −không gian với khoảng cách xác định ∞ d(x, y) = với x, y ∈ R∞ Hơn nữa, |xn − yn | 2n + |xn − yn | n=1 R∞ không gian lồi địa phương với tôpô lồi địa phương xác định họ đếm nửa chuẩn {pn } R∞ sau pn (x) = |xn | với x ∈ R∞ Nói cách khác R∞ không gian Frechet Tuy nhiên, R∞ không gian bị chặn địa phương Thật vậy, ngược lại không gian định chuẩn Khi đó, tồn chuẩn R∞ cho tôpô sinh chuẩn trùng với tôpô sinh {pn } Xét B(0, 1) = {x ∈ R∞ : x < 1} Khi đó, tồn V = {x ∈ R∞ : pi (x) = |xi | < δ, i ∈ I} I tập hữu hạn cho V ⊂ B(0, 1) Lấy x0 = {x0n } ∈ R∞ cho x0n = n ∈ I x0n = với n ∈ / I Khi đó, x0 = suy x0 = r > Với số tự nhiên k cách xác định x0 V ta có kx0 ∈ V Do kx0 ∈ B(0, 1) với k Suy kx0 = kr < với k Ta nhận mâu thuẫn Vậy R∞ không bị chặn địa phương 1.2 Không gian bị chặn địa phương Mục trình bày kết sở không gian bị chặn địa phương, cụ thể không gian tuyến tính p-định chuẩn Các kết mục trích từ [2] Trong mục này, không gian véctơ xét trường K = R, C 1.2.1 Định nghĩa Một p−chuẩn không gian véctơ E ánh xạ : E → R+ thoả mãn tính chất sau: i) x = x = 0; ii) λx = |λ|p x , với λ ∈ K, x ∈ E; iii) x + y x + y , với x, y ∈ E (E, ) gọi không gian tuyến tính p-chuẩn, hay viết gọn không gian p-chuẩn, (với < p 1) 1.2.2 Ví dụ Xét tập R với cấu trúc tuyến tính thực thông thường Với 0 sở lân cận Hơn nữa, E không gian mêtric tuyến tính, sở lân cận gốc chọn đếm 2)Nếu p-chuẩn E với < p tựa chuẩn, dp (x, y) = x − y E p p xác định mêtric sinh tôpô tuyến tính 10 3) Người ta chứng minh rằng: E không gian bị chặn địa phương tồn p-chuẩn E cho dp (x, y) = x−y p mêtric sinh tôpô tuyến tính E Do đó, không gian bị chặn địa phương xác định p chuẩn đó, tức xem không gian p-định chuẩn 1.2.5 Định nghĩa Không gian p−định chuẩn E gọi p-Banach đầy đủ với mêtric sinh p-chuẩn Như không gian p-Banach F -không gian 1.2.6 Ví dụ Không gian bị chặn địa phương lp , < p < 1, xác định p-chuẩn ∞ |xn |p x = n=1 với x ∈ lp 1.2.7 Mệnh đề Mỗi p-chuẩn hàm thực liên tục Chứng minh Giả sử p−chuẩn E Ta chứng minh bất đẳng thức sau | x − y | x−y với x, y ∈ E Thật vậy, với x, y ∈ E x = x−y+y x−y + y Suy x − y x−y (1.1) Mặt khác y = y −x +x y −x + x = |−1|p x −y + x = x −y + x Suy − x−y x − y (1.2) 11 Từ (1.1) (1.2) suy | x − y | x−y Bất đẳng thức chứng tỏ p-chuẩn liên tục 1.2.8 Định nghĩa Cho E F không gian p-chuẩn, không gian q-chuẩn ánh xạ A : E → F gọi ánh xạ tuyến tính A(tx + y) = tA(x) + A(y) với x, y ∈ E với t ∈ K Ví dụ sau cho thấy ánh xạ tuyến tính không gian p-chuẩn không liên tục 1.2.9 Ví dụ Cho E = C(I, K) không gian p-chuẩn chứa tất hàm liên tục đoạn I = [0, 1] nhận giá trị K, xác định p-chuẩn (0 < p 1) f = sup |f (x)|p x∈I Cho F không gian E chứa tất hàm f ∈ E cho f có đạo hàm df liên tục I Xét ánh xạ D : F → E xác định D(f ) = df với f ∈ F Khi đó, dễ thấy D ánh xạ tuyến tính Tuy nhiên D không liên tục Thật sin nx , n = 1, 2, với vậy, xét dãy {fn } ∈ F xác định fn (x) = n x ∈ I Ta có 1 sin nx p p p fn = sup n n x∈I Suy fn p → n → ∞ Vì {fn } hội tụ tới F Tuy nhiên Dfn (x) = dfn (x) = cos nx, Dfn = sup cos nx p x∈I p p =1 với n Ta nhận Dfn không hội tụ tới E Vậy D không liên tục 17 1.2.17 Mệnh đề Nếu M không gian thật đóng F-không gian bị chặn địa phương E với ε > 0, tồn y ∈ E với y = x ∈ M cho x−y − ε Chứng minh Lấy y0 ∈ E \ M đặt d = inf{ y0 − x : x ∈ M } Khi đó, d > với η > tồn x0 ∈ M cho x0 − y d Rõ ràng y= d + η x − y0 x − y0 p ∈ / M, ngược lại y0 ∈ M Ta có y = với x = x0 + x0 − y0 p x x ∈ M ta có y−x = x − y0 − x x − y0 p = y0 − x x − y0 d η =1− d+η d+η y0 − x d+η Vì η tùy ý nên ta chọn η đủ bé cho η < ε Ta nhận điều cần chứng minh 18 CHƯƠNG VỀ CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH HÀM TRÊN KHÔNG GIAN BỊ CHẶN ĐỊA PHƯƠNG Chương trình bày định lý giải tích hàm định lý Hahn-Banach, định lý ánh xạ mở nguyên lý bị chặn không gian bị chặn địa phương Các kết chương trích từ [2] 2.1 Định lý Hahn-Banach Mục trình bày dạng mở rộng phiếm hàm tuyến tính với liệu dựa hàm nửa tuyến tính kiểu σ (thay hệ liệu nửa chuẩn hay sơ chuẩn dạng cổ điển định lý Hahn-Banach) 2.1.1 Định nghĩa Cho E không gian véctơ trường vô hướng K Hàm thực không âm q E gọi nửa tuyến tính kiểu σ thoả mãn: (i) q(x + y) σ(q(x) + q(y)), ∀x, y ∈ E, (ii) q(tx) = tq(x), x ∈ E, t 0, σ Nếu (ii) thay điều kiện q(tx) = |t|q(x) với vô hướng t ∈ K ta gọi q nửa tuyến tính tuyệt đối kiểu σ Định lý sau dạng định lý Hahn-Banach 2.1.2 Định lý Cho E véctơ thực, M không gian E có đối chiều n q hàm thực nửa tuyến tính kiểu σ xác định E 19 Giả sử f phiếm hàm tuyến tính M cho q(x) với x ∈ M f (x) Khi đó, tồn mở rộng tuyến tính f˜ xác định E cho f˜(x) = f (x) với x ∈ M f˜(x) σ n f (x)q(x) với x ∈ E Nếu σ = ta nhận định lý Hahn-Banach cổ điển Chứng minh Đầu tiên ta giả thiết M có đối chiều Lấy b ∈ E \ M gọi M1 không gian tuyến tính sinh M ∪ {b} Ta khẳng định rằng: tồn mở rộng tuyến tính f1 M1 cho f1 (x) σq(x) với x ∈ M1 Với y1 , y2 ∈ M ta có f (y1 ) − f (y2 ) = f (y1 − y2 ) q(y1 − y2 ) q(y1 + b − y2 − b) σ[q(y1 + b) + q(−y2 − b)] Suy − σq(−y2 − b) − f (y2 ) σq(y1 + b) − f (y1 ) (2.1) Bây giờ, cố đính y1 cho y2 chạy khắp M sup{−σq(−y2 −b)−f (y2 ) : y2 ∈ M } tồn ký hiệu α Tương tự, cố định y2 ∈ M cho y1 chạy khắp M inf{σq(y1 + b) − f (y1 ) : y1 ∈ M } tồn ký hiệu β Khi đó, từ (2.1) suy α α γ β Do đó, tồn γ ∈ R cho β Khi đó, với y ∈ M ta có − σq(−y − b) − f (y) γ σq(y + b) − f (y) (2.2) 20 Để ý rằng, phần tử x ∈ M1 viết dạng x = y + λb, λ ∈ R y ∈ M Do đó, ánh xạ f1 : M1 → R cho f1 (x) = f1 (λb + y) = λγ + f (y) xác định Dễ dàng kiểm tra f1 tuyến tính M1 f1 = f M Ta f1 (x)λσq(x) với x ∈ M1 Thật vậy, giả sử λ > Khi đó, theo (2.2), ta có λ + f (y) Thay y σq(y + b) y bất đẳng thức ta nhận λ y y λ + f ( ) σf ( + b) λ λ Suy λγ + f (y) σq(y + λb), tức f1 (x) σq(x) Nếu λ < từ (2.2) suy Thay y −f (y) − γ σq(−y − b) y −f ( ) − γ λ σq( [f (y) + λγ] λ σ − q(y + λb), λ y ta có λ −y − b) λ Suy − tức f1 (x) σq(x) Bất đắng thức hiển nhiên với λ = Do f1 (x) σq(x) 21 với x ∈ M1 Nếu codimM = n lặp lại trình xây dựng n lần ta nhận mở rộng tuyến tính f˜ thỏa mãn yêu cầu f˜(x)σ n f = q(x) với x ∈ E 2.1.3 Nhận xét 1) Nếu σ = 1, tức q nửa tuyến tính kiểu thu dạng cổ điển định lý Hahn-Banach Trường hợp này, chứng minh thực mà không cần điều kiện M có đối chiều hữu hạn phương pháp sử dụng bổ đề Zorn 2) Nếu M có đối chiều vô hạn σ > trình mở rộng phải thực vô hạn bước, σ n → ∞ Do đó, sử dụng bổ đề Zorn trường hợp Kalton xây dựng ví dụ mà định lý Hahn-Banach không F-không gian không lồi địa phương (xem [2] Sau dạng phức Định lý 2.1.2 Nó chứng minh tương tự dạng cổ điển quen thuộc nhờ vào Định lý 2.1.2 2.1.4 Định lý Cho E véctơ phức, M không gian E có đối chiều n q hàm thực nửa tuyến tính tuyệt đối kiểu σ, xác định E Giả sử f phiếm hàm tuyến tính M cho |f (x)| q(x) với x ∈ M Khi đó, tồn mở rộng tuyến tính f˜ xác định E cho f˜(x) = f (x) với x ∈ M |f˜(x)| σ n f (x)q(x) với x ∈ E Nếu σ = ta nhận định lý Hahn-Banach cổ điển 22 Sau đây, giới thiệu số hệ định lý Hahn-Banach F -không gian bị chặn địa phương 2.1.5 Hệ Cho f phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian đóng M F -không gian bị chặn địa phương E cho codimM = n Khi đó, tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục E thỏa mãn f˜ = f M f f˜ M σn f E M Nếu σ = f = f˜ với không gian đóng M Chứng minh Trường hợp M = {0} hiển nhiên Vì vậy, ta giả thiết M = {0} Đặt q(x) = f M x p, với x ∈ E, E mêtric hóa p-chuẩn E Suy q phiếm hàm nửa tuyến tính tuyệt đối kiểu σ Từ |f (x)| f M x p = q(x), suy ta áp dụng Định lý 2.1.4 thu phiếm hàm tuyến tính f˜ E thỏa mãn |f (x)| σ n q(x) = σ f M x p, với x ∈ E Từ suy f˜ liên tục f˜ E σ f M Rõ ràng f˜ E ˜M = f M Do đó, ta nhận điều cần chứng minh Sau hệ khác định lý Hahn-Banach, gọi định lý tách không gian bị chặn địa phương 23 2.1.6 Hệ Cho M không gian đóng F -không gian bị chặn địa phương E cho codimM = n b ∈ E \ M Khi đó, tồn phiếm hàm f˜ tuyến tính liên tục E thỏa mãn f˜ E σn, f˜ = M f˜(b) = d p d = inf{ y − b : y ∈ M } Đặc biệt, σ = f˜ = với không gian đóng M Chứng minh Gọi M1 không gian sinh M b Trên M1 ta xác định ánh xạ f (x) = f (y + αb) = αd p với x = y + αb ∈ M1 , y ∈ M α ∈ K Dễ thấy, f ánh xạ tuyến tính Bây giờ, từ M đóng suy d > 0, f = Với α = ta nhận f = M Với α = b = ta có f (b) = d p Với α = ta có y ∈ M Do −α 1 1 y |f (x)| = |α|d p = α inf y − b p α − − b p = y + αb p = x p α y∈M Từ suy f bị chặn M1 f minh f Tiếp theo ta chứng M1 Thật vậy, theo tính chất cận tồn M1 dãy {yn } ∈ M cho yn − b → d Đặt xn = yn − b Khi f (xn ) = f (yn − b) = −d p Ta có f M1 = sup x∈M1 |f (x)| x |f (xn )| p xn p = dp x p → dp d p =1 n → ∞ Do f = Theo Hệ 2.1.5, ta mở rộng tuyến tính liên tục f tới f˜ E cho f M f˜ E σn f f˜ E σn tức Chứng minh kết thúc M 24 2.2 Định lý ánh xạ mở Mục trình bày định lý ánh xạ mở F-không gian bị chặn địa phương Trước hết ta nhắc lại đại lý Baire phạm trù 2.2.1 Định lý (Baire) Mọi không gian mêtric đầy đủ thuộc phạm trù thứ hai, tức biểu diễn dạng hợp đếm tập đóng có phần rỗng Bởi F -không gian không gian mêtric tuyến tính đầy đủ nên chúng thuộc phạm trù thứ hai 2.2.2 Định lý Cho E F p-Banach không gian qBanach Nếu A ∈ L(E, F ) A toàn ánh A ánh xạ mở, tức A biến tập mở E thành tập mở F Chứng minh Với n = 1, 2, đặt Bn = {x ∈ E : x < 1 } = B (0, ) E 2n 2n Sn = A(Bn ) = A BE (0, ) 2n Từ E = ∪n nB1 A toàn ánh suy F = ∪n nS1 = ∪n nS Theo định lý Baire, tồn k cho kS có phần khác rỗng Do đó, tồn ξ ∈ F a > thỏa mãn BF (ξ, a) ⊂ kS Vì ánh xạ y → ky đồng phôi nên S chứa hình cầu mở BF (η, r) với r > η ∈ S Khi BF (0, r) ⊂ S − η ⊂ S − S ⊂ 21q = S , S0 = q S1 Suy BF (0, r) ⊂ S −1 r q BF (0, ) ⊂ S 25 BF (0, r) = r q BF (0, 1) Bây ta chứng minh quy nạp BF (0, r ) ⊂ S n 2n+q (2.3) với n Thật vây, giả thiết quy nạp với n = Giả sử BF (0, r ) ⊂ S n 2n+q Khi đó, y ∈ BF (0, r r )= n+1+q q 2n+1+q r tồn z ∈ BF (0, 2n+q ) cho y = BF (0, nên tồn x ∈ B(0, r 2n+q 1 z 2q BF (0, r 2n+q ) ) ⊂ Sn ) cho z = Ax Từ suy 2n 1 2q 2q 2n+1 Ax = A[ x] ∈ A B(0, Tiếp theo, y ∈ F y x1 ∈ B1 thỏa mãn q Mặt khác, y= BF (0, 1) = < ) ⊂ S n+1 r từ y ∈ S (2.3), tồn y − A(x1 ) < r 22+q Khi y − A(x1 ) ∈ S , tồn x2 ∈ B2 cho y − A(x1 ) − A(x2 ) < r 23+q Tiếp tục trình ta nhận xn ∈ Bn cho y − A(x1 ) − A(x2 ) − − A(xn ) < r 2n+1+q 26 Từ ∞ n=1 xn < ∞ n=1 thuộc x ∈ BE (0, 1) = 1, suy chuỗi 2n ∞ n=1 xn hội tụ tới điểm ∞ A(x) = A( xn ) = y n=1 r Do y ∈ S0 Suy BF (0, ) ⊂ S0 Tương tự, ta có BF (0, r 2n+q+1 ) ⊂ Sn (2.4) Bây giờ, ta chứng minh A ánh xạ mở Cho U tập mở tùy ý E Khi đó, với x ∈ U y = A(x), tồn n cho x + Bn ⊂ U Suy y + Sn ⊂ A(U ) Từ Sn chứa lân cận (do (2.4)) suy A(U ) lân cận mở y Do A(U ) mở 2.2.3 Hệ (Banach) Cho E F p-Banach không gian q-Banach Nếu f ∈ L(E, F ) f song ánh f đồng phôi Chứng minh Theo định lý ánh xạ mở A−1 liên tục Do đó, A đồng phôi 2.3 Nguyên lý bị chặn Cho E, F F -không gian bị chặn địa phương Nếu B ⊂ L(E, F ) bị chặn, tức tồn M > cho sup{ A : A ∈ B} M Khi đó, với x ∈ E tồn Mx > cho sup{ A : A(x) ∈ B} Mx 27 Nói cách khác, B bị chặn bị chặn điểm Đối với không gian Banach, nguyên lý bị chặn khẳng định mệnh đề ngược lại Sau ta chứng minh nguyên lý bị chặn cho lớp F −không gian bị chặn địa phương 2.3.1 Định lý Cho E không gian p-Banach F không gian qBanach Giả sử {Ak }k∈I họ thuộc L(E, F ) Khi đó, mệnh đề sau tương đương: 1) {Ak }k∈I đồng liên tục, tức với ε > 0, tồn δ > cho x < δ ⇒ Ak (x) < ε, ∀k ∈ I 2) {Ak }k∈I bị chặn điểm, tức với x ∈ E, tồn Mx > cho Ak (x) < Mx , ∀k ∈ I 3) {Ak }k∈I bị chặn đều, tức tồn M > cho Ak < M, ∀k ∈ I Chứng minh (a)⇒ (b) Giả sử (a) Khi đó, ta tìm δ > cho x < δ ⇒ Ak (x) < 1, ∀k ∈ I Nếu x = với y = δ px x p , ta có y = δ Do δ px Ak (y) = Ak x Suy x p p q := Mx p δq với k ∈ I Bất đẳng thức hiển nhiên với x = Vậy ta thu Ak (x) (b) 28 (b)⇒ (c) Với số tự nhiên n, đặt Dn = {x ∈ E : Ak (x) n, ∀k ∈ I} Do Ak liên tục suy Dn đóng Từ giả thiết (b) suy E = ∪n Dn Khi đó, theo định lý Baire phạm trù, tồn Dn chứa hình cầu đóng B E (ξ, r) Suy Ak (x) n với x ∈ B E (ξ, r) với k ∈ I Do đó, x Ak (x) Ak (x + ξ) + Ak (ξ) r 2n với k ∈ I Vì 2n q Ak q =M rp với k ∈ I, Ak (x) Ta thu q q Ak x p (2n) q Ak r p = Mq với k ∈ I (c)⇒ (a) Cho ε > δ = p ε Khi đó, với x < δ q , có M Ak (x) M x q p [...]... CHƯƠNG 2 VỀ CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH HÀM TRÊN KHÔNG GIAN BỊ CHẶN ĐỊA PHƯƠNG Chương này trình bày các định lý cơ bản của giải tích hàm là định lý Hahn-Banach, định lý ánh xạ mở và nguyên lý bị chặn đều trên không gian bị chặn địa phương Các kết quả chính của chương này được trích ra từ [2] 2.1 Định lý Hahn-Banach Mục này trình bày một dạng mở rộng phiếm hàm tuyến tính với dữ liệu dựa trên các hàm. .. Luận văn đã thu được các kết quả sau: 1) Trình bày hệ thống các kiến thức cơ bản về không gian bị chặn địa phương; không gian p−Banach; ánh xạ tuyến tính liên tục giữa các không gian bị chặn địa phương 2) Trình bày chi tiết cách xây dựng các định lý cơ bản của giải tích hàm trên không gian bị chặn địa phương là định lý Hahn-Banach và các hệ quả; định lý ánh xạ mở và nguyên lý bị chặn đều 3) Chứng minh... A(x) ∈ B} Mx 27 Nói cách khác, nếu B bị chặn đều thì nó bị chặn điểm Đối với không gian Banach, nguyên lý bị chặn đều khẳng định rằng mệnh đề ngược lại ở trên vẫn đúng Sau đây ta chứng minh nguyên lý bị chặn đều vẫn đúng cho các lớp F không gian bị chặn địa phương 2.3.1 Định lý Cho E là không gian p-Banach và F là không gian qBanach Giả sử {Ak }k∈I là họ thuộc L(E, F ) Khi đó, các mệnh đề sau là tương... là định lý tách trong không gian bị chặn địa phương 23 2.1.6 Hệ quả Cho M là không gian con đóng của F -không gian bị chặn địa phương E sao cho codimM = n và b ∈ E \ M Khi đó, tồn tại phiếm hàm f˜ tuyến tính liên tục trên E thỏa mãn f˜ 1 E σn, 1 f˜ = trên M và f˜(b) = d p trong đó d = inf{ y − b : y ∈ M } Đặc biệt, nếu σ = 1 thì f˜ = 1 với mọi không gian con đóng M Chứng minh Gọi M1 là không gian. .. định lý ánh xạ mở đối với F -không gian bị chặn địa phương Trước hết ta nhắc lại đại lý Baire về phạm trù 2.2.1 Định lý (Baire) Mọi không gian mêtric đầy đủ thuộc phạm trù thứ hai, tức là nó không thể biểu diễn được dưới dạng hợp đếm được các tập đóng có phần trong rỗng Bởi vì F -không gian là không gian mêtric tuyến tính đầy đủ nên chúng thuộc phạm trù thứ hai 2.2.2 Định lý Cho E và F lần lượt là các. .. → ∞ Do đó, không thể sử dụng bổ đề Zorn trong trường hợp này và Kalton đã xây dựng được ví dụ mà định lý Hahn-Banach không đúng trong F -không gian không lồi địa phương (xem [2] Sau đây là dạng phức của Định lý 2.1.2 Nó được chứng minh tương tự như dạng cổ điển quen thuộc và nhờ vào Định lý 2.1.2 2.1.4 Định lý Cho E là một véctơ phức, M là không gian con của E có đối chiều n và q là một hàm thực nửa... F ) Định lý sau đây trình bày sự mở rộng ánh xạ tuyến tính lên không gian con đóng 1.2.15 Định lý Cho E là không gian p-chuẩn, M là không gian con của E và F là không gian con q-Banach Nếu A : M → F là ánh xạ tuyến tính liên tục thì tồn tại duy nhất một mở rộng tuyến tính liên tục A của A lên bao đóng M của M sao cho A = A Chứng minh Dễ dàng chứng minh được bao đóng của M là không gian con đóng của. .. Sn chứa lân cận của 0 (do (2.4)) suy ra A(U ) là lân cận mở của y Do đó A(U ) mở 2.2.3 Hệ quả (Banach) Cho E và F lần lượt là các p-Banach không gian và q-Banach Nếu f ∈ L(E, F ) và f là song ánh thì f là một đồng phôi Chứng minh Theo định lý ánh xạ mở thì A−1 liên tục Do đó, A là đồng phôi 2.3 Nguyên lý bị chặn đều Cho E, F là các F -không gian bị chặn địa phương Nếu B ⊂ L(E, F ) bị chặn, tức là tồn... kiểu σ, xác định trên E Giả sử f là một phiếm hàm tuyến tính trên M sao cho |f (x)| q(x) với mọi x ∈ M Khi đó, tồn tại mở rộng tuyến tính f˜ xác định trên E sao cho f˜(x) = f (x) với mọi x ∈ M và |f˜(x)| σ n f (x)q(x) với mọi x ∈ E Nếu σ = 1 thì ta nhận được định lý Hahn-Banach cổ điển 22 Sau đây, chúng tôi giới thiệu một số hệ quả của định lý Hahn-Banach trong F -không gian bị chặn địa phương 2.1.5... đương của ánh xạ tuyến tính liên tục và ánh xạ tuyến tính bị chặn trong không gian p-chuẩn 1.2.11 Định lý Cho E và F lần lượt các không gian p-chuẩn, không gian q-chuẩn (0 < p, q 1) và ánh xạ tuyến tính A : E → F Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương: (a) A liên tục; (b) A liên tục tại 0; q M x p , với mọi x ∈ E; (c) Tồn tại M > 0 sao cho A(x) (d) A biến mỗi tập bị chặn trong E thành một tập bị chặn ... VỀ CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH HÀM TRÊN KHÔNG GIAN BỊ CHẶN ĐỊA PHƯƠNG Chương trình bày định lý giải tích hàm định lý Hahn-Banach, định lý ánh xạ mở nguyên lý bị chặn không gian bị chặn địa. .. giải tích phức không gian không lồi địa phương Với mục đích tìm hiểu định lý giải tích hàm không gian bị chặn địa phương, lựa chọn đề tài sau cho luận văn là: Về định lý giải tích hàm không gian. .. không gian bị chặn địa phương; không gian p−Banach; ánh xạ tuyến tính liên tục không gian bị chặn địa phương 2) Trình bày chi tiết cách xây dựng định lý giải tích hàm không gian bị chặn địa phương